概率論PPT第10講

1、 概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計第十講第十講主講教師：程維虎教授主講教師：程維虎教授北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院3.6 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性事件事件A與與 B獨立的定義是：獨立的定義是： 若若 P(AB) = P(A)P(B)，則稱事件則稱事件A與與B相互相互獨立獨立 。 設(shè)設(shè) X, Y是兩個隨即變量是兩個隨即變量, 對任意的對任意的 x, y, 若若, )( )() ,(yYPxXPyYxXP則稱則稱 X與與Y 相互獨立。相互獨立。 用聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣用聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù)表示上式分布函數(shù)表示上式, 就是就是. )( )(),(yFxFyxFYX),

2、(yxf其中其中是是(X,Y)的聯(lián)合密度，的聯(lián)合密度， 若若 (X,Y) 是連續(xù)型隨機向量是連續(xù)型隨機向量 ，上述獨立性，上述獨立性定義等價于：對任意定義等價于：對任意 x, y R, 有有 這里這里“幾乎總成立幾乎總成立”的含義是：在平面上的含義是：在平面上除去一個面積為零的集合外，公式成立。除去一個面積為零的集合外，公式成立。)( )(yfxfYX與分別是分別是X的邊緣密度和的邊緣密度和Y 的邊緣密度的邊緣密度 。 )()(),(yfxfyxfYX幾乎總成立幾乎總成立, 則稱則稱X與與Y相互獨立相互獨立 。 若若 (X,Y)是離散型隨機變量，則上述獨立性是離散型隨機變量，則上述獨立性定義等

3、價于：對定義等價于：對(X,Y) 所有可能取值所有可能取值 (xi , yj), 有有)( )() ,(jijiyYPxXPyYxXP成立，成立， 則稱則稱 X與與Y 相互獨立。相互獨立。解解: 例例1:1: 考察例考察例3.2.2(3.2.2(吸煙與肺癌關(guān)系的研究吸煙與肺癌關(guān)系的研究) )中中隨機變量隨機變量X X與與Y Y的獨立性的獨立性. . 因因 0.20.00017 PX=0PY=0 PX=0, Y=0 0.00013. 故，故，X和和Y不相互獨立。不相互獨立。 證明：證明：因因例例2 2：設(shè)設(shè)( (X, ,Y) ) N( ( 1 1, , 2 2, , 1 1, , 2 2, ,

4、), ), 求證求證: : X與與Y 獨立獨立的充要條件為的充要條件為 = = 0 0。,121),(2222212121212)()(2)()1 (21 221uyuyuxuxeyxf,21)(212112)(1xXexf.21)(22222)(2yYeyf“” ” 將將 =0=0代入聯(lián)合概率密度函數(shù)，得代入聯(lián)合概率密度函數(shù)，得22222121)()(212121),(uyuxeyxf).()(2121222221212)(22)(1yfxfeeYXuyux所以，所以，X與與Y相互獨立。相互獨立?！啊?若若X X和和Y Y相互獨立相互獨立，則，則 ( (x, y) ) R R2 2，有，有

5、f f ( (x, y)=)=f f X X( (x) ) f f Y Y( (y).).從而， = = 0 0。.212112121221特別地，將特別地，將 x = =1 1, , y = = 2 2 代入上式，有代入上式，有 f (1,2) = fX(1)fY(2)， 即即解解:0)()(dyxexfyxX0)()(dxxeyfyxY, 0 ,xxex. 0 ,yey從而，對一切從而，對一切 x, yR , 均有均有 f (x, y)=f X(x) f Y(y).故，故，X與與Y是否相互獨立。是否相互獨立。例例3： 設(shè)設(shè)(X,Y) 的概率密度為的概率密度為 . , 0, 0 , 0,),

6、()(其他yxxeyxfyx問：問：X與與Y是否獨立？是否獨立？解：解：, 10 ),1 (22)(1xxdyxfxX. 10 ,22)(0yydxyfyY由于存在面積不為零的區(qū)域由于存在面積不為零的區(qū)域 D，使得，使得.),( ),()(),(DyxyfxfyxfYX故，故，X與與Y不相互獨立不相互獨立 。 例例4：若若(X,Y)的概率密度為的概率密度為 . , 0, 10 ,0 , 2 ),(其他yyxyxf問問X與與Y是否獨立？是否獨立？3.7.1 離散型分布情形離散型分布情形例例1：若若X與與Y獨立，且獨立，且 P(X=k)=ak , k=0,1,2, , P(Y=k)=bk , k=

7、0,1,2, , 求求 Z=X+Y 的概率分布。的概率分布。解：解：)()(rYXPrZPriirYPiXP0)( )(riirYiXP0) ,(3.7 隨機變量函數(shù)的分布隨機變量函數(shù)的分布,011110babababarrrr.,2, 1 ,0r證明證明: 依題意，有依題意，有 riirYiXPrZP0), ,()(例例2: 若若X和和Y相互獨立，它們分別服從參數(shù)為相互獨立，它們分別服從參數(shù)為 的泊松分布的泊松分布, 證明證明 Z=X+Y 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 21 ,21的泊松分布。的泊松分布。由卷積公式由卷積公式, 2 , 1 , 0 ,!)(11iieiXPi., 2 , 1 , 0

8、,!)(22jjejYPjriirYiXPrZP0) ,()(得得ri 0i - r2-i1-i)!-(rei!e21rire0i - r2i1)(i)!-(ri!r!21., 2 , 1 , 0 ,)(!21)(21rrer即即 Z 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布。的泊松分布。 21 設(shè)設(shè)X和和Y的聯(lián)合密度為的聯(lián)合密度為 f (x, y), 求求 Z=X+Y 的的概率密度。概率密度。 因因 Z =X+Y 的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是: FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z).),(Ddxdyyxf這里積分區(qū)域這里積分區(qū)域 D= (x, y): x+y z ，是直線是直線 x+y = z 左下

9、方的半平面。左下方的半平面。3.7.2 連續(xù)型分布的情形連續(xù)型分布的情形 化成累次積分化成累次積分, 得得zyxZdxdyyxfzF),()(.),()(dydxyxfzFyzZ 固定固定z和和y, 對方括號內(nèi)的積分作變量代換對方括號內(nèi)的積分作變量代換, 令令 x= u-y, 得得dyduyyufzFzZ),()(.),(dudyyyufz變量代換變量代換交換積分次序交換積分次序由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系, 即得即得 Z=X+Y 的概率密度的概率密度由由X和和Y的對稱性的對稱性, 知知 fZ (z)又可寫成又可寫成 ； ),()()(dyyyzfzFzfZZ 以上兩式

10、就是兩個隨機變量和的概率密以上兩式就是兩個隨機變量和的概率密度的一般公式。度的一般公式。. ),()()(dxxzxfzFzfZZzZdudyyyufzF),()( 特別地特別地, 當(dāng)當(dāng)X和和Y獨立獨立, 設(shè)設(shè) (X,Y) 關(guān)于關(guān)于X, Y的的邊緣密度分別為邊緣密度分別為fX(x) 和和fY(y) , 上述兩式化成上述兩式化成: ,)()()(dyyfyzfzfYXZ這兩個公式稱為卷積公式。這兩個公式稱為卷積公式。. )()()(dxxzfxfzfYXZ 下面考慮用下面考慮用卷積公式求卷積公式求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度的方法。的方法。為確定積分限為確定積分限, 先找出被積函數(shù)不為零的

11、區(qū)域先找出被積函數(shù)不為零的區(qū)域 例例3: 設(shè)設(shè)X和和Y獨立獨立, 有共同的概率密度有共同的概率密度 求求 Z=X+Y 的概率密度。的概率密度。, ,0, 10 , 1 )( 其他xxf.)()()(dxxzfxfzfYXZ解解: 由卷積公式，得由卷積公式，得. 10, 10 xzx即即. 1, 10 xzxx其他 , 0, 21 , 10 ,1 1 0 zzzdxzdx（如圖示）（如圖示）. 10, 10 xzx即即. 1, 10 xzxx于是于是 . , 0 , 21 ,2, 10 , 其他zzzzdxxzfxfzfYXZ )()()(例例4: 設(shè)設(shè)X和和Y相互獨立相互獨立, 均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)

12、分布，均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布， 求求 Z=X+Y的概率密度。的概率密度。.)()()(dxxzfxfzfYXZ解解: 由卷積公式，對由卷積公式，對- - z 0 時，時，.6)()(30)(zzxzxZezdxexzxezf. 0 06)(3其他，zezzfxZ所以，所以，Z 的概率密度為的概率密度為3.7.3 M = max(X,Y) 及及 N = min(X,Y) 的分布的分布 設(shè)設(shè)X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，分布是兩個相互獨立的隨機變量，分布函數(shù)分別為函數(shù)分別為FX(x)和和FY(y)。求。求 M = max (X, Y) 及及N = min (X, Y)的分布函數(shù)。的分布函數(shù)。再由再由

13、X 和和Y 相互獨立，得到相互獨立，得到 M = max (X,Y) 的的分布函數(shù)為分布函數(shù)為: 即即 FM(z) = FX(z) FY(z) .FM(z)=P(Mz) = P(Xz, Yz)= P(Xz) P(Yz) .分析：分析：由于由于 “M = max (X,Y) z” 等價于等價于“Xz, Yz”，故有，故有 P(Mz) = P(Xz, Yz). 類似地，可得類似地，可得 N = min (X,Y) 的分布函數(shù)的分布函數(shù) 下面進(jìn)行推廣到下面進(jìn)行推廣到 n 個相互獨立的隨機變個相互獨立的隨機變量的情況。量的情況。 即有即有 FN(z) = 1- -1- -FX(z)1- -FY(z)

14、= FX(z)+FY(z)- -FX(z)FY(z) . = 1- -P(Xz, Yz)FN(z) = P(Nz) = 1- -P(Nz)= 1- - P(Xz) P(Yz) . 設(shè)設(shè)X1, , Xn 是是 n 個相互獨立的隨機變量個相互獨立的隨機變量,分布函數(shù)分別為分布函數(shù)分別為 ., 2 , 1 ),(nixFiX 用與二維時完全類似的方法，可得：用與二維時完全類似的方法，可得： N = min(X1,Xn)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為M = max(X1,Xn)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為； )()()(1zFzFzFnXXM).(1 )(1 1)(1zFzFzFnXXN 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)X

15、1, , Xn相互獨立，且具有相相互獨立，且具有相同分布函數(shù)同分布函數(shù) F(x) 時，有時，有 FM(z)=F(z) n ， FN(z)=1- -1- -F(z) n . 需要指出的是需要指出的是: 當(dāng)當(dāng)X1, , Xn相互獨立，相互獨立，且具有相同分布函數(shù)且具有相同分布函數(shù) F(x) 時，常稱時，常稱M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn)為極值分布。為極值分布。 橋梁或鑄件所承受的最大應(yīng)力、洪峰的橋梁或鑄件所承受的最大應(yīng)力、洪峰的高度、地震的震級等都用極值分布來描述。高度、地震的震級等都用極值分布來描述。故，研究極值分布有重要意義。故，研究極值分布有重要意義。例例 6：如圖所示如

16、圖所示, , 系統(tǒng)系統(tǒng)L L 由兩個相互獨立的子系由兩個相互獨立的子系統(tǒng)統(tǒng) L L1 1,L,L2 2 聯(lián)接而成聯(lián)接而成, , 聯(lián)聯(lián)接方式分別為接方式分別為: : (1). (1). 串聯(lián)；串聯(lián)； (2). (2). 并聯(lián)；并聯(lián)； (3). (3). 備用備用( (開關(guān)完全開關(guān)完全可靠，子系統(tǒng)可靠，子系統(tǒng) L L2 2在儲備在儲備期內(nèi)不失效，當(dāng)期內(nèi)不失效，當(dāng)L L1.1.損壞損壞時時, L, L2 2開始工作開始工作) )。解：解：先求先求X, Y的分布函數(shù)的分布函數(shù) 設(shè)設(shè)L L1 1,L,L2 2的壽命分別為的壽命分別為X和和Y，概率密度分，概率密度分別為別為: :其中其中 0, 0, 0,

17、 0, 且且 為常數(shù)為常數(shù)。分別對以上。分別對以上三種聯(lián)接方式寫出三種聯(lián)接方式寫出系統(tǒng)系統(tǒng)壽命壽命Z 的概率密度。的概率密度。 . , 0, 0,)( , , 0, 0,)(其他其他yeyfxexfyYxX; 0, 0, 0,1)()(xxedttfxFxxXX.0,0,0,1)(yyeyFyY(1). (1). 串聯(lián)時，串聯(lián)時，Z = minX, Y， F FZ Z(z)=1-1-F(z)=1-1-FX X(z)1-F(z)1-FY Y(z)(z).0 ,0 ,0 ,1)(zzez. 0 , 0 , 0 ,)()()( )(zzezFzfzZZ故(2). 并聯(lián)時，并聯(lián)時， Z = maxX,Y FZ(z) = FX(z)FY(z).0 ,0 ,0 ),1)(1 (zzeezz. 0 , 0, 0 ,)( )()()(zzeeezFzfzzzZZ.)()()(dxxzfxfzfYXZ當(dāng)當(dāng) z 0時，有時，有zYX