第八章 無窮級數(shù)

1、第八章第八章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)無窮無窮級數(shù)級數(shù)無窮級無窮級數(shù)概念數(shù)概念和性質(zhì)和性質(zhì)正項正項級數(shù)級數(shù)任意項任意項級數(shù)級數(shù)冪級數(shù)冪級數(shù)函數(shù)的函數(shù)的冪級數(shù)冪級數(shù)展開展開傅立葉傅立葉級數(shù)級數(shù)正弦與正弦與余弦級數(shù)余弦級數(shù)周期延拓周期延拓周期為周期為2L的函數(shù)的的函數(shù)的冪級數(shù)冪級數(shù)的展開的展開傅立葉傅立葉級數(shù)的級數(shù)的復(fù)數(shù)形式復(fù)數(shù)形式第一節(jié)第一節(jié) 無窮級數(shù)概念與性質(zhì)無窮級數(shù)概念與性質(zhì)重點：重點： （1） 級數(shù)及其收斂與發(fā)散級數(shù)及其收斂與發(fā)散 （2） 級數(shù)的基本性質(zhì)級數(shù)的基本性質(zhì) （3） 級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件難點：難點： 用定義判斷級數(shù)的斂散性用定義判斷級數(shù)的斂散性 一、無窮級數(shù)的基本概念一、

2、無窮級數(shù)的基本概念二、數(shù)項級數(shù)的收斂和發(fā)散二、數(shù)項級數(shù)的收斂和發(fā)散3333. 010310310310332nnS 當當n時，有時，有 313 . 03333. 0limnnS 它反映了級數(shù)它反映了級數(shù)1103nn的無窮多項累加的結(jié)果為的無窮多項累加的結(jié)果為 31，我們，我們 把極限值把極限值31叫作級數(shù)叫作級數(shù)1103nn的“和” 。的“和” 。 一般的，對級數(shù)一般的，對級數(shù)1nnu，分別取它的前，分別取它的前 1 項，項，2 項，項， n項，項，的和的和1S，2S，3S，nS， 即即 11uS 212uuS 12nnSuuu 設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列1S，2S，3S，nS，為級數(shù)為級數(shù)1nnu的的部分

3、和部分和 數(shù)列數(shù)列（簡稱（簡稱部分和部分和） ，這樣，就可以把無窮多項求和的問題歸，這樣，就可以把無窮多項求和的問題歸 結(jié)為求相應(yīng)的部分和數(shù)列的極限問題。結(jié)為求相應(yīng)的部分和數(shù)列的極限問題。 定義定義 如果如果SSnnlim，則稱級數(shù)，則稱級數(shù)1nnu收斂收斂，稱極限值，稱極限值S為級為級 數(shù)的數(shù)的和和，記作，記作 nnnnuuuuS211 此時稱此時稱21nnnnSSSSr為級數(shù)的為級數(shù)的余項余項。如果。如果nnSlim 不存在，則稱級數(shù)不存在，則稱級數(shù)1nnu發(fā)散發(fā)散，發(fā)散的級數(shù)沒發(fā)散的級數(shù)沒有和。有和。 （1） 當1q 時，0limnnq， 所以qaSnn1lim， 故此時級數(shù)收斂，其和為

4、qaS1 （2） 當1q 時，nnqlim 所以nnSlim不存在，此時級數(shù)發(fā)散。 （3） 當1q時，大家可自行證明，等比級數(shù)發(fā)散。 歸納起來，當1q 時，等比級數(shù)收斂，其和為qaS1； 當1q時，等比級數(shù)發(fā)散。 性質(zhì)性質(zhì) 1 若若1nnuS， C 為常數(shù)，則為常數(shù)，則1nnCuCS。 性質(zhì)性質(zhì) 2 若若1nnuS，1nnv，則有，則有 Svuvunnnnnnn111)( 性質(zhì)性質(zhì) 3 一個級數(shù)增加或去掉有限項，不改變級數(shù)的斂散一個級數(shù)增加或去掉有限項，不改變級數(shù)的斂散 性（但收斂級數(shù)的和要變） 。性（但收斂級數(shù)的和要變） 。 性質(zhì)性質(zhì) 4 收斂級數(shù)任意加括號后所形成的新級數(shù)仍收斂，收斂級數(shù)任

5、意加括號后所形成的新級數(shù)仍收斂， 其和不變。其和不變。 注注意：意：性質(zhì)性質(zhì) 4 的逆命題是錯誤的。的逆命題是錯誤的。 三、無窮級數(shù)的性質(zhì)三、無窮級數(shù)的性質(zhì)例例4 判別級數(shù)判別級數(shù)11)3) 1(2(nnn是否收斂，如果收斂，并求其和。是否收斂，如果收斂，并求其和。 解：解： 131nn是是31q的等比級數(shù)，收斂并且和為的等比級數(shù)，收斂并且和為2131131。 同理同理 41311313) 1(11nnn 根據(jù)級數(shù)的性質(zhì)根據(jù)級數(shù)的性質(zhì) 1，2 可知，可知，11)3) 1(2(nnn也收斂也收斂，其和為其和為 4541212413123) 1(32)3) 1(2(111111nnnnnnnnnn

6、 四、級數(shù)收斂的必要條件四、級數(shù)收斂的必要條件第二節(jié)第二節(jié) 正項級數(shù)正項級數(shù)重點：重點： 正項級數(shù)收斂性的兩個判別法正項級數(shù)收斂性的兩個判別法難點：難點： 比較判別法中尺度的選擇比較判別法中尺度的選擇 1. 如果級數(shù)如果級數(shù)1nnu的每一項的每一項0nu，則稱，則稱1nnu為為正項級數(shù)正項級數(shù) 2. 設(shè)正項級數(shù)設(shè)正項級數(shù)1nnu和和1nnv滿足：滿足： nnvu )3 , 2 , 1(n 則則 （1） 若級數(shù)若級數(shù)1nnv收斂收斂，1nnu也收斂，也收斂， （2） 若級數(shù)若級數(shù)1nnu收斂，收斂，1nnv也收斂。也收斂。 這個判別法稱為正項級數(shù)的這個判別法稱為正項級數(shù)的比較判別法比較判別法。

7、一、比較審斂法一、比較審斂法例例1 級數(shù)級數(shù)11312111nnn叫作調(diào)和級數(shù)，試判別其叫作調(diào)和級數(shù)，試判別其 斂散性。斂散性。 解：解： 當當0 x 時，有時，有l(wèi)n(1)xx（此不等式可用函數(shù)的（此不等式可用函數(shù)的 單調(diào)性來證明）單調(diào)性來證明） 所以所以 111123111ln(1 1)ln(1)ln(1)ln(1)23341ln2lnlnln23nnnn 例例2 討論討論p級數(shù)級數(shù)11npn (0)p 的斂散性。的斂散性。 解： （解： （1） 當當1p時，時，p級數(shù)為調(diào)和函數(shù)，故發(fā)散。級數(shù)為調(diào)和函數(shù)，故發(fā)散。 （2） 當當1p 時，時，pnn，因此，因此11pnn， 由比較判別法知由比

8、較判別法知11npn發(fā)散。發(fā)散。 （3）當）當1p 時，將級數(shù)改寫成：時，將級數(shù)改寫成： 122331111111111 ()()()234567891524812481111222ppppppppppppppp 例例3 用比較判別法判別下列級數(shù)的斂散性：用比較判別法判別下列級數(shù)的斂散性： （1） 1221nnn （2） 1)1ln(1nn （3） 1354nnnn （4） 121nnn （3）因為）因為 25)54()531 (54)53(1 (54354nnnnnnnnn 而級數(shù)而級數(shù)125)54(nn是公比為是公比為 54的等比級數(shù)，且收斂的。的等比級數(shù)，且收斂的。 故級數(shù)故級數(shù)1354

9、nnnn收斂。收斂。 （4） 因為因為11122nnnnnn， 而級數(shù)而級數(shù)111nn是發(fā)散的是發(fā)散的 故級數(shù)故級數(shù)121nnn發(fā)散。發(fā)散。 二、比值審斂法二、比值審斂法例例5 判斷下列級數(shù)的斂散性判斷下列級數(shù)的斂散性 （1） 1nnna (0a) (2) 1!nnnn (3) 12nnn 解：解： （1） annananauunnnnnnn1lim1limlim11 因為因為0a，所以當，所以當10 a時級數(shù)收斂，當時級數(shù)收斂，當1a時時 級數(shù)發(fā)散。級數(shù)發(fā)散。 （2） 1)1(lim!)!1() 1(limlim11ennnnnnuunnnnnnnn 所以級數(shù)是發(fā)散的。所以級數(shù)是發(fā)散的。 （

10、3） 12121lim221limlim11nnnnnnnnnnnuu 所以級數(shù)是發(fā)散的。所以級數(shù)是發(fā)散的。 第三節(jié)第三節(jié) 任意項級數(shù)任意項級數(shù)重點：重點：（1） 交錯級數(shù)審斂法交錯級數(shù)審斂法 （2） 絕對收斂與條件收斂絕對收斂與條件收斂難點：難點： 絕對收斂與條件收斂絕對收斂與條件收斂設(shè)設(shè)0nu， （3 , 2 , 1n） ，下列級數(shù)：） ，下列級數(shù)： 1154321) 1(nnnuuuuuu 154321) 1(nnnuuuuuu 稱為交錯級數(shù)，稱為交錯級數(shù)， 交錯級數(shù)審斂法：交錯級數(shù)審斂法： 若（若（1） 1nnuu， , 3 , 2 , 1n （2） 0limnnu 則交錯級數(shù)收斂，且

11、和則交錯級數(shù)收斂，且和1uS ；余項；余項nr的絕對值的絕對值1nnur。 一、交錯級數(shù)一、交錯級數(shù)例例 1 判斷下列級數(shù)的斂散性。判斷下列級數(shù)的斂散性。 （1） 11) 1(nnn （2） 111) 1(nnn 解： （解： （1） nun1，111nun 顯然有顯然有 1nnuu，且，且 0limnnu 故級數(shù)收斂。故級數(shù)收斂。 （2） nun1，111nun 顯然有顯然有 1nnuu，且，且 01limnn， 故級數(shù)收斂。故級數(shù)收斂。 如果級數(shù)如果級數(shù)1nnu中各項可取中各項可取任意任意實數(shù)實數(shù)，則稱級數(shù)，則稱級數(shù)1nnu為任意項為任意項 級數(shù)。級數(shù)。有有如下如下結(jié)論：結(jié)論： （1） 若

12、級數(shù)若級數(shù)1nnu收斂，則級數(shù)收斂，則級數(shù)1nnu一定收斂。此時稱級數(shù)一定收斂。此時稱級數(shù) 1nnu絕對收斂絕對收斂。 （2） 若級數(shù)若級數(shù)1nnu收斂，而級數(shù)收斂，而級數(shù)1nnu發(fā)散，則稱發(fā)散，則稱1nnu條件收斂條件收斂。 （3） 若級數(shù)若級數(shù)1nnu發(fā)散，則級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)1nnu可能收斂，也可能發(fā)散?？赡苁諗浚部赡馨l(fā)散。 二、絕對收斂與條件收斂二、絕對收斂與條件收斂例例 2 證明級數(shù)證明級數(shù)121sin) 1(nnnn收斂。收斂。 證明：證明： 因為因為2211sin) 1(nnnn，而級數(shù)，而級數(shù)121nn是是2p時時 的的p級數(shù)，它是收斂的，所以由比較判別法，級數(shù)級數(shù)，它是收斂的

13、，所以由比較判別法，級數(shù) 121sin) 1(nnnn 收斂，從而級數(shù)收斂，從而級數(shù)121sin) 1(nnnn是絕對收斂的。是絕對收斂的。 故級數(shù)故級數(shù)121sin) 1(nnnn收斂。收斂。 例例 3 指出下列級數(shù)是絕對收斂還是條件收斂：指出下列級數(shù)是絕對收斂還是條件收斂： （1） 111) 1(nnn （2） 111) 1(nnnn 解： （解： （1）級數(shù)）級數(shù)111) 1(nnn是交錯級數(shù)，由交錯級數(shù)審斂法可知是交錯級數(shù)，由交錯級數(shù)審斂法可知 它收斂。而它收斂。而 11111) 1(nnnnn是是1p的的p級數(shù)，是發(fā)散的，級數(shù)，是發(fā)散的， 故級數(shù)故級數(shù)111) 1(nnn條件收斂。條

14、件收斂。 （2）級數(shù)）級數(shù)111) 1(nnnn的每項取絕對值得級數(shù)的每項取絕對值得級數(shù)11nnn，它是，它是23p 的的p級數(shù)，是收斂的，因此級數(shù)級數(shù)，是收斂的，因此級數(shù)111) 1(nnnn絕對收斂。它本身一絕對收斂。它本身一 定收斂。定收斂。 第四節(jié)第四節(jié) 冪級數(shù)冪級數(shù)重點：重點：（1）冪級數(shù)概念及收斂半徑）冪級數(shù)概念及收斂半徑、收斂、收斂 區(qū)間區(qū)間 （2）冪級數(shù)的運算性質(zhì)）冪級數(shù)的運算性質(zhì)難點：難點：利用冪級數(shù)的運算性質(zhì)求冪級利用冪級數(shù)的運算性質(zhì)求冪級 數(shù)的和數(shù)的和形形如如 nnnnnxxaxxaaxxa)()()(001000 （1） 的的級級數(shù)數(shù)叫叫做做冪冪級級數(shù)數(shù)。此此處處0 x

15、為為常常數(shù)數(shù)，,210naaaa， 叫叫做做 冪冪級級數(shù)數(shù)的的系系數(shù)數(shù)。 特特別別地地，0 x 時時，冪冪級級數(shù)數(shù)（1）就就變變?yōu)闉椋?nnnnnxaxaxaaxa22100 （2） 冪冪級級數(shù)數(shù)（1）做做變變量量代代換換txx0就就可可以以化化為為冪冪級級數(shù)數(shù)（2） ，因因此此 我我們們重重點點研研究究冪冪級級數(shù)數(shù)（2） 。 一、冪級數(shù)的概念一、冪級數(shù)的概念例例 1 求冪級數(shù)求冪級數(shù) nxxxx321 的收斂域及和函數(shù)的收斂域及和函數(shù))(xS. 解：這是一個公比為解：這是一個公比為x的等比級數(shù)，因此當?shù)牡缺燃墧?shù)，因此當1x ， 即即11x時收斂，當時收斂，當1x時發(fā)散，所以級數(shù)時發(fā)散，所以級

16、數(shù) nxxxx321 的收斂域為的收斂域為) 1 , 1(，發(fā)散域為，發(fā)散域為(,11,)。 由等比級數(shù)的求和公式知由等比級數(shù)的求和公式知,它的和函數(shù)為它的和函數(shù)為xxS11)(，即，即 nxxxxx32111 ) 1 , 1(x 定理：定理：設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù)1nnnxa的系數(shù)滿足的系數(shù)滿足1limnnnaRa （1） 如果如果 R0，則當，則當Rx 時，冪級數(shù)絕對收斂；時，冪級數(shù)絕對收斂； 當當Rx 時，冪級數(shù)發(fā)散；當時，冪級數(shù)發(fā)散；當Rx時，時，須須另行判定另行判定。 （2） 如果如果R，則冪級，則冪級數(shù)在數(shù)在),(內(nèi)絕對收斂。內(nèi)絕對收斂。 （3） 如果如果0R，則冪級數(shù)僅在，則冪級數(shù)僅在

17、0 x點收斂。點收斂。 這個定理告訴我們，冪級數(shù)這個定理告訴我們，冪級數(shù)1nnnxa的收斂域是以原點為中心，的收斂域是以原點為中心， 長度為長度為R2的區(qū)間，共有四種可能： （的區(qū)間，共有四種可能： （1） ),(RR ， （， （2） ,RR ， （3）),RR ， （4）,(RR ，稱稱 R 為冪級數(shù)為冪級數(shù)1nnnxa的的收斂半徑收斂半徑。 可見，求冪級數(shù)可見，求冪級數(shù)1nnnxa的收斂域的收斂域，關(guān)鍵是求它的收關(guān)鍵是求它的收斂半徑斂半徑 1limnnnaaR，再判定，再判定在在Rx時時的斂散性，從而確定其收斂的斂散性，從而確定其收斂區(qū)間。區(qū)間。 例例1 求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間求下列冪級

18、數(shù)的收斂區(qū)間 （1） 0!nnnx （2） 11)(nnnx （3） 1) 1(nnnnx （4） 0212nnnxn 解：收斂半徑為解：收斂半徑為 ) 1(lim)!1(1!1limlim1nnnaaRnnnnn 故冪級數(shù)故冪級數(shù)0!nnnx的收斂區(qū)間為的收斂區(qū)間為),(。 （2） 收斂半徑為收斂半徑為 0011)11 (1lim1)1(lim) 1(limlim11ennnnnnnaaRnnnnnnnnnn 故冪級數(shù)僅在故冪級數(shù)僅在0 x處收斂。處收斂。 （3） 收斂半徑為收斂半徑為 11lim11) 1(1) 1(limlim11nnnnaaRnnnnnnn 當當1x時，代入冪級數(shù)得時，

19、代入冪級數(shù)得11) 1(nnn，它是一個收斂的交錯，它是一個收斂的交錯級數(shù)。級數(shù)。 當當1x時，代入冪級數(shù)得時，代入冪級數(shù)得11nn，它是調(diào)和級數(shù)，是發(fā)散的。，它是調(diào)和級數(shù)，是發(fā)散的。 故冪級數(shù)的收斂區(qū)間為故冪級數(shù)的收斂區(qū)間為 1 , 1(。 （4） 所給冪級數(shù)缺奇次項，不能用上面的方法求收斂所給冪級數(shù)缺奇次項，不能用上面的方法求收斂 半徑半徑 R。由比值審斂法，得：。由比值審斂法，得： 222)1(2112222lim121) 1(2limlimxxnnxnxnuunnnnnnnnn 根據(jù)比值審斂法，當根據(jù)比值審斂法，當122x，即，即21x時，級數(shù)收斂；時，級數(shù)收斂； 當當21x時，級數(shù)發(fā)

20、散；當時，級數(shù)發(fā)散；當21x時，級數(shù)成為發(fā)散的數(shù)項時，級數(shù)成為發(fā)散的數(shù)項 級數(shù)級數(shù)011nn。所以級數(shù)的收斂區(qū)間為。所以級數(shù)的收斂區(qū)間為)21,21(。 性質(zhì)性質(zhì) 1： 設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù)0nnnxa和和0nnnxb的收斂半徑分別為的收斂半徑分別為1R和和2R， 和函數(shù)分別為和函數(shù)分別為)(1xS和和)(2xS，),min(21RRR ，則冪級數(shù)，則冪級數(shù) 1)(nnnnxba的收斂半徑為的收斂半徑為 R，且，且 )()()(21000 xSxSxbaxbxannnnnnnnnn， RxR 性質(zhì)性質(zhì) 2： 若冪級數(shù)若冪級數(shù)1nnnxa的收斂半徑為的收斂半徑為0R，和函數(shù)為，和函數(shù)為)(xS， 則

21、在區(qū)間則在區(qū)間),(RR內(nèi)和函數(shù)可導，且有內(nèi)和函數(shù)可導，且有 0010)()()(nnnnnnnnnxnaxaxaxS 即冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項求導。即冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項求導。 三、冪級數(shù)的運算性質(zhì)三、冪級數(shù)的運算性質(zhì)例例3 求冪級數(shù)求冪級數(shù)11nnnx的收斂區(qū)間及和函數(shù)，并求數(shù)項級數(shù)的收斂區(qū)間及和函數(shù)，并求數(shù)項級數(shù) 12nnn的和。的和。 解：解： 因為因為 11limlim1nnaaRnnnn 把把1x代入冪級數(shù)后都不收斂，所以原級數(shù)的收斂區(qū)間為代入冪級數(shù)后都不收斂，所以原級數(shù)的收斂區(qū)間為) 1 , 1(。 設(shè)和函數(shù)為設(shè)和函數(shù)為)(xS， 因為因為nxnxdtnt01， 所

22、以，所以， xxxdtntdtntdttSnnnxnxnnx 1)()(11010110 兩邊求導得：兩邊求導得： 2)1 (1)1()(xxxxS ) 1 , 1(x 即即 112)1 (1nnnxx， ) 1 , 1(x 將將21x代入得：代入得： 2)211 (121)21(2122111nnnnnn 例例4 對冪級數(shù)對冪級數(shù) nnxxxx) 1(1112 （11x） 進行逐項求導和逐項積分。進行逐項求導和逐項積分。 解：由于解：由于2)1 (1)11(xx，對冪級數(shù)逐項求導得：，對冪級數(shù)逐項求導得： nnnxxxx122) 1(321)1 (1 （11x） 對冪級數(shù)逐項積分得：對冪級數(shù)

23、逐項積分得： xnnxxxxdttdtttdtt ddtt002000) 1(11 （11x） 即即 nnxnxxxxx1) 1(413121)1ln(1432 （11x） 例例5 求冪級數(shù)求冪級數(shù)1!nnnx的和函數(shù)。的和函數(shù)。 解：例解：例 2 中已經(jīng)求出它的收斂區(qū)間為中已經(jīng)求出它的收斂區(qū)間為),(， 設(shè)和函數(shù)為設(shè)和函數(shù)為)(xS， 即：即： ! 21)(2nxxxxSn ),(x 逐項求導得：逐項求導得：)(! 21)(2xSnxxxxSn 即即 )()(xSxS 解這個微分方程得：解這個微分方程得：xCexS)( 由于由于1)0(S，所以，所以1C，于是，于是xexS)( 即即 ! 2

24、12nxxxenx 綜合例綜合例 3，例，例 4，例，例 5，有如下幾個等式：，有如下幾個等式： (1) 1321124321)1 (1nnnnxxxxnxx (2) nnnxxxx122) 1(321)1 (1 （11x） (3) nnxnxxxxx1) 1(413121)1ln(1432（11x） (4) ! 212nxxxenx （x） 第五節(jié)第五節(jié) 函數(shù)的冪級數(shù)的展開函數(shù)的冪級數(shù)的展開重點重點 （1）把函數(shù)展開為冪級數(shù)）把函數(shù)展開為冪級數(shù) （2）求函數(shù)的收斂區(qū)間）求函數(shù)的收斂區(qū)間難點難點 （1）冪級數(shù)的展開技巧）冪級數(shù)的展開技巧 （2）冪級數(shù)的簡單應(yīng)用）冪級數(shù)的簡單應(yīng)用對于一個給定的函

25、數(shù)對于一個給定的函數(shù))(xf，如果能找到一個冪級數(shù)，如果能找到一個冪級數(shù)0nnnxa,使使 2012( )nnf xaa xa xa x（RxR） （1） 成立，那么就說函數(shù)成立，那么就說函數(shù))(xf可以展開為可以展開為x的冪級數(shù)， （的冪級數(shù)， （1）式稱為）式稱為)(xf 的的x的冪級數(shù)展開式。的冪級數(shù)展開式。 在這里，有在這里，有兩個問題需要解決：兩個問題需要解決： （1） 在（在（1）式中，系數(shù)）式中，系數(shù)0a，1a，2a，na如何確定？如何確定？ （2） )(xf滿足什么條件才能展開為滿足什么條件才能展開為x的冪級數(shù)？的冪級數(shù)？ 我們來解決問題（我們來解決問題（1） ，不妨設(shè)展開式（

26、） ，不妨設(shè)展開式（1）成立，那么根據(jù)冪）成立，那么根據(jù)冪 級數(shù)的逐項求導法，對式（級數(shù)的逐項求導法，對式（1）依次求出各階導數(shù)：）依次求出各階導數(shù)： 一、函數(shù)的冪級數(shù)展開一、函數(shù)的冪級數(shù)展開1232132)(nnxnaxaxaaxf 232) 1(232)(nxnnxaaxf 221)(2)!2()!1(!)(xanxananxfnnnn 把把0 x代入（代入（1）式及上述各式中得：）式及上述各式中得： 0)0(af，1)0(af，2! 2)0(af ，nnanf!)0()(， 于是于是 )0(0fa ，! 1)0(1fa，! 2)0(2fa ， ，!)0()(nfann， 代入到（代入到（

27、1）式中得）式中得 nnxnfxfxffxf!)0(! 2)0(! 1)0()0()()(2（RxR） （2） 稱式（稱式（2）為）為)(xf的的麥克勞林展開式麥克勞林展開式， （或稱， （或稱)(xf在在0 x 處的處的泰勒展開式泰勒展開式） 。式（） 。式（2）右端的級數(shù)稱為）右端的級數(shù)稱為)(xf的的麥克勞林級數(shù)麥克勞林級數(shù) （或稱（或稱)(xf在在0 x處的處的泰勒級數(shù)泰勒級數(shù)） 。） 。 并且我們可以得到：如果并且我們可以得到：如果)(xf在包含點在包含點0 x在內(nèi)的某一在內(nèi)的某一 區(qū)間區(qū)間),(RR內(nèi)有任意階導數(shù)，且內(nèi)有任意階導數(shù)，且 (1)1( )lim( )lim0(1)!nn

28、nnnfR xxn（在在 0 和和x之間，之間，RxR） 那么，那么，)(xf在在),(RR區(qū)間內(nèi)就可以展開為麥克勞林級數(shù)。用上述區(qū)間內(nèi)就可以展開為麥克勞林級數(shù)。用上述 方法把已知函數(shù)展開成方法把已知函數(shù)展開成x的冪級數(shù)的冪級數(shù)叫做叫做直接展開法直接展開法。 因因為為xee，故故對對任任意意給給定定的的x，e有有界界，而而 )!1(1nxn 是是收收斂斂級級數(shù)數(shù)的的一一般般項項，所所以以根根據(jù)據(jù)級級數(shù)數(shù)收收斂斂的的必必要要條條件件，對對任任意意 的的x ，都都有有 0)!1(lim1nxnn 從從而而， 0)(limxRnn， Rx 這這樣樣，我我們們得得到到xe的的麥麥克克勞勞林林級級數(shù)數(shù)為

29、為 ! 2! 112nxxxenx （x） 例例2 求正弦函數(shù)的麥克勞林級數(shù)。求正弦函數(shù)的麥克勞林級數(shù)。 解：解： xysin的各階導數(shù)為的各階導數(shù)為 )2sin()()(nxxfn （ 0,1,2,3n ） )0()(nf（n=0，1，2，3，）依次循環(huán)地取）依次循環(huán)地取 0，1，0，-1， 于是得于是得xsin的展開式為的展開式為 )!12() 1(! 5! 31253nxxxxnn （ 0,1,2,3n ） 容易求得此級數(shù)的收斂區(qū)間為容易求得此級數(shù)的收斂區(qū)間為),(。而。而 11)()!1(2) 1(sin)!1()()(nnnnxnnxnfxR （ 在在 0 和和 x之間）之間） 例例

30、4 求函數(shù)求函數(shù)xxxf11ln)(的麥克勞林級數(shù)。的麥克勞林級數(shù)。 解：解： )1ln()1ln(11ln)(xxxxxf 可先求可先求)1ln(x和和)1ln(x的展開式：的展開式： 1) 1(32)1ln(132nxxxxxnn （11x） 把上式中的把上式中的x換為換為x，得：，得： 132)1ln(132nxxxxxn （11x） 兩式相減便得：兩式相減便得： )1253(211ln123nxxxxxxn （11x） 例例5 把把x1展開成展開成2x的冪級數(shù)。的冪級數(shù)。 解：解： )22(1121221121)2(211xxxx 把把x11的展開式中的的展開式中的x換為換為22x得：

31、得： )2)2(2) 3(2)2(221 (211443322xxxxx （1221x） 整理得：整理得： )2)2() 1(2) 3(2)2(22211143322nnnxxxxx （40 x） 二、冪級數(shù)的應(yīng)用舉例二、冪級數(shù)的應(yīng)用舉例例例8 利用冪級數(shù)證明歐拉公式利用冪級數(shù)證明歐拉公式 xixeixsincos （*） 證明：在證明：在xe的展開式中，將的展開式中，將x換為換為ix得：得： !)(! 3)(! 2)(132nixixixixenix 由于由于12i，ii3，14i，ii 5，所以所以 xixxxxixxxixxixixeixsincos)! 5! 3()! 4! 21 (!

32、 5! 4! 3! 2153425432 證畢。證畢。 同理得：同理得： xixeixsincos （*） 將（將（*）式與（）式與（*）式相加相減得：）式相加相減得： )(21cosixixeex （） )(21sinixixeex （） （*） 、 （） 、 （*） 、 （） 、 （） 、 （） 、 （）四式實質(zhì)上是一樣的，都稱為）四式實質(zhì)上是一樣的，都稱為 歐拉公式歐拉公式。它們揭示了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，其應(yīng)。它們揭示了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，其應(yīng) 用很廣泛。用很廣泛。 第六節(jié)第六節(jié) 傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)重點：重點：（1）三角函數(shù)系的正交性）三角函數(shù)系的正交性 （2）把周

33、期為的函數(shù)展開為傅立葉）把周期為的函數(shù)展開為傅立葉 技術(shù)，并求出收斂于的范圍技術(shù)，并求出收斂于的范圍難點：難點：（1）收斂定理的理解）收斂定理的理解 （2）傅立葉系數(shù)的計算）傅立葉系數(shù)的計算一、問題的提出一、問題的提出在在自自然然現(xiàn)現(xiàn)象象和和科科學學技技術(shù)術(shù)中中，常常會會遇遇到到各各種種周周期期現(xiàn)現(xiàn)象象，這這類類周周期期 現(xiàn)現(xiàn)象象中中的的有有關(guān)關(guān)量量在在經(jīng)經(jīng)過過一一定定的的時時間間T以以后后，又又回回到到原原來來的的初初值值。這這 樣樣的的周周期期一一般般是是可可由由周周期期為為T的的函函數(shù)數(shù) )()(tfTtf 來來描描述述。例例如如彈彈簧簧的的振振動動可可用用函函數(shù)數(shù) )sin(tAS 來

34、來表表示示；正正弦弦交交流流電電的的電電流流強強度度可可用用函函數(shù)數(shù) )sin(0tII 來來表表示示。其其中中A和和0I叫叫做做振振幅幅，是是角角頻頻率率，叫叫做做初初位位相相。它它們們 都都是是以以2T為為周周期期的的函函數(shù)數(shù)，它它們們所所描描述述的的周周期期現(xiàn)現(xiàn)象象稱稱為為簡簡諧諧振振動動。 由正弦、余弦函數(shù)組成的形如由正弦、余弦函數(shù)組成的形如 10)sincos(nnnnxbnxaA 的級數(shù)，稱為的級數(shù)，稱為三角級數(shù)三角級數(shù)，又稱，又稱傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)。 其中其中 0,(1,2,3,)nnA a b n 都是常數(shù)。如果級數(shù)（都是常數(shù)。如果級數(shù)（1）在某種條件下能）在某種條件下能收斂

35、于收斂于 一個函數(shù)一個函數(shù))(xf， （， （Dx） ，則稱函數(shù)） ，則稱函數(shù))(xf能展開成傅立葉級數(shù)，或者能展開成傅立葉級數(shù)，或者說三角級說三角級 數(shù)（數(shù)（1）在這種條件下收斂于函數(shù)）在這種條件下收斂于函數(shù))(xf，即，即 10)sincos()(nnnnxbnxaAxf， Dx 三角級數(shù)（三角級數(shù)（1）中出現(xiàn)的函數(shù)綜合）中出現(xiàn)的函數(shù)綜合 1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 ,cos,sin,xxxxnxnx 稱為稱為三角函數(shù)系三角函數(shù)系 二、三角函數(shù)系的正交性二、三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系中任何兩個不同的函數(shù)間的乘積在區(qū)間三角函數(shù)系中任何兩個不同的函數(shù)間的乘積在區(qū)間,上的積分

36、為上的積分為 0，即，即 0cos1nxdx (1,2,3,)n 0sin1nxdx (1,2,3,)n 0cossinnxdxkx ( ,1,2,3,)n k 0coscoskxdxnx ( ,1,2,3,)n kkn 0sinsinkxdxnx ( ,1,2,3,)n kkn 這一性質(zhì)稱為三角函數(shù)的這一性質(zhì)稱為三角函數(shù)的正交性正交性。這些積分大家可以自己動手計算，這里。這些積分大家可以自己動手計算，這里計算從略。計算從略。 另外，在三角函數(shù)系中，任意兩個相同的函數(shù)的乘積在另外，在三角函數(shù)系中，任意兩個相同的函數(shù)的乘積在,上的積分不等于上的積分不等于 0，即，即 212dx， nxdx2si

37、n，nxdx2cos (1,2,3,)n 設(shè)設(shè))(xf以以2為周期，并且可以展開成傅立葉級數(shù)（為周期，并且可以展開成傅立葉級數(shù)（1） ，即） ，即 10)sincos()(nnnnxbnxaAxf （2） 首先就要解決如下的兩個問題：首先就要解決如下的兩個問題： （1） 展開式中的系數(shù)展開式中的系數(shù)0A，na，nb，如何確定？，如何確定？ （2） )(xf滿足什么樣的條件，展開式才收斂于滿足什么樣的條件，展開式才收斂于)(xf呢？呢？ 下面先來解決問題（下面先來解決問題（1） 。假定函數(shù)） 。假定函數(shù))(xf在在,上可積，并且上可積，并且它的展開它的展開 式可以逐項積分，則有式可以逐項積分，則

38、有 10)sincos()(nnnnxdxbnxdxadxAdxxf 三三、周周期期為為 2的的函函數(shù)數(shù)展展開開為為傅傅立立葉葉級級數(shù)數(shù) 由三角函系的正交性可得：由三角函系的正交性可得： 002)(AdxAdxxf 令令200aA ，則，則dxxfa)(10 再用再用kxcos乘以（乘以（2）式右端，并在）式右端，并在,上積分，有上積分，有 10)cossincoscos(coscos)(nnnkxdxnxbkxdxnxadxkxAkxdxxf 由三角函數(shù)的正交性，得：由三角函數(shù)的正交性，得： nanxdxxfcos)(，從而求出，從而求出na： nxdxxfancos)(1 （n=1，2，3

39、，） 同理用同理用kxsin乘以（乘以（2）式兩端，并在）式兩端，并在,上積分，可得：上積分，可得： nxdxxfbnsin)(1 （n=1，2，3，） 綜上所述，綜上所述，)(xf的展開式的系數(shù)可以表示如下：的展開式的系數(shù)可以表示如下： nxdxxfancos)(1 （n=1，2，3，） （3） nxdxxfbnsin)(1 （n=1，2，3，） （4） 由（由（3）式所確定的系數(shù)）式所確定的系數(shù)na，nb稱為稱為)(xf的的傅立葉系數(shù)傅立葉系數(shù)，把它們代入，把它們代入 （2）式即得）式即得)(xf的傅立葉級數(shù)展開式的傅立葉級數(shù)展開式 10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf （5

40、） 狄狄里里克克萊萊定定理理：設(shè)設(shè))(xf以以2為為周周期期，如如果果它它在在一一個個周周期期內(nèi)內(nèi)滿滿足足： （1） )(xf連連續(xù)續(xù)或或者者只只有有有有限限個個第第一一類類間間斷斷點點； （2） )(xf至至多多只只有有有有限限個個極極值值點點（即即)(xf在在一一個個周周期期內(nèi)內(nèi)不不能能無無限限次次 的的振振蕩蕩） ，則則)(xf的的傅傅立立葉葉級級數(shù)數(shù)收收斂斂，并并且且 （1） 當當x是是)(xf的的連連續(xù)續(xù)點點時時，級級數(shù)數(shù)收收斂斂于于)(xf； （2） 當當x是是)(xf的的間間斷斷點點時時，級級數(shù)數(shù)收收斂斂于于)0()0(21xfxf 收收斂斂定定理理告告訴訴我我們們，只只要要)(xf在在,上上至至多多有有有有限限個個第第一一類類間間斷斷點點，并并 且且不不作作無無限限次次的的振振蕩蕩，函函數(shù)數(shù)的的傅傅立立葉葉級級數(shù)數(shù)在在連連續(xù)續(xù)點點處處就就收收斂斂于于該該點點的的函函數(shù)數(shù)值值，在在 間間斷斷點點處處收收斂斂于于該該點點左左、右右極極限限的的算算術(shù)術(shù)平平均均值值。 例例1 設(shè)設(shè))(xf以以2為周期