概率方法建模

1、概率方法建模概率方法建模數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系任煜東任煜東qq：466432705前言：什么是數(shù)學(xué)建模前言：什么是數(shù)學(xué)建模 1、高考報名問題、高考報名問題 2、包餃子問題、包餃子問題 3、駭鳥體重問題、駭鳥體重問題 4、海戰(zhàn)問題、海戰(zhàn)問題1、高考報名問題、高考報名問題 一個真實的案例一個真實的案例 某同學(xué)某同學(xué)2014年高考分?jǐn)?shù)為年高考分?jǐn)?shù)為535，理科，現(xiàn)，理科，現(xiàn)在面臨報考志愿的問題，希望你能給他一在面臨報考志愿的問題，希望你能給他一些建議。有如下的參考資料：些建議。有如下的參考資料： 2014年河南高考錄取分?jǐn)?shù)線：年河南高考錄取分?jǐn)?shù)線： 文科文科 理科理科本科一批本科一批 本科

2、二批本科二批 本科三批本科三批 ?？茖？?36483425200本科一批本科一批 本科二批本科二批 本科三批本科三批 ?？茖？?474764002002014年年2013年年一一本本文文536理理547文文519理理505二二本本文文483理理476文文465理理443三三本本文文425理理400文文408理理359專?？瓶莆奈?00理理200文文200理理200一個簡單的方法，換算成一個簡單的方法，換算成去年的分?jǐn)?shù)：去年的分?jǐn)?shù)：476547476535443505443 x解出：解出：521.494 x也就是說，這個分?jǐn)?shù)相當(dāng)于去也就是說，這個分?jǐn)?shù)相當(dāng)于去年的年的494.5分。而連續(xù)兩年之分。

3、而連續(xù)兩年之間的招生計劃、高考人數(shù)等應(yīng)間的招生計劃、高考人數(shù)等應(yīng)該變化不大，可以參照去年的該變化不大，可以參照去年的錄取情況報考志愿。錄取情況報考志愿。這里，我們就建立了一個簡單這里，我們就建立了一個簡單的數(shù)學(xué)模型。的數(shù)學(xué)模型。通常，通常，1公斤面，公斤面， 1公斤餡，包公斤餡，包100個湯圓（餃子）個湯圓（餃子） 今天，今天，1公斤面不變，餡比公斤面不變，餡比 1公斤多了，問應(yīng)多包幾公斤多了，問應(yīng)多包幾個（小一些），還是少包幾個（大一些）？個（小一些），還是少包幾個（大一些）？問題問題圓面積為圓面積為S的一個皮，包成體積為的一個皮，包成體積為V的湯圓的湯圓, 若分成若分成n個皮，每個圓面積為

4、個皮，每個圓面積為s，包成體積為，包成體積為vV和和 nv 哪個大哪個大?2.從從包湯圓（餃子）說起包湯圓（餃子）說起SsssVvvv(共共n個個)定性分析定性分析V比比 nv大多少大多少?定量分析定量分析從包湯圓（餃子）說起從包湯圓（餃子）說起假設(shè)假設(shè)1. 皮的厚度一樣皮的厚度一樣2. 湯圓湯圓(餃子餃子) 的形狀一樣的形狀一樣 模型模型應(yīng)用應(yīng)用若若100100個湯圓（餃子）包個湯圓（餃子）包1 1公斤餡公斤餡, ,則則5050個湯圓個湯圓( (餃子餃子) ) 可以包可以包 公斤餡公斤餡R 大皮大皮 半徑半徑21RkS 3221,rkvrksnvnvnV)()2(2/3kSV ) 3(2/3

5、ksv vnV2/3V是是 nv是是 倍倍n1.41.432RkV r 小皮半徑小皮半徑) 1 (nsS 兩個兩個 k1（和（和k2）一樣）一樣(1),(2),(3) 數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型假設(shè)模型構(gòu)成模型構(gòu)成模型求解模型求解模型分析模型分析模型檢驗?zāi)Ｐ蜋z驗?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型應(yīng)用模模型型準(zhǔn)準(zhǔn)備備了解實際背景了解實際背景明確建模目的明確建模目的搜集有關(guān)信息搜集有關(guān)信息掌握對象特征掌握對象特征形成一個形成一個比較清晰比較清晰的的問題問題模模型型假假設(shè)設(shè)針對問題特點和建模目的針對問題特點和建模目的作出合理的、簡化的假設(shè)作出合理的、簡化的假設(shè)在合理與簡化之間作出折中

6、在合理與簡化之間作出折中模模型型構(gòu)構(gòu)成成用數(shù)學(xué)的語言、符號描述問題用數(shù)學(xué)的語言、符號描述問題發(fā)揮想像力發(fā)揮想像力使用類比法使用類比法盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具 數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型模型求解求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計算機(jī)技術(shù)各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計算機(jī)技術(shù)如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計分析、如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型模型分析分析模型模型檢驗檢驗與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇浴⑦m用性模型應(yīng)用模型應(yīng)用 數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的一般步驟例例3駭鳥尺寸建模駭鳥尺寸建模

7、大約大約7百萬年前，北美洲出現(xiàn)了一種巨大百萬年前，北美洲出現(xiàn)了一種巨大的、不會飛的食肉鳥的、不會飛的食肉鳥,稱為稱為“駭鳥駭鳥”。它。它是已知存在的最大的獵食鳥。各種各樣是已知存在的最大的獵食鳥。各種各樣的駭鳥尺寸從的駭鳥尺寸從59英尺不等。有一種叫英尺不等。有一種叫“泰坦巨鳥泰坦巨鳥”是最大的，但化石極少，是最大的，但化石極少，所以其尺寸不清楚。已經(jīng)估計出其身高所以其尺寸不清楚。已經(jīng)估計出其身高在在67英尺，試試看能否用數(shù)學(xué)建模的英尺，試試看能否用數(shù)學(xué)建模的方法獲知有關(guān)方法獲知有關(guān)“駭鳥駭鳥”的更多信息。的更多信息。 首先，這個問題比較模糊。題目中只是要求首先，這個問題比較模糊。題目中只是要

8、求我們我們“獲知有關(guān)獲知有關(guān)駭鳥駭鳥的更多信息的更多信息”，什，什么信息呢么信息呢?題目中沒有明說，需要我們自己去題目中沒有明說，需要我們自己去尋找。尋找問題，發(fā)現(xiàn)問題，提出問題的過尋找。尋找問題，發(fā)現(xiàn)問題，提出問題的過程，是數(shù)學(xué)建模的第一個步驟，叫做程，是數(shù)學(xué)建模的第一個步驟，叫做“識別識別問題問題”。 識別問題這一步通常比較困難。因為現(xiàn)實生識別問題這一步通常比較困難。因為現(xiàn)實生活中，沒有人簡單給你一個有待解決的數(shù)學(xué)活中，沒有人簡單給你一個有待解決的數(shù)學(xué)問題，通常要從大量數(shù)據(jù)中搜索及識別所研問題，通常要從大量數(shù)據(jù)中搜索及識別所研究問題的某些特定的方面。此外，還要把描究問題的某些特定的方面。此

9、外，還要把描述問題的口頭陳述翻譯成數(shù)學(xué)符號來表示。述問題的口頭陳述翻譯成數(shù)學(xué)符號來表示。 當(dāng)然，當(dāng)然，駭鳥尺寸駭鳥尺寸問題相對簡單容易，通問題相對簡單容易，通常要考慮其常要考慮其“體重體重”第一步：識別問題第一步：識別問題 現(xiàn)在我們已經(jīng)明確了要探究的問題：現(xiàn)在我們已經(jīng)明確了要探究的問題：預(yù)測預(yù)測駭鳥的體重駭鳥的體重。進(jìn)一步分析：如何進(jìn)行預(yù)測？。進(jìn)一步分析：如何進(jìn)行預(yù)測？根據(jù)什么預(yù)測？根據(jù)什么預(yù)測？ 注意到我們只能得到一些化石，且注意到我們只能得到一些化石，且“化石化石極少極少”。由于股骨（即大腿骨）支撐了身。由于股骨（即大腿骨）支撐了身體的大部分體重，所以我們選擇股骨的某體的大部分體重，所以我

10、們選擇股骨的某個特征量，比如周長來預(yù)測。于是問題識個特征量，比如周長來預(yù)測。于是問題識別為：別為： 預(yù)測作為其股骨周長的函數(shù)的駭鳥的體重。預(yù)測作為其股骨周長的函數(shù)的駭鳥的體重。第二步：假設(shè)和變量第二步：假設(shè)和變量 我們已經(jīng)確定采用我們已經(jīng)確定采用“股骨的周長股骨的周長”預(yù)測駭預(yù)測駭鳥的體重。股骨的周長和體重之間是一個鳥的體重。股骨的周長和體重之間是一個什么樣的函數(shù)關(guān)系呢？什么樣的函數(shù)關(guān)系呢？ 我們假定：駭鳥和當(dāng)今的大鳥是我們假定：駭鳥和當(dāng)今的大鳥是幾何相似幾何相似的。由幾何相似性的假設(shè)，我們得到駭鳥的。由幾何相似性的假設(shè)，我們得到駭鳥的體積和任何特征量的立方的體積和任何特征量的立方成正比成正比

11、：3Vl 如果我們假設(shè)體重密度不變，那么駭鳥如果我們假設(shè)體重密度不變，那么駭鳥的體積和其重量成正比：的體積和其重量成正比： 從而有從而有 由于我們選擇股骨的周長作為特征量，由于我們選擇股骨的周長作為特征量，這就給出了模型：這就給出了模型：VW3VWl3,0Wklk第三步：模型求解第三步：模型求解 由于這個模型比較簡單，所以不存在求由于這個模型比較簡單，所以不存在求解問題。解問題。 但是要注意，在很多問題中常常會發(fā)現(xiàn)但是要注意，在很多問題中常常會發(fā)現(xiàn)完成這一步，我們的準(zhǔn)備還相當(dāng)不夠，完成這一步，我們的準(zhǔn)備還相當(dāng)不夠，或者可能得到一個不能求解或不會解釋或者可能得到一個不能求解或不會解釋的難以處理的

12、模型。遇到這種情況，我的難以處理的模型。遇到這種情況，我們應(yīng)該回到第二步做出另外的簡化假設(shè)，們應(yīng)該回到第二步做出另外的簡化假設(shè)，甚至回到第一步重新定義問題。甚至回到第一步重新定義問題。第四步：模型驗證第四步：模型驗證 我們利用各種鳥的尺寸的數(shù)據(jù)集檢驗?zāi)Ｐ?。我們利用各種鳥的尺寸的數(shù)據(jù)集檢驗?zāi)Ｐ?。這是因為：這是因為：1，我們有各種鳥的尺寸的數(shù)據(jù)，我們有各種鳥的尺寸的數(shù)據(jù)集。集。2，駭鳥是鳥，所以這些數(shù)據(jù)是合適的。，駭鳥是鳥，所以這些數(shù)據(jù)是合適的。 下面是股骨周長和鳥的體重的數(shù)據(jù)和對應(yīng)下面是股骨周長和鳥的體重的數(shù)據(jù)和對應(yīng)的散點圖：的散點圖：股骨周股骨周長長(cm)體重體重(kg) 股骨周股骨周長長(

13、cm)體重體重(kg) 股骨周股骨周長長(cm)體重體重(kg)0.79430.08321.99530.79434.4668 6.30960.70790.09122.23872.51195.8884 11.22021.00000.14132.51191.41256.7608 19.951.12200.14792.51190.891315.136 141.251.69820.24553.16231.995315.85158.4891.20230.28183.54814.2658 散點圖揭示其趨勢是凹向上的增函數(shù)散點圖揭示其趨勢是凹向上的增函數(shù)024681012141602040608010012

14、0140160w對對的圖像：的圖像： 因為我們建議的模型是因為我們建議的模型是畫出畫出w對對的圖像近似得到一條過原點的直線，因此有理的圖像近似得到一條過原點的直線，因此有理由認(rèn)為模型是精確的。由認(rèn)為模型是精確的。3l3,0Wklk3l05001000150020002500300035004000020406080100120140160180 過原點的直線的斜率大約是過原點的直線的斜率大約是0.0398，這，這就給出：就給出： 下圖是對原來的數(shù)據(jù)模型畫圖下圖是對原來的數(shù)據(jù)模型畫圖30.0398Wl024681012141618020406080100120140160180200第五步：模型

15、應(yīng)用第五步：模型應(yīng)用 測量得到駭鳥股骨的周長測量得到駭鳥股骨的周長21cm，應(yīng)用模型，應(yīng)用模型 求得駭鳥體重約為求得駭鳥體重約為368.58公斤公斤30.0398Wl比例性和幾何相似性比例性和幾何相似性 駭鳥尺寸建模問題中，用到了兩個基本的駭鳥尺寸建模問題中，用到了兩個基本的假設(shè)：比例性和幾何相似性。假設(shè)：比例性和幾何相似性。 比例性和幾何相似性是建模過程中常用的比例性和幾何相似性是建模過程中常用的簡化方法簡化方法比例性比例性 定義：兩個變量定義：兩個變量y和和x是成比例的，如果一是成比例的，如果一個變量總是另一個變量的常數(shù)倍，即對于個變量總是另一個變量的常數(shù)倍，即對于某個常數(shù)某個常數(shù)k 我們

16、記為我們記為yxkxy 例如，彈簧的伸長和例如，彈簧的伸長和彈簧末端質(zhì)量的試驗彈簧末端質(zhì)量的試驗中，收集到如下數(shù)據(jù)：中，收集到如下數(shù)據(jù)：e質(zhì)量質(zhì)量50100150200250300伸長伸長1.000 1.875 2.750 3.250 4.375 4.875質(zhì)量質(zhì)量350400450500550伸長伸長5.675 6.500 7.250 8.000 8.750 散點圖展現(xiàn)它是過原點的一條近似直線散點圖展現(xiàn)它是過原點的一條近似直線 擬合得出擬合得出k=0.01625 于是建立估算模型：于是建立估算模型： e=0.01625m 做出散點圖：做出散點圖：關(guān)于比例性的其他例子：關(guān)于比例性的其他例子：2

17、yx當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)21yk xlnyx當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)2lnykxxye當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)3xyk e比例有傳遞性：比例有傳遞性：,yx xz則則yz因此，與同一個變量成比例的所有變量成比例因此，與同一個變量成比例的所有變量成比例著名的比例性的例子：著名的比例性的例子： 虎克定律：虎克定律：F=kS，S是壓縮或拉長的弦長，是壓縮或拉長的弦長，F(xiàn)是恢復(fù)力是恢復(fù)力 牛頓定律：牛頓定律：F=ma，F(xiàn)是合外力，是合外力，a是加速度是加速度 歐姆定律：歐姆定律：V=iR，V是電壓，是電壓，i是電流是電流,R是是電阻電阻 波爾定律：波爾定律：V=k/P，V是常溫下的體積是常溫下的體積,P是是壓強(qiáng)壓強(qiáng) 質(zhì)能

18、方程：質(zhì)能方程：E=mc2，E是能量，是能量，m是質(zhì)量是質(zhì)量 光子能量：光子能量：E=hu，E是能量，是能量，u是頻率是頻率幾何相似性幾何相似性 定義：如果兩個物體各點之間存在著一定義：如果兩個物體各點之間存在著一個一一對應(yīng)，使得對應(yīng)點之間的距離之個一一對應(yīng)，使得對應(yīng)點之間的距離之比對所有可能點對都不變，則稱這兩個比對所有可能點對都不變，則稱這兩個物體是物體是幾何相似幾何相似的。的。 例如：相似三角形之間、圓與圓之間、例如：相似三角形之間、圓與圓之間、球與球之間、飛機(jī)模型和飛機(jī)之間都是球與球之間、飛機(jī)模型和飛機(jī)之間都是是幾何相似的是幾何相似的 總之，幾何相似就是形狀一樣，等比例總之，幾何相似就

19、是形狀一樣，等比例放大（或縮小）放大（或縮?。缀蜗嗨频男再|(zhì)幾何相似的性質(zhì) 類似于相似三角形，一旦兩個物體是幾何類似于相似三角形，一旦兩個物體是幾何相似的，那么對應(yīng)點之間的距離是成比例相似的，那么對應(yīng)點之間的距離是成比例的。的。 一旦規(guī)定了比例因子一旦規(guī)定了比例因子k，可以把表面積和體，可以把表面積和體積的比例性通過某個選定的積的比例性通過某個選定的特征量特征量表示出表示出來。來。 如果選擇長度如果選擇長度l作為特征量，由于作為特征量，由于 由于由于 所以所以對任何兩個幾對任何兩個幾何何相似的物體成立相似的物體成立 即即kll 222llkss 常數(shù)常數(shù) 222lsls2sl3vl例例4特拉法

20、爾戰(zhàn)斗特拉法爾戰(zhàn)斗1805年法國、西班牙聯(lián)軍和英國海軍作戰(zhàn)，年法國、西班牙聯(lián)軍和英國海軍作戰(zhàn)，一開始法西聯(lián)軍有一開始法西聯(lián)軍有33艘戰(zhàn)艦，英國有艘戰(zhàn)艦，英國有27艘戰(zhàn)艘戰(zhàn)艦。在每一次遭遇戰(zhàn)中，每一方的戰(zhàn)艦損失艦。在每一次遭遇戰(zhàn)中，每一方的戰(zhàn)艦損失都是對方戰(zhàn)艦的都是對方戰(zhàn)艦的10%。動力系統(tǒng)模型：動力系統(tǒng)模型：n表示戰(zhàn)斗過程中遭遇戰(zhàn)的階段表示戰(zhàn)斗過程中遭遇戰(zhàn)的階段nB表示第表示第n階段英軍的戰(zhàn)艦數(shù)階段英軍的戰(zhàn)艦數(shù)nF表示第表示第n階段法西聯(lián)軍的戰(zhàn)艦數(shù)階段法西聯(lián)軍的戰(zhàn)艦數(shù) nnnnnnBFFFBB1 . 01 . 011n英英法法12733223.730.3320.6727.93417.87725

21、.863515.290724.0753612.883222.5462710.628521.257988.502820.195196.483219.3448104.548818.6965112.679118.2416經(jīng)過經(jīng)過11次戰(zhàn)斗后，法西聯(lián)次戰(zhàn)斗后，法西聯(lián)軍有軍有18艘戰(zhàn)艦，而英軍有艘戰(zhàn)艦，而英軍有3艘戰(zhàn)艦且至少一艘重傷。艘戰(zhàn)艦且至少一艘重傷。分割并各個擊敗戰(zhàn)略：分割并各個擊敗戰(zhàn)略：法軍法軍33艘戰(zhàn)艦分為艘戰(zhàn)艦分為3個戰(zhàn)斗編組，一字排開：個戰(zhàn)斗編組，一字排開：B=17，A=3，C=13英軍戰(zhàn)略：用英軍戰(zhàn)略：用13艘迎戰(zhàn)法軍艘迎戰(zhàn)法軍A組，另外組，另外14艘備用艘備用然后用戰(zhàn)斗后存留下來的加上

22、備用的迎戰(zhàn)然后用戰(zhàn)斗后存留下來的加上備用的迎戰(zhàn)B組，組，最后所有剩下的迎戰(zhàn)最后所有剩下的迎戰(zhàn)C組。組。加設(shè)每次損失對方戰(zhàn)艦數(shù)的加設(shè)每次損失對方戰(zhàn)艦數(shù)的5%（增加圖解效果），（增加圖解效果），結(jié)果如下：結(jié)果如下：戰(zhàn)斗戰(zhàn)斗An英英法法1133212.852.35312.731.71412.651.07戰(zhàn)斗戰(zhàn)斗Bn英英法法126.647118.0709225.743616.7385324.906615.4513424.134114.2060523.423812.9993622.773811.8281722.182410.6894821.64799.5803921.16898.49791020.744

23、07.43951120.37206.40231220.05195.38371319.78274.38111419.56373.39191519.39412.41381619.27341.4441戰(zhàn)斗戰(zhàn)斗Cn英英法法119.273414.4441218.551213.4804317.877212.5529417.249511.6590516.666610.7965616.12689.9632715.62869.1569815.17078.3754914.75207.61691014.37116.87931114.02726.16071213.71915.45941313.44624.773414

24、13.20754.10111513.00243.44071612.83042.7906利用分割并各個擊敗戰(zhàn)略模型的預(yù)利用分割并各個擊敗戰(zhàn)略模型的預(yù)測結(jié)果與歷史上真正發(fā)生的戰(zhàn)斗結(jié)測結(jié)果與歷史上真正發(fā)生的戰(zhàn)斗結(jié)果類似。果類似。一、概率的定義和概率模型的構(gòu)成一、概率的定義和概率模型的構(gòu)成 假定已經(jīng)確定了樣本空間以及與之相聯(lián)系假定已經(jīng)確定了樣本空間以及與之相聯(lián)系的隨機(jī)試驗，對于每一個事件的隨機(jī)試驗，對于每一個事件A，都有一個，都有一個確定的實數(shù)確定的實數(shù)P(A)與之對應(yīng)，與之對應(yīng)，刻畫它發(fā)生的刻畫它發(fā)生的可能性的大小，稱為可能性的大小，稱為概率概率。 概率是定義在事件（或集合）上的函數(shù)概率是定義在事件

25、（或集合）上的函數(shù)（通常稱為測度）（通常稱為測度） 必須滿足下面的幾條公理：必須滿足下面的幾條公理： )(),(xfAP (1)（非負(fù)性）對一切事件（非負(fù)性）對一切事件A，滿足，滿足 (2)（可加性）設(shè)（可加性）設(shè)A和和B是兩個互不相容的事是兩個互不相容的事件件(互不相交的集合互不相交的集合)，則他們的并滿足，則他們的并滿足更一般的，若更一般的，若是一個互不相容的事是一個互不相容的事件序列，則他們的并滿足件序列，則他們的并滿足 (3)（歸一性）整個樣本空間（歸一性）整個樣本空間（必然事件）（必然事件）的概率為的概率為1:)()()(BPAPBAP,.,21AA.)()(.)(2121 APAP

26、AAP1)( P0)(AP概率模型的構(gòu)成：概率模型的構(gòu)成： 樣本空間樣本空間：這是一個實驗的所有可能結(jié)果的集合；：這是一個實驗的所有可能結(jié)果的集合； 概率概率：為實驗結(jié)果的集合：為實驗結(jié)果的集合A（稱之為（稱之為事件事件）確定一）確定一個個非負(fù)數(shù)非負(fù)數(shù)P(A)(稱為事件稱為事件A的的概率概率)。這個非負(fù)數(shù)刻畫了我。這個非負(fù)數(shù)刻畫了我們對事件們對事件A的認(rèn)識或所產(chǎn)生的信念的程度。概率必須的認(rèn)識或所產(chǎn)生的信念的程度。概率必須滿足三條公理。滿足三條公理。隨機(jī)試驗隨機(jī)試驗事件事件A事件事件B事件事件AB)(AP)(BP概率概率樣本空間樣本空間（可能結(jié)果的集合）（可能結(jié)果的集合）概率與頻率概率與頻率 概

27、率的更具體、更直觀的解釋是頻率。概率的更具體、更直觀的解釋是頻率。 比如比如P(A)=2/3,表示在大量重復(fù)試驗中事件表示在大量重復(fù)試驗中事件A出現(xiàn)的頻率大約是出現(xiàn)的頻率大約是2/3. 實際應(yīng)用中，可以用頻率估算概率實際應(yīng)用中，可以用頻率估算概率 例：在某本書中，一頁內(nèi)出現(xiàn)錯誤的次數(shù)例：在某本書中，一頁內(nèi)出現(xiàn)錯誤的次數(shù)為為X，數(shù)據(jù)如下：，數(shù)據(jù)如下：錯誤出現(xiàn)的錯誤出現(xiàn)的次數(shù)次數(shù)k0123456出現(xiàn)錯誤的出現(xiàn)錯誤的頁數(shù)頁數(shù)nk75 90 54 22 621=250 于是我們計算出頻率，以估算概率：于是我們計算出頻率，以估算概率：錯誤出現(xiàn)錯誤出現(xiàn)的次數(shù)的次數(shù)k0123456頻率頻率250752509

28、02505425022250625022501概率的性質(zhì)概率的性質(zhì) 概率的很多重要性質(zhì)沒有包含在公理系統(tǒng)中，概率的很多重要性質(zhì)沒有包含在公理系統(tǒng)中，因為它們可以從公理系統(tǒng)中推導(dǎo)出來。因為它們可以從公理系統(tǒng)中推導(dǎo)出來。 例如：例如：)(1)(APAP )()()(ABPAPBAP )()()()(BAPBPAPBAP )(CBAP)()()(CBPCAPBAP )(CBAP )()()(CPBPAP )()()()(CBAPBAPAPCBAP *一般情況，設(shè)一般情況，設(shè)是任意是任意n個事件個事件,記記 其中其中是個和式，每一項是從是個和式，每一項是從n個個事件中選取事件中選取k個事件的交集的概率

29、。個事件的交集的概率。nAAA,21)()()(211nAPAPAPs )()()(131212nnAAPAAPAAPs )()(121nknkkAAPAAAPs )(21nnAAAPs )1(nksk nnnssssAAAP132121)1()( 例例1給擲一枚硬幣的試驗建立概率模型。給擲一枚硬幣的試驗建立概率模型。 解：擲一枚硬幣，有兩個可能的結(jié)果：正解：擲一枚硬幣，有兩個可能的結(jié)果：正面和反面。若用面和反面。若用表示正面，表示正面，表示反面，表示反面，則樣本空間為：則樣本空間為： 事件為：事件為： 根據(jù)定義和性質(zhì)，得到根據(jù)定義和性質(zhì)，得到概率建模實例：概率建模實例：1 2 ,21 ,21

30、21 0)(, 1),(21 PP 如果硬幣是均勻的，正面和反面出現(xiàn)的機(jī)如果硬幣是均勻的，正面和反面出現(xiàn)的機(jī)會相同，于是會相同，于是 由可加性和歸一性知由可加性和歸一性知 由此可得：由此可得： 于是概率為于是概率為 顯然，這樣建立的概率滿足三條公理。顯然，這樣建立的概率滿足三條公理。1)()(),(2121 PPP, 5 . 0)(, 5 . 0)(21 PP)()(21 PP 0)(, 5 . 0)(, 5 . 0)(, 1),(2121 PPPP 例例2為依次拋擲三枚硬幣的試驗建立概率模型。為依次拋擲三枚硬幣的試驗建立概率模型。 解解用用“1”表示正面向上，表示正面向上，“0”表示反面向上

31、，表示反面向上，樣本空間為：樣本空間為： (1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0) 如果上述如果上述8種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，根據(jù)可種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，根據(jù)可加性和歸一性，每個結(jié)果的概率為加性和歸一性，每個結(jié)果的概率為1/8. 現(xiàn)利用三條公理建立概率：現(xiàn)利用三條公理建立概率： 例如事件例如事件A表示表示“只有一次正面向上只有一次正面向上”，則，則 A=(1,0,0), (0,1,0

32、), (0,0,1)， 于是于是 P(A)=P(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) = P(1,0,0)+P(0,1,0)+P(0,0,1) 相似的，任何事件的概率等于相似的，任何事件的概率等于1/8乘上該事乘上該事件中包含的結(jié)果的個數(shù)。件中包含的結(jié)果的個數(shù)。818181 83 補(bǔ)充：補(bǔ)充：有一枚骰子，偶數(shù)邊出現(xiàn)的概率比奇有一枚骰子，偶數(shù)邊出現(xiàn)的概率比奇數(shù)邊出現(xiàn)的概率大一倍，而不同偶數(shù)邊出現(xiàn)的數(shù)邊出現(xiàn)的概率大一倍，而不同偶數(shù)邊出現(xiàn)的概率相同，不同奇數(shù)邊出現(xiàn)的的概率也相同。概率相同，不同奇數(shù)邊出現(xiàn)的的概率也相同。將這枚骰子投擲一次，為這個試驗建立概率模將這枚骰子投擲一次，為這個試驗

33、建立概率模型，并求點數(shù)小于型，并求點數(shù)小于4的概率。的概率。 解解設(shè)設(shè)Ai表示表示“出現(xiàn)出現(xiàn)i點點”,i=1,2，.，6， 則樣本空間為則樣本空間為 根據(jù)可加性和歸一性，有根據(jù)可加性和歸一性，有 又根據(jù)題意，又根據(jù)題意，,.,621AAA 1)(.)()(621 APAPAP)()()(531APAPAP )()()(642APAPAP 得出得出 點數(shù)小于點數(shù)小于4的概率為：的概率為： )()()(642APAPAP)()()(2531APAPAP ,91)()()(531 APAPAP92)()()(642 APAPAP94)()()(321 APAPAP 例例3若若A發(fā)生的概率為發(fā)生的概率

34、為0.6,A與與B都發(fā)生的概都發(fā)生的概率為率為0.1,A與與B都不發(fā)生的概率為都不發(fā)生的概率為0.15，求，求(1)A發(fā)生但發(fā)生但B不發(fā)生的概率不發(fā)生的概率;(2)B發(fā)生但發(fā)生但A不發(fā)不發(fā)生的概率生的概率;(3)A與與B至少有一個發(fā)生的概率。至少有一個發(fā)生的概率。 解：樣本空間可以用下面四個結(jié)果表示解：樣本空間可以用下面四個結(jié)果表示AABBABBABABA ,BABABAAB 由由A發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為0.6，得：，得： A與與B都發(fā)生的概率為都發(fā)生的概率為0.1，得：，得： A與與B都不發(fā)生的概率為都不發(fā)生的概率為0.15，得：，得： 結(jié)合歸一化公式：結(jié)合歸一化公式： 得到：得到：, 6

35、 . 0)()( BAPABP, 1 . 0)( ABP,15. 0)( BAP1)()()()( BAPBAPBAPBAP1 . 0)( ABP5 . 0)( BAP25. 0)( BAP15. 0)( BAP 于是：于是：（1）A發(fā)生發(fā)生B不發(fā)生的概率為：不發(fā)生的概率為：（2）B發(fā)生發(fā)生A不發(fā)生的概率為：不發(fā)生的概率為：（3）A與與B至少有一個發(fā)生的概率為：至少有一個發(fā)生的概率為：5 . 0)( BAP25. 0)( BAP85. 0)( BAP )(BAP )(BAP二、生活中的概率模型二、生活中的概率模型 1、男女問題（兩孩）、男女問題（兩孩） 2、打牌中的問題、打牌中的問題 3、假陽

36、性之謎、假陽性之謎 4、三門問題、三門問題 5、賭徒破產(chǎn)問題、賭徒破產(chǎn)問題 例例1中國的計劃生育政策使很多家庭只能有中國的計劃生育政策使很多家庭只能有一個小孩，部分家庭可以由兩個小孩。在一個小孩，部分家庭可以由兩個小孩。在有兩個小孩的家庭中，男孩女孩各一個比有兩個小孩的家庭中，男孩女孩各一個比例非常大。請用概率的方法解釋一下這種例非常大。請用概率的方法解釋一下這種現(xiàn)象。現(xiàn)象。 解：男孩用解：男孩用B表示，女孩用表示，女孩用G表示，樣本空表示，樣本空間為間為BB, BBB, BG, GB, GG 由于由于每種情況的可能性相等，故一男一女的概率每種情況的可能性相等，故一男一女的概率為為0.5; 而

37、兩個男孩或兩個女孩的概率都是而兩個男孩或兩個女孩的概率都是0.25 例例2在用兩副牌在用兩副牌“打升級打升級”的比賽中，如果的比賽中，如果某人拿了底牌后手中有紅心某人拿了底牌后手中有紅心“對對k”，但沒，但沒有紅心有紅心A。問其余三個人甲、乙、丙中，手。問其余三個人甲、乙、丙中，手中有紅心中有紅心“對對A”的可能性有多大？的可能性有多大？ 解解兩副牌一共兩副牌一共108張，其余三人一共有張，其余三人一共有75張牌，張牌， 所以基本事件的總數(shù)為所以基本事件的總數(shù)為 甲拿紅心甲拿紅心“對對k”的基本事件數(shù)：的基本事件數(shù)： 而甲、乙、丙拿紅心而甲、乙、丙拿紅心“對對k”是互不相容的是互不相容的三個事

38、件，且可能性相同，因此所求概率三個事件，且可能性相同，因此所求概率為：為：!25!25!25!75 !25!25!23!73 !25!25!23!75!25!25!23!733 7424 31 例例3（假陽性之謎）設(shè)對于某種少見的疾?。訇栃灾i）設(shè)對于某種少見的疾病的檢出率為的檢出率為0.95：如果一個被檢驗的人有：如果一個被檢驗的人有某種疾病，其檢驗結(jié)果為陽性的概率為某種疾病，其檢驗結(jié)果為陽性的概率為0.95,如果該人沒有這種疾病，其檢驗結(jié)果如果該人沒有這種疾病，其檢驗結(jié)果為陰性的概率為為陰性的概率為0.95.現(xiàn)假定某一人群中患現(xiàn)假定某一人群中患有這種病的概率為有這種病的概率為0.001，

39、并從這個樣本中，并從這個樣本中隨機(jī)抽取一個人進(jìn)行檢驗，檢查結(jié)果為陽隨機(jī)抽取一個人進(jìn)行檢驗，檢查結(jié)果為陽性?，F(xiàn)在問這個人患有這種病的概率有多性?，F(xiàn)在問這個人患有這種病的概率有多大？大？ 解：設(shè)解：設(shè)A=“患有這種疾病患有這種疾病”， B=“經(jīng)檢驗此人為陽性經(jīng)檢驗此人為陽性”， 利用貝葉斯推斷：利用貝葉斯推斷： 盡管檢驗方法很精確，一個經(jīng)檢測為陽性盡管檢驗方法很精確，一個經(jīng)檢測為陽性的人仍然不大可能真正患有這種病。的人仍然不大可能真正患有這種病。 然而多數(shù)人不知道正確答案，大部分人認(rèn)然而多數(shù)人不知道正確答案，大部分人認(rèn)為這種情況患病概率為為這種情況患病概率為95%)|()()|()()|()()|

40、(ABPAPABPAPABPAPBAP05. 0999. 095. 0001. 095. 0001. 0 0187. 0 你站在你站在3個封閉的門前，其中一個門的門后個封閉的門前，其中一個門的門后有一個獎品。當(dāng)然，獎品在哪個門后是完有一個獎品。當(dāng)然，獎品在哪個門后是完全隨機(jī)的。當(dāng)你選定一個門以后，你的朋全隨機(jī)的。當(dāng)你選定一個門以后，你的朋友打開其余兩扇門中的一扇空門，顯示門友打開其余兩扇門中的一扇空門，顯示門后沒有獎品。此時你可以有兩種選擇：保后沒有獎品。此時你可以有兩種選擇：保持原來的選擇或改選另一扇沒有被打開的持原來的選擇或改選另一扇沒有被打開的門。當(dāng)你做出最后選擇以后，打開的門后門。當(dāng)你

41、做出最后選擇以后，打開的門后有獎品，這個獎品就歸你的了。現(xiàn)在有有獎品，這個獎品就歸你的了。現(xiàn)在有3種種策略：策略：例例4(三門問題三門問題) （a）堅持原來的選擇；）堅持原來的選擇； （b）改選另一扇沒有被打開的門；）改選另一扇沒有被打開的門； （c）你首先選擇）你首先選擇1號門，當(dāng)你的朋友打開號門，當(dāng)你的朋友打開2號空門，你不改變主意。當(dāng)你的朋友打開號空門，你不改變主意。當(dāng)你的朋友打開的是的是3號空門，你改變主意，選擇號空門，你改變主意，選擇2號門。號門。 最好的策略是什么呢？最好的策略是什么呢？ 現(xiàn)在計算在各種策略下贏得獎品的概率：現(xiàn)在計算在各種策略下贏得獎品的概率： 在策略在策略(a)之

42、下，你的初始選擇會決定你的之下，你的初始選擇會決定你的輸贏。由于獎品的位置是隨機(jī)確定的，得輸贏。由于獎品的位置是隨機(jī)確定的，得獎的概率是獎的概率是1/3 在策略在策略(b)之下，如果獎品的位置在原來指之下，如果獎品的位置在原來指定的門后（概率為定的門后（概率為1/3)，由于改變了主意，由于改變了主意，因而失去了獲獎的機(jī)會。如果獎品不在你因而失去了獲獎的機(jī)會。如果獎品不在你原來指定的門后（概率為原來指定的門后（概率為2/3),而你的朋友而你的朋友又將沒有獎品的那一扇門打開，當(dāng)你改變又將沒有獎品的那一扇門打開，當(dāng)你改變選擇時，改變選擇后所指定的門后一定有選擇時，改變選擇后所指定的門后一定有獎品。所

43、以獲獎的概率為獎品。所以獲獎的概率為2/3.(b)比比(a)好。好。 在策略在策略(c)下，由于提供的信息不夠充分，下，由于提供的信息不夠充分，還不能確定贏得獎品的概率。答案依賴于還不能確定贏得獎品的概率。答案依賴于朋友打開空門的方式。先討論兩種情況：朋友打開空門的方式。先討論兩種情況： 第一種情況：當(dāng)獎品的位置在第一種情況：當(dāng)獎品的位置在1號門后，假號門后，假定你的朋友總是打開定你的朋友總是打開2號空門（當(dāng)獎品在號空門（當(dāng)獎品在2號或號或3號門后時，你朋友沒有選擇的余地）號門后時，你朋友沒有選擇的余地） 如果獎品在如果獎品在1號門后號門后(概率概率1/3),朋友打開朋友打開2號號門，你不改變

44、主意，得到獎品。門，你不改變主意，得到獎品。 如果獎品在如果獎品在2號門后號門后(概率概率1/3),朋友打開朋友打開3號號空門，你改變主意，得到獎品?？臻T，你改變主意，得到獎品。 如果獎品在如果獎品在3號門后號門后(概率概率1/3),朋友打開朋友打開2號號空門，你不改變主意，失去獎品?？臻T，你不改變主意，失去獎品。 這樣，獲獎機(jī)會是這樣，獲獎機(jī)會是2/3. 第二種情況：第二種情況： 假定獎品在假定獎品在1號門，朋友隨機(jī)打開號門，朋友隨機(jī)打開2號號門或門或3號門（概率各為號門（概率各為1/2)， 如果獎品在如果獎品在1號門后號門后(概率概率1/3),當(dāng)朋友當(dāng)朋友打開打開2號門時，按照策略號門時，

45、按照策略(c),不改變主不改變主意，得到獎品意，得到獎品(概率概率1/6)。但是若朋友。但是若朋友打開打開3號門，此時你改變主意，失去了號門，此時你改變主意，失去了得獎機(jī)會。得獎機(jī)會。 如果獎品在如果獎品在2號門后號門后(概率概率1/3),朋友將打朋友將打開開3號空門，按照策略改變主意，贏得號空門，按照策略改變主意，贏得獎品。獎品。 如果獎品在如果獎品在3號門后號門后(概率概率1/3),朋友將打朋友將打開開2號空門，按照策略不改變主意，失號空門，按照策略不改變主意，失去獎品。去獎品。 綜合來看，贏得獎品的概率為綜合來看，贏得獎品的概率為1/6+1/3=1/2, 此時，策略此時，策略(b)比策略

46、比策略(c)差。差。 例例5(賭徒破產(chǎn)問題賭徒破產(chǎn)問題)一個賭徒進(jìn)行一系列相一個賭徒進(jìn)行一系列相互獨(dú)立的押注活動，每次押注，他以概率互獨(dú)立的押注活動，每次押注，他以概率p贏贏1元錢，以概率元錢，以概率1-p輸輸1元錢。開始押注時元錢。開始押注時他有他有k元錢，當(dāng)他輸光錢的時候，或他的累元錢，當(dāng)他輸光錢的時候，或他的累計錢數(shù)為計錢數(shù)為n元的時候，他就停止押注。問他元的時候，他就停止押注。問他以累計錢數(shù)為以累計錢數(shù)為n元而停止押注的概率有多大元而停止押注的概率有多大 解解事件事件A表示累計錢數(shù)為表示累計錢數(shù)為n元而停止押注，元而停止押注， 事件事件F表示第一次押注贏得表示第一次押注贏得1元錢，元錢

47、， wk表示他開始的時候有表示他開始的時候有k元錢的條件下元錢的條件下事件事件A發(fā)生的概率，發(fā)生的概率， 利用全概率公式，有：利用全概率公式，有： 利用過去押注結(jié)果和以后的押注結(jié)果是相利用過去押注結(jié)果和以后的押注結(jié)果是相互獨(dú)立的，第一次押注贏得互獨(dú)立的，第一次押注贏得1元錢，故元錢，故 類似的類似的 這樣我們得到這樣我們得到 這個結(jié)果可以寫成這個結(jié)果可以寫成 其中其中 利用這個遞推公式和邊界條件利用這個遞推公式和邊界條件 可以解得可以解得)()|()()|(FPFAPFPFAPwk ),|()|(FAqPFApP pqnk 1,0,)|(1 kwFAP,)|(1 kwFAPnkqwpwwkkk

48、 0 ,11nkwwrwwkkkk 0),(11pqr 1, 00 nww:1 kw11wrwwkkk 從而得到：從而得到： 上面的和可以分成上面的和可以分成r=1 (p=q)和和r1(pq)兩兩種情況計算出來，得到：種情況計算出來，得到： 由于由于利用上式得到利用上式得到11wrwwkkk 1111wrwrwkkk 111wrrwwk ,11 11qpkwqpwrrwkk若若若若1 nw:1w 從而從而 下面是下面是n=100時，不同的時，不同的r對應(yīng)的對應(yīng)的w和和k的關(guān)的關(guān)系圖：系圖： ,1,11 1qpnqprrwn若若若若 ,11 qpnkqprrwnkk若若若若01020304050

49、6070809010000.10.20.30.40.50.60.70.80.91r=0.5r=0.93r=0.98r=1r=1.02r=1.05r=1.5當(dāng)當(dāng)rq 時，隨著時，隨著k的增加的增加wk很快接近很快接近1，當(dāng)當(dāng)r1,即即p2.042例例4：已知某種化學(xué)反應(yīng)的溫度服從正態(tài)分布，今隨機(jī)已知某種化學(xué)反應(yīng)的溫度服從正態(tài)分布，今隨機(jī)測量了測量了6個溫度值如下：個溫度值如下：31.87,30.00,31.03,32.50，31.64,29.66(單位單位 )C0問：能否認(rèn)為這種化學(xué)反應(yīng)的平均溫度為問：能否認(rèn)為這種化學(xué)反應(yīng)的平均溫度為C0532.？解解：5 .32:5 .32:10 HH選取統(tǒng)計

50、量選取統(tǒng)計量)5(6/5 .32tSXT (=0.01)對對=0.01查表得臨界值查表得臨界值032. 4)5()5(01. 0 tt 計算計算032. 405. 3 t接受接受H0可以認(rèn)為這種化學(xué)反應(yīng)的平均溫度為可以認(rèn)為這種化學(xué)反應(yīng)的平均溫度為C05 .32四、分布擬合問題和分布檢驗四、分布擬合問題和分布檢驗 1、matlab畫密度函數(shù)圖像畫密度函數(shù)圖像 2、matlab畫直方圖畫直方圖 3、直方圖與密度函數(shù)疊加問題、直方圖與密度函數(shù)疊加問題 4、分布檢驗問題、分布檢驗問題1、matlab畫密度函數(shù)圖像畫密度函數(shù)圖像正態(tài)分布正態(tài)分布norm指數(shù)分布指數(shù)分布expt分布分布t波松分布波松分布p

51、oiss二項分布二項分布bino分布分布beta威布爾分布威布爾分布weib卡方分布卡方分布chi2F分布分布F常見的幾種分布的命令字符為：常見的幾種分布的命令字符為：每一種分布都提供五類函數(shù)，其命令字符為：每一種分布都提供五類函數(shù)，其命令字符為：概率密度概率密度pdf概率分布概率分布cdf逆概率分布逆概率分布inv均值與方差均值與方差stat隨機(jī)數(shù)生成隨機(jī)數(shù)生成rnd 將以上所列的分布命令字符與函數(shù)命令字符接起來，并輸將以上所列的分布命令字符與函數(shù)命令字符接起來，并輸入自變量（可以是標(biāo)量、數(shù)組或矩陣）和參數(shù)即可求出對應(yīng)入自變量（可以是標(biāo)量、數(shù)組或矩陣）和參數(shù)即可求出對應(yīng)數(shù)值。數(shù)值。1、對均值

52、為、對均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為、標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布，的正態(tài)分布，x=3時的密度函數(shù)值：時的密度函數(shù)值： normpdf(3,0,1)2、均值為、均值為1、標(biāo)準(zhǔn)差為、標(biāo)準(zhǔn)差為2的正態(tài)分布，的正態(tài)分布，x=2時的分布函數(shù)值：時的分布函數(shù)值：normcdf(2,1,2)3、均值為、均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為、標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布，的正態(tài)分布，=0.05時的上測臨界值值：時的上測臨界值值： norminv(0.95,0,1)4、參數(shù)為、參數(shù)為50,0.33的二項分布的均值與方差：的二項分布的均值與方差：m,v=binostat(50,0.33)5、隨機(jī)數(shù)生成：、隨機(jī)數(shù)生成：normrnd(mu,sigma,m,n

53、) 產(chǎn)生產(chǎn)生mn階的正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)矩陣階的正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)矩陣. 此命令產(chǎn)生了此命令產(chǎn)生了23的正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)矩陣，各數(shù)的正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)矩陣，各數(shù)分別服從分別服從 N(1,0.12), N(2,22), N(3, 32), N(4,0.12), N(5, 22),N(6, 32)例例命令：命令：M=normrnd(123;456,0.1,2,3)結(jié)果為：結(jié)果為：M=0.95672.01252.88543.83345.02886.1191-6-4-2024600.020.040.060.080.10.120.140.160.180.2 例例1畫出正態(tài)分布畫出正態(tài)分布N(0,2)的概率密度函數(shù)的概率

54、密度函數(shù)圖形圖形. 在在Matlab中輸入以下命令：中輸入以下命令：x=-6:0.01:6; y=normpdf(x,0,2);plot(x,y) 例例2畫出參數(shù)為畫出參數(shù)為2的泊松分布的分布列：的泊松分布的分布列： 在在Matlab中輸入以下命令：中輸入以下命令：x=0:5; y=poisspdf(x,2);bar(x,y)01234500.050.10.150.20.250.30.352、matlab畫直方圖畫直方圖 1、給定數(shù)據(jù)、給定數(shù)據(jù)data的頻數(shù)表的命令為：的頻數(shù)表的命令為： N,X=hist(data,k) 此命令將區(qū)間此命令將區(qū)間min(data),max(data)分為分為k

55、個小區(qū)間（缺省為個小區(qū)間（缺省為10），返回數(shù)矩），返回數(shù)矩data落落在每一個小區(qū)間的頻數(shù)在每一個小區(qū)間的頻數(shù)N和每一個小區(qū)間的和每一個小區(qū)間的中點中點X. 描繪數(shù)據(jù)描繪數(shù)據(jù)data的頻數(shù)直方圖的命令為：的頻數(shù)直方圖的命令為： hist(data,k)0200400600800100012000510152025 例例 data=459 362 624 542 509 584 433 748 815 505 . 612 452 434 982 640 742 565 706 593 680 . 926 653 164 487 734 608 428 1153 593 844 . 527 55

56、2 513 781 474 388 824 538 862 659 . 775 859 755 49 697 515 628 954 771 609 . 402 960 885 610 292 837 473 677 358 638 . 699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120 . 447 654 564 339 280 246 687 539 790 581 . 621 724 531 512 577 496 468 499 544 645 . 764 558 378 765 666 763 217 715 310 851; hist(data)3、直方

57、圖與密度函數(shù)疊加問題、直方圖與密度函數(shù)疊加問題 假定做直方圖時，分割的區(qū)間長度是假定做直方圖時，分割的區(qū)間長度是d 一方面，區(qū)間上的概率可以用頻率表示：一方面，區(qū)間上的概率可以用頻率表示： 另一方面，區(qū)間上的概率可以用密度函數(shù)另一方面，區(qū)間上的概率可以用密度函數(shù)表示：表示：nnfpiii dxfdxxfpidxxiii)()( 兩者相等，得到兩者相等，得到 即即 結(jié)論：頻率除以分割區(qū)間的長度后，才能結(jié)論：頻率除以分割區(qū)間的長度后，才能與密度函數(shù)圖疊加。與密度函數(shù)圖疊加。iifdxf )()(iixfdf 上例中，在上例中，在matlab中輸入以下命令：中輸入以下命令： n,x=hist(dat

58、a);%計算頻數(shù)及區(qū)間中點值計算頻數(shù)及區(qū)間中點值 h=max(data)-min(data);%計算極差計算極差 d=h/10;%計算區(qū)間長度計算區(qū)間長度 f=n/sum(n);%計算頻率計算頻率 f1=f/d;%頻率除以每個分割區(qū)間的長度頻率除以每個分割區(qū)間的長度 bar(x,f1)%畫出頻率的柱狀圖畫出頻率的柱狀圖 Holdon u=mean(data);v=std(data);%計算期望方差計算期望方差 x1=min(data):0.1:max(data); y=normpdf(x1,u,v); plot(x1,y,r)%疊加正態(tài)分布密度函數(shù)疊加正態(tài)分布密度函數(shù)0200400600800

59、1000120000.511.522.5x 10-3作圖程序： plot24、分布檢驗問題、分布檢驗問題1. 卡方檢驗卡方檢驗2. 正態(tài)性檢驗的W法（Shapiro-wilk法）、D法（Kolmogorov-Smirnov法）第一節(jié)第一節(jié) 擬合優(yōu)度檢驗擬合優(yōu)度檢驗的原理與計算步驟的原理與計算步驟1. 原理原理 判斷樣本觀察頻數(shù)（判斷樣本觀察頻數(shù)（Observed frequency）與理論與理論(期望期望)頻數(shù)（頻數(shù)（Expected frequency ）之差）之差是否由抽樣誤差所引起。是否由抽樣誤差所引起。 數(shù)據(jù)格式與計算公式221(),1kiiPiiOEkaEa 為參數(shù)的個數(shù)注意：理論頻

60、數(shù)注意：理論頻數(shù)Ei不宜不宜過?。ㄈ绮恍∮谶^?。ㄈ绮恍∮?），否），否則需要合并組段！則需要合并組段！注意：理論頻數(shù)不宜過小，否則需要合并注意：理論頻數(shù)不宜過小，否則需要合并2. 計算步驟計算步驟2/) 12/(2222)2/(21)(ef3.847.8112.59P P0.050.05的臨界值的臨界值2分布分布（chi-squaredistribution）卡方分布下的檢驗水準(zhǔn)及其臨界值卡方分布下的檢驗水準(zhǔn)及其臨界值第二節(jié)第二節(jié)離散型隨機(jī)變量分布的離散型隨機(jī)變量分布的擬合優(yōu)度檢驗擬合優(yōu)度檢驗一、二項分布的擬合優(yōu)度檢驗一、二項分布的擬合優(yōu)度檢驗二、二、Poisson分布的擬合優(yōu)度檢驗分布的擬合