物理光學(xué)第4章習(xí)題答案

1、物理光學(xué)第四章作業(yè)答案 1、振幅為A，波長為2/3*104nm的單色平面波的方向余弦cos=2/3，cos=1/3,cos=2/3,試求它在xy平面上的復(fù)振幅及空間頻率。 分析： （1）單色平面波的復(fù)振幅形式： E（x,y,z)=Aexpik(xcos+y cos+zcos) =Aexpi2（ux+vy+wz) （2）在xy平面上，z=0，故只要求u，v 其中，u= cos/，v= cos / 解：在xy平面上： E（x,y)=Aexpik(xcos +y cos) =Aexpi2（ux+vy) 代入數(shù)據(jù)得： E（x,y)=Aexpi*100(2x+y)，（單位為mm） 故： u= cos/，

2、代入數(shù)據(jù)得：u=100mm-1 v= cos /，代入數(shù)據(jù)得：v=50mm-1 其他答案：u=105m-1 或 10-4nm-1 v=5*104m-1 或 5*10-5nm-1 4、求下列函數(shù)的傅里葉頻譜變換，并畫出原函數(shù)和頻譜的圖形。 （1） Asin(2u0 x )；|x|L E(X)= 0 ；|x|L 分析： （1）對一維傅里葉變換，公式如下： E（u）= E(x)exp(-i2ux)dx （2）sinc(x)=sin (x)/x 解:(1)E（u）= E(x)exp(-i2ux)dx =L Asin(2u0 x) exp(-i2ux)dx =L (A/2i)*( ei2u0 x e -

3、i2u0 x ) *exp(-i2ux)dx =L (A/2i)* ei2(u0-u)x e -i2(u0+u)x dx =(A/4 ) *(1/u-u0) *ei2(u0-u)x - (1/u+u0) *ei2(u0+u)x |L =iALsinc2L(u+u0)-sinc2L(u-u0) (2)原函數(shù)示意圖： （取A=1；L=6） sinc(t)函數(shù)： 頻譜圖示意圖： （取L=0.5；u0 = 1 ） 頻譜圖示意圖：（L=0.5；u0 分別取2、3、4） 6、求如圖所示衍射屏的夫瑯和費衍射圖樣的強度分布。設(shè)衍射屏由單位振幅的單色平面波垂直照明。 分析： （1）由矩孔的復(fù)振幅透射系數(shù)，得到衍

4、射屏的復(fù)振幅透射系數(shù)t(x,y)。 P書351 （2）夫瑯和費衍射場的復(fù)振幅分布E(x,y)為孔徑面上（即剛透過衍射屏）光場的復(fù)振幅分布的傅里葉變換，繼而得到強度分布I(x,y)。P書350； P書384 解： 衍射屏的復(fù)振幅透射系數(shù)為： t(x,y)=rect(x/L) *rect(y/L)- rect(x/l) *rect(y/l) 由單位振幅的單色平面波垂直照明，可得衍射屏后光場分布為： E(x1,y1)=1* t(x,y)= t(x,y) 故，衍射屏的夫瑯和費衍射場的復(fù)振幅分布為： E(x,y)= (1/ iz)*FE(x1,y1) = (1/ iz)* Ft(x,y) = (1/ i

5、z)* L2 sinc(Lu)sinc(Lv) - l2 sinc(lu)sinc(lv) 其中，u=x/z ； v=y/z 故強度分布為： I(x,y)=(1/z)2* FE(x1,y1) 2 = (1/z)2 * L2 sinc(Lx/z )sinc(Ly /z ) - l2 sinc(l x/z )sinc(ly/z ) 10、一個衍射屏具有圓對稱的復(fù)振幅透射系數(shù)：t(r)=1/2 +1/2cos(ar2 )*circ(r/a) (1)說明這一衍射屏有類似透鏡的性質(zhì)。 (2)給出此屏的焦距的表達式。 分析： (1)透鏡的復(fù)振幅投射系數(shù)為： t(x,y)=exp-ik(x12+y12)/2

6、f；P書383 (2)cos(x)=1/2 * (eix+e-ix) 解：(1) t(r)=1/2 +1/2cos(ar2 )*circ(r/a) =1/2 +1/4*exp(iar2 )+ exp(-iar2) *circ(r/a) 上式中，第一個因子circ(r/a)表示該衍射屏是半徑為a的圓孔。 第二個因子中： 第一項1/2，使透射光的振幅衰減； 第二項的第三項均與透鏡復(fù)振幅投射系數(shù) t(x,y)=exp-ik(x12+y12)/2f的形式類似，當(dāng)用平面波垂直照射時，這兩項分別產(chǎn)生發(fā)散和匯聚球面波。 因此，這個衍射屏具有類似透鏡的性質(zhì)。 (2)對于因子exp(iar2 )：a= - k/

7、2f1， 得f1 = - k/2a= -/a 0，匯聚； 對于因子1/2，1/2=1/2*e0， 可得 f3 = 。 13、用一架鏡頭直徑D=2cm，焦距f=7cm的照相機拍攝2m遠受相干光照明的物體的照片，求照相機的相干傳遞函數(shù)，以及像和物的截止空間頻率。設(shè)照明波長=600nm。分析：(1)衍射受限的相干成像系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)和光瞳函數(shù)有相同的形式，對直徑為D的圓孔，P(,)=circ(22+2/D)；傳遞函數(shù)為：H(u,v)=circ(2Lu2+ v2/D)；(2)截止頻率為：max = (u2+ v2 ) max =D/ 2L 解：對直徑為D的圓孔，光瞳函數(shù)為： P(,) = circ(

8、22+2/D)；相應(yīng)的有傳遞函數(shù)為：H(u,v)=circ(2L)*u2+ v2/D；由物像關(guān)系1/L+1/L=1/f，得：L=Lf /(L-f) ，代入數(shù)據(jù)得， L=7.25cm；故，像空間的截止頻率： max = (u2+ v2 ) max =D/ 2L， 代入數(shù)據(jù)得： max = 229.9 mm-1 物空間的截止頻率： 0max = max * (L /L) =D/ 2L，代入數(shù)據(jù)得： 0max = 8.33 mm-114、在上題中，若被成像的物是一個周期d的黑白光柵，問當(dāng)d分別為0.4mm，0.2mm和0.1mm時，像的強度分布的大致情形是怎樣？分析：周期為d的黑白光柵的基頻為1/d

9、，n級頻率分量的頻率為n/d，只有當(dāng) 頻率小于物的截止頻率時，該頻率分量才能傳遞到像面，即必須： 解：（1）當(dāng)d=0.4mm時，利用上題的結(jié)果： 故只有0， 1， 2， 3級參與成像。這時因缺少高頻成分，像面上光柵像不再像原光柵那樣具有尖銳的邊緣。 1max3 . 8mmo32. 34 . 03 . 81maxmmmmdodnomax (2) 當(dāng)d=0.2mm時 這時只有0， 1參與成像，這時強度分布如正弦光柵。 （3）當(dāng)d=0.1mm時 這時僅零頻通過，像面是一片均勻亮度。83. 01 . 03 . 81maxmmmmdo66. 12 . 03 . 81maxmmmmdo16、一個非相干成像

10、系統(tǒng)的出瞳是直徑為D的半圓孔，如下圖所示。求沿u軸和v軸的光學(xué)傳遞函數(shù)的表達式。解：（1）先求沿v軸的光學(xué)傳遞函數(shù)。在軸上彼此分開lu的兩個瞳的重疊面積，有而 故 光瞳的面積為： 因此得到沿v軸的光學(xué)傳遞函數(shù)為：可見沿v軸的截止頻率為： cossin22DSDvlcos2121cos2DvlDvlDvlDS222DSDmaxlDv（2）再來計算沿u軸的光學(xué)傳遞函數(shù)。在軸上分開lu的兩個光瞳的重疊面積，如下圖所示：S=扇形面積-OAB的面積=由于 故 cossin22D2/cosDul2122/12/2/cos2DulDulDulDS將S除以光瞳面積 ，得到沿u軸的光學(xué)傳遞函數(shù)：沿u軸的截止頻率

11、為： 它是沿v軸截止頻率的一半。 DS2maxlDu4.17 在如下圖所示的信息處理系統(tǒng)中，在 平面上放置一正弦光柵，其振幅透射系數(shù)為 ： （1）在頻譜面的中央放置一小圓屏擋住光柵的零級譜，求這時像面上的光強度分布；（2）移動小圓屏，擋住光柵的-1級譜，像面上的光強分布又是怎樣？xy011( )cos222t xu x解：(1)在相干光垂直照明下，正弦光柵的頻譜為：0011( )( )()()22E uuuuuu擋住零級譜后0011( )=()+()22E uuuuu因此，像面上的復(fù)振幅分布為00()( )11 = () ()22xE uuuuuFFF利用 函數(shù)的傅里葉變換性質(zhì)，則：00220

12、1()=()2 =cos2u xu xxeeu x最后得到強度分布2200()()1 =cos 2(1 cos4)2I xxu xu x可見，像面上的強度分布仍是一正弦式分布，但空間頻率為物分布的2倍。(2)-當(dāng)小圓屏擋住 1級譜時01( )= ( )+( -)2E uuu u 這時像面上的強度分布為02202201()( ) = ( )+( -)215 = (1) =+cos224iu xI xE uuu ueu xFF這也是一正弦分布，且空間頻率與物分布相同。與物分布不同的是,像分布的對比度降低了。4.19一個物體有如圖所示的周期性振幅透射系數(shù)，如將它置于相干光學(xué)處理系統(tǒng)的物面位置，并在頻譜面上用一小圓屏把零級譜擋住，試說明在像面上得到對比度反轉(zhuǎn)的物體像。圖1周期性振幅透射系數(shù)物體（如圖1） （一個周期為5個單位）圖2擋住零級擋住直流量。其大小為函數(shù)的平均值（一個周期內(nèi)）( )4 5E x