第五節(jié)函數(shù)展開成冪級數(shù)PPT學習教案

1、會計學1第五節(jié)函數(shù)展開成冪級數(shù)第五節(jié)函數(shù)展開成冪級數(shù)2.2.展開式是否唯一展開式是否唯一? ?3.3.在什么條件下才能展開成冪級數(shù)在什么條件下才能展開成冪級數(shù)? ?1.1.如果能展開如果能展開, , 是什么是什么? ?na上節(jié)例題上節(jié)例題)11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 即得形如即得形如 函數(shù)的展開式函數(shù)的展開式.需要考慮需要考慮問題問題 是否存在冪級數(shù)在其收斂域內(nèi)以是否存在冪級數(shù)在其收斂域內(nèi)以 為和函數(shù)為和函數(shù)? ?)(xf一 問題的提出第1頁/共24頁)()(!)()(! 2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxf

2、nnn 1.1.Toylor公式：公式：復習前面的兩個公式復習前面的兩個公式,)()!1()()(10)1( nnnxxnfxR 其其中中 在在 與與 之間之間 0 xx第2頁/共24頁)(!) 0(! 2) 0() 0() 0()()(2xRxnfxfxffxfnnn 2.2.Maclaurin公式公式,)!1()()(1)1( nnnxnfxR 其其中中 在在 與與 之間之間 0 xx第3頁/共24頁函數(shù)展開冪級數(shù)的必要條件函數(shù)展開冪級數(shù)的必要條件.定理定理1 1 若若 在在 處能展開成冪級數(shù)處能展開成冪級數(shù)則則 在在 內(nèi)具有任意階導數(shù)內(nèi)具有任意階導數(shù), ,且且)(xf0 xnnnxxa)

3、(00 )(xf),(0 xx ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann證明證明在在 內(nèi)收斂于內(nèi)收斂于 ,即即nnnxxa)(00 )(0 x)(xf nnxxaxxaaxf)()()(0010第4頁/共24頁 )(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn令令 , ,即得即得0 xx 10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf逐項求導任意次逐項求導任意次, ,得得即為泰勒系數(shù)即為泰勒系數(shù)), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann且泰勒系數(shù)是唯一的且泰勒系數(shù)是唯一的, ,所以所以)(xf的展開式是唯一的的展開式是唯一的.第5頁/共24頁問題問題nnnx

4、xnxfxf)(!)()(000)(? 泰勒級數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于泰勒級數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于f(x)? 不一定不一定.定義定義 如果如果f(x)在點在點 處任意階可導處任意階可導,則冪級數(shù)則冪級數(shù)稱為稱為 在點在點 的泰勒級數(shù)的泰勒級數(shù). 稱稱為為在在 點點 的麥克勞林級數(shù)的麥克勞林級數(shù).0 xnnnxxnxf)(!)(000)( nnnxnf 0)(!)0()(xf0 x)(xf0 x第6頁/共24頁), 2 , 1 , 0( 0)0()( nfn在在x=0點任意可導點任意可導, ,且且 0, 00,)(21xxexfx例如例如.00 nnx麥克勞林級數(shù)麥克勞林級數(shù)為為)(xf該級數(shù)在該

5、級數(shù)在 內(nèi)和函數(shù)內(nèi)和函數(shù) 可見可見. 0)( xs),(除除 外外, 的麥氏級數(shù)處處不收斂于的麥氏級數(shù)處處不收斂于 .0 s)(xf)(xf第7頁/共24頁函數(shù)展開冪級數(shù)的充要條件函數(shù)展開冪級數(shù)的充要條件.)()(!)()(000)(xRxxixfxfninii 證明證明必要性必要性.設設 能展開為泰勒級數(shù)能展開為泰勒級數(shù).)(xf),()()(1xsxfxRnn )()(lim1xfxsnn )(limxRnn)()(lim1xsxfnn ;0 定理定理2 2 在點在點 的泰勒級數(shù)的泰勒級數(shù), ,在在 內(nèi)內(nèi)收斂于收斂于 在在 內(nèi)內(nèi))(xf)(xf)(0 xU 0 x)(0 xU . 0)(l

6、im xRnn第8頁/共24頁充分性充分性),()()(1xRxsxfnn )()(lim1xsxfnn )(limxRnn , 0 ),()(lim1xfxsnn 即即).(xf的泰勒級數(shù)收斂于的泰勒級數(shù)收斂于)(xf定理定理3 3 設設 在在 上有定義上有定義, , 對對 恒有恒有則則 在在 內(nèi)可展開成點內(nèi)可展開成點 的泰的泰勒級數(shù)勒級數(shù). .)(xf),(00RxRxx , 0 M)(0 xU, 1 , 0,| )(|)( nMxfn)(xf),(00RxRx 0 x第9頁/共24頁證明證明10)1()()!1()()( nnnxxnfxR ,)!1(10 nxxMn),(00RxRxx

7、 , 0)!1(lim10 nxxnn 010)!1(nnnxx在在 收斂收斂),(, 0)(lim xRnn),(00RxRxx 故故可展成點可展成點 的泰勒級數(shù)的泰勒級數(shù). .0 x第10頁/共24頁1.1.直接法直接法( (泰勒級數(shù)法泰勒級數(shù)法) )步驟步驟: :;!)()1(0)(nxfann 求求 nxnfxffn!)0()0( )0()(寫出寫出 級數(shù)級數(shù): :Maclaurin)2(討論討論 或或,)()(Mxfn 0lim nnR)3().(xf則級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收斂于則級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收斂于第11頁/共24頁解解,)()(xnexf ), 2 , 1 , 0(. 1)0()(

8、 nfn nxxnxxe!1! 2112), 2 , 1 , 0( n nxxnxxe!1! 2112由于由于M的任意性的任意性, 即得即得),(!1! 2112 xxnxxenx例例1 1xexf )(將將 展開成冪級數(shù)展開成冪級數(shù)., 0 Mxnexf )()(Me ,MM 在在 上上第12頁/共24頁解解),2sin()()( nxxfn,2sin)0()( nfn, 0)0()2( nf,)1()0()12(nnf ), 2 , 1 , 0( n )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x )()(xfn)2sin( nx1 ),( x且且例例2 2將將

9、展開成展開成 冪級數(shù)冪級數(shù).xxfsin)( x第13頁/共24頁解解,)1)(1()1()()(nnxnxf ),1()1()0()( nfn), 2 , 1 , 0( n nxnnxx!)1()1(! 2)1(12nnnaa1lim 1 nn, 1 , 1 R例例3 3 將將 展開成展開成 冪級數(shù)冪級數(shù).x)()1()(Rxxf 第14頁/共24頁在在 內(nèi)內(nèi), ,若若)1 , 1( nxnnxxs!)1()1(1)( 1)!1()1()1()1()(nxnnxxs nxnnxxxsx)!1()1()1()1()(2 !) 1() 1(!)() 1()!1() 1() 1(nnmmmnnmm

10、nnmm 利利用用第15頁/共24頁)()1(xsx 1222!)1()1(! 2)1(nxnnxx)(xs ,1)()(xxsxs . 1)0( s且且兩邊積分兩邊積分,1)()(00dxxdxxsxsxx )1 , 1( x得得),1ln()0(ln)(lnxsxs 第16頁/共24頁即即,)1ln()(ln xxs,)1()( xxs )1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2 )1 , 1( x牛頓二項式展開式牛頓二項式展開式注意在注意在 處收斂性與處收斂性與 的取值有關(guān)的取值有關(guān). .1 x 第17頁/共24頁)1 , 1()1(11132 nnxxxxx

11、1 , 1!)!2(!)!32()1(64231421211132 nnxnnxxxx1 , 1!)!2(!)!12()1(64253142312111132 nnxnnxxxx雙階乘雙階乘21, 1 當當 時時,有有第18頁/共24頁2.2.間接法間接法根據(jù)唯一性根據(jù)唯一性, , 利用常見展開式利用常見展開式, , 通過變量代換通過變量代換, ,四四則運算則運算, , 恒等變形恒等變形, , 逐項求導逐項求導, , 逐項積分等方法逐項積分等方法, ,求展開式求展開式. .從而可以得到以下幾個常見的展開式從而可以得到以下幾個常見的展開式: : )!2()1(! 41! 211cos242nxx

12、xxnn),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn)(sincos xx由由第19頁/共24頁例例4 4 將將 展開成展開成 冪級數(shù)冪級數(shù).x211)(xxf 解解)11(,1112 xxxxxn把把 換成換成 得得x2x ,)1(1112422 nnxxxx)11( x第20頁/共24頁例例5 5 將將 展開成展開成 冪級數(shù)冪級數(shù). .x)1ln()(xxf 解解,)1(1112 nnxxxx)11( x將上式從將上式從 到到 逐項積分逐項積分, ,得得0 x nxxxxnn 132)1(3121 xxdxx01)1ln()11( x第21頁/共24頁例例6 6 將將 展開成展