計數原理及其概率教學建議要點PPT課件

1、計數原理教材分析 本章首先從學習兩個基本計數原理開始,應該說,這兩個基本原理在本章的學習中占有重要地位；其作用并不限于用來推導排列數、組合數公式,實際上其解決問題的思想方法貫穿在整個學習的始終. 教材接著以兩個基本原理為基礎介紹了排列、組合的概念，排列數公式、組合數公式及其在計算問題上的應用.然后運用組合數的兩個性質推導了二項式定理，同時通過研究二項式系數的性質深化對組合數的認識.第1頁/共43頁計數原理教材分析 分類計數原理和分步計數原理的本質是計數,即尋求完成一件事的方法數,能夠區(qū)別它們的不同是正確進行分類和分步,進而解決問題的關鍵.同時也體現了我們解決具體問題時常用的兩種方法:將問題分類

2、還是分步解決. 兩個原理的不同點:分類計數原理中的n類辦法是并行的,一步到位的,只要選中一類辦法中的一個方法即可完成這件事;分步計數原理中的n個步驟是一個接著一個的,缺一不可,即只有完成每一個步驟才能完成這件事.第2頁/共43頁計數原理教材分析 排列數與組合數都是計算從n個不同元素中任意取出m個不同元素的方法數,究竟使用哪個公式,關鍵是能區(qū)別它們的不同點:是否有序. 教學時要立足基礎知識和基本方法,通過典型例題的分析,構建思維模式,造就思維依托,選擇恰當的切入點,從不同的側面,通過分類與分步,把原問題轉化為幾個小問題,達到解決排列組合應用題的目的.解題思路,可以概括為:審明題意,排組分清；合理

3、分類,用準加乘；周密思考,防漏防重；直接間接,思路可循；元素位置,特殊先行；一題多解,檢驗真?zhèn)?第3頁/共43頁計數原理教材分析33123312231例1.將1,2,3填入的方格中,要求每 行、每列都沒有重復數字,下面是一種填法,則不同的填寫方法共有( )種.（A）6 （B）12 （C）24 （D）48 注:數學理論既來源于生活,又指導著我們的生活.很多實際問題,要敢于讓學生根據生活的經驗來完成,敢于讓學生體會理論的形成過程,使學生對數學有一種親切感,進而使學生熱愛數學.法一:自上而下,分三步:第一行,有 種方法;第二行只要確定了第一個位置,其它兩個就確定了;第三行是唯一的.共有 種方法.33

4、A121) 1(1233 AA第4頁/共43頁計數原理教材分析33123312231例1.將1,2,3填入的方格中,要求每 行、每列都沒有重復數字,下面是一種填法,則不同的填寫方法共有( )種.（A）6 （B）12 （C）24 （D）48 注:排列組合題隨著考慮問題的角度不同,可能有多種做法.要敢于讓學生充分發(fā)表自己的觀點和意見,不斷培養(yǎng)學生獨立思考的能力,提高自信心.法二:中心開花,分四步:先填中心格,有3種方法;第二行的另兩個位置,有 種方法;第二列的另兩個位置有 種方法;剩下位置是唯一的.共有種方法.22A12132222AA22A第5頁/共43頁計數原理教材分析 本章的重點是分類加法計

5、數原理、分步乘法計數原理,排列與組合的意義,排列數、組合數計算公式,二項式定理.但要注意數形結合、分類討論、等價轉化、整體思想、正難則反等數學思想的運用. 本章的難點是如何運用計數原理和有關公式解決應用問題.在教學時應循序漸進,允許學生有一個適應過程,對學生計算中出現的一些典型錯誤進行認真剖析,通過具體實例,讓學生掌握一些基本原理進行計數的基本方法和技巧.第6頁/共43頁計數原理教材分析例2.三封信投入到5個郵筒,有多少種投法? 由a,b,c,d到e,f的映射共有多少個?解: 種投法; 個映射.125531624注: “投信與映射”問題可重復 ,直接分步例3.100件產品中,正品97件,次品3

6、件,現從中取出5件檢驗,取出的5件全是正品的取法有多少種？取出的5件中恰好有2次品的取法有多少種？取出的5件中至少有2次品的取法有多少種？注: “含與不含”問題確定范圍 第三問也可以采用間接法,但要不重不漏.解: 種; 種; 種.597C23397CC3329723397CCCC產品的抽樣檢查和古典概型問題聯系較緊密.第7頁/共43頁計數原理教材分析例4.某城市在中心廣場建造一個花圃,花圃分為6個部分.現要栽種4種不同顏色的花,每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花,不同的栽種方法有多少種？ 2,5同色: 則3,6或4,6也同色,有 種; 3,5同色: 則4,2或4,6也同色,有 種;

7、2,4且3,6同色: 種;442 A44A12022444444AAA注: “染色”問題合理分類與分步442 A解法一:由題意知必有2組同顏色的花,從同顏色的花入手分類: 故不同的栽種方法有 種. 第8頁/共43頁計數原理教材分析例4.某城市在中心廣場建造一個花圃,花圃分為6個部分.現要栽種4種不同顏色的花,每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花,不同的栽種方法有多少種？由樹狀圖可見:120534A34A解法二:分步,先排1,2,3,有 種方法,再排其它部分.不妨設1,2,3已分別栽種 A,B,C,則4,5,6,栽種方法共5種. 故不同的栽種方法有 種. 456BCDBC456DBCCD

8、D第9頁/共43頁計數原理教材分析例5.把4人分成兩組兩組人數分別為1、3,有多少種分法?平均分成第一、第二兩組,有多少種分法?平均分成兩組,有多少種分法?解: 種; 種; 種.414C624C3/2224AC注:分組問題有序均分和無序均分例6.9名翻譯中,6個懂英語,4個懂日語,從中安排5人參加5個不同的部門(每部門一人)從事外事活動,其中3個部門需要英語翻譯,2個部門需要日語翻譯,選派的方法有多少種？注:排組混合問題先選后排解: 種.1080)(22332335131135231125AACCCCCCCC英5日 31第10頁/共43頁計數原理教材分析注:至多至少問題正難則反例7.編號為1、

9、2、3、4、5的五人入座編號也為1、2、3、4、5的五個座位,至多有2人對號的坐法有幾種？ 問題的正面有三種情況：全不對號;有且僅有一個對號;有且僅有兩個對號.這三種情況都較難處理.而反面只有兩種情況：全對號(四人對號時一定全對號);有且僅有3個對號. 解:有且僅有3人對號時,只要先從五人中選出3 人(有 種),其余兩人不對號(此時只有 1種情況)即可; 而全對號只有1種情況.1035C10911055A故坐法總數為: 種.第11頁/共43頁計數原理教材分析例8. 3位男生,5位女生坐在一排照相, 三位男生必須坐在一起,有多少種坐法?甲、乙相隔一人,有多少種坐法?三位男生中任意兩人不能相鄰,有

10、多少種坐法?注: “鄰與不鄰”問題捆綁與插空.解:有 種;43203366AA 先選一人與甲、乙作為一個整體,再排列.有 種;8640662216AAC 先把女生排列,再把男生插入(即插空) .共有 種坐法.144003655AA三位男生必須坐在一起,分兩個步驟完成 ,即把三位男生排成一列,再把這個排列作為一個整體元素(即捆綁),與其他女生進行排列第12頁/共43頁計數原理教材分析例8. 3位男生,5位女生坐在一排照相, 甲、乙兩人必須在兩端,有多少種坐法?甲不在排頭乙不在排尾,有多少種坐法? 甲、乙兩人必須在兩端,說明甲、乙兩人有特殊要求,應優(yōu)先考慮,即先甲、乙,再其他人解:共有 種坐法;1

11、4406622AA 同樣優(yōu)先考慮甲、乙.分兩類:甲在排尾;甲不在排尾.甲不在排尾又分三步:先甲,再乙,然后其他人. 也可應用集合的元素思想間接排除, 即從總數中減去甲在排頭乙在排尾的情況.共有 (或 )種坐法.3096066161677AAAA6677882AAA注: “在與不在”的問題特殊優(yōu)先. 第13頁/共43頁計數原理教材分析例8. 3位男生,5位女生坐在一排照相, 甲、乙、丙三人順序一定,有多少種坐法?甲、乙相鄰且甲在乙的左邊,有多少種坐法? 甲、乙、丙三人順序一定,可以先讓這8人排成一列,再按要求調整甲、乙、丙三人順序解:共有 種坐法;6720/3388AA 甲、乙相鄰且甲在乙的左邊

12、,可以把甲、乙作為一個整體和其他人進行排列.也可以把其他人進行排列,再把甲、乙作為一個整體插入.注: 順序一定問題先排后除(或先定后插)共有 (或 )種坐法.504077A50401766AA第14頁/共43頁計數原理教材分析例9. 5個老師分配到3個班搞活動,每班至少一 個,有幾種不同的分法？解:共有 種分法.240)(33232535ACCC注:“同與不同”問題先分再排或檔板分隔例10.10張參觀公園的門票分給5個班,每班至少1張,有幾種分法？ 各位老師是不同人,每班至少一個,要按3,1,1;2,2,1先分組,再分配到3個班級,即進行排列 注意到10張參觀公園的門票是相同的,只要把這10張

13、票分成5組,讓5個班依次拿走即可.如果用分類的辦法分組,情況較多.可以相象用4個班檔板插入中間,很自然就分成5組解:共有 種分法.12649C第15頁/共43頁計數原理教材分析例11. 求 展開式的 常數項; 項 的系數; 寫出所有的無理項; 各項系數的和.二項式系數與系數的區(qū)別; 6)12(xx 23190 x)6 , 2 , 1 , 0( ,2) 1()1()2(23666661 rxCxxCTrrrrrrrr23x注: 重點是展開式的通項公式: ), 2 , 1 , 0(1nrbaCTrrnrnr 解:展開式的通項公式: 常數項為:240;項 的系數為:-192;無理項為: , , .

14、23160 x2912x23x各項系數和為x=1的值. 各項系數的和為:1.第16頁/共43頁計數原理教材分析注:多項式函數 的系數特點例12.設 ,求值 , , .nnxaxaxaaxf 2210)(9290129(1 3 )xaa xa xa x0a0129aaaa0129|aaaa由 , ,0)0(afnnaaaaf) 1() 1(210 naaaaf 210) 1 ()9 , 2 , 1 , 0( ,)3(9 rxCarrr解:設 f(x)=得:常數項為f(0);各次項系數和為f(1);奇次項系數和為:f(1)-f(-1)/2;偶次項系數和為:f(1)+f(-1)/2.由通項公式: 知

15、奇次項系數為負,偶次項系數為正.從而9290129(1 3 )xaa xa xa x0a0129aaaa0129| | |aaaa則: = f(0) = 1 , =f(1)=-51294) 1(2) 1() 1 (2) 1() 1 (fffff第17頁/共43頁計數原理教材分析注:注意二項展開式的形成過程.例13.求 展開式中 的系數. 341 21xxx法一: ) 3 , 2 , 1 , 0()2(31rxCTrrr展開式的通項公式: )4 , 3 , 2 , 1 , 0( ,)(41rxCTrrr展開式的通項公式: 21) 1(12614613CC2) 1(2114030413CCCC3)

16、21 (x4)1 (x)1)(1)(1)(1)(21)(21)(21 (xxxxxxx得 展開式中 的系數為 . 341 21xxx法二: 341 21xx 注意到展開式的每一項都是取自7 個括號中7 項的乘積(每一個括號恰取一項),所以展開式的一次項只能是某一個括號取一次項,其它括號取常數項,又由于個括號的一次項是不同的,依據分類計數原理,得所求系數為:第18頁/共43頁概率教材分析 本章知識是在學生己學習了(數學3)統(tǒng)計與概率兩章知識的基礎上的進一步深入和擴展. 教學的重點應放在,幫助學生正確理解隨機變量的概念,以及如何用數學方法研究隨機現象,用函數的觀點理解離散型隨機變量的概率分布上,通

17、過實例理解分布列的性質、期望(均值)與方差等概念與意義. 教學中有必要回顧隨機事件的基本事件空間的概念、古典概型、幾何概型,特別是加法公式、貝努里概型與二項分布的關系,使學生對概率內容有一個比較完整的認識.第19頁/共43頁概率教材分析 概率的基本知識和方法已經成為高中數學的重要組成部分,北京近年高考都有一道解答題,屬于典型的中檔題.由于概率與實際生活聯系緊密,是研究隨機現象的基礎,因而考題往往以實際應用題出現.考查的重中之重是隨機事件的獨立性(貝努里概型,即二項分布就源于事件的獨立性),而溝通實際問題和數學問題的橋梁往往是古典概型.教學時要把等可能事件的概率作為基礎分清楚易混淆概念(如互斥、

18、對立、獨立等)的區(qū)別與聯系,把握好各類公式(等可能事件的概率、加法公式、乘法公式、貝努里概型)適用的條件,能夠從不同的第20頁/共43頁概率教材分析 實際問題抽象出數學的本質問題來套用模型化的公式,達到解決問題的目的. 要知道隨機變量是把隨機事件數量化后的再認識；另外,要注意概率解答題書寫的規(guī)范性、嚴謹性,計算、推理要有依據,不能成為小學數學只列一個算術式子來回答問題. 總之, 要讓學生再次體會知識和方法的形成和建構過程,再次體會等價轉化、分類討論等思想方法,再次體會“隨機”、“變化”、“個別”與“規(guī)律”、“靜態(tài)”、“整體”的辯證統(tǒng)一,從偶然的表面現象揭示出隨機現象的規(guī)律性.第21頁/共43頁

19、概率教材分析貝努里概型（獨立重復試驗序列）: 一般地，在n次獨立重復試驗中，如果事 件A在每次試驗中發(fā)生的概率均為p，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率為：., 1 , 0,)1 ()(nkppCkPknkknn 注: 貝努里概型的特點:試驗總次數是有限的,確定的;每次試驗之間是相互獨立的;每次試驗中事件A發(fā)生的概率是一個確定的常數;n次試驗中事件A發(fā)生了k次,但對在哪k次發(fā)生沒有要求 . 第22頁/共43頁概率教材分析-基本公式的運用注: 通過合理的分類,恰當的分步,提高把復雜事件分解成簡單事件的和或積的能力.例14.甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進行乒乓球比賽：第一局由甲、乙參

20、加而丙輪空,以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進行比賽,而前一局的失敗者輪空.比賽按這種規(guī)則一直進行到其中一人連勝兩局或打滿6局時停止.設在每局中參賽者勝負的概率均為1/2,且各局勝負相互獨立.求: ()打滿3局比賽還未停止的概率；()比賽停止時已打局數 的分布列與期望 .E第23頁/共43頁概率教材分析-基本公式的運用設 , , 分別表示甲、乙、丙在第k局中獲勝,甲乙甲丙乙丙丙乙乙甲甲甲甲丙乙乙丙丙丙丙乙甲樹狀圖開始kkkCBA5432154321 5BBACBAABCA則”打滿3局比賽還未停止”321321ACBBCA,22121BBAA3213213CCBCCA,443214321AAC

21、BBBCA且54321543216CBACBCABCA第24頁/共43頁概率教材分析-基本公式的運用例15.已知5只動物中有1只患有某種疾病,需要通過化驗血液來確定患病的動物血液化驗結果呈陽性的即為患病動物,呈陰性即沒患病下面是兩種化驗方法：方案甲：逐個化驗,直到能確定患病動物為止方案乙：先任取3只,將它們的血液混在一起化驗若結果呈陽性則表明患病動物為這3只中的1只,然后再逐個化驗,直到能確定患病動物為止；若結果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗（1）求依方案甲所需化驗次數不少于依方案乙所需化驗次數的概率；（2）表示依方案乙所需化驗次數,求 的期望第25頁/共43頁概率教材分析-基本公式的運用分

22、析:從所給題目中可知兩個方案所需化驗次數都不是確定的常數,必須清楚兩個方案所需化驗次數的取值及相應的概率,即概率分布.由此,第二問實際是在送分,關鍵是突破第一問.設方案甲的化驗次數為 ，則它的取值為1,2,3,4. 法一(古典概型)：,51) 1(P,514514)2(251114ACCP,51345134)3(351124ACAP,5223452234) 4(451234ACAP法二(古典概型)： 如果把五個動物依次化驗,患病記做 ,未患病記做 ,則樣本空間為:,從而：,51) 1(P,51) 2(P,51) 3(P,52) 4(P第26頁/共43頁概率教材分析-基本公式的運用法三：=“方案

23、甲第i次的化驗結果呈陽性”,iA設同理 =“方案乙第i次的化驗結果呈陽性”,i=1,2,3,.iB則：,51)() 1(1APP,514154)()()() 2(12121AAPAPAAPP,51314354)() 3(321AAAPP,521324354)() 4(4321AAAAPP,531523153)()2(2121BBBBPP,0)()() 1(1PBPP.5213253)()3(321BBBPP從而概率分布為：1234P0.20.20.20.4123P00.60.4)4, 4() 3, 3() 1, 2() 1, 1()(PPPPP故方案甲化驗次數不少于方案乙次數的概率為:4 .

24、2,E72. 0) 4 . 06 . 00 ( 4 . 0) 4 . 06 . 00 ( 2 . 0) 6 . 00 ( 2 . 002 . 0第27頁/共43頁概率教材分析-基本公式的運用注-對基本公式運用的兩點體會: 1.對于利用隨機事件的關系和運算把復雜事件用簡單事件表示的能力較過去有了明顯提高,也即對兩個公式(加法和乘法)加大了考察的力度;但對于運用排列組合知識解決古典概型的概率問題沒有明顯變化,所以對于古典概型問題避免做偏題和難題,要注重基礎.2.對于古典概型中樣本空間(基本事件總數)的認識,隨著考慮問題的角度不同是不一樣的,盡可能一題多解,切實提高學生分析問題和解決問題的能力,但要

25、注意分子和分母所包含的基本事件的一致性.第28頁/共43頁概率教材分析-兩個概型的辨別例16.某中學在高一開設了數學史等4門不同的選修課，每個學生必須選修，且只能從中選一門. 該校高一的3名學生甲、乙、丙對這4門選修課的興趣相同.()求3個學生選擇了3門不同的選修課的概率；()求恰有2門選修課這3個學生都沒有選擇的概率；()設隨機變量 為選修數學史這門課的學生人數,求 的分布列與數學期望.注: 顯然它可以認為獨立重復試驗,但不是貝努里概型.一是每次試驗只有兩個相同的結果且概率相同,但本題有4個;二是如果把貝努里概型作為古典概型的特殊情況,基本事件總數應為 .n2第29頁/共43頁概率教材分析-

26、兩個概型的辨別例17.某射擊測試規(guī)則為:每人最多射擊3次,擊中目標即終止射擊,第i次擊中目標得4-i (i=1, 2,3)分,3次均未擊中目標得0分.已知某射手每次擊中目標的概率為0.8,各次射擊結果互不影響.（）求該射手恰好射擊兩次的概率；（）該射手的得分記為 ,求隨機變量 的分布列及數學期望注: 表面上是獨立重復試驗,但不是貝努里概型, 貝努里概型的試驗次數是不變的,顯然本題中的射擊次數是不確定的,是典型的對基本公式的考察.如果設3次射擊中擊中目標分別為A,B,C,則:3,2,1,0AABABCABC第30頁/共43頁概率教材分析-兩個概型的辨別例18.甲乙兩隊參加奧運知識競賽，每隊3人，

27、每人回答一個問題，答對者為本隊贏得一分，答錯得零分.假設甲隊中每人答對的概率均為2/3，乙隊中3人答對的概率分別為2/3,2/3, 1/2,且各人正確與否相互之間沒有影響.用 表示甲隊的總得分.()求隨機變量 分布列和數學期望；()用A表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”這一事件，求P(AB).n2注:由于違反等概性, 取值的概率不能用古典概型, 而是貝努里概型. 如果每人答對的概率都是1/2,就可以認為基本事件為 的古典概型問題.第31頁/共43頁概率教材分析-兩個概型的辨別例19.甲、乙等五名奧運志愿者被隨機地分到A,B,C,D四個不同的崗位服

28、務, 每個崗位至少有一名志愿者（1）求甲、乙兩人同時參加A崗位服務的概率；（2）求甲、乙兩人不在同一個崗位服務的概率；（3）設隨機變量 為這五名志愿者中參加A崗位服務的人數, 求 的分布列102444444注:可能的錯誤:設A、B分別為甲、乙兩人同時參加A崗位服務,則P(AB)=P(A)P(B)=(1/4)(1/4)=1/16 如果把條件“每個崗位至少有一名志愿者”去掉,那么基本事件的總數為 .事件A與B變?yōu)橄嗷オ毩⒌?學生上面的做法就是正確的.實際上, 基本事件總數為: 2404425AC第32頁/共43頁概率教材分析-條件的呈現方式例20.某種家用電器每臺的銷售利潤與該電器的無故障使用時間

29、T(單位：年)有關.若 ，則銷售利潤為0元；若 ，則銷售利潤為100元；若 ，則銷售利潤為200元. 設每臺該種電器的無故障使用時間 , ,及 這三種情況發(fā)生的概率分別為 ,又知 是方程 的兩個根，且 . 的值；1T31T3T1T31T3T321,ppp21, pp015252axx32pp （）求321,ppp（）記 表示銷售兩臺這種家用電器的銷售利潤總和，求 的分布列；（）求銷售兩臺這種家用電器的銷售利潤總和的平均值.注:以概率的基本性質為知識點,方程為平臺搭建已知條件,考察了學生綜合運用知識的能力; 關鍵:通過方程組. 5/2, 5/ 15/3,pppppppp

30、p第33頁/共43頁概率教材分析-條件的呈現方式例21.甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球,命中率分別為1/2與p,且乙投球2次均未命中的概率為1/16.（）求乙投球的命中率p ;（）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（）若甲、乙兩人各投球2次,求兩人共命中2次的概率注:已知條件中并不是以我們的習慣形式,告訴乙投球的命中率求乙投球2次均未命中的概率.而是一個逆過程,可通過方程(1-p)(1-p)=1/16求得p=3/4.另外甲投球命中次數的概率既可以按貝努里概型計算,也可以按古典概型計算,但乙投球命中次數的概率一般不按古典概型計算.第34頁/共43頁概率教材分析-條件的呈現方式例22

31、.一個袋中有若干個大小相同的黑球、白球和紅球.已知從袋中任意摸出1個球，得到黑球的概率是2/5 ；從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是7/9.（）若袋中共有10個球,(i)求白球的個數； (ii)從袋中任意摸出3個球,記得到白球的個數為 ,求隨機變量 的數學期望 .（）求證：從袋中任意摸出2個球，至少得到1個黑球的概率不大于7/10.并指出袋中哪種顏色的球個數最少.E注:設白球的個數為n,則應用對立事件的概率公式: ,從而白球5個,黑4個,紅1個.5971210210nCCn第35頁/共43頁概率教材分析-條件的呈現方式注:對于第()問指出袋中哪種顏色的球最少,容易猜出紅球最少.要注

32、意第一問的鋪墊作用.107425352) 1(4253521525352)(nnnnnnnnnBAAP107)5114031 (2516)514031 (251651812516) 15 (5) 13 (3112523nnnnnnnCCPnn 由題意可設袋中共有5n個球,其中黑球2n個,白球和紅球3n個.法一:設第一次,第二次摸出黑球分別為A,B,則任意摸出2個球，至少得到1個黑球的概率為:法二:(古典概型)所求概率為:第36頁/共43頁概率教材分析-條件的呈現方式例23.學校文藝隊的每位隊員唱歌、跳舞至少會一項,已知會唱歌的有2人,會跳舞的有5人,現從中選2人,設 為選出的人中既會唱歌又會跳舞的人數,且 (I)求文藝隊的人數；(II)求 的分布列及期望.10/7)0(P107)0(1)0(PP103)0(27227xxCCP2 x注:運用集合的思想進行分類,設既會唱歌又會跳舞的人數為x,則只會唱歌的人數為2-x,只會跳舞的人數為5-x,總人數為7-x,如圖: 從而唱跳x2-x5-x即文藝隊的總人數為5人.第37頁/共43頁概率教材分析-條件的呈現方式例24.為防止風沙危害,某地決定建設防護綠化帶,種植楊樹、沙柳等植物.某人一次種植了n株沙柳,各株沙柳成活與否是相互獨立的,成活率為p,設 為成活沙柳的株數,數學期望