(輔導(dǎo)班專用)人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)暑假講義+課堂小測(cè)(提高班)11《圓的有關(guān)性質(zhì)》（教師版）

1、 第11講 圓的有關(guān)性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一圓的概念圓的描述性概念：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓其固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑圓的集合性概念：圓心為O、半徑為r的圓可以看成是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合圓的表示法：以點(diǎn)O為圓心的圓，記作“O”，讀作“圓O”知識(shí)點(diǎn)二與圓有關(guān)的概念及簡(jiǎn)單計(jì)算如圖，(1)連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，如線段AC，AB；(2)經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，如線段AB；(3)圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧，“以A，C為端點(diǎn)的弧記作”，讀作“圓弧AC”或“弧AC”圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧

2、都叫做半圓大于半圓的弧(如)叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧(如或)叫做劣弧(4)能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓，在同圓或等圓中，能夠重合的弧叫做等弧知識(shí)點(diǎn)三圓的對(duì)稱性圓是軸對(duì)稱圖形，任意一條直徑所在的直線都是圓的對(duì)稱軸知識(shí)點(diǎn)四垂徑定理及其推論1垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧2推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧溫馨提示：(1)定理中“垂直于弦的直徑”可以是直徑，也可以是半徑，甚至可以是過圓心的直線或線段.(2)推論中“平分弦”的“弦”一定是非直徑的弦，否則命題就不一定成立了如圖1所示，當(dāng)弦CD為直徑時(shí)，AB平分CD于點(diǎn)O，但結(jié)論不成立(3)利用垂徑定理及其推

3、論可以證明兩條弧相等、一條弦垂直平分另一條弦、一條線段是直徑 圖1 圖2知識(shí)點(diǎn)五垂徑定理的應(yīng)用在垂徑定理的運(yùn)用中，常涉及弦長(zhǎng)a、弦心距d(圓心到弦的距離)、半徑r及弓形高h(yuǎn)(弦所對(duì)的弧的中點(diǎn)到弦中點(diǎn)的距離)這四者之間的關(guān)系應(yīng)用時(shí)，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解如圖2所示，它們的關(guān)系為r2d2()2，rdh.圓的相關(guān)性質(zhì)1.1、下列說法正確的是(D)A長(zhǎng)度相等的弧是等弧 B兩個(gè)半圓是等弧C半徑相等的弧是等弧 D直徑是圓中最長(zhǎng)的弦1.2、 如圖所示,AC是O的直徑,點(diǎn)B在O上.(1)寫出圖中O的弦,并指出最長(zhǎng)的弦;(2)寫出圖中O的劣弧和優(yōu)弧;(3)試判斷O中有沒有相等的線段?有相等的弧嗎?解:

4、(1)O的弦有AC,BC,AB,直徑AC是O中最長(zhǎng)的弦.(2)和是O的劣弧.和是O的優(yōu)弧.(3)因?yàn)橥瑘A的半徑相等,所以O(shè)A=OB=OC;直徑AC把O分成的兩個(gè)半圓是相等的弧.1.3、如圖所示:點(diǎn)M,G,D在半圓O上,四邊形OEDF,HMNO均為矩形,EF=b,NH=c,則b與c之間的大小關(guān)系是b= c(填“<”“=”“>”)1.4、如圖,點(diǎn)A,B,C是O上的三點(diǎn),BO平分ABC.求證:BA=BC.證明:連接OA,OC,如圖,因?yàn)镺A=OB,OB=OC,所以ABO=BAO,CBO=BCO.因?yàn)锽O平分ABC,所以ABO=CBO.所以BAO=BCO.所以O(shè)ABOCB.所以AB=BC.

5、【變式訓(xùn)練1-1】下列說法中正確的是(B )A.長(zhǎng)度相等的弧是等弧 B半圓是弧C.半圓是圓中最長(zhǎng)的弧 D.優(yōu)弧一定大于劣弧【變式訓(xùn)練1-2】如圖,在ABC中,ACB=90°,A=40°,以C為圓心,CB為半徑的圓交AB于點(diǎn)D,連接CD,則ACD的度數(shù)為(A)A.10° B15° C.20° D.25°【變式訓(xùn)練1-3】已知,如圖,BD,CE是ABC的高,M為BC的中點(diǎn).試證明點(diǎn)B,C,D,E在以點(diǎn)M為圓心的同一個(gè)圓上.證明:如圖,連接ME,MD,因?yàn)锽D,CE分別是ABC的高,所以EBC和DBC都是直角三角形.因?yàn)镸為斜邊BC的中點(diǎn),

6、所以ME=MD=BC=MB=MC.所以點(diǎn)B,C,D,E都在以點(diǎn)M為圓心的同一個(gè)圓上.垂徑定理及其推理2.1、如圖，AB是O的直徑，CD為弦，CDAB于點(diǎn)E，則下列結(jié)論中不成立的是(C)ACOEDOE BCEDE COEBE D.2.2、 如圖，AB是O的直徑，弦CDAB于點(diǎn)E，若AB8，AE1，則弦CD的長(zhǎng)是()A. B2 C6 D82.3、已知：如圖，M是的中點(diǎn)，過點(diǎn)M的弦MN交AB于點(diǎn)C，設(shè)O的半徑為4 cm，MN4 cm.(1)求圓心O到弦MN的距離；(2)求ACM的度數(shù).解：(1)如圖，連接OM，過點(diǎn)O作ODMN于點(diǎn)D.由垂徑定理得MDMN2 .在RtODM中，OM4，MD2 ，OD2

7、.故圓心O到弦MN的距離為2 cm.(2)M是的中點(diǎn)，O是圓心，OMAB.在RtODM中，ODOM，OMD30°，ACM60°. 2.4、在RtABC中，C90°，BC3，AC4，點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心，5為半徑的圓上，連接PA，PB.若PB4，則PA的長(zhǎng)為_解析 如圖，連接CP，PB的延長(zhǎng)線交C于點(diǎn)P.CP5，CB3，PB4，CB2PB2CP2，CPB為直角三角形，且CBP90°，即CBPB，PBPB4.ACB90°，PBAC.又PBAC4，四邊形ACBP為矩形，PABC3.在RtAPP中，PA3，PP8，PA.綜上所述，PA的長(zhǎng)為3或.【變式訓(xùn)

8、練2-1】 如圖，在O中，AE是直徑，半徑OC垂直于弦AB于點(diǎn)D，連接BE，若AB2 ，CD1，則BE的長(zhǎng)是()A5 B6 C7 D8 解析 由垂徑定理可知AD.設(shè)O的半徑為x，則ODx1，OAx.由勾股定理得x2(x1)2()2，解得x4.OD3.OD是ABE的中位線，BE6.故選B.【變式訓(xùn)練2-2】如圖所示，某窗戶由矩形ABCD和弓形AEB組成，已知弓形的跨度AB3 m，弓形的高EF1 m，現(xiàn)計(jì)劃安裝玻璃，請(qǐng)你幫工人師傅求出所在的O的半徑.解：由垂徑定理，得BFAB1.5 m，OEAB.設(shè)O的半徑為x m，則OF(x1)m.在RtOBF中，根據(jù)勾股定理，得x21.52(x1)2，解得x1

9、.625.即所在的O的半徑是1.625 m.【變式訓(xùn)練2-3】如圖，一下水管道橫截面為圓形，直徑為100 cm，下雨前水面寬為60 cm，一場(chǎng)大雨過后，水面寬為80 cm，則水位上升_cm. 解析 對(duì)于半徑為50 cm的圓而言，圓心到長(zhǎng)為60 cm的弦的距離為40 cm，到長(zhǎng)為80 cm的弦的距離為30 cm.當(dāng)圓心在兩平行弦之外時(shí)，兩弦間的距離403010(cm)；當(dāng)圓心在兩平行弦之間時(shí)，兩弦間的距離403070(cm)綜上所述，水位上升10 cm或70 cm.垂徑定理的應(yīng)用3.1、如圖為一拱形公路橋，圓弧形橋拱的水面跨度AB80米，橋拱到水面的最大高度為20米(1)求橋拱的半徑；(2)現(xiàn)有

10、一艘寬60米，船艙頂部為長(zhǎng)方形并高出水面9米的輪船要經(jīng)過這里，這艘輪船能順利通過這座拱橋嗎？請(qǐng)說明理由解：(1)如圖，設(shè)點(diǎn)E是橋拱所在圓的圓心，過點(diǎn)E作EFAB于點(diǎn)F，延長(zhǎng)EF交E于點(diǎn)D，則F是AB的中點(diǎn)，AFFBAB40米，EFDEDFAEDF.由勾股定理，知AE2AF2EF2AF2(AEDF)2.設(shè)E的半徑為r米，則r2402(r20)2.解得r50.答：橋拱的半徑為50米(2)這艘輪船能順利通過這座拱橋理由如下：如圖，由題意，知DEMN，PMMN30米，EF502030(米)在RtPEM中，PE40米，PFPEEF403010(米)10米9米，這艘輪船能順利通過這座拱橋 3.2、如圖,一

11、圓弧形橋拱的圓心為E,拱橋的水面跨度AB=80米,橋拱到水面的最大高度DF為20米.(1)求橋拱的半徑;(2)現(xiàn)水面上漲后水面跨度為60米,則水面上漲的高度為米. 解:(1)由垂徑定理,得AF=AB=40,設(shè)半徑為r,由勾股定理得AE2=AF2+EF2,即r2=402+(r-20)2.解得r=50.所以橋拱的半徑為50米.(2)設(shè)水面上漲后水面跨度MN為60米,MN交ED于H,連接EM,如圖所示,則MH=MN=30,所以EH=40(米).因?yàn)镋F=50-20=30(米),所以HF=EH-EF=10(米).所以水面上漲10米.【變式訓(xùn)練3-1】 某地方有座弧形的拱橋,如圖,橋下的水面寬

12、為7.2米,拱頂高出水面2.4米,現(xiàn)有一艘寬3米,船艙頂部為長(zhǎng)方形并高出水面2米的船要經(jīng)過這里,此船能順利通過這座拱形橋嗎?解:如圖,設(shè)所在圓的圓心為O,半徑為r米,連接OA,OC,過O作OKAB于點(diǎn)K,交CD于點(diǎn)H,交于點(diǎn)G.則OA=OG=r米,GK=2.4米,OK=OG-GK=(r-2.4)米.由垂徑定理,得AK=AB=×7.2=3.6(米).在RtAOK中,由勾股定理,得AK2+OK2=OA2,即(r-2.4)2+3.62=r2.解得r=3.9.所以O(shè)K=3.9-2.4=1.5(米).在RtCOH中,CH=CD=×3=1.5(米),由勾股定理,得OH2=OC2-CH2

13、,即OH2=3.92-1.52.解得OH=3.6.所以HK=OH-OK=3.6-1.5=2.1(米).因?yàn)?.1>2,所以此船能順利通過這座拱形橋.1.如圖，在O內(nèi)有折線OABC，其中OA8，AB12，AB60°，則BC的長(zhǎng)為()A19 B16 C18 D20 解析 如圖，延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)O作OEBC于點(diǎn)E.AB60°，DAB是等邊三角形，ADDBAB12，ODADOA1284.在RtODE中，DOE90°ADB30°，DEOD2，BEDBDE12210.由垂徑定理，知BC2BE20.2.如圖，在半徑為5的O中，AB，CD是互相垂直的兩條

14、弦，垂足為P，且ABCD8，則OP的長(zhǎng)為()A3 B4 C3 D4 C解析 如圖，過點(diǎn)O作OEAB，OFCD，垂足分別為E，F(xiàn)，連接AO.OEAB，AEAB4.在RtOAE中，OA5，由勾股定理可得OE3，同理得OF3，因此四邊形OEPF是正方形，OEPE3.在RtOPE中，由勾股定理可得OP3 .3.如圖，坐標(biāo)平面上，A，B兩點(diǎn)分別為P與x軸、y軸的交點(diǎn)，有一直線l經(jīng)過點(diǎn)P且與AB垂直，C為l與y軸的交點(diǎn)若點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為(a，0)，(0，4)，(0，5)，其中a0，則a等于()A2 B2 C8 D74A解析 連接AC，OB4，OC5，BCOBOC9.由垂徑定理可知直線l是線段AB的

15、垂直平分線，ACBC9.在RtAOC中，AO2.a0，a2.故選A.4.如圖，過A，C，D三點(diǎn)的圓的圓心為E，過B，F(xiàn)，E三點(diǎn)的圓的圓心為D，CAE63°，則CBE_°.解析 連接EC，ED.AECE，ACECAE63°，AEC180°63°×254°.DEDB，DEBCBE，CDEDEBCBE2CBE.CEDE，ECDCDE2CBE，AECECDCBE3CBE.又AEC54°，CBE18°.5.如圖，AB是O的直徑，AB4，M是OA的中點(diǎn)，過點(diǎn)M的直線與O交于C，D兩點(diǎn)若CMA45°，則弦CD

16、的長(zhǎng)為_答案 解析 連接OD，過點(diǎn)O作OECD于點(diǎn)E，如圖所示，則CEDE.AB是O的直徑，AB4，M是OA的中點(diǎn)，ODOA2，OM1.OMECMA45°，OEM是等腰直角三角形，OEOM.在RtODE中，由勾股定理得DE，CD2DE.故答案為.6.如圖,AB是O的直徑,點(diǎn)C在O上,CDAB,垂足為D,已知CD=4,OD=3,則AB的長(zhǎng)是10. 7.平面上有O及一點(diǎn)A,點(diǎn)A到O上一點(diǎn)的距離最長(zhǎng)為10 cm,最短為4 cm,則O的半徑為3 cm或7 cm. 8.如圖,A,B,C是O上的三點(diǎn),AOB=50°,OBC=40°,求OAC的度數(shù).解:如圖

17、,連接OC,因?yàn)镺B=OC,所以O(shè)CB=OBC=40°.所以BOC=180°-OBC-OCB=180°-40°-40°=100°.所以AOC=AOB+BOC=50°+100°=150°.又因?yàn)镺A=OC,所以O(shè)AC=15°.9.如圖,AB是O的直徑,點(diǎn)C,D在O上,CEAB于E,DFAB于F,且AE=BF,AC與BD相等嗎?為什么?解:AC與BD相等.理由如下:連接OC,OD,如圖.因?yàn)镺A=OB,AE=BF,所以O(shè)A-AE=OB-BF,即OE=OF.因?yàn)镃EAB,DFAB,所以O(shè)EC=OFD=

18、90°.在RtOEC和RtOFD中,所以RtOECRtOFD(HL).所以CE=DF.在AEC與BFD中,所以AECBFD(SAS).所以AC=BD.10.已知O的半徑是 5 cm,弦ABCD,AB=6 cm,CD=8 cm,則AB與CD的距離是多少?解:分為兩種情況:當(dāng)AB和CD在O的同旁時(shí),如圖(1),過O作OEAB于E,交CD于F,連接OA,OC,因?yàn)锳BCD,所以O(shè)FCD.由垂徑定理得AE=AB=3 cm,CF=CD=4 cm.在RtOAE中,由勾股定理,得OE=4(cm).同理求出OF=3 cm.所以EF=4-3=1 cm.當(dāng)AB和CD在O的兩側(cè)時(shí),如圖(2),同理求出OE

19、=4 cm,OF=3 cm,所以EF=4+3=7 cm;綜上所述,AB與CD的距離是1 cm或7 cm.11.如圖所示,殘缺的圓形輪片上,弦AB的垂直平分線CD交圓形輪片于點(diǎn)C,垂足為D,解答下列問題:(1)用尺規(guī)作圖找出圓形輪片的圓心O的位置并將圓形輪片所在的圓補(bǔ)全;(要求:保留所有的作圖痕跡,不寫作法)(2)若弦AB=8,CD=3,求圓形輪片所在圓的半徑.解:(1)如圖(1)所示.(2)如圖(2),連接OA,因?yàn)镃D是弦AB的垂直平分線,所以AD=AB=4.設(shè)圓的半徑是r.在直角ADO中,AO=r,AD=4,DO=r-3.根據(jù)勾股定理得r2=16+(r-3)2,解得r=.即圓形輪片所在圓的

20、半徑為.1.如圖,AB是O的弦,半徑OCAB于點(diǎn)D,若O的半徑為5,AB=8,則CD的長(zhǎng)是(A)(A)2(B)3 (C)4 (D)52.如圖,已知O的直徑AB經(jīng)過弦CD的中點(diǎn)E,連接BC,BD,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(D)(A)ABCD (B)BC=BD (C)BCD=BDC (D)OE=BE3.如圖:將半徑為2厘米的圓形紙片折疊后,圓弧恰好經(jīng)過圓心O,則折痕AB的長(zhǎng)為(D)(A) 厘米 (B)2 厘米 (C)3 厘米 (D)2 厘米4.(2017黔東南州)如圖,O的直徑AB垂直于弦CD,垂足為E,A=15°,半徑為2,則弦CD的長(zhǎng)為(A)(A)2(B)1 (C) (D)4 第4題圖 第5題圖 第6題圖 第7題圖5.如圖,AB是O的直徑,弦CDAB,CD=10,APPB=51,O的半徑是(D)