【醫(yī)用物理學(xué)課件】振動和波

1、181 振動振動82 振動的合成和分解振動的合成和分解83 簡諧波簡諧波84 波的干涉波的干涉2 振動依機(jī)理不同區(qū)分為機(jī)械振動、電磁振動，但描述和振動依機(jī)理不同區(qū)分為機(jī)械振動、電磁振動，但描述和研究方法相同。本章通過討論機(jī)械振動認(rèn)識其共性。研究方法相同。本章通過討論機(jī)械振動認(rèn)識其共性。 廣義而言：指任一物理量廣義而言：指任一物理量( (如位移、電流等如位移、電流等) )在某一數(shù)值在某一數(shù)值 附近反復(fù)變化。附近反復(fù)變化。 振動類型振動類型狹狹義的振動：義的振動：指物體在其平衡位置附近的往復(fù)運動。指物體在其平衡位置附近的往復(fù)運動。受迫振動受迫振動自由振動自由振動阻尼振動阻尼振動振動是一種重要的運動

2、形式。振動是一種重要的運動形式。本章重點：本章重點：振動方程和波動方程振動方程和波動方程1.簡諧振動簡諧振動是某些實際振動的近似是某些實際振動的近似2.簡諧振動簡諧振動可用來研究復(fù)雜振動可用來研究復(fù)雜振動3一、一、簡諧振動簡諧振動方程方程2220d ssdtFks kasm2km令：222d ssdt cos()sAt微分形式微分形式余弦形式余弦形式物理量物理量sin()dsvAtdt 222cos()d saAtdt 方程的解方程的解標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程FmaOA+Ams以彈簧振子為例以彈簧振子為例2as 則 ：42km因為，所以有/k mcos()cos ()cos()AtAtTAtT2T2T

3、，即 特征量特征量結(jié)合結(jié)合 來說明簡諧振動各特征量的物理意義來說明簡諧振動各特征量的物理意義cos()sAt 1. 振幅：振幅：A 2. 周期、頻率、角頻率周期、頻率、角頻率 T f 3. 相位、初相位、相位差相位、初相位、相位差 t22112121()()()()ttt由余弦函數(shù)的周期為由余弦函數(shù)的周期為2得得12T2ff ，而T2m/k1/2fk m50scosA0sinvA cos()sAt 如果振動系統(tǒng)的如果振動系統(tǒng)的k k 和和m m 以及初始條件即以及初始條件即t t0 0時振子的坐時振子的坐標(biāo)標(biāo)s0s0和速度和速度v0v0，就可以完全確定這一簡諧振動。，就可以完全確定這一簡諧振動

4、。22002svA00arctan()vs將初始條件將初始條件t t0)0)代入方程代入方程: :聯(lián)立求解可得聯(lián)立求解可得: :sin()dsvAtdt 即即二、二、簡諧振動簡諧振動方程的建立方程的建立6簡諧振動的描述方法簡諧振動的描述方法cos()sAt解析解析式式曲線法曲線法 st旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法復(fù)數(shù)法復(fù)數(shù)法i()iettsAAe iAA e復(fù)振幅復(fù)振幅7解析式解析式cos( )sAtdcos( )d2sAttv222dcos( )dsaAtt振動曲線振動曲線sot 0- = /2 A-A = 0omx0 = AxA(伸長量伸長量)om0 x0 AxAoms0 = 0sAst曲線曲線8

5、cos()sAtNOBAPt=tt=0P0t+s sC 簡諧振動的矢量表簡諧振動的矢量表示法示法4.4.在在x x軸上的投影軸上的投影三、簡諧振動的矢量圖示法三、簡諧振動的矢量圖示法1.1.取取osos軸；軸；2.2.自自o o作矢量作矢量3.3.以以沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)矢量，沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)矢量，A長度振幅( ,夾角初相t t時刻：時刻：tN點的速度點的速度sin()vAt 初始條件初始條件所在象限所在象限初相位初相位0000ssss，v0，v0，v0第一第一象限象限第二象限第二象限第三象限第三象限第四象限第四象限(0 )2()2()2()2， ，0討論：討論：9abcdeabcsstde 旋轉(zhuǎn)

6、矢量圖及簡諧振動旋轉(zhuǎn)矢量圖及簡諧振動s-t圖圖軸上：軸上：1sAA2（ ），v=0，a=-20sA（ ），v=-，a=0sAA 2（3），v=0，a=0sA（4），v=，a=010例題例題. . 質(zhì)點作諧振動，初位置在質(zhì)點作諧振動，初位置在(-A/2)(-A/2)處正朝處正朝- -s方向運動，方向運動，振動周期振動周期2s，求：初相和回到平衡位置的最短時間？求：初相和回到平衡位置的最短時間？解：解：用旋轉(zhuǎn)矢量法用旋轉(zhuǎn)矢量法？2/A定出初相定出初相23回到平衡位置，振幅回到平衡位置，振幅矢量至少再轉(zhuǎn)過矢量至少再轉(zhuǎn)過65 所以需時：所以需時：s6522652 Tt矢量圖示法用于計算，其特點是：直觀

7、、簡便。矢量圖示法用于計算，其特點是：直觀、簡便。o o11212PEkssin()vAt 2221122kPEEEmAkA簡諧振動總的能量是不變的，并且與振幅和頻率的平方成正比。簡諧振動總的能量是不變的，并且與振幅和頻率的平方成正比。cos()sAt221cos ()2kAt22221cos ()2kmAtm212kEmv2221sin ()2mAt12sin()vAt cos()sAt在在t=0時刻，位移時刻，位移 0.1m，速度，速度 =2ms-1。求：。求：1位移位移表達(dá)式；表達(dá)式；2加速度表達(dá)式；加速度表達(dá)式；3振動的總能量。振動的總能量。解解: :0.1cosA4A =0.141m

8、， 0.141cos(20)4st2cos()558cos(20)4aAtt 2213.94(J)2EmA代數(shù)據(jù)得代數(shù)據(jù)得2210sinA f質(zhì)量為質(zhì)量為0.1kg的質(zhì)點作簡諧振動，頻率的質(zhì)點作簡諧振動，頻率 10Hz，0s0v(2)f131.1.阻尼振動阻尼振動：振幅隨時間減小的振動。：振幅隨時間減小的振動。ts0 阻尼振動阻尼振動2.受迫振動：受迫振動：振動系統(tǒng)在周期性外振動系統(tǒng)在周期性外力持續(xù)下發(fā)生的振動。力持續(xù)下發(fā)生的振動。3.3.共振：共振：在受迫振動中，當(dāng)周期性在受迫振動中，當(dāng)周期性的外力的頻率接近系統(tǒng)固有的頻率的外力的頻率接近系統(tǒng)固有的頻率時，振動的振幅急劇加大。時，振動的振幅急

9、劇加大。14cos(5/6)vt得0.2sin(5/6)xt沿著沿著x軸振動。求：軸振動。求：1t=0時，作用于質(zhì)點的力的大??；時，作用于質(zhì)點的力的大小；2作用于質(zhì)點的力的最大值和此時的質(zhì)點的位置。作用于質(zhì)點的力的最大值和此時的質(zhì)點的位置。解解: :1 5sin2.56FmaNN x0.2m此時 ，即質(zhì)點在位移最大處受到的力最大。0.2sin(5/6)()xtSI 質(zhì)量為質(zhì)量為1kg的質(zhì)點，按方程的質(zhì)點，按方程由振動方程由振動方程5sin(5/6)at 1t=0時，時，sin(5)16t 2當(dāng)當(dāng) 時，時，a最大最大maxmax5FmaN15121122cos()cos()sssAtAtcos(

10、)At221212212cos()AAAA A11221122sinsinarctancoscosAAAA同方向同頻率的兩簡諧振動的合成仍是簡諧振動，且頻率不變。同方向同頻率的兩簡諧振動的合成仍是簡諧振動，且頻率不變。一、同方向、同頻率簡諧振動的合成一、同方向、同頻率簡諧振動的合成12s2s1s12sssOA1A2AtAAtAA sin)sinsin( cos)coscos(22112211cosAsinAcoscossinsin AtAt2A16tsOA1A2A（a） =2k22221212122AAAA AAA212(0,1,2)kk 當(dāng)相位差當(dāng)相位差振動加強(qiáng)，同步振動加強(qiáng)，同步即分振動同

11、相時，合振幅即分振動同相時，合振幅討論：討論：當(dāng)相位差為其它值時，當(dāng)相位差為其它值時，A2A1AOst（b） =(2k+1)當(dāng)相位差當(dāng)相位差2121(0,1,2)kk （）22221212122AAAA AAA振動減弱，反步調(diào)振動減弱，反步調(diào)即即分振動反相分振動反相時，合振幅時，合振幅1212AAAAA合振幅介于最大值和最小值之間合振幅介于最大值和最小值之間17，問合振幅是，問合振幅是_.13cos(2 t)cm3x， 同方向同頻率的兩振動同方向同頻率的兩振動24cos(2 t)cm6x5cm181.兩個同方向、不同頻率的簡諧振動合成不再是簡諧振動。兩個同方向、不同頻率的簡諧振動合成不再是簡諧

12、振動。（b）stOstt1（a）O2.振幅、初相位相同，頻率非常接近的兩個振動的合成振幅、初相位相同，頻率非常接近的兩個振動的合成1212cos()cos()sssAtAt21212 coscos()22Atttttt1t2s1s2s1+s2(a)(b)(c)212 cos2At振幅作緩慢的周期性變化212合振動的角頻率為：拍拍21fff拍的頻率為：191.任一周期性的復(fù)雜振動均能被分解為假設(shè)干個頻率不同、振幅任一周期性的復(fù)雜振動均能被分解為假設(shè)干個頻率不同、振幅不同的簡諧振動。不同的簡諧振動。 付里葉級數(shù)展開付里葉級數(shù)展開0123( )coscos2cos3sF tAAtAtAt123sin

13、sin2sin3BtBtBt01cossin)nnnAAn tBn t（tsst（b）（a）（c）ts（d）AA1OOOA2A3A4A510305070902.2.頻譜圖頻譜圖0112233Scos()cos(2)cos(3)AAtAtAt或20頻譜圖：一個實際振動所包含的各種諧振成分的振幅頻譜圖：一個實際振動所包含的各種諧振成分的振幅 和它們的頻率的關(guān)系圖。和它們的頻率的關(guān)系圖。周期性振動的頻譜是分立的線狀頻譜。以下圖為周期性振動的頻譜是分立的線狀頻譜。以下圖為“鋸齒波鋸齒波的頻譜圖。的頻譜圖。sotA 03 05 0鋸齒波鋸齒波鋸齒波頻譜圖鋸齒波頻譜圖o周期振動的頻譜周期振動的頻譜(舉例舉

14、例) TA 21 一個非周期性振動可分解為無限多個頻率連續(xù)變化的一個非周期性振動可分解為無限多個頻率連續(xù)變化的簡諧振動。簡諧振動。阻尼振動頻譜圖阻尼振動頻譜圖o A阻尼振動曲線阻尼振動曲線so非周期振動的頻譜非周期振動的頻譜(舉例舉例) 非周期性振動的頻譜是連續(xù)頻譜，如以下圖。非周期性振動的頻譜是連續(xù)頻譜，如以下圖。221.1.產(chǎn)生：產(chǎn)生：彈性媒質(zhì)彈性媒質(zhì)振動、波形、能量振動、波形、能量機(jī)械機(jī)械波波橫波橫波縱波縱波振源的振動振源的振動cfT2.2.簡諧波的特征量簡諧波的特征量波速、波長和頻率的關(guān)系：波速、波長和頻率的關(guān)系：3.3.波的幾何描述波的幾何描述波陣面：在介質(zhì)中所有相位相同的點所連成的

15、面。波陣面：在介質(zhì)中所有相位相同的點所連成的面。波線：代表波傳播方向的線。波線：代表波傳播方向的線。在各向同性的介質(zhì)中，波面在各向同性的介質(zhì)中，波面波線波線波面波面波前波前波線波線(a)球面波球面波(b)平面波平面波波面波面波線波線波前波前波前波前某時刻波到達(dá)的各點連成的面，某時刻波到達(dá)的各點連成的面， 即最前面的波面。即最前面的波面。23惠更斯原理惠更斯原理：介質(zhì)中波前上各點都可以看作是新的波源，這些：介質(zhì)中波前上各點都可以看作是新的波源，這些 波源發(fā)出子波，子波的包跡就是新的波前。波源發(fā)出子波，子波的包跡就是新的波前。內(nèi)容的理解：內(nèi)容的理解：子波概念子波概念 波面上任一點都是新的振源波面上

16、任一點都是新的振源 發(fā)出的波叫子波發(fā)出的波叫子波子波面的包絡(luò)線子波面的包絡(luò)線新波面新波面 t t 時刻各子波波面的公共切面包絡(luò)面就是該時刻的時刻各子波波面的公共切面包絡(luò)面就是該時刻的新波面新波面作用：一波面就可求出任意時刻的波面作用：一波面就可求出任意時刻的波面24t+ t時刻波面時刻波面c t波傳播方向波傳播方向t 時刻波面時刻波面 t + tt 在各向同性在各向同性介質(zhì)中傳播介質(zhì)中傳播例：例：c25利用惠更斯原理可以解釋衍射、反射、折射等波的利用惠更斯原理可以解釋衍射、反射、折射等波的傳播現(xiàn)象傳播現(xiàn)象1.原理給出：原理給出：一切波動都具有衍射現(xiàn)象一切波動都具有衍射現(xiàn)象衍射衍射偏離原來直線傳

17、播的方向偏離原來直線傳播的方向 所以：所以：衍射是波動的判據(jù)衍射是波動的判據(jù)262.用惠更斯作圖法導(dǎo)出了光的折射定律用惠更斯作圖法導(dǎo)出了光的折射定律作圖步驟：作圖步驟：c2 t媒質(zhì)媒質(zhì)1折射率折射率n1 1媒質(zhì)媒質(zhì)2折射率折射率n2 2i法線法線B入射波入射波A ECc1 1c1 tFDc2 2折射波傳播方向折射波傳播方向r27xXscPO簡諧振動在簡諧振動在O O點進(jìn)行，并同時以速度點進(jìn)行，并同時以速度c c沿沿X X方向無衰減傳播。方向無衰減傳播。0cossAtP P點的振動比點的振動比O O點晚點晚x x/ /c ccos()xsAtc代入上式得波動方程的其它形式：代入上式得波動方程的其

18、它形式：22TfcfT將 =和cos2 ()txsATcos2 ()xAftcos(2)xAt281. t=t t0 0 一定時，一定時，0cos()xsAtc2. x=x x0 0一定時，一定時，00cos()cos(2)xxsAtAtc分析波動分析波動方程的物理意義：方程的物理意義：表示平衡位置在表示平衡位置在x處的各質(zhì)點在處的各質(zhì)點在t t0 0時刻的位移分布。時刻的位移分布。表示平衡位置在表示平衡位置在x0 0處質(zhì)元的振動方程。處質(zhì)元的振動方程。111cos()cos(2)xxsAtAtc討論討論x軸上任意兩點軸上任意兩點x1 1和和x2 2，平衡位置在這兩點處的質(zhì)元的振動平衡位置在這

19、兩點處的質(zhì)元的振動方程分別為方程分別為222cos()cos(2)xxsAtAtc得得 t t0 0 時刻的波形方程時刻的波形方程得得 x x0 0處質(zhì)點的振動方程處質(zhì)點的振動方程2912()2xxx1 1和和x2 2處兩振動的相位差為處兩振動的相位差為122(0,1,2,)2xxkk (1)假設(shè)兩點之間的距離為半波長的偶數(shù)倍時，即假設(shè)兩點之間的距離為半波長的偶數(shù)倍時，即12()22kxx則此兩點振動同相，或說振動同步。此兩點振動同相，或說振動同步。12(21)(0,1,2,)2xxkk (2)假設(shè)兩點之間的距離為半波長的奇數(shù)倍時，即假設(shè)兩點之間的距離為半波長的奇數(shù)倍時，即12()22k+1)

20、xx則 (此兩點振動反相，或說振動反步調(diào)。此兩點振動反相，或說振動反步調(diào)。30 10.4cf 一個平面簡諧縱波在細(xì)長的金屬棒中傳播，速度為一個平面簡諧縱波在細(xì)長的金屬棒中傳播，速度為5 5103ms-1103ms-1，頻率為，頻率為12.512.5103Hz103Hz，波源的振幅為，波源的振幅為0.1mm0.1mm。設(shè)波。設(shè)波源的初相為零，求源的初相為零，求1 1該平面波的波長；該平面波的波長；2 2波源的振動方波源的振動方程；程；3 3波動方程；波動方程；4)4)離開波源離開波源0.1m0.1m處的振動方程。處的振動方程。解：解： 432coscos210cos 25 10)sAtAftt（

21、 4333cos()10cos25 10()5 10 xxsAttc 4330.14cos()10cos25 10()5 10 xsAttc4310sin(25 10) t米米米米米米米米31)2(9cos06. 0 xtySI959cos06.0tySI101059(2)229xc0.0609Am，0.06 cos()9ytSI12m s322221sin()2kPxEEVAtcw平均能量密度（ ）：能量密度在一個周期內(nèi)的平均值。能量密度能量密度w：介質(zhì)單位體積中波的能量。：介質(zhì)單位體積中波的能量。222sin()kPxEEEVAtc總能量為：222sin()ExwAtVc總2212wAco

22、s()xsAtcxVtEEkp 波動方程為：的平面簡諧波，在密度為的介質(zhì)中傳播時，在任意坐標(biāo) 處取體積元在時刻 的動能和勢能均為：3 J m單位：33波的強(qiáng)度波的強(qiáng)度I I或平均能流密度：單位時間內(nèi)通過垂直于波的傳或平均能流密度：單位時間內(nèi)通過垂直于波的傳播方向單位面積的平均能量。播方向單位面積的平均能量。ISXc ttSESc ts在時間內(nèi)通過面 的能量為等于體積中的能量2212Ew Sc tASc t s2212SEIcAS t 波的強(qiáng)度：單位單位: :W/m2( (記記!)!)34 一聲源的頻率為一聲源的頻率為1000Hz1000Hz，在空氣中，在空氣中P P點的聲波強(qiáng)度為點的聲波強(qiáng)度為

23、1.591.5910105 5WmWm-2-2，空氣的密度為，空氣的密度為1.29kgm1.29kgm-3-3，波速為，波速為344ms344ms-1-1, ,求求P P點的振幅和平均能量密度。點的振幅和平均能量密度。2212IcA 根據(jù)公式：解：解：3224.3 10 mIAc 得：2231462J m2IwAc351.1.平面波的吸收衰減：平面波的吸收衰減：ddII x0 xII e其中：吸收系數(shù)其中：吸收系數(shù)與介質(zhì)的密度、粘滯系數(shù)、波速、波的頻率與介質(zhì)的密度、粘滯系數(shù)、波速、波的頻率有關(guān)。有關(guān)。2.2.球面波的傳播衰減球面波的傳播衰減1122I SI S12221244IRIR21222

24、1IRIR 在均勻介質(zhì)中傳播，通過厚度為在均勻介質(zhì)中傳播，通過厚度為d dx x 的介質(zhì)后減少的強(qiáng)度的介質(zhì)后減少的強(qiáng)度d dI I與入射波的強(qiáng)度與入射波的強(qiáng)度I I 以及和所通過的厚度以及和所通過的厚度d dx x 成正比。成正比。36獨立傳播，矢量疊加獨立傳播，矢量疊加二、波的干預(yù)：二、波的干預(yù)：1.1.相干條件：相干條件：頻率相同、振動方向相同、相位相同或相差恒定頻率相同、振動方向相同、相位相同或相差恒定PO1O2r1 r22.2.波的干預(yù)：波的干預(yù)：P P處質(zhì)點同時參與兩種振動處質(zhì)點同時參與兩種振動12112222cos()cos()rrsAtAtcos()At2212122cosAAAA A其中：其中：12112212112222sin()sin()arctan22cos()cos()rrAArrAA37212122()()rrtt12212 ()rr=2(0,1,2)kk12AAA(21) (0,1,2)kk12AAA干預(yù)加強(qiáng)干預(yù)減弱O1O2最大最小最大最小最大381.1.相干波源：相干波源： 頻率相同、振動方向相同、頻率相同、振動方向相同、振幅相同、振幅相同、傳播方向相反傳播方向相反 2.2.駐波表達(dá)式：駐波表達(dá)式：cos()cos()xxsAtAtcccos2 ()cos2 ()txtxAATT2 cos2cos2x