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文檔簡介
1、實驗三求代數(shù)方程的近似根(解)數(shù)學實驗q 問題背景和實驗目的實驗三實驗三、近似求解代數(shù)方程近似求解代數(shù)方程u 解方程(代數(shù)方程)是最常見的數(shù)學問題之一,也是眾多應用領域中不可避免的問題之一。u 目前還沒有一般的解析方法來求解非線性方程,但如果在任意給定的精度下,能夠解出方程的近似解,則可以認為求解問題已基本解決,至少可以滿足實際需要。u 本實驗主要介紹一些有效的求解方程的數(shù)值方法:對分法,迭代法 和 牛頓法。同時要求大家學會如何利用Matlab 來求方程的近似解。相關概念相關概念0( )f x u 如果如果 f(x) 是一次多項式,稱上面的方程為是一次多項式,稱上面的方程為線性方線性方程程;否
2、則稱之為;否則稱之為非線性方程非線性方程。q 線性方程線性方程 與與 非線性方程非線性方程本實驗主要討論非線性方程的數(shù)值求解本實驗主要討論非線性方程的數(shù)值求解q 基本思想基本思想對分法對分法將有根區(qū)間進行對分,判斷出解在某個分段內,然后將有根區(qū)間進行對分,判斷出解在某個分段內,然后再對該段對分,依次類推,直到滿足給定的精度為止。再對該段對分,依次類推,直到滿足給定的精度為止。q 適用范圍適用范圍求有根區(qū)間內的求有根區(qū)間內的 單根單根 或或 奇重實根奇重實根。q 數(shù)學原理:數(shù)學原理:介值定理介值定理設設 f(x) 在在 a, b 上連續(xù),且上連續(xù),且 f(a) f(b)0,則由介值定,則由介值定
3、理可得,在理可得,在 (a, b) 內至少存在一點內至少存在一點 使得使得 f( )=0。q 具體步驟具體步驟對分法對分法設方程在區(qū)間設方程在區(qū)間 a,b 內連續(xù),且內連續(xù),且 f(a)f(b)0,給定,給定精度要求精度要求 ,若有,若有 |f(x)| ,則則 x 就是我們所需要就是我們所需要的的 f(x) 在區(qū)間在區(qū)間 (a,b) 內的內的 近似根近似根。;,計算令)( 2/ )( ) 1 (00 xfbax;輸出結果停止計算,的近似根,就是我們所要,則若000 | )(| )2(xxxxf;否則令,令若bbxaxbaaxfaf1010110, ;, 0)()( )3(;輸出結果,則停止計算
4、,若令11111 | )(|, 2/ )( )4(xxxfbax;否則令,令若1212121211, ;, 0)()( bbxaxbaaxfaf. .Matlab程序見程序見 fulu1.mq 收斂性分析收斂性分析對分法收斂性對分法收斂性=11111 11|()()()22 22kkkkkkxbababa 設方程的根為設方程的根為 x* (ak , bk ) ,又,又 ,所以,所以2kkkabx 0(k )對分法總是收斂的對分法總是收斂的u 但對分法的收斂速度但對分法的收斂速度較慢較慢u 通常用來試探實根的通常用來試探實根的分布區(qū)間分布區(qū)間, 或給出根的一個較為或給出根的一個較為粗糙的近似粗糙
5、的近似。根據(jù)上面的算法,我們可以得到一個每次縮小一半的根據(jù)上面的算法,我們可以得到一個每次縮小一半的區(qū)間序列區(qū)間序列 ak , bk ,在,在 (ak , bk ) 中含有方程的根。中含有方程的根。迭代法迭代法q 基本思想基本思想u 構造構造 f (x) = 0 的一個等價方程:的一個等價方程: ( )xx u 從某個近似根從某個近似根 x0 出發(fā),計算出發(fā),計算得到一個迭代序列得到一個迭代序列 0kkx 1()kkxx k = 0, 1, 2, . . (x) 的不動點的不動點f (x) = 0 x = (x)等價變換等價變換f (x) 的零點的零點u 若若 收斂,即收斂,即 ,假設,假設
6、(x) 連續(xù),則連續(xù),則q 收斂性分析收斂性分析迭代法的收斂性迭代法的收斂性 1limlim ()limkkkkkkxxx lim*kkxx *x( *)x kx*( *)xx ( *)0f x 即即注:若得到的點列發(fā)散,則迭代法失效!注:若得到的點列發(fā)散,則迭代法失效!q 定義:定義:迭代法收斂性判斷迭代法收斂性判斷q 定理定理 2:如果定理如果定理 1 的條件成立,則有如下估計的條件成立,則有如下估計10|* |1kkqxxxxq 11|* |1kkkxxxxq 如果存在如果存在 x* 的的某個某個 鄰域鄰域 =(x*- , x* + ), 使使得對得對 x0 開始的迭代開始的迭代 xk+
7、1 = (xk) 都收斂都收斂, 則稱該迭代法在則稱該迭代法在 x* 附近附近局部收斂局部收斂。q 定理定理 1:設設 x* = (x*),的的某個某個 鄰域鄰域 內連續(xù),且對內連續(xù),且對 x 都有都有 | (x)| q 1, 則對則對 x0 ,由由迭迭代代 xk+1 = (xk) 得到的點列都收斂。得到的點列都收斂。迭代法收斂性判斷迭代法收斂性判斷10|* |1kkqxxxxq q 定理定理 3:已知方程已知方程 x = (x),且且(1) 對對 x a, b,有有 (x) a, b;(2) 對對 x a, b,有有| (x)| q syms x f=sin(x)+3*x2; g=diff(
8、f,x) g=diff(sin(x)+3*x2,x)f=inline(函數(shù)表達式,變量1,變量2,.)y=f(數(shù)值列表數(shù)值列表)代入的代入的 數(shù)值列表數(shù)值列表 順序應與定義時的順序應與定義時的 變量名變量名 順序一致順序一致例:例:附錄:附錄:inlinel inline 命令可以用來定義一個命令可以用來定義一個內聯(lián)函數(shù)內聯(lián)函數(shù)l 調用方式:調用方式:u 這種函數(shù)定義方式是將這種函數(shù)定義方式是將 f 作為一個內部函數(shù)調用。其特作為一個內部函數(shù)調用。其特點是:調用方式點是:調用方式最接近于我們平時對函數(shù)的定義最接近于我們平時對函數(shù)的定義,使程序,使程序更具可讀性。同時由于它是基于更具可讀性。同時由于它是基于 Matlab 的數(shù)值計算內核的數(shù)值計算內核的,所以它的的,所以它的運算速度較快運算速度較快,程序更有效率。,程序更有效率。u 這種定義方式的缺點:這種定義方式的缺點:l 定義一個內聯(lián)函數(shù)用去的內存空間比相同條件下其他定義一個內聯(lián)函數(shù)用去的內存空間比相同條件下其他的方法要大得多。的方法要大得多。l 該方法該方法只能對數(shù)值進行代入只能對數(shù)值進行代
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