第13章虛位移原理

1、2 在第一篇靜力學(xué)中，我們從靜力學(xué)公理出發(fā)，通過力系的簡化，得出剛體的平衡條件，用來研究剛體及剛體系統(tǒng)的平衡問題。在這一章里，我們將介紹普遍適用于研究任意質(zhì)點(diǎn)系的平衡問題的一個(gè)原理，它從位移和功的概念出發(fā)，得出任意質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件。該原理叫做虛位移原理虛位移原理。它是研究平衡問題的最一般的原理，不僅如此，將它與達(dá)朗伯原理相結(jié)合，就可得到一個(gè)解答動力學(xué)問題的動力學(xué)普遍方程。3 131 約束及其分類約束及其分類 132 自由度自由度 廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo) 133 虛位移和虛功虛位移和虛功 134 理想約束理想約束 135 虛位移原理虛位移原理 第十三章第十三章 虛位移原理虛位移原理0),(zyxf1.

2、 幾何約束和運(yùn)動約束幾何約束和運(yùn)動約束限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在空間的幾何位置的條件稱為限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在空間的幾何位置的條件稱為幾何幾何約束約束。0222lyx一一. 約束約束13-1約束及其分類約束及其分類限制質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動情況的運(yùn)動學(xué)條件稱限制質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動情況的運(yùn)動學(xué)條件稱運(yùn)動約束。運(yùn)動約束。0rvO0rxO2. 定常約束和非定常約束定常約束和非定常約束約束條件隨約束條件隨時(shí)間變化時(shí)間變化的稱的稱非定常非定常約束，約束，否則稱否則稱定常定常約束。約束。2022vtlyx222lyx7 如果在約束方程中含有坐標(biāo)對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)（例如運(yùn)動約束）而且方程中的這些導(dǎo)數(shù)不能經(jīng)過積分運(yùn)算消除，即約束方程中含有的坐標(biāo)導(dǎo)

3、數(shù)項(xiàng)不是某一函數(shù)全微分，從而不能將約束方程積分為有限形式，這類約束稱為非完整約束非完整約束。一般地，非完整約束方程只能以微分形式表達(dá)。 3、完整約束和非完整約束、完整約束和非完整約束 如果約束方程中不含有坐標(biāo)對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，或者約束方程中雖有坐標(biāo)對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，但這些導(dǎo)數(shù)可以經(jīng)過積分運(yùn)算化為有限形式，則這類約束稱為完整約束完整約束。8 在兩個(gè)相對的方向上同時(shí)對質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系進(jìn)行運(yùn)動限制的約束稱為雙面約束雙面約束。只能限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系單一方向運(yùn)動的約束稱為單面約束單面約束。 例如：例如：車輪沿直線軌道作純滾動， 是微分方程，但經(jīng)過積分可得到 （常數(shù)），該約束仍為完整約束。 0rxACrxA 4、單面約

4、束和雙面約束、單面約束和雙面約束 幾何約束必定是完整約束，但完整約束未必是幾何約束。 非完整約束一定是運(yùn)動約束，但運(yùn)動約束未必是非完整約束。剛桿x2+y2=l2繩x2+y2 l29 雙面約束的約束方程為等式，單面約束的約束方程為不等式。 我們只討論質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系受定常、雙面、完整約束的情況，其約束方程的一般形式為（s為質(zhì)點(diǎn)系所受的約束數(shù)目，n為質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)）), 2 , 1( 0),;,(111sjzyxzyxfnnnj10 13-2自由度自由度 廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo) 一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)在空間的位置：（ x, y, z ) 3個(gè) 一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)系在空間的位置：( xi , yi , zi ) (i=1,

5、2n) 3n個(gè) 對一個(gè)非自由質(zhì)點(diǎn)系，受s個(gè)完整約束，（3n-s )個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)。 其自由度為 k=3n-s 。 確定一個(gè)受完整約束的質(zhì)點(diǎn)系的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目，稱為該質(zhì)點(diǎn)系的自由度的數(shù)目自由度的數(shù)目，簡稱為自由度自由度。 例如例如, 曲柄連桿機(jī)構(gòu)曲柄連桿機(jī)構(gòu), 確定曲柄連桿機(jī)構(gòu)位置的四個(gè)坐標(biāo)xA、yA、xB、yB須滿足三個(gè)約束方程，因此有一個(gè)自由度一個(gè)自由度。11一般地，受到s個(gè)約束的、由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，其自由度為snk 3 用來確定質(zhì)點(diǎn)系位置的獨(dú)立參數(shù)，稱為廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)。 廣義坐標(biāo)的選擇不是唯一的。廣義坐標(biāo)可以取線位移線位移（x, y, z, s 等），也可以取角位移角位移（如

6、 , , , 等）。在完整約束情況下，廣義坐標(biāo)的數(shù)目就等于自由度數(shù)目。12例如例如：曲柄連桿機(jī)構(gòu)中，可取曲柄OA的轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)，則：0 , sincossin ,cos222BBAAyrlrxryrx 廣義坐標(biāo)選定后，質(zhì)點(diǎn)系中每一質(zhì)點(diǎn)的直角坐標(biāo)都可表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)。13 例如例如：雙錘擺。設(shè)只在鉛直平面內(nèi)擺動。2212212221212211)()( ),( , ),(byyxxayxyxyx兩個(gè)自由度 取廣義坐標(biāo)，coscos , sinsincos , sin2211baybaxayax14 一般地，設(shè)有由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，具有k個(gè)自由度，取q1、q2、qk為其廣義坐標(biāo)，質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)

7、各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)及矢徑可表為廣義坐標(biāo)的函數(shù)。),(),(),(),(21212121kiikiikiikiiqqqrrqqqzzqqqyyqqqxx), 2 , 1(ni1513-3虛位移和虛功虛位移和虛功 在質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動過程的某瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系中的質(zhì)點(diǎn)發(fā)生的為約束允許的任意的無限小位移，稱為質(zhì)點(diǎn)系（在該瞬時(shí)）的虛位移虛位移。 虛位移可以是線位移，也可以是角位移。通常用變分符號 表示虛位移。16 虛位移與真正運(yùn)動時(shí)發(fā)生的實(shí)位移不同虛位移與真正運(yùn)動時(shí)發(fā)生的實(shí)位移不同。 實(shí)位移是在一定的力作用下和給定的初條件下運(yùn)動而實(shí)際發(fā)生的；虛位移是在約束容許的條件下可能發(fā)生的。 實(shí)位移具有確定的方向，可能是微小值，也可

8、能是有限值；虛位移則是微小位移，視約束情況可能有幾種不同的方向。 實(shí)位移是在一定的時(shí)間內(nèi)發(fā)生的；虛位移只是純幾何的概念，完全與時(shí)間無關(guān)。 在定常約束下，微小的實(shí)位移必然是虛位移之一。而在非定常約束下，微小實(shí)位移不再是虛位移之一。17 質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的虛位移之間存在著一定的關(guān)系, 確定這些關(guān)系通常有兩種方法：(一一) 幾何法幾何法。由運(yùn)動學(xué)知，質(zhì)點(diǎn)的位移與速度成正比，即因此可以用分析速度的方法分析各點(diǎn)虛位移之間的關(guān)系。dtvrd18 (二二) 解析法解析法。質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)（ q1,q2,qk），廣義坐標(biāo)分別有變分 ，各質(zhì)點(diǎn)的虛位移 在直角坐標(biāo)上的投影可以表示為kqqq

9、,21irkkiiiikkiiiikkiiiiqqzqqzqqzzqqyqqyqqyyqqxqqxqqxx221122112211), 2 , 1(ni19例例1 分析圖示機(jī)構(gòu)在圖示位置時(shí)，點(diǎn)C、A與B的虛位移。 (已知 OC=BC= a， OA=l )解解：此為一個(gè)自由度系統(tǒng)，取OA桿與x 軸夾角為廣義坐標(biāo)。1、幾何法、幾何法sin21sin2aaPBPCrrlarrBCAC200 ,sin2cos ,sincos ,sin,BBAACCACyaxlylxayaxlrar將C、A、B點(diǎn)的坐標(biāo)表示成廣義坐標(biāo) 的函數(shù)，得0 ,cos2sin ,cossin ,cosBBAACCyaxlylxay

10、ax2、解析法、解析法對廣義坐標(biāo) 求變分，得各點(diǎn)虛位移在相應(yīng)坐標(biāo)軸上的投影：0 ,sin2cos ,sincos ,sinBBAACCyaxlylxayax21力 在質(zhì)點(diǎn)發(fā)生的虛位移 上所作的功稱為虛功虛功，記為 。 FrWzFyFxFWrFWyyx2213-4 理想約束理想約束 如果在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移上，質(zhì)點(diǎn)系的所有約束反力的虛功之和等于零，則稱這種約束為理想約束。理想約束。 質(zhì)點(diǎn)系受有理想約束的條件：0iNiNiNrFWW23理想約束的典型例子如下：1、光滑支承面2、光滑鉸鏈3、無重剛桿4、不可伸長的柔索5、剛體在粗糙面上的純滾動0rNrNWN0rNWN0)(CNrFNW2413-5 虛

11、位移原理虛位移原理 一、虛位移原理一、虛位移原理 具有定常、理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，平衡平衡的必要與充分條件是：作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有主動力主動力在任何虛位移上所作的虛功之和虛功之和等于零。即0iirF解析式：解析式：0)(iziiyiixizFyFxF25 二、虛位移原理的應(yīng)用二、虛位移原理的應(yīng)用1、系統(tǒng)在給定位置平衡時(shí)，求主動力之間的關(guān)系；2、求系統(tǒng)在已知主動力作用下的平衡位置；3、求系統(tǒng)在已知主動力作用下平衡時(shí)的約束反力；4、求平衡構(gòu)架內(nèi)二力桿的內(nèi)力。26例例1 圖示橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)，連桿AB長l，桿重和滑道摩擦不計(jì)，鉸鏈為光滑的，求在圖示位置平衡時(shí)，主動力大小P和Q之間的關(guān)系。解解：研究整個(gè)機(jī)構(gòu)。系統(tǒng)

12、的所有約束都是完整、定常、理想的。271、幾何法、幾何法：使A發(fā)生虛位移 ，B的虛位移 ，則由虛位移原理，得虛功方程：ArBr0)tan( ArQP由 的任意性，得Ar tanQP0 BArQrP tan cossin ABBArrrr而28 2、解析法、解析法 由于系統(tǒng)為單自由度， 可取為廣義坐標(biāo)。cos ,sinsin ,coslylxlylxABAB由于 任意，故 tanQP , 0BAxQyP0)sincos( lQP代入到代入到得中,0iirF由速度投影定理由速度投影定理, ,有有cossinBAvv代入上式代入上式得得tanQP 0ABQvPv(3) (3) 虛速度法虛速度法定義定

13、義: trvtrvBBAAdd,為虛速度為虛速度AvBv 例例2已知：已知：如圖所示機(jī)構(gòu)如圖所示機(jī)構(gòu), ,不計(jì)各構(gòu)件自重與各處摩擦不計(jì)各構(gòu)件自重與各處摩擦. . 求：機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡時(shí)求：機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡時(shí), ,主動力偶矩主動力偶矩與主動力與主動力 之間的關(guān)系之間的關(guān)系. .解解: 1 : 1 給虛位移給虛位移cr,由圖中關(guān)系有由圖中關(guān)系有sinearr 2sin,sinhrrhOBraCe代入虛功方程得代入虛功方程得 2sinFhM 0FCWMFrerarrr2用虛速度法用虛速度法:2sin,sinhvvhOBvCae代入到代入到 20,sinCFhMFvM3用建立坐標(biāo)用建立坐標(biāo),取變分

14、的方法取變分的方法,有有2sincot0hxBChxxFMCCC解得解得2sinFhM avevrv33解解：這是一個(gè)具有兩個(gè)自由度的系統(tǒng)，取角及為廣義坐標(biāo)，現(xiàn)用兩種方法求解。y 例例3 均質(zhì)桿OA及AB在A點(diǎn)用鉸連接，并在O點(diǎn)用鉸支承，如圖所示。兩桿各長2a和2b，各重P1及P2，設(shè)在B點(diǎn)加水平力 以維持平衡，求兩桿與鉛直線所成的角及 。F34應(yīng)用虛位移原理，)( 021axFyPyPBDC代入(a)式，得：0)cos2sin()cos2sin2sin(221bFbPaFaPaP解法一：解法一：cos2cos2 ,sin2sin2 sinsin2 ,coscos2 sin ,cos baxb

15、axbaybayayayBBDDCC而35由于 是彼此獨(dú)立的，所以： , 0cos2sin0cos2sin2sin221bFbPaFaPaP2212 tan,22tanPFPPF由此解得：0)cos2sin()cos2sin2sin(221bFbPaFaPaP360sincos2DBrPrF而brbrDB ,2代入上式，得2222tanPFbPbF解法二：解法二： 先使 保持不變，而使 獲得變分 ，得到系統(tǒng)的一組虛位移，如圖所示。37 再使 保持不變，而使 獲得變分 ，得到系統(tǒng)的另一組虛位移，如圖所示。BDArrr0sinsincos21DCBrPrPrF而arrrarADBC2,代入上式后，

16、得： 22tan21PPF0)sin2sin2cos(21aPaPaF圖示中：38例例4 多跨靜定梁，求支座B處反力。解解：將支座B 除去，代入相應(yīng)的約束反力 。BR0211mrPrRrPCBBBBCBBrmrrPrrPR211 3996118111211121614 , 811 , 21 1BCBEBGBBCBrrrrrrrrrrr而mPPRB961181121 21BBCBBrmrrPrrPR211 40例例5 滑套D套在光滑直桿AB上，并帶動桿CD在鉛直滑道上滑動。已知=0o時(shí)，彈簧等于原長，彈簧剛度系數(shù)為5(kN/m)，求在任意位置（ 角）平衡時(shí)，加在AB桿上的力偶矩M ？解解：這是一

17、個(gè)已知系統(tǒng)平衡，求作用于系統(tǒng)上主動力之間關(guān)系的問題。將彈簧力計(jì)入主動力，系統(tǒng)簡化為理想約束系統(tǒng)，故可以用虛位移原理求解。41 選擇AB桿、CD桿和滑套D的系統(tǒng)為研究對象。 tansec3 . 0 sec3 . 0 )kN( |sec1 |5 . 1|)m( |sec1 |3 . 0|cos300600 , )mm(300300600 , 0000ssllkFFllllD角時(shí)時(shí)由虛位移原理，得：)mkN( cos)cos1 (sin45. 03M0sFM0 tansec3 . 0|sec1|5 . 1M42 以不解除約束的理想約束系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)至少有一個(gè)自由度。若系統(tǒng)存在非理想約束，如彈簧力、摩擦力等，可把它們計(jì)入主動力，則系統(tǒng)又是理想約束系統(tǒng)，可選為研究對象。 若要求解約束反力，需解除相應(yīng)的約束，代之以約束反力，并計(jì)入主動力