第三知識塊三角函數(shù)、三角恒等變換及解三角形(第5課時-第8課時) (3)

1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些三角形度量問題掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些三角形度量問題 第第7 7課時課時 正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理1對解斜三角形的考查在高考試題中時常出現(xiàn)，主要考查正弦定理、余弦定理、對解斜三角形的考查在高考試題中時常出現(xiàn)，主要考查正弦定理、余弦定理、運用三角公式進行恒等變形及運算能力以化簡、求值或判斷三角形的形狀為運用三角公式進行恒等變形及運算能力以化簡、求值或判斷三角形的形狀為主來考查有關(guān)的定理的應(yīng)用、三角恒等變形、運算能力及轉(zhuǎn)化思想主來考查有關(guān)的定理的應(yīng)用、三角恒等變形、運算能力及轉(zhuǎn)化思想2題目類型有判斷三角形形狀的填空題，求三角形邊角關(guān)系的解

2、答題，三角形中題目類型有判斷三角形形狀的填空題，求三角形邊角關(guān)系的解答題，三角形中有關(guān)三角變換的解答題，但都以較容易的題目出現(xiàn)有關(guān)三角變換的解答題，但都以較容易的題目出現(xiàn) 【命題預(yù)測【命題預(yù)測】1利用正弦定理可將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，應(yīng)注意互補角的正弦值相等利用正弦定理可將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，應(yīng)注意互補角的正弦值相等這一特殊關(guān)系的應(yīng)用在這一特殊關(guān)系的應(yīng)用在ABC中，中，ABab sin Asin B，但，但要注意命題成立的前提必須是在三角形中，脫離了三角形這個前提條件，命要注意命題成立的前提必須是在三角形中，脫離了三角形這個前提條件，命題是不成立的題是不成立的2判斷三角形的形狀，實質(zhì)是判

3、斷三角形的三邊或三角具備怎樣的關(guān)系由判斷三角形的形狀，實質(zhì)是判斷三角形的三邊或三角具備怎樣的關(guān)系由于正弦定理非常好地描述了三邊與三角的數(shù)量關(guān)系，所以，可利用正弦定理于正弦定理非常好地描述了三邊與三角的數(shù)量關(guān)系，所以，可利用正弦定理實現(xiàn)邊角的統(tǒng)一，便于尋找三邊或三角具備的關(guān)系利用正弦定理判定三角實現(xiàn)邊角的統(tǒng)一，便于尋找三邊或三角具備的關(guān)系利用正弦定理判定三角形的形狀常運用正弦定理的變形形式，將邊化為角，有時結(jié)合三角函數(shù)的形的形狀常運用正弦定理的變形形式，將邊化為角，有時結(jié)合三角函數(shù)的有關(guān)公式有關(guān)公式(如誘導公式，和差公式如誘導公式，和差公式)得出角的大小或等量關(guān)系得出角的大小或等量關(guān)系3已知三角

4、形三邊或三邊之比，可用余弦定理求出這個三角形的三個角使已知三角形三邊或三邊之比，可用余弦定理求出這個三角形的三個角使用余弦定理求角時，一般在判斷三條邊的大小后，可先求最大角，也可先求用余弦定理求角時，一般在判斷三條邊的大小后，可先求最大角，也可先求最小角，如果最大角小于最小角，如果最大角小于60，最小角大于，最小角大于60可知三角形無解可知三角形無解【應(yīng)試對策【應(yīng)試對策】ABC中的常用結(jié)論中的常用結(jié)論(1)tan Atan Btan Ctan Atan Btan C；A、B、C成等差數(shù)列的充要條件是成等差數(shù)列的充要條件是B60；ABC是正三角形的充要條件是是正三角形的充要條件是A、B、C成等差

5、數(shù)列且成等差數(shù)列且a、b、c成等比數(shù)列；成等比數(shù)列；abABsin Asin B；【知識拓展【知識拓展】在在ABC中，給定中，給定A、B的正弦或余弦值，則的正弦或余弦值，則C的正弦或余弦有解的正弦或余弦有解(即存在即存在)的的充要條件是充要條件是cosAcosB0.簡證如下：簡證如下：C有解有解(AB)有解有解0AB0ABcos(B)cos Acos Bcos Acos B0.因此判斷因此判斷C是否有解，是否有解，只需考慮只需考慮cos Acos B的符號即可的符號即可(2)sin(AB)sin C，cos(AB)cos C，tan(AB)tan C，cos sin .(3)三角形中，任意兩邊

6、之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊(4)等邊對等角，等角對等邊，大邊對大角，大角對大邊等邊對等角，等角對等邊，大邊對大角，大角對大邊1正弦定理、余弦定理及相關(guān)知識正弦定理、余弦定理及相關(guān)知識定理定理正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理 內(nèi)容內(nèi)容 a2 ，b2 ，c2 b2c22bccosAc2a22cacosBa2b22abcosC變形形式變形形式a ，b ，c ；sin A ，sin B ，sin C ；(其中其中R是是ABC外接圓的半徑外接圓的半徑)abc ；asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A

7、.cos A ；cos B ；cos C .2RsinA2RsinB2RsinCsinAsinBsinC解決解斜解決解斜三角形的三角形的問題問題已知兩角和任一邊，求另一角和已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；其他兩條邊；已知兩邊和其中一邊的對角，求已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角另一邊和其他兩角.已知三邊，求各角；已知三邊，求各角；已知兩邊和它們的夾角，已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角求第三邊和其他兩個角.2.在在ABC中，已知中，已知a，b和和A時，解的情況如下時，解的情況如下A為銳角為銳角A為鈍角或直角為鈍角或直角圖形圖形關(guān)系式關(guān)系式absin Absin Aab

8、ab解的個數(shù)解的個數(shù)一解一解兩解兩解一解一解一解一解無解無解1(蘇州市高三教學調(diào)研考試蘇州市高三教學調(diào)研考試)在在ABC中，中，A，B，C對應(yīng)的三邊長為對應(yīng)的三邊長為a，b，c，若，若a2(bc)2bc，則，則A的大小等于的大小等于_ 解析：解析：根據(jù)余弦定理得根據(jù)余弦定理得cos A ， A 答案：答案：2(2010東臺中學高三診斷東臺中學高三診斷)若若ABC的三個內(nèi)角的三個內(nèi)角A、B、C所對邊的長所對邊的長分別為分別為a、b、c，向量，向量m(ac，ba)，n(ac，b)，若，若mn，則則C等于等于_ 答案：答案：603在在ABC中，如果中，如果A60，c4，a2 ， 則此三角形有則此三角

9、形有_個解個解 解析：解析：A60，c4，a2 ， 由正弦定理得：由正弦定理得： ，即，即 sin C1.又又0C0)，利用余弦定理，有利用余弦定理，有cos AA45.同理可得同理可得cos B ，B60.C180(AB)75.這類題型主要是利用正、余弦定理及其變形，把題設(shè)條件中的邊、這類題型主要是利用正、余弦定理及其變形，把題設(shè)條件中的邊、角關(guān)系式轉(zhuǎn)化為角或者邊的簡單關(guān)系式，進而進行判斷角關(guān)系式轉(zhuǎn)化為角或者邊的簡單關(guān)系式，進而進行判斷【例【例2】在在ABC中，如果中，如果lg alg clg sin Blg ，且，且B為銳角，為銳角，試判斷此三角形的形狀試判斷此三角形的形狀思路點撥：思路點

10、撥：先進行對數(shù)的運算，再將邊化角即可先進行對數(shù)的運算，再將邊化角即可解：解：由由lg alg clg sin Blg ，得得sin B ，又又B為銳角為銳角，B45.同時同時 ， . sin C2sin A2sin(135C)，即即sin Csin Ccos C，cos C0，所以所以C90.故此三角形為等腰直角三角形故此三角形為等腰直角三角形變式變式2：在在ABC中，已知中，已知sin C2sin(BC)cos B，那么，那么ABC的形狀是的形狀是_解析：解析：由由sin C2sin(BC)cos B，得，得sin C2sin Acos B.再結(jié)合正、余弦定理得：再結(jié)合正、余弦定理得： 整理

11、得整理得a2b2，所以，所以ABC一定是等腰三角形也可由一定是等腰三角形也可由sin C2sin Acos B，可得可得sin(AB)2sin Acos B，sin(AB)0，從而，從而AB.答案：答案：等腰三角形等腰三角形1這類題型同一般三角函數(shù)中三角函數(shù)的求值與證明相類似，但也有著這類題型同一般三角函數(shù)中三角函數(shù)的求值與證明相類似，但也有著不同之處，如涉及到的關(guān)系式中除角外還可能涉及到邊，因而轉(zhuǎn)化方不同之處，如涉及到的關(guān)系式中除角外還可能涉及到邊，因而轉(zhuǎn)化方式有角的轉(zhuǎn)化和邊的轉(zhuǎn)化式有角的轉(zhuǎn)化和邊的轉(zhuǎn)化2三角形中三角函數(shù)的證明問題主要是圍繞三角形的邊和角的三角函數(shù)三角形中三角函數(shù)的證明問題主

12、要是圍繞三角形的邊和角的三角函數(shù)展開的，從某種意義上來看，這類問題就是有了目標的含邊和角的式展開的，從某種意義上來看，這類問題就是有了目標的含邊和角的式子的化簡問題子的化簡問題【例【例3】在在ABC中，證明：中，證明： 思路點撥：思路點撥：等式左邊有邊也有角，右邊只有邊，故考慮把等式等式左邊有邊也有角，右邊只有邊，故考慮把等式左邊的角轉(zhuǎn)化為邊左邊的角轉(zhuǎn)化為邊證明：證明：左邊左邊 右邊故原命題得證右邊故原命題得證【例【例4】 在在ABC中，中，a、b、c分別是分別是A、B、C的對邊長已知的對邊長已知a、b、c成等比數(shù)列，且成等比數(shù)列，且a2c2acbc，求，求A的大小及的大小及 的值的值思路點撥

13、：思路點撥：把已知條件把已知條件a2c2acbc變形，構(gòu)造余弦定理結(jié)構(gòu)求出變形，構(gòu)造余弦定理結(jié)構(gòu)求出A的值，然后再利用正弦定理變形求出的值，然后再利用正弦定理變形求出 的值的值解：解：(1)a、b、c成等比數(shù)列成等比數(shù)列，b2ac，又又a2c2acbc，b2c2a2bc.在在ABC中，由余弦定理得中，由余弦定理得cos A ，A60.(2)在在ABC中，由正弦定理中，由正弦定理sin B ，b2ac，A60， 變式變式3：(2010北京海淀區(qū)高考模擬題北京海淀區(qū)高考模擬題)在在ABC中中，a、b、c分別表分別表示三個內(nèi)角示三個內(nèi)角A、B、C的對邊如果的對邊如果(a2b2)sin(AB)(a2b

14、2)sin(AB)，且且AB，求證求證：ABC是直角三角形是直角三角形證明：證明：由已知得由已知得：a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)利用兩角和、差的三角函數(shù)公式可得利用兩角和、差的三角函數(shù)公式可得2a2cos Asin B2b2sin Acos B.由正弦定理得由正弦定理得asin Bbsin A，acos Abcos B.又由正弦定理得又由正弦定理得2Rsin Aa,2Rsin Bb，2Rsin Acos A2Rsin Bcos B，即即sin 2Asin 2B.AB，2A2B，AB .ABC是直角三角形是直角三角形變式變式4： 在在ABC中，中，A、B、C所

15、對的邊的長分別為所對的邊的長分別為a，b，c，設(shè)，設(shè)a，b，c滿足條件滿足條件b2c2bca2和和 ，求，求A和和tan B的值的值解：解：b2c2bca2，b2c2a2bc.由余弦定理得由余弦定理得cosA又又A為三角形一內(nèi)角，為三角形一內(nèi)角，A .在在ABC中，中，C(AB) B B.由已知條件及正弦定理得由已知條件及正弦定理得 tan B .【規(guī)律方法總結(jié)【規(guī)律方法總結(jié)】1根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角；化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦化角為邊，并常用正弦(余弦余弦)定理實施邊、角轉(zhuǎn)換定理實施邊、角轉(zhuǎn)換2用正

16、弦用正弦(余弦余弦)定理解三角形問題時可適當應(yīng)用向量數(shù)量積求三角形內(nèi)定理解三角形問題時可適當應(yīng)用向量數(shù)量積求三角形內(nèi)角與應(yīng)用向量的模求三角形邊長等角與應(yīng)用向量的模求三角形邊長等3在判斷三角形形狀或解斜三角形中，一定要注意解是否唯一，并注重在判斷三角形形狀或解斜三角形中，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隱含條件挖掘隱含條件4注意體會函數(shù)與方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用注意體會函數(shù)與方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用 【高考真題【高考真題】【例【例5】 (2009天津卷天津卷)在在ABC中中，BC ，AC3，sin C2sin A.(1)求求AB的值的值；(2)求求sin 的值的值分析：分析：根據(jù)正弦定理

17、求根據(jù)正弦定理求AB的值，根據(jù)余弦定理求出的值，根據(jù)余弦定理求出A的余弦，根據(jù)倍角公的余弦，根據(jù)倍角公式求出式求出2A的正弦值、余弦值，再根據(jù)兩角和、差的正弦公式的正弦值、余弦值，再根據(jù)兩角和、差的正弦公式求求sin 的值的值規(guī)范解答：規(guī)范解答：(1)在在ABC中，根據(jù)正弦定理，中，根據(jù)正弦定理， 于是于是AB BC2BC2 .(2)在在ABC中，根據(jù)余弦定理，得中，根據(jù)余弦定理，得cos A于是于是sin A 從而從而sin 2A2sin Acos A ，cos 2Acos2Asin2A . 所以所以本題沒有按照常規(guī)出題方式給出三角形中角的大小，而是給出了兩個角的正本題沒有按照常規(guī)出題方式給

18、出三角形中角的大小，而是給出了兩個角的正弦之間的關(guān)系，根據(jù)正弦定理的特點就可以通過約分的方式將其約掉，達到弦之間的關(guān)系，根據(jù)正弦定理的特點就可以通過約分的方式將其約掉，達到解決問題的目的，試題設(shè)計頗有新意解決問題的目的，試題設(shè)計頗有新意【命題探究命題探究】【全解密【全解密】三角恒等變換中經(jīng)常用到的角度變換，如：三角恒等變換中經(jīng)常用到的角度變換，如：()()，2()()()()， ， 等，等，通過這些角的變換實現(xiàn)利用已知條件達到整體求解的目的通過這些角的變換實現(xiàn)利用已知條件達到整體求解的目的【知識鏈接知識鏈接】一般地，已知三角形兩邊一對角，求解三角形時，若運用正弦定理，可一般地，已知三角形兩邊一

19、對角，求解三角形時，若運用正弦定理，可以根據(jù)正弦定理的變式以根據(jù)正弦定理的變式a b csin A sin B sin C，在知道了兩個角，在知道了兩個角的正弦比值時也可以使用正弦定理求解三角形，本題就是這種情況；當?shù)恼冶戎禃r也可以使用正弦定理求解三角形，本題就是這種情況；當已知三角形三邊時可以根據(jù)余弦定理求出任意一個角的余弦值已知三角形三邊時可以根據(jù)余弦定理求出任意一個角的余弦值【方法探究方法探究】正弦定理是一個連比等式，在使用這個定理時不一定要知道其中的正弦定理是一個連比等式，在使用這個定理時不一定要知道其中的三個量才能求第四個量，只要知道了其比值或等量關(guān)系就可以通過三個量才能求第四個量，只要知道了其比值或等量關(guān)系就可以通過約分達到解決問題的目的，在解題中要注意這個技巧的使用，不要約分達到解決問題的目的，在解題中要注意這個技巧的使用，不要一味地尋找使用正弦定理的具體條件一味地尋找使用正弦定理的具體條件. 【技巧點撥技巧點撥】1在在ABC中，中，a ，b ，B45，解此三角形，解此三角