數(shù)學(xué)物理方法-4

1、1第四章 級(jí)數(shù)1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)21. 復(fù)數(shù)列的極限 設(shè)an(n=1,2,.)為一復(fù)數(shù)列, 其中an=an+ibn, 又設(shè)a=a+ib為一確定的復(fù)數(shù). 如果任意給定e0, 相應(yīng)地能找到一個(gè)正數(shù)N(e), 使|an-a|N時(shí)成立, 則a稱為復(fù)數(shù)列an當(dāng)n時(shí)的極限, 記作aannlim此時(shí)也稱復(fù)數(shù)列an收斂于a .3定理一定理一 復(fù)數(shù)列an(n=1,2,.)收斂于a的充要條件是bbaannnnlim,lim.lim,lim| )()( | )()( |bbaabbiaaaaibaibannnnnnnnn-同理所以則ee證 如果 , 則對(duì)于任意給定的e0, 就能找到一個(gè)正數(shù)N, 當(dāng)nN時(shí),aannlim

2、4反之, 如果.lim| )()( |2| ,2|,lim,limaaeaaeee-nnnnnnnnnnnnnbbaabbiaabbaaNnNbbaa所以從而有時(shí)當(dāng)存在則任給52. 級(jí)數(shù)概念 設(shè)an=an+ibn(n=1,2,.)為一復(fù)數(shù)列, 表達(dá)式nnnaaaa21111,lim. ,.nnnnnnnsssaa則級(jí)數(shù)稱為收斂 并且極限稱為級(jí)數(shù)的和 如果數(shù)列不收斂 則級(jí)數(shù)稱為發(fā)散稱為無窮級(jí)數(shù), 其最前面n項(xiàng)的和sn=a1+a2+.+an稱為級(jí)數(shù)的部分和. 如果部分和數(shù)列sn收斂, 6定理二定理二 級(jí)數(shù) 收斂的充要條件是級(jí)數(shù) 和 都收斂證 因sn=a1+a2+.+an=(a1+a2+.+an)+

3、i(b1+b2+.+bn)=sn+itn,其中sn=a1+a2+.+an, tn=b1+b2+.+bn分別為 和 的部分和, 由定理一, sn有極限存在的充要條件是sn和tn的極限存在, 即級(jí)數(shù) 和 都收斂.1nna1nna1nnb1nna1nnb1nna1nnb7定理二將復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂問題. 0lim, 0lim, 0lim0lim111nnnnnnnnnnnnnnbabaaaa收斂的必要條件是從而推出復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)立即可得和收斂的必要條件和而由實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)8定理三定理三成立且不等式也收斂則收斂如果1111|,|nnnnnnnnaaaa22221221| ,|,|nnn

4、nnnnnnnnbabbaabaa而由于證911111111111|,.|,limlim|nnnnnnnnnnnnkkkknnkkkknnkkkkababaaaaaaa可知級(jí)數(shù)及都收斂 因而和也都收斂 則是收斂的而又因因此或.,|11條件收斂級(jí)數(shù)稱為非絕對(duì)收斂的收斂級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂則稱級(jí)數(shù)收斂如果nnnnaa10., |,|1111111112222絕對(duì)收斂與絕對(duì)收斂的充要條件是因此收斂也絕對(duì)絕對(duì)收斂時(shí)與所以當(dāng)因此由于nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbabababababaaa11另外, 因?yàn)?的各項(xiàng)都是非負(fù)的實(shí)數(shù), 所以它的收斂也可用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判定法來判定.1|nna例1 下列數(shù)列

5、是否收斂? 如果收斂, 求出其極限.11)1;2)cosinnneninnaa12解 1) 因1111cossin111cos,1sin.lim1,lim011lim1.innnnnnnninnneinnnnabnnnnabenaa數(shù)列收斂,且有132) 由于 an=n cos in=n ch n,因此, 當(dāng)n時(shí), an. 所以an發(fā)散. 例2 下列級(jí)數(shù)是否收斂? 是否絕對(duì)收斂?1011(8 )( 1)11)1; 2);3)!2nnnnnniiinnnn-解 1) 因 發(fā)散 ; 收斂, 故原級(jí)數(shù)發(fā)散.111nnnan2111nnnbn142) 因 , 由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法知 收斂, 故原級(jí)數(shù)

6、收斂, 且為絕對(duì)收斂.(8 )8!nninn18!nnn3) 因 收斂; 也收斂,故原級(jí)數(shù)收斂. 但因?yàn)闂l件收斂, 所以原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂.1( 1)nnn-112nn1( 1)nnn-152 冪級(jí)數(shù)161. 冪級(jí)數(shù)的概念 設(shè)fn(z)(n=1,2,.)為一復(fù)變函數(shù)序列,其中各項(xiàng)在區(qū)域D內(nèi)有定義.表達(dá)式) 1 . 2 . 4()()()()(211zfzfzfzfnnn稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù). 最前面n項(xiàng)的和sn(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)稱為這級(jí)數(shù)的部分和.17存在, 則稱復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(4.2.1)在z0收斂, 而s(z0)稱為它的和. 如果級(jí)數(shù)在D內(nèi)處處收斂, 則它的和一定是

7、z的一個(gè)函數(shù)s(z):s(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)+.如果對(duì)于D內(nèi)的某一點(diǎn)z0, 極限)()(lim00zszsnn1( )nnfzs(z)稱為級(jí)數(shù) 的和函數(shù)18這種級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù).如果令z-a=z, 則(4.2.2)成為 , 這是(4.2.3)的形式, 為了方便, 今后常就(4.2.3)討論當(dāng)fn(z)=cn-1(z-a)n-1或fn(z)=cn-1zn-1時(shí), 就得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的特殊情形:)3 . 2 . 4()2 . 2 . 4()()()()(2210022100-nnnnnnnnnnzczczcczcazcazcazccazc或0nnncz19定理一(阿貝爾Abe

8、l定理).,|,|,)0(00000級(jí)數(shù)必發(fā)散的則對(duì)滿足級(jí)數(shù)發(fā)散如果在級(jí)數(shù)必絕對(duì)收斂的則對(duì)滿足收斂在如果級(jí)數(shù)zzzzzzzzzzzcnnnz0 xyO20證nnnnnnnnnnnnnnMqzzzczcqzzzzMzcnMzczc00000000|, 1|,|, 0lim,而則如果有使對(duì)所有的則存在則收斂因21.|,1|000000是絕對(duì)收斂的從而級(jí)數(shù)亦收斂因此故收斂的等比級(jí)數(shù)為公比小于由于nnnnnnnnnnnnnnnnzcMqzcMqMqzzzczc22發(fā)散因此只能是矛盾與所設(shè)收斂前面的結(jié)論可導(dǎo)出則根據(jù)反而收斂設(shè)級(jí)數(shù)用反證法且如果發(fā)散如果級(jí)數(shù)0000000.,|,nnnnnnnnnnnnzc

9、zczczzzc232. 收斂圓和收斂半徑 利用阿貝爾定理, 可以定出冪級(jí)數(shù)的收斂范圍, 對(duì)一個(gè)冪級(jí)數(shù)來說, 它的收斂情況不外乎三種:i) 對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都是收斂的. 這時(shí), 根據(jù)阿貝爾定理可知級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對(duì)收斂.ii) 對(duì)所有的正實(shí)數(shù)除z=0外都是發(fā)散的. 這時(shí), 級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散.iii) 既存在使級(jí)數(shù)收斂的正實(shí)數(shù), 也存在使級(jí)數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù). 設(shè)z=a (正實(shí)數(shù))時(shí), 級(jí)數(shù)收斂, z=b (正實(shí)數(shù))時(shí), 級(jí)數(shù)發(fā)散.24顯然ab, 將收斂域染成紅色, 發(fā)散域?yàn)樗{(lán)色.RCROabCaCbxy25當(dāng)a由小逐漸變大時(shí), Ca必定逐漸接近一個(gè)以原點(diǎn)為中心, R為半徑的圓周CR

10、. 在CR的內(nèi)部都是紅色, 外部都是藍(lán)色. 這個(gè)紅藍(lán)兩色的分界圓周CR稱為冪級(jí)數(shù)的收斂圓. 在收斂圓的外部, 級(jí)數(shù)發(fā)散. 收斂圓的內(nèi)部, 級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. 收斂圓的半徑R稱為收斂半徑. 所以冪級(jí)數(shù)(4.2.3)的收斂范圍是以原點(diǎn)為中心的圓域. 對(duì)冪級(jí)數(shù)(4.2.2)來說, 收斂范圍是以z=a為中心的圓域. 在收斂圓上是否收斂, 則不一定.26例1 求冪級(jí)數(shù)nnnzzzz201) 1( ,1112-zzzzzzsnnn的收斂范圍與和函數(shù).解 級(jí)數(shù)實(shí)際上是等比級(jí)數(shù), 部分和為27-nnnnnnnnnnnzzzzzznzzzzzszzzzzzzzs212111, 1|.,1|,11,1|,11lim,

11、 0lim,1|) 1( ,111并有在此范圍內(nèi)絕對(duì)收斂收斂范圍為級(jí)數(shù)發(fā)散不趨于零時(shí)由于時(shí)當(dāng)和函數(shù)為收斂時(shí)級(jí)數(shù)即從而有由于時(shí)當(dāng)283.收斂半徑的求法定理二(比值法) 如果0lim1nnncc.則收斂半徑1R. 證 由于 111|limlim|nnnnnnnnczczzczc 故知當(dāng)1|z時(shí), 0|nnncz收斂, 根據(jù)上節(jié)定理三, 級(jí)數(shù)0nnncz在圓1|z內(nèi)收斂. 29再證當(dāng)1|z時(shí), 級(jí)數(shù)0nnnc z發(fā)散. 假設(shè)在圓1|z外有一點(diǎn) z0, 使級(jí)數(shù)00nnnc z收斂. 在圓外再取一點(diǎn) z1, 使|z1|1, 所以原級(jí)數(shù)在收斂圓上是處處收斂的. 352) 1limlim11nnnncncn

12、, 即 R=1. 在收斂圓|z-1|=1 上, 當(dāng) z=0 時(shí), 原級(jí)數(shù)成為11( 1)nnn-, 級(jí)數(shù)收斂; 當(dāng) z=2 時(shí), 原級(jí)數(shù)成為11nn, 發(fā)散. 這個(gè)例子表明, 在收斂圓周上即有級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn),也有級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn). 363) 因?yàn)?cosch()2nnncinnee-, 所以 111limlimnnnnnnnnceeecee- - 故收斂半徑1Re 374. 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì) 象實(shí)變冪級(jí)數(shù)一樣, 復(fù)變冪級(jí)數(shù)也能進(jìn)行有理運(yùn)算. 設(shè)2010,)(,)(rRzbzgrRzazfnnnnnn在以原點(diǎn)為中心, r1,r2中較小的一個(gè)為半徑的圓內(nèi), 這兩個(gè)冪級(jí)數(shù)可以象多項(xiàng)式那樣進(jìn)行相加, 相減

13、, 相乘, 所得到的冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)分別就是f(z)與g(z)的和,差與積. 38),min(.|)()()(,|,)()()(210011000000rrRRzzbababazbzazgzfRzzbazbzazgzfnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn-39更為重要的是代換(復(fù)合)運(yùn)算.)()(,|,| )(|)(|,)(,|00nnnnnnzgazgfRzrzgzgRzzazfrz時(shí)則當(dāng)解析且滿足內(nèi)又設(shè)在時(shí)如果當(dāng)這個(gè)代換運(yùn)算, 在把函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)時(shí), 有著廣泛的應(yīng)用.40例 4 把函數(shù)bz -1表成形如-0)(nnnazc的冪級(jí)數(shù), 其中 a 與 b 是不相等的復(fù)常數(shù). 解 把函數(shù)b

14、z -1寫成如下形式: -nnabazabazabazababazababazbz)()()()()()(1111)()(11322 收斂半徑為 R=|b-a| 41Oxyab當(dāng)|z-a|b-a|=R時(shí)級(jí)數(shù)收斂42定理四 設(shè)冪級(jí)數(shù)-0)(nnnazc的收斂半徑為 R, 則 1) 它 的 和 函 數(shù)-0)()(nnnazczf是 收 斂 圓|z-a|R 內(nèi)的解析函數(shù). 2) f(z)在收斂圓內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪函數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到, 即-11)()(nnnaznczf 433) f(z)在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分, 即 -010)(1d)(|,d)(d)(nnnzanCnnCazncfRazCzazczzf

15、zz或443 泰勒級(jí)數(shù) 設(shè)函數(shù) f (z)在區(qū)域D內(nèi)解析, 而|z-z0|=r為D內(nèi)以z0為中心的任何一個(gè)圓周, 它與它的內(nèi)部全含于D, 把它記作K, 又設(shè)z為K內(nèi)任一點(diǎn).z0Kzrz45按柯西積分公式, 有1( )( )d ,2Kff zizzzz-且000000010001111()()1,()11,()nnnzzzzzzzzKzKzzzzzzzzzzzzzzz-由于積分變量取在圓周 上 點(diǎn) 在 的內(nèi)部所以101000101( )d( )()2()1( )()d .2()NnnnKnnn NKff zzzizfzzizzzzzzz-z0Kzrz46由解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式,上式可寫成( )1

16、000010()( )()( )!1( )( )()2()nNnNnnNnn NKfzf zzzRznfRzzzdizzzz-其中( )000lim( )0,()( )()!NNnnnRzKfzf zzzn-如果能證明在 內(nèi)成立 則在K內(nèi)成立, 即 f (z)可在K內(nèi)用冪級(jí)數(shù)表達(dá).000zzzzqzrz-令，q與積分變量z無關(guān), 且0q1.z0Kzrz47 K含于D, f (z) 在D內(nèi)解析, 在K上連續(xù), 在K上有界, 因此在K上存在正實(shí)數(shù) M 使| f (z) | M.01221d| )(|21d)()()(21| )(|000010 - NNNnnKNnnKNnnnNqMqrqrMszz

17、zzfszzzfzRzzzzz因此, 下面的公式在K內(nèi)成立:( )000()( )()!nnnfzf zzzn-稱為f (z)在z0的泰勒展開式, 它右端的級(jí)數(shù)稱為 f (z)在z0處的泰勒級(jí)數(shù).48 圓周K的半徑可以任意增大, 只要K在D內(nèi). 所以, 如果z0到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離為d, 則 f (z)在z0的泰勒展開式在圓域 |z-z0|d 內(nèi)成立.定理定理(泰勒展開定理) 設(shè) f (z)在區(qū)域D內(nèi)解析, z0為D內(nèi)的一點(diǎn), d為z0到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離, 則當(dāng)|z-z0|d 時(shí), 00( )0( )(),1(),0,1,2,.!nnnnnf zczzcfznn-成立 其中 注注

18、： 如果 f (z)在z0解析, 則使 f (z)在z0的泰勒展開式成立的圓域的半徑 R等于從z0到 f (z)的距z0最近一個(gè)奇點(diǎn)a 的距離, 即R=|a-z0|. 49yz0ax 任何解析函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的結(jié)果就是泰勒級(jí)數(shù), 因而是唯一唯一的. 利用泰勒展開式, 我們可以直接通過計(jì)算系數(shù):), 2 , 1 , 0()(!10)(nzfncnn把 f (z)在z0展開成冪級(jí)數(shù), 這被稱作直接展開法50例如, 求 ez 在 z = 0處的泰勒展開式, 由于(ez)(n) = ez, (ez)(n)|z=0 = 1 (n=0,1,2,.) ， 故有2e1.2!nzzzzzn 因?yàn)閑z在復(fù)平面內(nèi)處

19、處解析, 上式在復(fù)平面內(nèi)處處成立, 收斂半徑為+.同樣, 可求得sin z與cos z在z=0的泰勒展開式:3521242sin( 1)3!5!(21)!cos1( 1)2!4!(2 )!nnnnzzzzzznzzzzzn- - - - 51除直接法外, 也可以借助一些已知函數(shù)的展開式, 利用冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和分析性質(zhì), 以唯一性為依據(jù)來得出一個(gè)函數(shù)的泰勒展開式, 此方法稱為間接展開法. 例如sin z在z=0的泰勒展開式也可以用間接展開法得出:003521011( )()sin(ee)22!( 1)3!5!(21)!nniziznnnnnizizziinnzzzzzn- 解 由于函數(shù)有一奇點(diǎn)

20、z-1, 而在|z|1內(nèi)處處解析, 所以 可在|z|1內(nèi)展開成z的冪級(jí)數(shù). 因?yàn)?211( 1),| 1.1nnzzzzz - -例1 把函數(shù) 展開成z的冪級(jí)數(shù). 21 1z52將上式兩邊求導(dǎo)得 21121123( 1),| 1.(1)nnzznzzz- - - 例2 求對(duì)數(shù)函數(shù)的主值ln(1+z)在z=0處的冪級(jí)數(shù)展開式.解 ln(1+z)在從-1向左沿負(fù)實(shí)軸剪開的平面內(nèi)是解析的, -1是它的奇點(diǎn), 所以可在|z|1展開為z的冪級(jí)數(shù).-1OR=1xy5301ln(1)( 1),1nnnzzz-因?yàn)橹痦?xiàng)積分得0001dd( 1)d,1zzznnz-231ln(1)( 1)| 1.231nnzz

21、zzzzn- -即解析在函數(shù)0)(zzf的冪級(jí)數(shù)的某鄰域內(nèi)可展開為在00)(zzzzf-解析在區(qū)域函數(shù)Dzf)(0( )f zDzz-在 內(nèi)任一點(diǎn)處可展開為的冪級(jí)數(shù)推論推論1： 54 注：解析的等價(jià)條件：在區(qū)域函數(shù)Dzf)(內(nèi)可導(dǎo)；在區(qū)域函數(shù)Dzf)() 1 (條件，內(nèi)可微，且滿足在區(qū)域RCDvu-,)2(關(guān)；內(nèi)連續(xù)且積分與路徑無在區(qū)域函數(shù)Dzf)() 3(內(nèi)可展開為冪級(jí)數(shù)在區(qū)域函數(shù)Dzf)()4(推論推論2： 解析，在區(qū)域設(shè)函數(shù)Dzf)(),(,00DzdistRDz00( )f zzzRz-則在內(nèi)可展開為 的冪級(jí)數(shù)推論推論3:冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上至少有一個(gè)奇點(diǎn). (即使冪級(jí)數(shù)在其收

22、斂圓周上處處收斂)55例如：)(02zfnznn1,z 在上絕對(duì)收斂),1(21)(1-znzzzfn但)(1zfz時(shí)：近于沿實(shí)軸從單位圓內(nèi)部趨當(dāng)是一個(gè)奇點(diǎn)。即1z推論推論4：展開式：解析，且有在設(shè)函數(shù)Taylor)(0zzf00( )() ,nnnf zCzz-最近的一個(gè)奇點(diǎn)，的距是0)(zzfa為其收斂半徑。則0zR-a例如：,61)(02-nnnzCzzzf; 2R則其收斂半徑,)(61)(02-nnnizCzzzf5.R 則其收斂半徑56而如果把函數(shù)中的x換成z, 在復(fù)平面內(nèi)來看函數(shù)211z1-z2+z4-它有兩個(gè)奇點(diǎn)i, 而這兩個(gè)奇點(diǎn)都在此函數(shù)的展開式的收斂圓周上, 所以這個(gè)級(jí)數(shù)的收

23、斂半徑只能等于1. 因此, 即使我們只關(guān)心z的實(shí)數(shù)值, 但復(fù)平面上的奇點(diǎn)形成了限制. 在實(shí)變函數(shù)中有些不易理解的問題, 一到復(fù)變函數(shù)中就成為顯然的事情, 例如在實(shí)數(shù)范圍內(nèi), 展開式242211( 1)1nnxxxx - -的成立必須受|x|R1時(shí), 即| z |R, 011()nnnnnncczzz-收斂。因此, 只有在R1|z-z0|R2的圓環(huán)域, 原級(jí)數(shù)才收斂.59z0R1R2例如級(jí)數(shù)10110(),1,| |,| |.| | | | |.nnnnnnnnnnnnnnazabzbaaazzzzzabzbabazbab與 為復(fù)常數(shù)中的負(fù)冪項(xiàng)級(jí)數(shù)當(dāng)即時(shí)收斂 而正冪項(xiàng)級(jí)數(shù)則當(dāng)時(shí)收斂 所以當(dāng)時(shí),原

24、級(jí)數(shù)在圓環(huán)域收斂;當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)處處發(fā)散60在收斂圓環(huán)域內(nèi)也具有. 例如, 可以證明, 上述級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)其和函數(shù)是解析的, 而且可以逐項(xiàng)求積和逐項(xiàng)求導(dǎo).冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的許多性質(zhì), 級(jí)數(shù)100100100()()()()(),nnnnnnnczzczzczzcc zzczz-現(xiàn)在反問, 在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能夠展開成冪級(jí)數(shù)?先看下例.6121( )01,(1)0 | 10 |1| 1.0 | 11111( )1.(1)1,( )0 | 1.nf zzzzzzzzf zzzzzzzzzf zz- -函數(shù)在及都不解析 但在圓環(huán)域及內(nèi)都是解析的先研究的情形:由此可見在內(nèi)是可以展開為z的冪級(jí)數(shù)

25、其次,在圓環(huán)域:0|z-1|1內(nèi)也可以展開為z-1的冪級(jí)數(shù):2121111( )(1)11 (1)11 (1)(1)(1)1(1)1 (1)(1)(1)nnf zzzzzzzzzzzzz- -1Oxy62定理定理 設(shè) f (z)在圓環(huán)域 R1 |z-z0| R2內(nèi)解析, 則010( )()1( )d . (0, 1, 2,)2()nnnnnCf zczzfcnizzzz- -其中C為在圓環(huán)域內(nèi)繞z0的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線.證 設(shè)z為圓環(huán)域內(nèi)的任一點(diǎn), 在圓環(huán)域內(nèi)作以z0為中心的正向圓周K1與K2, K2的半徑R大于K1的半徑r, 且使z在K1與K2之間.R1R2zrK1zRK2zz063由柯

26、西積分公式得211( )1( )( )22KKfff zddizizzzzzzz-0220,1.zzKzKzzz-對(duì)第一個(gè)積分在上在內(nèi)220100,1( )1( )()22()nnnKKffddzzizizzzzzzz-和泰勒展開式一樣 可以推得111( )d .,2KfKizzzzz-第二個(gè)積分由于 在上010,1.zzKzzz-點(diǎn) 在的外部0001111zzzzzzzz -因此10011100()1() ,()()nnnnnnzzzzzzzz- - - -R1R2zrK1zRK2zz06411101101( )1( )dd()( ),22()NnNnnKKffzzRzizizzzzzzz-

27、 -1100()( )1( )d .2()nNnn NKzfRzizzzzz-其中000,01|zrqqzzzzz-令則，因此有100001|( )|( )|d2|nNnKzfRzszzzzzz-111112.|( )|.21Nnn NMM qqrMf zKrq-是在上的最大值lim0,lim( )0.NNNNqRz因?yàn)樗?500001( )()()() ,nnnnnnnnnf zczzczzczz-因此2110101( )d ,(0,1,2,);2()1( )d ,(1,2,) .2()nnKnnKfcnizfcnizzzzzzz- -如果在圓環(huán)域內(nèi)取繞z0的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線C, 則

28、根據(jù)閉路變形原理, 這兩個(gè)式子可用一個(gè)式子來表示:101( )d ,(0, 1, 2,)2()nnCfcnizzzz -Cz0R1R2660101( )( )() ,d ,(0, 1, 2,)2()nnnnnCff zc zzcnizzzz- -于是稱為函數(shù)f (z)在以z0為中心的圓環(huán)域: R1|z-z0|R2內(nèi)的洛朗(Laurent)展開式, 它右端的級(jí)數(shù)稱為 f (z)在此圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù). 一個(gè)在某圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正,負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的, 這個(gè)級(jí)數(shù)就是 f (z)的洛朗級(jí)數(shù). 根據(jù)由正負(fù)整次冪項(xiàng)組成的級(jí)數(shù)的唯一性,一般可以用代數(shù)運(yùn)算, 代換, 求導(dǎo)和積分等方法去展開,

29、以求得洛朗級(jí)數(shù)的展開式.67解： 函數(shù) f (z) 在圓環(huán)域 i) 0 |z| 1; ii) 1| z| 2; iii) 2 |z| + 內(nèi)是處處解析的, 應(yīng)把 f (z)在 這些區(qū)域內(nèi)展開成洛朗級(jí)數(shù). 1112f zzz-例 把在復(fù)平面上展開為z的冪級(jí)數(shù)。xyO1xyO12xyO268先把 f (z)用部分分式表示:11( ).12f zzz-2222111i)0 | 1( )12121137(1)1.222248zf zzzzzzzzz-在內(nèi):ii) 在1 |z| 2內(nèi)：111111( )1122112f zzzzzz- -222211111(1)12221111.248nnzzzzzzzzzz-69iii) 在2|z|+內(nèi):111111( )121211f zzzzzzz- -22234111124(1)(1)137.z