第06講多項(xiàng)式

1、 第六講:多項(xiàng)式 1 第六講:多項(xiàng)式楊老師專(zhuān)論（電話號(hào)碼：2078159；手機(jī)號(hào)碼 初等數(shù)學(xué)的中心課題之一是研究代數(shù)方程和不等式,其求解證明最終轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式問(wèn)題;多項(xiàng)式理論本身有許多重要結(jié)論,是高等代數(shù)的基礎(chǔ);多項(xiàng)式與復(fù)數(shù)、組合、數(shù)論及等眾多學(xué)科有密切的關(guān)系;解決多項(xiàng)式問(wèn)題綜合性大、方法靈活、技巧性強(qiáng).多項(xiàng)式問(wèn)題是自主招生考試必須重點(diǎn)關(guān)注的重要問(wèn)題. .知識(shí)拓展 多項(xiàng)式的結(jié)論常與多項(xiàng)式的系數(shù)所在的集合相關(guān),為了敘述方便,我們約定:用Zx,Qx,Rx,Cx分別表示整系數(shù)、有理系數(shù)、實(shí)系數(shù)、復(fù)系數(shù)的所有一元多項(xiàng)式的集合,用degf(x)表示多項(xiàng)式f(x)的次數(shù). 1.帶余

2、除法:定理1(復(fù)系數(shù)):設(shè)f(x),g(x)是多項(xiàng)式,g(x)0,則存在唯一多項(xiàng)式q(x)與r(x),使得f(x)=q(x)g(x)+r(x),其中r(x)=0,或degr(x)<egg(x),q(x)和r(x)分別稱(chēng)為除以的商式和余式. 若r(x)=0,則稱(chēng)g(x)能整除f(x),或g(x)稱(chēng)是f(x)的因式,記作g(x)|f(x). 定理2(整系數(shù)):設(shè)f(x),g(x)是整系數(shù)多項(xiàng)式,g(x)0,且g(x)的首項(xiàng)系數(shù)為1,則存在唯一的整系數(shù)多項(xiàng)式q(x)與r(x),使得f(x)=q(x)g(x)+r(x),其中r(x)=0,或degr(x)<egg(x). 2.整除性質(zhì):定理

3、1(自反性):g(x)|f(x),且f(x)|g(x)f(x)=g(x)(是非零常數(shù)); 定理2(傳遞性):若f(x)|g(x),且g(x)|h(x),則f(x)|h(x); 定理3(運(yùn)算性):若f(x)|g(x),且f(x)|h(x),則f(x)|p(x)g(x)+q(x)h(x),其中p(x),q(x)為任意多項(xiàng)式; 3.因式定理:定理(余數(shù)定理):多項(xiàng)式f(x)除以(x-a)所得的余數(shù)為f(a); 推論1(因式定理):多項(xiàng)式f(x)有因式(x-a)的充要條件是a為f(x)的根; 推論2:(x-a)|f(x)-f(a); 推論3:若f(x)Zx,則(a-b)|f(a)-f(b); 4.公因

4、式定理:定義(最大公因式):若M(x)是f(x)與g(x)的公因式,且對(duì)f(x)與g(x)的任意公因式m(x),都有m(x)|M(x),則稱(chēng)M(x)為f(x)與g(x)的最大公因式,記為M(x)=(f(x),g(x);當(dāng)(f(x),g(x)=1時(shí),稱(chēng)f(x)與g(x)互素; 定理1:M(x)=(f(x),g(x)存在多項(xiàng)式p(x),q(x),使得p(x)f(x)+q(x)g(x)=M(x); 定理2(裴蜀等式):f(x)與g(x)互素存在多項(xiàng)式p(x),q(x),使得p(x)f(x)+q(x)g(x)=1; 5.零點(diǎn)定理:定理1(基本定理)一元n(n>0)次多項(xiàng)式恰有n個(gè)根,重根按重?cái)?shù)計(jì)

5、算; 定理2(復(fù)根成對(duì)定理):若實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f(x)有一個(gè)虛根a+bi(a,bR,b0),那么它的共軛復(fù)數(shù)a-bi也是f(x)的根,并且a+bi和a-bi有相同重?cái)?shù); 推論1:若多項(xiàng)式f(x)有無(wú)數(shù)個(gè)不同的根,則f(x)為零多項(xiàng)式;若兩個(gè)次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式在n+1個(gè)不同數(shù)上的值相等,則這兩個(gè)多項(xiàng)式恒等; 推論2:實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f(x)可惟一分解為一次因式與二次不可約因式的乘積(相差一個(gè)常數(shù)倍數(shù));復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式f(x)可惟一分解為一次因式的乘積(相差一個(gè)常數(shù)倍數(shù)); 6.整系數(shù)定理:定理1(有理根定理):若整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0有有理根(p與q互質(zhì)),則p

6、|an,q|a0; 推論1:設(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式,如果它的奇數(shù)次項(xiàng)系數(shù)之和等于偶數(shù)次項(xiàng)系數(shù)之和,則它必含有因子x+1;如果它的奇數(shù)次項(xiàng)系數(shù)之和等于偶數(shù)次項(xiàng)系數(shù)之和的相反數(shù),則它必含有因子x-1; 推論2:設(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式,若是f(x)的有理根,則,都是整數(shù)(m是整數(shù)); 定理2(艾森斯坦判別法)對(duì)于整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0,如果能找到一個(gè)素?cái)?shù)p,使得pan,p|ai(i=0, 2 第六講:多項(xiàng)式 1,2,n-1),p2a0,那么f(x)在有理數(shù)域上不可約

7、(不能分解因式); 7.韋達(dá)定理:定理1(韋達(dá)定理):如果f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0的根分別為x1,x2,xn,且an0,則有:x1+x2+xn=-,=,=-,x1x2xn=(-1)n;韋達(dá)定理的逆命題也成立的; 8.對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式:定義1(對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式):n元多項(xiàng)式f(x1,x2,xn)任意交換兩個(gè)變量時(shí)均保持不變,則稱(chēng)f(x1,x2,xn)為n元對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式; 定義2(初等對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式):形如1=x1+x2+xn,2=x1x2+x1x3+xn-1xn,n=x1x2xn的對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式稱(chēng)為n元初等對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式; 定理:每個(gè)n元對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式都可以唯一的表成關(guān)于初等對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式1,2,n的多

8、項(xiàng)式; 9.插值公式:(拉格朗日插值公式):設(shè)f(x)是一個(gè)次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式,a1,a2,an+1是n+1個(gè)互不相同的復(fù)數(shù),則:f(x)f(a1)+f(a2)+f(an+1). 推論1:若a1,a2,an是互不相同的復(fù)數(shù),則+1. .歸類(lèi)分析 1.除法與整除:例1:(2003年上海交通大學(xué)保送生數(shù)學(xué)試題)求證:為最簡(jiǎn)分式.解析:練習(xí)1:1.(2003年上海交通大學(xué)保送生考試試題)三次多項(xiàng)式f(x)滿(mǎn)足f(3)=2f(1),且有兩個(gè)相等的實(shí)根2,則第三個(gè)根為 . (2000年上海市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)已知aZ,且x6-33x+20能被x2-x+a整除,則a的值為 .2.(1999年Enlos數(shù)

9、學(xué)奧林匹克試題)求證:log1999x不能表示成的形式,其中f(x)、g(x)為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,且f(x)與g(x)互質(zhì). (1977年第6屆美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)求正整數(shù)對(duì)(m,n)所滿(mǎn)足的條件,使得(1+xn+x2n+xmn)能被(1+x+x2+xn)所整除. 2.因式分解:例2:(2006年復(fù)旦大學(xué)選拔生考試數(shù)學(xué)試題)下列各式能否在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式？若能,請(qǐng)作出分解;不能則說(shuō)明理由.x+1;x2+x+1;x3+x2+x+1;x4+x3+x2+x+1.解析:練習(xí)2:1.(2004年復(fù)旦大學(xué)保送生考試試題)x8+1=(x4+x2+1)(x4+ax2-1),則a= . (2008年第四屆北方數(shù)

10、學(xué)奧林匹克邀請(qǐng)賽試題)設(shè)n是正整數(shù),整數(shù)a是方程x4+3ax2+2ax-2×3n=0的根,求所有滿(mǎn)足條件的n和a.2.(1993年澳門(mén)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)設(shè)P(x)=x4+ax3+bx2+cx+d,其中a,b,c,d為常數(shù),P(1)=1993,P(2)=3986,P(3)=5979, 第六講:多項(xiàng)式 3 試計(jì)算P(11)+P(-7). (2000年愛(ài)爾蘭數(shù)學(xué)奧林匹克試題)設(shè)P(x)=x4+ax3+bx2+cx+d,其中a,b,c,d為常數(shù),P(1)=2000,P(2)=4000,P(3)=6000,試計(jì)算P(9)+P(-5).2.(1984年上海市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)設(shè)多項(xiàng)式P(x)=(

11、x-a1)(x-a2)(x-an)-1,其中ai(i=1,2,n)是n個(gè)不同的整數(shù),試證:P(x)不能分解為兩個(gè)次數(shù)大于零的整系數(shù)多項(xiàng)式之積. (1999年愛(ài)沙尼亞數(shù)學(xué)奧林匹克試題)求證:x1998+x1997+x2+x+1在整系數(shù)范圍內(nèi)不可約. 3.有理數(shù)根:例3:(2008年復(fù)旦大學(xué)選拔生考試數(shù)學(xué)試題)設(shè)x1、x2、x3是方程x3+x+2=0的三個(gè)根,則行列式=( )(A)-4 (B)-1 (C)0 (D)2解析:練習(xí)3:1.(2007年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽上海初賽試題)已知關(guān)于x的方程x3sin(sin+2)x2+6x4=0有三個(gè)正實(shí)根,求u=的最小值.2.(1995年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

12、求一切實(shí)數(shù)p,使三次方程5x3-5(p+1)x2+(71p-1)x+1=66p的三個(gè)根均為自然數(shù). 4.韋達(dá)定理:例4:(2012年復(fù)旦大學(xué)保送生考試試題)設(shè)三次方程x3+px+q=0的3個(gè)根互異,且可成等比數(shù)列,則它們的公比是 .(A)-i (B)i (C)i (D)-i解析:練習(xí)4:1.(2005年上海交通大學(xué)保送生考試試題)x3+ax2+bx+c=0的三個(gè)根分別為a,b,c,并且a,b,c是不全為零的有理數(shù),求a,b,c的值. (2008年復(fù)旦大學(xué)選拔生考試數(shù)學(xué)試題)設(shè)x1、x2、x3是方程x3+x+2=0的三個(gè)根,則行列式=( )(A)-4 (B)-1 (C)0 (D)22.(1996

13、年AIME數(shù)學(xué)奧林匹克試題)假設(shè)x3+3x2+4x-11=0的根是a,b,c,x3+rx2+sx+t=0的根是a+b,b+c,c+a,求t. (1977年第6屆美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)如果a和b是方程x4+x3-1=0的兩個(gè)根,求證:ab是x6+x4+x3-x2-1=0的一個(gè)根. 5.對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式:例5:(2008年復(fù)旦大學(xué)選拔生考試數(shù)學(xué)試題)設(shè)x1、x2、x3是方程x3+x+2=0的三個(gè)根,則行列式=( )(A)-4 (B)-1 (C)0 (D)2解析:練習(xí)5:1.(2011年復(fù)旦大學(xué)保送生考試試題)設(shè)a,b(-,+),b0,、是三次方程x3+ax+b=0的3個(gè)根,則總以 4 第六講:多項(xiàng)式 +

14、、+、+為根的三次方程是( )(A)a2x3+2abx2+b2x-a=0 (B)b2x3+2abx2+a2x-b=0 (C)a2x3+2ab2x2+bx-a=0 (D)b2x3+2a2bx2+ax-b=0 (1996年第28屆加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克試題)若、是多項(xiàng)式x3-x-1的三個(gè)根,計(jì)算S=+的值.2.(1998年波蘭數(shù)學(xué)奧林匹克試題)記P(x,y)=x2y+xy2,Q(x,y)=x2+xy+y2,對(duì)任意的正整數(shù)n,設(shè)Fn(x,y)=(x+y)n-xn-yn,Gn(x,y)=(x+y)n+xn+yn,求證:對(duì)每個(gè)正整數(shù)n2,Fn與Gn中至少有一個(gè)可表示成P與Q的整系數(shù)多項(xiàng)式. 6.三次方程:例

15、6:(2008年南開(kāi)大學(xué)保送生考試試題)方程x3+px2+qx+1=0有3個(gè)實(shí)根,且p>0,q>0,求證:pq9.解析:練習(xí)6:1.(2006年上海交通大學(xué)推優(yōu)、保送生考試數(shù)學(xué)試題)設(shè)k9,解方程x3+2kx2+k2x+9k+27=0. 解方程ax3+bx2+cx+d=0(a0).2.(2008年第七屆中國(guó)女子數(shù)學(xué)奧林匹克試題)已知實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式(x)=ax3+bx2+cx+d有三個(gè)正根,且(0)<0.求證:2b3+9a2d-7abc0. (數(shù)學(xué)通報(bào).2012年第4期.數(shù)學(xué)問(wèn)題解答(2054)實(shí)系數(shù)方程ax3-x2+bx-1=0有三個(gè)正實(shí)根,求P=的最小值. (山東省2012屆

16、高中數(shù)學(xué)夏令營(yíng)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)設(shè)實(shí)系數(shù)三次多項(xiàng)式P(x)=x3+ax2+bx+c有三個(gè)非零實(shí)數(shù)根.求證:6a3+10-12ab27c. 7.零點(diǎn)問(wèn)題:例7:(2003年上海交通大學(xué)保送生考試試題)設(shè)f(x)=x2+(k+1)x+2k+1,g(k)是k的多項(xiàng)式.()設(shè)f(a)與k無(wú)關(guān),求常數(shù)a;()求一次多項(xiàng)式g(k),使得f(g(k)與k無(wú)關(guān);()設(shè)g(k)是二次以上的多項(xiàng)式,證明:f(g(k)必與k有關(guān);()設(shè)、為f(x)=0的解,試求、滿(mǎn)足的方程,并用圖形表示出來(lái),其中取作橫坐標(biāo),取作縱坐標(biāo);()如果、是整數(shù),求出與這樣的、對(duì)應(yīng)的所有k的值.解析:練習(xí)7:1.(2004年上海交通大學(xué)保送生考

17、試試題)f(x)=ax4+x3+(5-8a)x2+6x-9a.證明:()總有f(-3)=0;()總有f(3)0. (2007年上海交大冬令營(yíng)試題)設(shè)f(x)=(1+a)x4+x3-(3a+2)x2-4a,試證明對(duì)任意實(shí)數(shù)a:()方程f(x)=0總有相同實(shí)根;()存在x0,恒有f(x0)0.2.(2007年第六屆中國(guó)女子數(shù)學(xué)奧林匹克試題)給定絕對(duì)值都不大于10的整數(shù)a、b、c,三次多項(xiàng)式f(x)=x3+ax2+bx+c滿(mǎn)足條件|f(2+)|<0.0001.問(wèn):2+是否一定是這個(gè)多項(xiàng)式的根? (2007年第四屆中國(guó)東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)試求實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù),使得對(duì)于每個(gè)a,關(guān)于x的三次方程x

18、3=ax+a+1都有滿(mǎn)足|x|<1000的偶數(shù)根. 8.插值公式:例8:(2003年上海交通大學(xué)保送生考試試題)三次多項(xiàng)式f(x)滿(mǎn)足f(3)=2f(1),且有兩個(gè)相等的實(shí)根2,則第三個(gè)根 第六講:多項(xiàng)式 5 為 .解析:練習(xí)8:1.(1990年全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克試題)當(dāng)x=-1,0,1,2時(shí),多項(xiàng)式P(x)=ax3+bx2+cx+d取整數(shù)值.求證:對(duì)任意整數(shù)x,P(x)均取整數(shù)值. (1983年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)已知函數(shù)f(x)=ax2c,滿(mǎn)足4f(1)1,1f(2)5,那么,f(3)應(yīng)滿(mǎn)足( )(A)7f(3)26 (B)4f(3)15 (C)1f(3)20 (D)f(3)2.(2

19、010年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),當(dāng)0x1時(shí),|(x)|1,試求a的最大值. (1974年捷克數(shù)學(xué)奧林匹克試題)設(shè)M是所有形如f(x)=ax3+bx2+cx+d,a,b,c,aR,且當(dāng)x-1,1時(shí)滿(mǎn)足|f(x)|1的多項(xiàng)式的集合.證明必有某個(gè)數(shù)k,使得對(duì)所有f(x)M,都有|a|k.并求最小的k. 9.條件多項(xiàng)式:例9:(2010年“華約”自主招生數(shù)學(xué)試題引伸題)設(shè)是三次多項(xiàng)式f(x)=x3-x-a的一個(gè)根,且=2+a,若g(x)是一個(gè)有理系數(shù)的二次多項(xiàng)式,滿(mǎn)足條件g()=,則g(0)= .解析:練習(xí)9:1.(2009年清華大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題)

20、找出一個(gè)根為+的整系數(shù)多項(xiàng)式. (1997年日本數(shù)學(xué)奧林匹克試題)當(dāng)a3-a-1=0時(shí),a+是某個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的解,求最高項(xiàng)系數(shù)為1的滿(mǎn)足上述條件的數(shù)最低的多項(xiàng)式. (1994年日本數(shù)學(xué)奧林匹克試題)當(dāng)a=+時(shí),將表示為次數(shù)最低的a的有理多項(xiàng)式.2.(2000年克羅地亞數(shù)學(xué)奧林匹克試題)求證:存在整系數(shù)多項(xiàng)式f(x),使當(dāng)0.09x0.11時(shí),均有|f(x)-0.1|<0.0001. (2009年中國(guó)西部數(shù)學(xué)奧林匹克試題)設(shè)M是一個(gè)由實(shí)數(shù)集R去掉有限個(gè)元素后得到的集合.證明:對(duì)任意的正整數(shù)n,都存在n次多項(xiàng)式f(x),使得f(x)的所有系數(shù)及n個(gè)實(shí)根都屬于M. (2011年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)

21、賽試題)證明:對(duì)任意整數(shù)n4,存在一個(gè)n次多項(xiàng)式f(x)=xn+an-1xn-1+a1x+a0具有如下性質(zhì):a0,a1,an-1均為正整數(shù);對(duì)任意正整數(shù)m,及任意k(k2)個(gè)互不相同的正整數(shù)r1,r2,rk,均有f(m)f(r1)f(r2)f(rk). 10.多項(xiàng)式方程:例10:(2006年上海交通大學(xué)保送生考試試題)若函數(shù)形為f(x,y)=a(x)b(y)+c(x)d(y),其中a(x),c(x)為關(guān)于x的多項(xiàng)式,b(y),d(y)為關(guān)于y的多項(xiàng)式,則稱(chēng)f(x,y)為P類(lèi)函數(shù),判斷下列函數(shù)是否是P類(lèi)函數(shù),并說(shuō)明理由.()1+xy;()1+xy+x2y2.解析:練習(xí)10:1.(1980年羅馬尼

22、亞數(shù)學(xué)奧林匹克試題)求所有滿(mǎn)足P(x2)P(x)2(xR)的次數(shù)大于0的多項(xiàng)式P(x). (1975年加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克試題)設(shè)k是正整數(shù),求一切多項(xiàng)式P(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0,其中ai是實(shí)數(shù),滿(mǎn)足等式P(P(x)=P(x)k. 6 第六講:多項(xiàng)式 2.(1975年第4屆美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)求所有滿(mǎn)足P(0)=0,且P(x)=P(x+1)+P(x-1)(xR)的多項(xiàng)式P(x). (1999年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河北初賽試題)證明:x是任意實(shí)數(shù)時(shí),使等式f(x+1)-2f(x)+f(x-1)=0成立的非常值函數(shù)f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0(an0)都

23、能且只能表示成一次函數(shù)f(x)=ax+b(a0)的形式. (第32屆普特南大學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克試題)求多項(xiàng)式P(x),使得P(0)=0,且對(duì)一切實(shí)數(shù),等式P(x2+1)=P(x)2+1成立. 11.二項(xiàng)式綜合:例11:(2010年同濟(jì)大學(xué)保送生考試數(shù)學(xué)試題)若x2+x10=a0+a1(1+x)+a9(1+x)9+a10(1+x)10,則a9= .解析:練習(xí)11:1.(2009年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西初賽試題)設(shè)(x+1)p(x-3)q=xn+a1xn-1+a2xn-2+an-1x+an,p、qN+.()若a1=a2,求證:3n是完全平方數(shù);()證明:存在無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)對(duì)(p,q),使得a1=a2.

24、 (1990年巴爾干數(shù)學(xué)奧林匹克試題)研究由等式a0+a1x+a2x2+a2nx2n=(x+2x2+nxn)2所確定的多項(xiàng)式,證明:an+1+an+2+a2n=n(n+1)(2n2+5n+2).2.(1986年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)已知數(shù)列a0,a1,a2,滿(mǎn)足a0a1,且ai-1+ai+1=2ai(i=1,2,3,),求證:對(duì)于任何自然數(shù)n,p(x)=a0Cn0(1-x)n+a1Cn1x(1-x)n-1+an-1Cnn-1xn-1(1-x)+anCnnxn是x的一次多項(xiàng)式. (1997年第29屆加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克試題)將和寫(xiě)成的形式,其中p(x),q(x)為整系數(shù)多項(xiàng)式. 12.構(gòu)造應(yīng)用:例

25、12:(2008年北京大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題)實(shí)數(shù)ai(i=1,2,3),bi(i=1,2,3)滿(mǎn)足a1+a2+a3=b1+b2+b3,a1a2+a2a3+a3a1=b1b2+b2b3+b3b1,mina1,a2,a3minb1,b2,b3.求證:maxa1,a2,a3maxb1,b2,b3.解析:練習(xí)12:1.(2008年太原市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)tan2+tan2+tan2= .2.(1984年第2屆美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)已知,求x2+y2+z2+w2的值. 第六講:多項(xiàng)式詳解 1 第六講:多項(xiàng)式詳解楊老師專(zhuān)論（電話號(hào)碼：2078159；手機(jī)號(hào)碼 初等數(shù)學(xué)的中心課題之一

26、是研究代數(shù)方程和不等式,其求解證明最終轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式問(wèn)題;多項(xiàng)式理論本身有許多重要結(jié)論,是高等代數(shù)的基礎(chǔ);多項(xiàng)式與復(fù)數(shù)、組合、數(shù)論及等眾多學(xué)科有密切的關(guān)系;解決多項(xiàng)式問(wèn)題綜合性大、方法靈活、技巧性強(qiáng).多項(xiàng)式問(wèn)題是自主招生考試必須重點(diǎn)關(guān)注的重要問(wèn)題. .知識(shí)拓展 多項(xiàng)式的結(jié)論常與多項(xiàng)式的系數(shù)所在的集合相關(guān),為了敘述方便,我們約定:用Zx,Qx,Rx,Cx分別表示整系數(shù)、有理系數(shù)、實(shí)系數(shù)、復(fù)系數(shù)的所有一元多項(xiàng)式的集合,用degf(x)表示多項(xiàng)式f(x)的次數(shù). 1.帶余除法:定理1(復(fù)系數(shù)):設(shè)f(x),g(x)是多項(xiàng)式,g(x)0,則存在唯一多項(xiàng)式q(x)與r(x),使得f(x)=q(x)g(x)

27、+r(x),其中r(x)=0,或degr(x)<egg(x),q(x)和r(x)分別稱(chēng)為除以的商式和余式. 若r(x)=0,則稱(chēng)g(x)能整除f(x),或g(x)稱(chēng)是f(x)的因式,記作g(x)|f(x). 定理2(整系數(shù)):設(shè)f(x),g(x)是整系數(shù)多項(xiàng)式,g(x)0,且g(x)的首項(xiàng)系數(shù)為1,則存在唯一的整系數(shù)多項(xiàng)式q(x)與r(x),使得f(x)=q(x)g(x)+r(x),其中r(x)=0,或degr(x)<egg(x). 2.整除性質(zhì):定理1(自反性):g(x)|f(x),且f(x)|g(x)f(x)=g(x)(是非零常數(shù)); 定理2(傳遞性):若f(x)|g(x),且

28、g(x)|h(x),則f(x)|h(x); 定理3(運(yùn)算性):若f(x)|g(x),且f(x)|h(x),則f(x)|p(x)g(x)+q(x)h(x),其中p(x),q(x)為任意多項(xiàng)式; 3.因式定理:定理(余數(shù)定理):多項(xiàng)式f(x)除以(x-a)所得的余數(shù)為f(a); 推論1(因式定理):多項(xiàng)式f(x)有因式(x-a)的充要條件是a為f(x)的根; 推論2:(x-a)|f(x)-f(a); 推論3:若f(x)Zx,則(a-b)|f(a)-f(b); 4.公因式定理:定義(最大公因式):若M(x)是f(x)與g(x)的公因式,且對(duì)f(x)與g(x)的任意公因式m(x),都有m(x)|M(x

29、),則稱(chēng)M(x)為f(x)與g(x)的最大公因式,記為M(x)=(f(x),g(x);當(dāng)(f(x),g(x)=1時(shí),稱(chēng)f(x)與g(x)互素; 定理1:M(x)=(f(x),g(x)存在多項(xiàng)式p(x),q(x),使得p(x)f(x)+q(x)g(x)=M(x); 定理2(裴蜀等式):f(x)與g(x)互素存在多項(xiàng)式p(x),q(x),使得p(x)f(x)+q(x)g(x)=1; 5.零點(diǎn)定理:定理1(基本定理)一元n(n>0)次多項(xiàng)式恰有n個(gè)根,重根按重?cái)?shù)計(jì)算; 定理2(復(fù)根成對(duì)定理):若實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f(x)有一個(gè)虛根a+bi(a,bR,b0),那么它的共軛復(fù)數(shù)a-bi也是f(x)的根,

30、并且a+bi和a-bi有相同重?cái)?shù); 推論1:若多項(xiàng)式f(x)有無(wú)數(shù)個(gè)不同的根,則f(x)為零多項(xiàng)式;若兩個(gè)次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式在n+1個(gè)不同數(shù)上的值相等,則這兩個(gè)多項(xiàng)式恒等; 推論2:實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f(x)可惟一分解為一次因式與二次不可約因式的乘積(相差一個(gè)常數(shù)倍數(shù));復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式f(x)可惟一分解為一次因式的乘積(相差一個(gè)常數(shù)倍數(shù)); 6.整系數(shù)定理:定理1(有理根定理):若整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0有有理根(p與q互質(zhì)),則p|an,q|a0; 推論1:設(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式,如果它的奇數(shù)次項(xiàng)系數(shù)之和等于偶數(shù)

31、次項(xiàng)系數(shù)之和,則它必含有因子x+1;如果它的奇數(shù)次項(xiàng)系數(shù)之和等于偶數(shù)次項(xiàng)系數(shù)之和的相反數(shù),則它必含有因子x-1; 推論2:設(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式,若是f(x)的有理根,則,都是整數(shù)(m是整數(shù)); 定理2(艾森斯坦判別法)對(duì)于整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0,如果能找到一個(gè)素?cái)?shù)p,使得pan,p|ai(i=0, 2 第六講:多項(xiàng)式詳解 1,2,n-1),p2a0,那么f(x)在有理數(shù)域上不可約(不能分解因式); 7.韋達(dá)定理:定理1(韋達(dá)定理):如果f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0的根分別為x1,x2

32、,xn,且an0,則有:x1+x2+xn=-,=,=-,x1x2xn=(-1)n;韋達(dá)定理的逆命題也成立的; 8.對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式:定義1(對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式):n元多項(xiàng)式f(x1,x2,xn)任意交換兩個(gè)變量時(shí)均保持不變,則稱(chēng)f(x1,x2,xn)為n元對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式; 定義2(初等對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式):形如1=x1+x2+xn,2=x1x2+x1x3+xn-1xn,n=x1x2xn的對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式稱(chēng)為n元初等對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式; 定理:每個(gè)n元對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式都可以唯一的表成關(guān)于初等對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式1,2,n的多項(xiàng)式; 9.插值公式:(拉格朗日插值公式):設(shè)f(x)是一個(gè)次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式,a1,a2,an+1是n+1個(gè)互不相同的復(fù)數(shù),

33、則:f(x)f(a1)+f(a2)+f(an+1). 推論1:若a1,a2,an是互不相同的復(fù)數(shù),則+1. .歸類(lèi)分析 1.除法與整除:例1:(2003年上海交通大學(xué)保送生數(shù)學(xué)試題)求證:為最簡(jiǎn)分式.解析:令f(a)=a3+2a,g(a)=a4+3a2+1,則為最簡(jiǎn)分式f(a)與g(a)無(wú)公因式.反證:假設(shè)(f(a),g(a)=h(a)(degh(a)1)h(a)|f(a),h(a)|g(a)h(a)|g(a)-af(a)=a+1a+1|h(a)a+1|f(a),矛盾.練習(xí)1:1.(2003年上海交通大學(xué)保送生考試試題)三次多項(xiàng)式f(x)滿(mǎn)足f(3)=2f(1),且有兩個(gè)相等的實(shí)根2,則第三個(gè)

34、根為 .解:設(shè)f(x)=(ax-b)(x-2)2,由f(3)=2f(1)3a-b=2(a-b)a=-b第三個(gè)根為-1. (2000年上海市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)已知aZ,且x6-33x+20能被x2-x+a整除,則a的值為 .解:(法一待定系數(shù)法)令x6-33x+20=(x2-x+a)(x4+bx3+cx2+dx+e),比較各項(xiàng)系數(shù):b-1=0,a-b+c=0,ab-c+d=0,ac-d+e=0,ad-e=-33,ae=20b=1,c=1-a,d=1-2a,e=a2-3a+1,ad-e=-33,ae=20a(1-2a)-(a2-3a+1)=-33a=4,-(舍去)a=4;(法二綜合除法)由綜合除法

35、x6-33x+20=(x2-x+a)x4+x3+(1-a)x2+(1-2a)x+(a2-3a+1)+(3a2-4a-32)x+20-a(a2-3a+1),所以,x6-33x+20能被x2-x+a整除(3a2-4a-32)x+20-a(a2-3a+1)03a2-4a-32=0,且20-a(a2-3a+1)=0a=4.2.(1999年Enlos數(shù)學(xué)奧林匹克試題)求證:log1999x不能表示成的形式,其中f(x)、g(x)為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,且f(x)與g(x)互質(zhì).解:反證法:假設(shè)log1999x=,且(f(x),g(x)=1,則2=2log1999x=log1999x2=f(x2)g(x)=2f(

36、x)g(x2),由(f(x),g(x)=1(f(x2),g(x2)=1f(x2)|2f(x);若f(x)的次數(shù)1f(x2)的次數(shù)>2f(x)的次數(shù),矛盾;故f(x)為常數(shù);同理可得:g(x)為常數(shù)log1999x=常數(shù),矛盾; (1977年第6屆美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)求正整數(shù)對(duì)(m,n)所滿(mǎn)足的條件,使得(1+xn+x2n+xmn)能被(1+x+x2+xn)所整除.解:設(shè)(1+xn+x2n+xmn)=(1+x+x2+xn)f(x),其中,f(x)是整系數(shù)多項(xiàng)式,則=f(x) 第六講:多項(xiàng)式詳解 3 =f(x)(xn-1)|(xn)m+1-1,(xm+1-1)|(xn)m+1-1(由(a-

37、b)|(ak-bk)可得這兩個(gè)結(jié)論成立),且(xn-1)與(xm+1-1)沒(méi)有異于(x-1)的公因式n與m+1互素(否則若(n,m+1)=p>1,則(xp-1)|(xn-1),(xp-1)|(xm+1-1)(xn-1),(xm+1-1)=(xp-1),矛盾). 2.因式分解:例2:(2006年復(fù)旦大學(xué)選拔生考試數(shù)學(xué)試題)下列各式能否在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式？若能,請(qǐng)作出分解;不能則說(shuō)明理由.x+1;x2+x+1;x3+x2+x+1;x4+x3+x2+x+1.解析:x+1是一次多項(xiàng)式,不能分解因式;方程x2+x+1=0無(wú)實(shí)根x2+x+1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能分解因式;x3+x2+x+1=x2(x+1

38、)+(x+1)=(x+1)(x2+1);x4+x3+x2+x+1=0無(wú)實(shí)根x4+x3+x2+x+1不含x-a的因式,又設(shè)x4+x3+x2+x+1=(x2+ax+1)(x2+bx+1)x4+x3+x2+x+1=x4+(a+b)x3+(ab+2)x2+(a+b)x+1a+b=1,ab+2=1a+b=1,ab=-1a,b是方程t2-t-1=0的根a,b=x4+x3+x2+x+1=(x2+x+1)(x2+x+1).注:本題標(biāo)準(zhǔn)答案是不能分解因式,錯(cuò)題.練習(xí)2:1.(2004年復(fù)旦大學(xué)保送生考試試題)x8+1=(x4+x2+1)(x4+ax2-1),則a= .解:令x=1a=2-.本題為錯(cuò)題:當(dāng)x=0時(shí)

39、,不成立.應(yīng)為x8+1=(x8+2x4+1)-(x2)2=(x4+x2+1)(x4-x2+1). (2008年第四屆北方數(shù)學(xué)奧林匹克邀請(qǐng)賽試題)設(shè)n是正整數(shù),整數(shù)a是方程x4+3ax2+2ax-2×3n=0的根,求所有滿(mǎn)足條件的n和a.解:由a是方程x4+3ax2+2ax-2×3n=0的根a4+3a3+2a2=2×3na2(a+1)(a+2)=2×3na是奇數(shù)(否則:a是偶數(shù)a+2是偶數(shù)a2(a+1)(a+2)是4的倍數(shù))a+1是偶數(shù)a2=32k,a+2=3ma=3k3m-3k=2,或3m+3k=2m=1,k=0,或m=k=0a=1,n=1;或a=-3,

40、n=2.2.(1993年澳門(mén)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)設(shè)P(x)=x4+ax3+bx2+cx+d,其中a,b,c,d為常數(shù),P(1)=1993,P(2)=3986,P(3)=5979,試計(jì)算P(11)+P(-7).解:令f(x)=P(x)-1993xf(1)=f(2)=f(3)=0,由于f(x)是4次方程,設(shè)另一根為r,f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-r)P(x)-1993x=(x-1)(x-2)(x-3)(x-r)P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-r)+1993xP(11)+P(-7)=10×9×8(11-r)+1993×11+(-8)(-9)

41、(-10)(-7-r)+1993×4=5233. (2000年愛(ài)爾蘭數(shù)學(xué)奧林匹克試題)設(shè)P(x)=x4+ax3+bx2+cx+d,其中a,b,c,d為常數(shù),P(1)=2000,P(2)=4000,P(3)=6000,試計(jì)算P(9)+P(-5).解:令f(x)=P(x)-1993xf(1)=f(2)=f(3)=0,由于f(x)是4次方程,設(shè)另一根為r,f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-r)P(x)-1993x=(x-1)(x-2)(x-3)(x-r)P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-r)+2000xP(9)+P(-5)=12704.2.(1984年上海市高中數(shù)學(xué)

42、競(jìng)賽試題)設(shè)多項(xiàng)式P(x)=(x-a1)(x-a2)(x-an)-1,其中ai(i=1,2,n)是n個(gè)不同的整數(shù),試證:P(x)不能分解為兩個(gè)次數(shù)大于零的整系數(shù)多項(xiàng)式之積.解:反證法:假設(shè)P(x)=f(x)g(x),其中,f(x),g(x)都是整系數(shù)多項(xiàng)式,則f(x)g(x)=(x-a1)(x-a2)(x-an)-1f(ai)g(ai)=-1(由f(x),g(x)都是整系數(shù)多項(xiàng)式f(ai),g(ai)都是整數(shù))f(ai)=1,g(ai)=1f(ai)+g(ai)=0,即f(x)+g(x)有n個(gè)零點(diǎn)ai,但f(x)+g(x)是次數(shù)小于P(x)的次數(shù)n的多項(xiàng)式不可能有n個(gè)零點(diǎn),故矛盾,即P(x)不

43、能分解為兩個(gè)次數(shù)大于零的整系數(shù)多項(xiàng)式之積. (1999年愛(ài)沙尼亞數(shù)學(xué)奧林匹克試題)求證:x1998+x1997+x2+x+1在整系數(shù)范圍內(nèi)不可約.解:解決一般性問(wèn)題:令t=x-1,則xn+xn-1+x2+x+1=Cn+1n+1tn+Cn+1ntn-1+Cn+11,當(dāng)p=n+1為素?cái)?shù)時(shí),pCn+1n+1,P=(n+1)|Cn+1k(k=1,2,n),p2=(n+1)2Cn+11=n+1.由艾森斯坦判別法知該多項(xiàng)式在整系數(shù)范圍內(nèi)不可約. 事實(shí)上,xn+xn-1+x2+x+1在整系數(shù)范圍內(nèi)不可約n+1為素?cái)?shù)(若n+1=mk(m,k>1),則xn+xn-1+x2+x+1=必有因式xm-1和xk-

44、1,可約).p=1999為素?cái)?shù). 4 第六講:多項(xiàng)式詳解 3.有理數(shù)根:例3:(2008年復(fù)旦大學(xué)選拔生考試數(shù)學(xué)試題)設(shè)x1、x2、x3是方程x3+x+2=0的三個(gè)根,則行列式=( )(A)-4 (B)-1 (C)0 (D)2解析:=3x1x2x3-(x13+x23+x33).方程x3+x+2=0有一根x1=-1(x+1)(x2-x+2)=0x2-x+2=0的兩根x2,x3滿(mǎn)足:x2+x3=1,x2x3=2x23+x33=(x2+x3)(x2+x3)2-3x2x3=-53x1x2x3-(x13+x23+x33)=-3x2x3-(-1+x23+x33)=0.選(C).練習(xí)3:1.(2007年全國(guó)

45、高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽上海初賽試題)已知關(guān)于x的方程x3sin(sin+2)x2+6x4=0有三個(gè)正實(shí)根,求u=的最小值.解:x3sin(sin+2)x2+6x4=0(x-1)(x2sin-2x+4)=0,方程x3sin(sin+2)x2+6x4=0有三個(gè)正實(shí)根方程x2sin-2x+4=0有二個(gè)正實(shí)根0<sin.(1-cos)(2cos-6sin-3sin2+2)=2cos-6sin-3sin2+2-2cos2+6sincos+3cossin2-2cos=2sin2-6sin+3cossin2=6sin3+2sin2在sin=時(shí).取得最大值,9sin2-4sin+3在sin=時(shí).取得最小值的最小值

46、=.2.(1995年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)求一切實(shí)數(shù)p,使三次方程5x3-5(p+1)x2+(71p-1)x+1=66p的三個(gè)根均為自然數(shù).解:5x3-5(p+1)x2+(71p-1)x+1=66p(5x2-71x+66)p-(5x3-5x2-x+1)=0(x-1)(5x-66)p-(x-1)(5x2-1)=0(x-1)(5x2-5px+66p-1)=05x2-5px+66p-1=0的二個(gè)根均為自然數(shù),設(shè)為m,n,且nmm+n=p,5mn=66p-15mn=66(m+n)-1n=(m14)m17m26,代入n=驗(yàn)證知m=17,n=59p=76. 4.韋達(dá)定理:例4:(2012年復(fù)旦大學(xué)保送生考

47、試試題)設(shè)三次方程x3+px+q=0的3個(gè)根互異,且可成等比數(shù)列,則它們的公比是 .(A)-i (B)i (C)i (D)-i解析:設(shè)三個(gè)根分別為a,ab,ab2,由韋達(dá)定理得a+ab+ab2=0公比b=-i.選(A).練習(xí)4:1.(2005年上海交通大學(xué)保送生考試試題)x3+ax2+bx+c=0的三個(gè)根分別為a,b,c,并且a,b,c是不全為零的有理數(shù),求a,b,c的值.解:由韋達(dá)定理知a+b+c=-a,ab+bc+ca=b,abc=-c(ab+1)c=0.當(dāng)c=0時(shí),2a+b=0,ab=ba=1,b=-2;當(dāng)c0時(shí),ab=-1,b+1=-(a+b)(2a+b)b+1=-2a2+3-b2b2

48、+b-2=-2a2b4+b3-2b2=-2(ab)2b4+b3-2b2+2=0(b+1)(b3-2b+2)=0b=-1,a=1,c=-1.綜上,(a,b,c)=(1,-2,0),(1,-1,-1). (2008年復(fù)旦大學(xué)選拔生考試數(shù)學(xué)試題)設(shè)x1、x2、x3是方程x3+x+2=0的三個(gè)根,則行列式=( )(A)-4 (B)-1 (C)0 (D)2解:=3x1x2x3-(x13+x23+x33).xi3+xi+2=0(i=1,2,3)xi3=-(xi+2)-(x13+x23+x33)=x1+x2+x3+6,由韋達(dá)定理知x1+x2+x3=0,x1x2x3=-23x1x2x3-(x13+x23+x3

49、3)=0;選(C). 第六講:多項(xiàng)式詳解 5 2.(1996年AIME數(shù)學(xué)奧林匹克試題)假設(shè)x3+3x2+4x-11=0的根是a,b,c,x3+rx2+sx+t=0的根是a+b,b+c,c+a,求t.解:由韋達(dá)定理知a+b+c=-3,ab+bc+ca=4,abc=11,(a+b)(b+c)(c+a)=-tt=-(-3-c)(-3-a)(-3-b)=(a+3)(b+3)(c+3)=abc+3(ab+bc+ca)+9(a+b+c)+27=23. (1977年第6屆美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)如果a和b是方程x4+x3-1=0的兩個(gè)根,求證:ab是x6+x4+x3-x2-1=0的一個(gè)根.解:設(shè)方程x4+x

50、3-1=0的根為a,b,c,d,由韋達(dá)定理知,把分別代入,并令ab=x得,消去a+b得:x6+x4+x3-x2-1=0,即ab是x6+x4+x3-x2-1=0的一個(gè)根. 5.對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式:例5:(2008年復(fù)旦大學(xué)選拔生考試數(shù)學(xué)試題)設(shè)x1、x2、x3是方程x3+x+2=0的三個(gè)根,則行列式=( )(A)-4 (B)-1 (C)0 (D)2解析:=3x1x2x3-(x13+x23+x33).3x1x2x3-(x13+x23+x33)=-(x13+x23+x33-3x1x2x3)=-(x1+x2+x3)(x12+x22+x32-x1x2-x2x3-x3x1)=-(x1+x2+x3)(x1+x2+x3)2-3(x1x2+x2x3+x3x1),由韋達(dá)定理知x1+x2+x3=0,x1x2+x2x3+x3x1=13x1x2x3-(x13+x23+x33)=0;選(C).練習(xí)5:1.(2011年復(fù)旦大學(xué)保送生考試試題)設(shè)a,b(-,+),b0,、是三次方程x3+ax+b=0的3個(gè)根,則總以+、+、+為根的三次方程是( )(A)a2x3+2abx2+b2x-a=0 (B)b2x3+2abx2+a2x-b=0 (C)a2x3+2ab2x2+bx-a=0 (D)b2x3+2a2bx2+ax-b=0解:由