第三章平面問題的直角坐標(biāo)解答

1、12彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity第三章第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答平面問題的直角坐標(biāo)解答3-1 3-1 多項式解答多項式解答3-2 3-2 位移分量的求出位移分量的求出3-3 3-3 簡支梁受均布載荷簡支梁受均布載荷3-4 3-4 楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力3-5 3-5 級數(shù)式解答級數(shù)式解答3-6 3-6 簡支梁受任意橫向載荷簡支梁受任意橫向載荷 習(xí)題課習(xí)題課3彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity一、應(yīng)力函數(shù)取一次多項式一、應(yīng)力函數(shù)取一次多項式應(yīng)力分量：0, 0, 0yxxyyx應(yīng)力邊界條件：結(jié)論：（1）線性應(yīng)力函數(shù)對應(yīng)于無面力

2、、無應(yīng)力的狀態(tài)。（2）把任何平面問題的應(yīng)力函數(shù)加上一個線性函數(shù)，并不影響應(yīng)力。二、應(yīng)力函數(shù)取二次多項式二、應(yīng)力函數(shù)取二次多項式cybxa,22xfyxx,22yfxyy.2yxxy0yxff22cybxyax1.對應(yīng)于 ，應(yīng)力分量 2ax0,2, 0yxxyyxa3-1 3-1 逆解法與半逆解法逆解法與半逆解法 多項式解答多項式解答4xyoa2a2（a）2ax結(jié)論：應(yīng)力函數(shù) 能解決矩形板在 方向受均布拉力（設(shè) ）或均布壓力（設(shè) ）的問題。如圖（a）。y0a0a2.對應(yīng)于 ，應(yīng)力分量 。 bxy byxxyyx, 0, 0結(jié)論：應(yīng)力函數(shù) 能解決矩形板受均布剪力問題。如圖（b）。bxy xyobb

3、bb（b）xyoc2c2（c）x3.應(yīng)力函數(shù) 能解決矩形板在 方向受均布拉力（設(shè) c0)或均布壓力（設(shè)c0）的問題。如圖3-1（c）。2cy 彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity5彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity三、應(yīng)力函數(shù)取三次式三、應(yīng)力函數(shù)取三次式對應(yīng)的應(yīng)力分量：0, 0,6yxxyyxay（a）3ay 結(jié)論：應(yīng)力函數(shù) 能解決矩形梁受純彎曲的問題。如圖3-2所示的矩形梁。3ay 圖3-2,22xfyxx,22yfxyy.2yxxyMMhl2h2hyxx圖xy1彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity3-2 3-2 矩形梁的純彎曲矩形梁的

4、純彎曲 設(shè)有矩形截面的直梁，它的厚度遠(yuǎn)小于深度和長度(近似的平面應(yīng)力情況)，或者遠(yuǎn)大于深度和長度(近似的平面應(yīng)變情況)，在兩端受有相反的力偶而彎曲，體力可以不計。為了方便，取單位厚度的梁來考察，如圖示，并令每單位寬度上力偶的矩為M，M的量綱是力長度長度。試求梁的應(yīng)力。問題提出MMhl2h2hyxx圖xy1彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity解 由前知，應(yīng)力函數(shù) =ay3能解決純彎曲的問題，滿足. 04 而相應(yīng)的應(yīng)力分量為,622ayyx. 022xy. 02yxxy在下邊和上邊都沒有面力，要求0, 022hyxyhyy是能滿足的，因為在所有各點都有xy=0，y=0。(a)MM

5、hl2h2hyxx圖xy1彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity在左端和右端，沒有鉛直面力，分別要求0, 00lyxyyxy滿足。006yxxyyxay 此外，在左端或右端，水平面力應(yīng)該合成為力偶，而力偶的矩為M，這就要求水平面力的主矢量為零，主矩為M，亦即Myyyhhxhhx2222d0d將應(yīng)力x代入，上列二式成為Myyayyahhhh22222d6, 0d6前一式總能滿足，而后一式要求32hMa MMhl2h2hyxx圖xy1彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity注意到梁截面的慣性矩是 ，上式又可以改寫成1213hI0, 0,xyyxyIM這就是矩形梁受純彎

6、曲時的應(yīng)力分量，結(jié)果與材料力學(xué)中完全相同，即梁的各纖維只受單向拉壓，即所謂彎曲應(yīng)力按直線分布，見圖。(3-2)代入式(a)，得0, 0,123xyyxyhM(b)MMhl2h2hyxx圖xy1應(yīng)當(dāng)指出，組成梁端力偶的面力必須按直線分布，解答(3-2)式才是完全精確的。如果兩端的面力按其他方式分布，解答(3-2)式是有誤差的。但是，按圣維南原理，只在梁的兩端附近有顯著的誤差；在離開梁端較遠(yuǎn)處，誤差是可以不計的。由此可見，對于長度 l 遠(yuǎn)大于深度 h 的梁，解答(3-2)式有實用價值的；對于長度 l 與深度 h 同等大小的所謂深梁，這個解答是沒有什么實用意義的。彈性力學(xué)Mechanics of E

7、lasticity11彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity3-3 3-3 位移分量的求出位移分量的求出 以矩形梁的純彎曲問題為例，說明如何由應(yīng)力分量求出位移分量。一、平面應(yīng)力的情況一、平面應(yīng)力的情況 將應(yīng)力分量 代入物理方程0, 0,yxxyyxyIMxyxyxyyyxxEEE)1 (2)(1)(112彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity得形變分量：0,xyyxyEIMyEIM（a）再將式（a）代入幾何方程：yuxvyvxuxyyx得:0,yuxvyEIMyvyEIMxu前二式積分得：)(2),(221xfyEIMvyfxyEIMu（b）（c）其中的 和 是

8、任意函數(shù)。將式（c）代入（b）中的第三式1f2f13彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity得:xEIMxxfyyfd)(dd)(d21等式左邊只是 的函數(shù)，而等式右邊只是 的函數(shù)。因此，只可能兩邊都等于同一常數(shù) 。于是有：yxxEIMxxfyyfd)(d,d)(d21積分以后得：022012)(,)(vxxEIMxfuyyf代入式（c），得位移分量：022022vxxEIMyEIMvuyxyEIMu其中的任意常數(shù) 、 、 須由約束條件求得。0u0v（d）14（一）簡支梁（一）簡支梁22)(2,)2(yEIMxxlEIMvylxEIMu如圖3-3（a），約束條件為：0)( , 0

9、)( , 0)(00000ylxyxyxvvu由式（d）得出：代入式（d），就得到簡支梁的位移分量：EIMlvu2, 0, 000梁軸的撓度方程：xxlEIMvy)(2)(0022022vxxEIMyEIMvuyxyEIMu（d）彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity圖3-3MMOxyl（a）15彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity（二）懸臂梁（二）懸臂梁如圖3-3（b），約束條件為：0)( , 0)( , 0)(000ylxylxylxxvvu由式（d）得出：EIMlEIMlvu,2, 0200得出懸臂梁的位移分量：222)(2,)(yEIMxlEIMvyx

10、lEIMu梁軸的撓度方程：20)(2)(xlEIMvyMMoxyl（b）022022vxxEIMyEIMvuyxyEIMu（d）16彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity二、平面應(yīng)變的情況二、平面應(yīng)變的情況 只要將平面應(yīng)力情況下的形變公式和位移公式中的 換為 ， 換為 即可。E21E1彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity 設(shè)有矩形截面的簡支梁，深度為 ，長度為 ，受均布載荷 ，體力不計，由兩端的反力 維持平衡。如圖3-4所示。取單位寬度的梁來考慮，可視為平面應(yīng)力問題。hl 2qql 用半逆解法。假設(shè) 只是 的函數(shù)：yy)(yfy則：)(22yfx)()(1yf

11、yxfx對 積分，得：x)()()(2212yfyxfyfx解之，得：其中， 、 是任意函數(shù)，即待定函數(shù)。)(1yf)(2yf（a)（b)3-4 3-4 簡支梁受均布荷載簡支梁受均布荷載qlqqllloxy2h2h圖3-4彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity 現(xiàn)在考察，上述應(yīng)力函數(shù)是否滿足相容方程。為此，對 求四階導(dǎo)數(shù)：將以上結(jié)果代入相容方程，得：424414442442222444d)(dd)(dd2)(d,d)(d, 0yyfyyfxyyfxyyyfyxx0d)(d2d)(dd)(dd)(d2122424414244yyfyyfxyyfxyyf相容條件要求此二次方程有無數(shù)

12、的根(全梁內(nèi)的 值都應(yīng)該滿足它),所以,它的系數(shù)和自由項都必須等于零。即：x0d)(d2d)(d, 0d)(d, 0d)(d2242441444yyfyyfyyfyyf前面兩個方程要求：GyFyEyyfDCyByAyyf23123)(,)(（c）第三個方程要求：23452610)(KyHyyByAyf（d）將式（c）和（d）代入式（b），得應(yīng)力函數(shù)：234523232610)()(2KyHyyByAGyFyEyxDCyByAyx（e）相應(yīng)的應(yīng)力分量為：)23()23(2622)26()26(2222232223222GFyEyCByAyxyxDCyByAyxKHyByAyFEyxBAyxyxy

13、yx（f）（g）（h）彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity這些應(yīng)力分量滿足平衡微分方程和相容方程。如果要使全部應(yīng)力邊界條件都滿足，除非常數(shù) 、 等于特定值，這樣以上應(yīng)力分量才是正確的解答。ABK 因為 面是梁和荷載的對稱面，所以應(yīng)力分布應(yīng)當(dāng)對稱于 yz 面。這樣， 和 應(yīng)當(dāng)是 的偶函數(shù)，而 應(yīng)當(dāng)是 的奇函數(shù)。于是由式（f）和（h）可見：yzxyxxyx0GFE（一）考察上下兩邊的邊界條件0)( ,)( , 0)(222hyxyhyhyyq 將上式代入應(yīng)力分量表達(dá)式，三個應(yīng)力分量變?yōu)椋?23(2622)26(2223232CByAyxDCyByAyKHyByAyBAyxxyyx

14、 上式中共有六個待定常數(shù)，利用應(yīng)力邊界條件求出。（i）彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity整理，得：0430432480248222323ChBAhChBAhqDChBhAhDChBhAh 由于這四個方程是獨立的，互不矛盾的，而且只包含四個未知數(shù)，所以聯(lián)立求解，得：2,23,0,23qDhqCBhqA彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity2,23, 0,23qDhqCBhqA將上面所得常數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式（i），得：xhqxyhqqyhqyhqKHyyhqyxhqxyyx23622322646233333

15、23（k）（L）（j）彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity（二）考察左右兩邊的邊界條件 由于對稱性，只需考慮其中的一邊?？紤]右邊：22220d)(0d)(hhlxxhhlxxyyy（m）（n） 將式（j）代入式（m），得：0d)2646(322332yKHyyhqyhqlhh積分，得：0K 將式（j）代入式（n），得：0d)646(322332yyHyyhqyhqlhh積分，得：hqhqlH1032qlqqllloxy2h2h圖3-4彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity將式 （l）代入，上式成為：滿足。 d)236(2223hhqlyhqlyhql 另一方面

16、，在梁的右邊剪應(yīng)力滿足：22d)(hhlxxyqlyyhqyhqlyhqyxhqx53646323323（p）將 和 代入式（j），得：HK將式 （p）、（k）、（L）整理，得應(yīng)力分量：)4(6)21)(1(2)534()(6223222223yhxhqhyhyqhyhyqyxlhqxyyx（q）彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity各應(yīng)力分量沿鉛直方向的變化大致如圖3-5所示。 在x的表達(dá)式中，第一項是主要項，和材料力學(xué)中的解答相同，第二項是彈性力學(xué)提出的修正項。對于通常的淺梁，修正項很小，可以不計。對于較深的梁，則需注意修正項。 y的最大絕對值是q，發(fā)生在梁頂。在材料力學(xué)中

17、，一般不考慮這個應(yīng)力分量。xy 和材料力學(xué)里完全一樣。 xyxy圖3-52h2h021120534222IbSFhyhyqhyhyqyIMsxyyx彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity以梁的中間截面為例，梁頂與梁底的彎曲應(yīng)力為22222,015113hlhlqhyxx當(dāng)h/2l=0.10時，第二項為第一項的0.3當(dāng)h/2l=0.25時，第二項為第一項的1.7當(dāng)h/2l=0.50時，第二項為第一項的6.70.20.40.60.810.050.10.150.20.25h/2l第一項第二項當(dāng)梁承受自身重量以代替分布荷載q時，解答必須加以這樣的修正：在方程(3-6)中令q=h(為梁的

18、容重)，并加上應(yīng)力只須取就可由232361hxyyxyfxxfyxyyyxx22222,得到應(yīng)力分布0,2, 0 xyyxyh彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity0,2, 0 xyyxyh因而它代表由重量和邊界力引起的一種可能的應(yīng)力狀態(tài)。在簡支梁的上邊(y=-h/2) ，我們有y=h，而在下邊(y=h/2)有y=0，于是將應(yīng)力0,2, 0 xyyxyh與前面令q=h而得到的解答相疊加。這時，梁的兩個水平邊上的應(yīng)力就成為零，而梁上的荷載只是梁的重量。彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity 欲求簡支梁的變形，可用與上節(jié)相同的方法得到。格式(m)代入Cauchy方程

19、，得222322323323232242103234122341210322yhGIqxyuxvyhyyxlyyhhEIqyvyyhhyhyyxlEIqxu(n)（二）梁的位移分量彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity xgyhyyxlyyhyhEIqvyfxyyhhxyhyyxxlEIqu224222422332323322062128122341210322積分前兩式，求得(o)把u、v代入前面的第三式，并使用關(guān)系式G=E/2(1+)，整理后，得 045232dddd232xhxxlEIqxxgyyf上式左邊第一項只是y的函數(shù)，而花括號內(nèi)的式子只是x的函數(shù)。為使兩個函數(shù)的和

20、等于零，令這兩個函數(shù)分別等于零，即彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity xhxxlEIqxxgyyf45232dd0dd232分別積分上邊兩式，得 ExhxxlEIqxgCyf2242285112212式中，C、E為積分常數(shù)。在梁的中央截面上，形心垂直位移(撓度)為，水平位移為零，故有0, 00, 0|, 0|yxyxvu(p)彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity把式(p)代入(O)中，并使式(O)滿足上面的邊界條件得C=0， E= 把C和E代入式(p)，再把式(p)代回式(o)，得到位移u、v的表達(dá)式2242222422242233232332851121

21、222062128122341210322xhxxlEIqyhyyxlyyhyhEIqvxyyhhxyhyyxxlEIqu(q)彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity令(q)中第二式的y=0，得簡支梁的撓曲線的方程式為2242285112122xhxxlEIqv根據(jù)簡支梁的邊界條件(r)0|0,ylxv得8515121245224lhEIql式中，為簡支梁跨中點的撓度，與材料力學(xué)的結(jié)果相比輪可見方括號前的因子就是按材料力學(xué)梁彎曲理論求得的跨度中點的撓度，而方括號中的第二項則是考慮剪切影響而作的修正。 (s)彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity按式(r)對x取兩

22、次導(dǎo)數(shù)，求得梁撓曲線的曲率為85121dd22222hxlEIqxv可見，撓曲線的曲率并不是精確地正比于橫截面上的彎矩q(l2-x2)，方括號中的第二項代表對材料力學(xué)公式的修正。(t)彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity 設(shè)有楔形體，左面垂直，頂角為，下端無限長，受重力及齊頂液體壓力,楔體密度為，液體密度為，試求楔體應(yīng)力分量。. gfy問題3-5 3-5 楔形體受重力及液體壓力楔形體受重力及液體壓力0 xf用半逆解法求解。（1）用量綱分析法假設(shè)應(yīng)力: 楔形體的應(yīng)力分量應(yīng)由重力W和由液體壓力p引起的應(yīng)力分量，它們分別與g和g

23、成正比(g是重力加速度)。gxy2Ngo（a) 這就是說，各應(yīng)力分量的表達(dá)式只可能是x和y的純一次式，而應(yīng)力函數(shù)對坐標(biāo)的二階偏導(dǎo)數(shù)給出應(yīng)力分量，所以，應(yīng)該是x和y的純?nèi)问?223dycxyybxax(a). 04 （2）由求應(yīng)力（1）滿足相容方程彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity 由題意，兩部分的應(yīng)力均與x、y、有關(guān)。應(yīng)力的量綱是力長度-2 g和g的量綱是力長度-3，是無量綱的量，而x和y的量綱是長度，因此，如果應(yīng)力分量具有多項式的解答，那末，它們的表達(dá)式只可能是Agx、Bgy、Cgx、 Dgy四種項次的組合，而其中的A、B、C、D是無量綱的數(shù)量，只與有關(guān)。邊界條件在左面

24、，即在x=0邊界上：將式(b)代入上式，得0|,|00 xxyxxgy02,6cygydy0,6cgd因而式(b)成為bxgybyaxgyxyyx226(c),6222dycxxfyxx,26122gybyaxyfxyy.222cybxyxxy(b)彈性力學(xué)Mechanics of Elasticitygxy2Ngo（a)在右面, 即x=y tan的邊界上， 0yxff0|0|tantantantanyxyyxxyyxxyyxxmlml將式(c)代入，得02tansintan2cos0tan2sincosgybybaybybygy(d)其中sin2cos,cos,cos,cosjninml代入

25、式(d)，求解(b)和(a)即得3cot6cot,2cot32ggagb彈性力學(xué)Mechanics of Elasticitygxy2Ngo（a)解答與分析v將系數(shù)a、b的值代入式(c)，得李維(Lvy)解答。223cotcotcot2cotgxyggxgggyxyyx(3-7)v各應(yīng)力分量沿水平方向的變化如圖示?？梢?，x 沿水平方向沒有變化，該結(jié)果由材料力學(xué)公式是得不到的。2ggnxyO圖x圖y圖xy彈性力學(xué)Mechanics of Elasticityvy沿水平方向按直線變化，在左面和右面，它分別為 2tan20cot|cot|gyyggyxyxy這與用材料力學(xué)里的偏心受壓公式算得的結(jié)果相

26、同。yggxggy23cotcot2cot彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity2ggnxyO圖x圖y圖xyv應(yīng)力分量xy也按直線變化，在左面和右面分別為cot|0|tan0gyyxxyxxy 按照材料力學(xué)的分析，xy按拋物線變化，與彈性力學(xué)解答不同。彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity2ggnxyO圖x圖y圖xy楔形體解答的應(yīng)用楔形體解答的應(yīng)用:作為重力壩的參考解答,分縫重力壩接近于平面應(yīng)力問題，在壩體中部的應(yīng)力，接近于楔形體的解答。重力壩規(guī)范規(guī)定的解法 材料力學(xué)解法（重力法）。重力壩的精確分析，可按有限單元法進(jìn)行。彈性力學(xué)Mechanics of Elas

27、ticity彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity3-3-6 6 平面問題的直角坐標(biāo)解答習(xí)題課平面問題的直角坐標(biāo)解答習(xí)題課練習(xí)練習(xí)1設(shè)有矩形截面的豎柱，其密度為，在一邊側(cè)面上受均布剪力q，如圖1，試求應(yīng)力分量。解解: :1.采用半逆解法，設(shè)x=0。導(dǎo)出 使其滿足雙調(diào)和方程：022xfyxx)()(1xfxyf)(xfy圖1xyqhgO4144444d)(dd)(dxxfxxfyx0, 022444yxy0d)(dd)(d, 0414444xxfxxfyxyqhgO)()(1xfxyf y取任意值時，上式都應(yīng)成立，因而有：0d)(d, 0d)(d41444xxfxxf23123)

28、(,)(FxExxfCxBxAxxf式中，f(x)中略去了常數(shù)項，f1(x)中略去了x的一次項及常數(shù)項，因為它們對應(yīng)力無影響。彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity(1)2.含待定常數(shù)的應(yīng)力分量為：)23(26)26(0222222CBxAxyxgyFExBAxyyfxxfyxyyyxx(2)2323)(FxExCxBxAxy3.利用邊界條件確定常數(shù)，并求出應(yīng)力解答：, 0)(0 xx能自然滿足：0, 0)(0CxxyxyqhgO彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity左邊界：, 0)(hxx能自然滿足：（3）, 0)(0yyx不能精確滿足，只能近似滿足：023B

29、hAh（4）xyqhgO彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity232xyx hqAhBhq00620yyExF右邊界：上邊界：00EF得：20000d032d0hhxyyyyAxBxy由式（3）、（4）解出常數(shù)A和BhqBhqA,2xyqhgO)32(,)31 (2, 0hxhqxPyhxhqyxyyx（5)彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity（3）023BhAh（4）232AhBhq進(jìn)而可求得應(yīng)力分量：4.分析：（3）若設(shè)xy=f(x)，則導(dǎo)出的應(yīng)力函數(shù)和應(yīng)力分量為：DCxxBPyFExCBxyyfxFxExfDCxxBxfxfyyfxxfyxyyx2231

30、212)(),(26)(,2)()(d)(d)(（6)（7)常數(shù)確定后代入式（7），所得結(jié)果與式（5）相同。彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity（1）f (x)中的Cx不能略去，因為Cx對剪應(yīng)力有影響。（2）在上端部，首先應(yīng)使應(yīng)力分量精確滿足邊界條件，如不能，則可運用圣維南原理放松滿足。本題(y)y=0=0 能精確滿足，因此，y 在此處是精確解，而xy 在上端部是近似解練習(xí)練習(xí)2 如圖2（a），三角形懸臂梁只受重力作用，梁的密度為，試用純?nèi)问綉?yīng)力函數(shù)求解該梁的應(yīng)力分量。圖2解：解：1.設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：=Ax3+Bx2y+Cxy2+Dy3不難驗證其滿足 。04 lxygO(a)

31、xygO(b)l0q0qlx彈性力學(xué)Mechanics of ElasticityCyBxyxgyByAxyfxDyCxxfyxyyyxx222662222222.用邊界條件確定常數(shù)，進(jìn)而求出應(yīng)力解答：上邊界：0)( , 0)(00yyxyy斜面：0cossin0cossincos,sin)90cos(yxyxyxml所以應(yīng)力分量為：lxygO(a)彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity解得：cot,cot2cotcot3,cot2, 022gygygygxgDgCBAxyyx3.分析：本題的應(yīng)力函數(shù)可用量綱分析方法得到，此函數(shù)亦可用來求解上邊界受線形載荷 作用的問題，見圖2（

32、b）。0qlxq xygO(b)l0q0qlx彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity 練習(xí)練習(xí)3 3 如果為平面調(diào)和函數(shù)，它滿足 ，問x，y，(x2+y2)是否可作為應(yīng)力函數(shù)。02解：解： 將1=x代入相容條件，得：xyxxxxyx2)(2)(22222222121=x滿足雙調(diào)和方程，因此，可作為應(yīng)力函數(shù)。0)(2)2(22122xx彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity把3=(x2+y2)代入相容條件，得：yyxxyxyx444)()()(222222232所以3也可作為應(yīng)力函數(shù)。0)2(,2222222yy 將2=y代入相容條件，得：2=y也能作為應(yīng)力函數(shù)0

33、)444(2322yyxx彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity 練習(xí)練習(xí)4 4 圖所示矩形截面簡支梁受三角形分布荷載作用，試取應(yīng)力函數(shù)為： ，求簡支梁的應(yīng)力分量（體力不計）。FxyExDxyyCxBxyyAx33353360lq30lq圖3xy0qlxq0 xl1h解：解： 1、由滿足相容方程確定系數(shù)A與B的關(guān)系：彈性力學(xué)Mechanics of ElasticityBABxyAxyAxyyxBxyyx3501207236,120, 02244444（1)2、含待定系數(shù)的應(yīng)力分量為)2()3359(666620622422333FDyCxByyAxExCxyAxyDxyBxy

34、yAxxyyx彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity3、由邊界條件確定待定系數(shù)：) 3 (0)(6)2(6)2(6,)(20302hyxyhyylxqExhCxhAxlxq)4(0)2(33)2(5)2(922422FhDCxhBhAx)6(0)2(33)2(5)2(9 , 0)() 5(06)2(6)2(6, 0)(22422232FhDCxhBhAxExhCxhAxhyxyhyy60lq30lqxy0qlxq0 xl彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity由以上式子可求得：)8(0, 0d)()7(6804,6d)(4,5,3,1222220203002203

35、0300DBhAlyylqlhqFhDhlqylhqClhqBlhqAlqEhhlxxxhhxy由此可解得：lhqhlqFhlqlhqD804,31000300彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity4、應(yīng)力分量為)9(203)(4(4)43(2)1032(22222223033230322230hlyxhylhqhyyhxlhqhlxyxylhqxyyx彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity 練習(xí)練習(xí)5 5 如圖所示，右端固定懸臂梁，長為l，高為h，在左端面上受分布力作用（其合力為P）。不計體力，試求梁的應(yīng)力分量。 1、用湊和冪次不同的雙調(diào)和多項式函數(shù)的半逆解法

36、來求。顯然，應(yīng)力函數(shù)d4xy3所對應(yīng)的面力，在梁兩端與本題相一致，解：解：只是該函數(shù)在上、下邊界面上多出了一個大小為 的剪應(yīng)力，為了抵消它，在應(yīng)力函數(shù) 上再添加一個與純剪應(yīng)力對應(yīng)的應(yīng)力函數(shù) ： 2443hd34xyd xyb2PyOhlxxybxyd234彈性力學(xué)Mechanics of Elasticityxybxyd2342、由平衡條件得含有待定系數(shù)的應(yīng)力表達(dá)式為：24222242230,6ydbyxxxydyxyyx3、利用邊界條件確定，并求出應(yīng)力分量：上、下邊界： 24,bd0)(,0)(22hyxyhyyPyOhlx左端部： Pyhhxxyxxd)(,0)(2200解得： 23334

37、2623, 0,122,23yhPhPxyhPhPdhPbxyyx彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity 練習(xí)練習(xí)6 6 擋水墻的密度為1 ，厚度為b,如圖,水的密度為2，試求應(yīng)力分量。xybg1Og2解： 用半逆解法求解。因為在 y=-b/2邊界上， y=0 ; 在 y=b/2邊界上，y=-2gx ，所以可假設(shè)在區(qū)內(nèi)y沿x 向也應(yīng)是一次式變化，即y=xf(y)1、假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。2、按應(yīng)力函數(shù)的形式，由y推測 的形式，彈性力學(xué)Mechanics of Elasticity 22yxfyx 212xfyfyx 3126xfyxfyfy 3、 由相容方程求應(yīng)力函數(shù)。代入 得, 04 . 0dd2dddddd622424414443yfxy