多元函數的概念ppt課件PPT學習教案

1、會計學1多元函數的概念多元函數的概念ppt課件課件 設設),(000yxP是是xoy平面上的一個點，平面上的一個點， 是某是某一正數，與點一正數，與點),(000yxP距離小于距離小于 的點的點),(yxP的全體，稱為點的全體，稱為點0P的的 鄰域，記為鄰域，記為),(0 PU，（1）鄰域）鄰域0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 第1頁/共49頁（2）區(qū)域）區(qū)域.)(的內點的內點為為則稱則稱，的某一鄰域的某一鄰域一個點如果存在點一個點如果存在點是平面上的是平面上的是平面上的一個點集，是平面上的一個點集，設設EPEPUPPE .EE 的內點屬于的內點屬于

2、EP .為開集為開集則稱則稱的點都是內點，的點都是內點，如果點集如果點集EE41),(221 yxyxE例如，例如，即為開集即為開集第2頁/共49頁的邊界點的邊界點為為），則稱），則稱可以不屬于可以不屬于，也，也本身可以屬于本身可以屬于的點（點的點（點也有不屬于也有不屬于的點，的點，于于的任一個鄰域內既有屬的任一個鄰域內既有屬如果點如果點EPEEPEEPEP 的邊界的邊界的邊界點的全體稱為的邊界點的全體稱為 EE是連通的是連通的開集開集，則稱，則稱且該折線上的點都屬于且該折線上的點都屬于連結起來，連結起來，任何兩點，都可用折線任何兩點，都可用折線內內是開集如果對于是開集如果對于設設DDDD 第

3、3頁/共49頁連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo開開區(qū)區(qū)域域連連同同它它的的邊邊界界一一起起稱稱為為閉閉區(qū)區(qū)域域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo第4頁/共49頁0| ),( yxyx有界閉區(qū)域；有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域無界開區(qū)域xyo例如，例如，則稱為無界點集則稱為無界點集為有界點集，否為有界點集，否成立，則稱成立，則稱對一切對一切即即，不超過不超過間的距離間的距離與某一定點與某一定點，使一切點，使一切點如果存在正數如果存在正數對于點集對于點集EEPKAPKAPAEPKE 41| ),(22 yxyx第5頁/共49

4、頁（3）聚點）聚點 設設 E 是是平平面面上上的的一一個個點點集集，P 是是平平面面上上的的一一個個點點，如如果果點點 P 的的任任何何一一個個鄰鄰域域內內總總有有無無限限多多個個點點屬屬于于點點集集 E，則則稱稱 P 為為 E 的的聚聚點點. 內點一定是聚點；內點一定是聚點； 邊界點可能是聚點；邊界點可能是聚點；10| ),(22 yxyx例例(0,0)既是既是邊界點也是聚點邊界點也是聚點第6頁/共49頁 點集點集E的聚點可以屬于的聚點可以屬于E，也可以不屬于，也可以不屬于E10| ),(22 yxyx例如例如,(0,0) 是聚點但不屬于集合是聚點但不屬于集合1| ),(22 yxyx例如例

5、如,邊界上的點都是聚點也都屬于集邊界上的點都是聚點也都屬于集合合第7頁/共49頁（4）n維空間維空間 設設n為為取取定定的的一一個個自自然然數數，我我們們稱稱n元元數數組組),(21nxxx的的全全體體為為n維維空空間間，而而每每個個n元元數數組組),(21nxxx稱稱為為n維維空空間間中中的的一一個個點點，數數ix稱稱為為該該點點的的第第i個個坐坐標標. n維空間的記號為維空間的記號為;nR n維空間中兩點間距離公式維空間中兩點間距離公式 第8頁/共49頁),(21nxxxP),(21nyyyQ.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ n維空間中鄰域、區(qū)域等概念維空間中鄰域、區(qū)域等

6、概念 nRPPPPPU ,|),(00 特殊地當特殊地當 時，便為數軸、平面、時，便為數軸、平面、空間兩點間的距離空間兩點間的距離3, 2, 1 n內點、邊界點、區(qū)域、聚點等概念也可定義內點、邊界點、區(qū)域、聚點等概念也可定義鄰域：鄰域：設兩點為設兩點為第9頁/共49頁 設設D是平面上的一個點集，如果對于每個點是平面上的一個點集，如果對于每個點DyxP ),(，變量，變量z按照一定的法則總有確定的按照一定的法則總有確定的值和它對應，則稱值和它對應，則稱z是變量是變量yx,的二元函數，記為的二元函數，記為),(yxfz （或記為（或記為)(Pfz ）. .（5）二元函數的定義）二元函數的定義當當2

7、 n時時，n元元函函數數統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為多多元元函函數數. 多元函數中同樣有定義域、值域、自變量、多元函數中同樣有定義域、值域、自變量、因變量等概念因變量等概念.類似地可定義三元及三元以上函數類似地可定義三元及三元以上函數第10頁/共49頁例例1 1 求求 的定義的定義域域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定義域為所求定義域為., 42| ),(222yxyxyxD 第11頁/共49頁（6） 二元函數二元函數 的圖形的圖形),(yxfz 設函數設函數),(yxfz 的定義域為的定義域為D，對于任意，對于任意取定的取定的DyxP ),(，

8、對應的函數值為，對應的函數值為),(yxfz ，這樣，以，這樣，以x為橫坐標、為橫坐標、y為縱坐為縱坐標、標、z為豎坐標在空間就確定一點為豎坐標在空間就確定一點),(zyxM，當當x取遍取遍D上一切點時，得一個空間點集上一切點時，得一個空間點集),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ，這個點集稱，這個點集稱為二元函數的圖形為二元函數的圖形.（如下頁圖）（如下頁圖）第12頁/共49頁二元函數的圖形通常是一張曲面二元函數的圖形通常是一張曲面.第13頁/共49頁xyzoxyzsin 例如例如,圖形如右圖圖形如右圖.2222azyx 例如例如,左圖球面左圖球面.),(222ayxyxD 222yx

9、az .222yxaz 單值分支單值分支:第14頁/共49頁定 義定 義 1 1 設 函 數設 函 數),(yxfz 的 定 義 域 為的 定 義 域 為),(,000yxPD是其聚點，如果對于任意給定的是其聚點，如果對于任意給定的正數正數 ，總存在正數，總存在正數 ，使得對于適合不等式，使得對于適合不等式 20200)()(|0yyxxPP的 一 切的 一 切點，都有點，都有 |),(|Ayxf成立，則稱成立，則稱 A A 為函數為函數),(yxfz 當當0 xx ，0yy 時的極限，時的極限，記為記為 Ayxfyyxx ),(lim00 （或（或)0(),( Ayxf這里這里|0PP ）.

10、第15頁/共49頁說明：說明：（1）定義中）定義中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）二元函數的極限也叫二重極限）二元函數的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函數的極限運算法則與一元函數類似）二元函數的極限運算法則與一元函數類似第16頁/共49頁例例2 2 求證求證 證證01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 當當 時，時， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原結論成立原結論成立第17頁/共49頁例例3 3 求極求極限限 .)sin(lim22200yx

11、yxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 第18頁/共49頁例例4 4 證明證明 不存在不存在 證證26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，故極限不存在故極限不存在第19頁/共49頁不存在不存在.觀觀察察26300limyxyxyx ,2

12、63圖形圖形yxyxz 播放播放第20頁/共49頁（1） 令令),(yxP沿沿kxy 趨趨向向于于),(000yxP，若若極極限限值值與與k有有關關，則則可可斷斷言言極極限限不不存存在在；（2） 找兩種不同趨近方式，使找兩種不同趨近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，存在，但兩者不相等，此時也可斷言但兩者不相等，此時也可斷言),(yxf在點在點),(000yxP處極限不存在處極限不存在確定極限確定極限不存在不存在的方法：的方法：第21頁/共49頁定義定義 2 2 設設n元函數元函數)(Pf的定義域為點集的定義域為點集0, PD是其聚點，如果對于任意給定的正數是其聚點，如果對于任意給定的

13、正數 ，總 存 在 正 數總 存 在 正 數 ， 使 得 對 于 適 合 不 等 式， 使 得 對 于 適 合 不 等 式 |00PP的 一 切 點的 一 切 點DP ， 都 有， 都 有 |)(|APf成立，則稱成立，則稱 A A 為為n元函數元函數)(Pf當當0PP 時的極限，記為時的極限，記為 APfPP )(lim0. .n元元函函數數的的極極限限利用點函數的形式有利用點函數的形式有第22頁/共49頁 設設n元函數元函數)(Pf的定義域為點集的定義域為點集0, PD是其聚點且是其聚點且DP 0，如果，如果)()(lim00PfPfPP 則稱則稱n元函數元函數)(Pf在點在點0P處連續(xù)處

14、連續(xù). . 設設0P是是函函數數)(Pf的的定定義義域域的的聚聚點點，如如果果)(Pf在在點點0P處處不不連連續(xù)續(xù)，則則稱稱0P是是函函數數)(Pf的的間間斷斷點點.定義定義3 3第23頁/共49頁例例5 5 討論函數討論函數 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)處的連續(xù)性處的連續(xù)性解解 取取,cos x sin y)0 , 0(),(fyxf )cos(sin33 2 第24頁/共49頁 2)0 , 0(),(fyxf故函數在故函數在(0,0)處連續(xù)處連續(xù).),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx , 0 ,2 當

15、當 時時 220yx第25頁/共49頁例例6 6 討論函數討論函數 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的連續(xù)性的連續(xù)性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，極限不存在極限不存在故函數在故函數在(0,0)處不連續(xù)處不連續(xù)第26頁/共49頁閉區(qū)域上連續(xù)函數的性質閉區(qū)域上連續(xù)函數的性質 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數，在上的多元連續(xù)函數，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數

16、，如上的多元連續(xù)函數，如果在果在D D上取得兩個不同的函數值，則它在上取得兩個不同的函數值，則它在D D上上取得介于這兩值之間的任何值至少一次取得介于這兩值之間的任何值至少一次（1）最大值和最小值定）最大值和最小值定理理（2）介值定理）介值定理第27頁/共49頁（3）一致連續(xù)性定理）一致連續(xù)性定理 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數必定上的多元連續(xù)函數必定在在D D上一致連續(xù)上一致連續(xù)多元初等函數：由多元多項式及基本初等函數多元初等函數：由多元多項式及基本初等函數經過有限次的四則運算和復合步驟所構成的可經過有限次的四則運算和復合步驟所構成的可用一個式子所表示的多元函數叫多元初等函數

17、用一個式子所表示的多元函數叫多元初等函數一切多元初等函數在其定義區(qū)域內是連續(xù)的一切多元初等函數在其定義區(qū)域內是連續(xù)的定義區(qū)域是指包含在定義域內的區(qū)域或閉區(qū)域定義區(qū)域是指包含在定義域內的區(qū)域或閉區(qū)域第28頁/共49頁例例.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21 ).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 處連續(xù)，于是處連續(xù)，于是點點在在的定義域的內點，則的定義域的內點，則是是數，且數，且是初等函是初等函時，如果時，如果一般地，求一般地，求第29頁/共49頁多元函數極限的概念多

18、元函數極限的概念多元函數連續(xù)的概念多元函數連續(xù)的概念閉區(qū)域上連續(xù)函數的性質閉區(qū)域上連續(xù)函數的性質（注意趨近方式的（注意趨近方式的任意性任意性）多元函數的定義多元函數的定義第30頁/共49頁 若點若點),(yx沿著無數多條平面曲線趨向于沿著無數多條平面曲線趨向于點點),(00yx時，函數時，函數),(yxf都趨向于都趨向于 A，能否，能否斷定斷定Ayxfyxyx ),(lim),(),(00？思考題思考題第31頁/共49頁思考題解答思考題解答不能不能.例例,)(),(24223yxyxyxf )0 , 0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是 不

19、存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx原因為若取原因為若取,2yx 244262)(),(yyyyyyf .41第32頁/共49頁一、一、 填空題填空題: :1 1、 若若yxxyyxyxftan),(22 , ,則則),(tytxf= =_. .2 2、 若若xyyxyxf2),(22 , ,則則 )3, 2(f_; ; ), 1(xyf_. .3 3、 若若)0()(22 yyyxxyf, ,則則 )(xf_. .4 4、 若若22),(yxxyyxf , , 則則 ),(yxf_. .函數函數)1ln(4222yxyxz 的定義域是的定義域是_. .練練 習習 題題第33頁/

20、共49頁 6 6、函數、函數yxz 的定義域是的定義域是_. . 7 7、函數、函數xyzarcsin 的定義域是的定義域是_. . 8 8、函數、函數xyxyz2222 的間斷點是的間斷點是_. .二二、 求求下下列列各各極極限限: :1 1、 xyxyyx42lim00 ；2 2、 xxyyxsinlim00；3 3、 22222200)()cos(1limyxyxyxyx . .第34頁/共49頁三、三、 證明：證明：0lim2200 yxxyyx. .四、四、 證明極限證明極限yxxyyx 11lim00不存在不存在 . .第35頁/共49頁一、一、 1 1、 ),(2yxft； 2 2、1213 , , ),(yxf； 3 3、 xx21 ； 4 4、 yyx 112； 5 5、 xyyxyx4, 10),(222 ； 6 6、 yxyxyx 2, 0, 0),(； 7 7、 xyxxyx