二項(xiàng)分布及其應(yīng)用(一、二)--醫(yī)學(xué)統(tǒng)計學(xué)

1、二項(xiàng)分布及其應(yīng)用二項(xiàng)分布Binomial distribution在醫(yī)學(xué)上常遇到一些事物，其結(jié)局只有兩種互相對立的結(jié)果。如在毒理試驗(yàn)中，動物的生存與死亡；在動物誘癌試驗(yàn)中，動物的發(fā)癌與不發(fā)癌；在臨床治療中，病人的治愈與未愈；理化檢驗(yàn)結(jié)果的陰性與陽性等等。均表現(xiàn)為兩種互相對立的結(jié)果，每個個體的觀察結(jié)果只能取其中之一。為了解這些隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性，在相同條件下進(jìn)行屢次試驗(yàn)。發(fā)現(xiàn)其共同特點(diǎn)：（1）對立性（2）獨(dú)立性（3）重復(fù)性滿足這些條件的n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)為n重貝努利試驗(yàn)，簡稱貝努利Bernoulli試驗(yàn)或貝努利試驗(yàn)?zāi)Ｐ?。?yīng)用條件二項(xiàng)分布的定義XB(n,):隨機(jī)變量X服從以n,為參數(shù)的二項(xiàng)分布。任意一

2、次試驗(yàn)中，只有事件A發(fā)生和不發(fā)生兩種結(jié)果，發(fā)生的概率分別是: 和1 假設(shè)在相同的條件下，進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，用X表示這n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，那么X服從二項(xiàng)分布，記做 XB(n,)，也叫Bernoulli分布。二項(xiàng)分布的概率例2.12：假設(shè)小白鼠接受一定劑量的毒物時,其死亡概率是80%。對每只小白鼠來說，其死亡事件A發(fā)生的概率是0.8，生存事件A的發(fā)生概率是0.2。試驗(yàn)用3只小白鼠，請列舉可能出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果及發(fā)生的概率。Page21所有可能結(jié)果每種結(jié)果的概率死亡數(shù)生存數(shù)不同死亡數(shù)的概率甲、乙、丙XnX生 生 生0.20.20.2=0.2303生 生 死0.20.20.8=0.80.22生

3、 死 生0.20.80.2=0.80.2212死 生 生0.80.20.2=0.80.22生 死 死0.20.80.8=0.820.2死 生 死0.80.20.8=0.820.221死 死 生0.80.80.2=0.820.2死 死 死0.80.80.8=0.83301.0001.000三只小白鼠存亡的排列和組合方式及其概率的計算 死亡1個死亡0個死亡2個死亡3個( 0.2 +0.8 )3 = (0.2)3+3(0.2)2(0.8)+3(0.2)(0.8)2+(0.8)3 三生 二生一死 一生二死 三死 事件A死亡發(fā)生的次數(shù)X1，2，3.n的概率P:如已知n=3，=0.8，則恰有例陽性的概率P

4、(1)為： 二項(xiàng)分布的性質(zhì)假設(shè)XB(n,)：X的總體均數(shù)為X的方差為X的標(biāo)準(zhǔn)差為均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差假設(shè)均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差不用絕對數(shù)而用相對數(shù)即率表示時，即對原式分別除以n：樣本率的總體標(biāo)準(zhǔn)差，又稱樣本率的標(biāo)準(zhǔn)誤，反映樣本率的抽樣誤差的大小。當(dāng)未知時，常以樣本率p來估計：樣本率的總體均數(shù)例：某地鉤蟲感染率為，如果隨機(jī)抽查該地150人，記樣本鉤蟲感染率為p，求p的抽樣誤差p。本例n150，累計概率結(jié)果A最多有K次發(fā)生的概率：結(jié)果A最少有K次發(fā)生的概率：從陽性率為的總體中隨機(jī)抽取n個個體，那么遞推公式：例：據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，用某藥治療小兒上呼吸道感染、支氣管炎，有效率為85，今有5個患者用該藥治療，問：至少3人有效的

5、概率為多少？最多1人有效的概率為多少？本例=0.85,1-=0.15,n=5P(X3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)那么二項(xiàng)分布的圖形在正態(tài)分布或其他連續(xù)性分布中，常用分布曲線下的面積表示某區(qū)間的概率；在二項(xiàng)分布中，那么用線段的長短表示取某變量值時的概率。二項(xiàng)分布圖形形狀取決于n和的大小。當(dāng)時，分布對稱；當(dāng)時，分布呈偏態(tài)；當(dāng)時，分布呈正偏態(tài)；當(dāng) 時，分布呈負(fù)偏態(tài)。特別是當(dāng)n不是很大時，偏離越遠(yuǎn)，分布越偏隨著n的增大，二項(xiàng)分布逐漸接近正態(tài)分布。一般地說，如果?？捎谜龖B(tài)近似原理處理二項(xiàng)分布問題，以簡化計算。二項(xiàng)分布的應(yīng)用條件各觀察單位只能有互相對立的兩種結(jié)果之一。 如陽性或陰性，生存或

6、死亡等，不允許考慮“可疑等模糊結(jié)果，屬于二分類資料。觀察單位數(shù)n必須事先確定。發(fā)生某一結(jié)果的概率不變，其對立結(jié)果的概率那么為1- 。 實(shí)際工作中要求是從大量觀察中獲得的比較穩(wěn)定的數(shù)值。n次試驗(yàn)在相同條件下進(jìn)行，且各觀察單位的結(jié)果互相獨(dú)立。即每個觀察單位的觀察結(jié)果不會影響到其他觀察單位的結(jié)果。 如要求疾病無傳染性、無家族聚集性等。二項(xiàng)分布的應(yīng)用統(tǒng)計推斷：總體率的區(qū)間估計樣本率和總體率的比較兩樣本率的比較總體率的區(qū)間估計1.查表法當(dāng)n50，p很接近0或1時，查附表6。例：某醫(yī)生用某藥物治療31例腦血管堵塞患者，其中25例患者治療有效，試求該藥物治療腦血管堵塞有效概率的95可信區(qū)間。n=31,X=2

7、5n/2,n-X=6查表得可信區(qū)間：(1-37.5%, 1-7.5%)=(62.5%,92.5%)Page392.正態(tài)近似法例：從某地人群中隨機(jī)抽取144人，檢查乙型肝炎外表抗原攜帶狀況，陽性率為，求該地人群的乙型肝炎外表抗原陽性率的95可信區(qū)間。 n=144,p=9.03%95%可信區(qū)間為即，單個總體率的假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)康模和茢鄻颖舅淼目傮w率與一個總體率0是否相等。1.直接計算概率法根據(jù)二項(xiàng)分布的概率分布計算概率或累計概率，依據(jù)小概率事件原理，作出統(tǒng)計推斷。例：新生兒染色體異常率為，隨機(jī)抽取某地400名新生兒，發(fā)現(xiàn)1名染色體異常，請問當(dāng)?shù)匦律鷥喝旧w異常是否低于一般？H0 ： H1 ： 按照的

8、水準(zhǔn)不拒絕H0，不能認(rèn)為當(dāng)?shù)匦律鷥旱娜旧w異常低于一般。例：一種鴨通常感染某種傳染病的概率是，現(xiàn)將一種藥物注射到25只鴨后發(fā)現(xiàn)有1只鴨發(fā)生感染，試判斷這種藥物對預(yù)防感染是否有效。H0 ：此藥物對預(yù)防感染無效，即 H1 ：此藥物對預(yù)防感染有效，即 單側(cè)在H0成立的前提下，25只鴨中感染的只數(shù)XB(25,0.2)，那么有按照的水準(zhǔn)拒絕H0，接受H1。2.正態(tài)近似法根據(jù)二項(xiàng)分布的正態(tài)近似原理，得到檢驗(yàn)統(tǒng)計量為Page72兩個總體率的假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)康模和ㄟ^在兩個總體中分別進(jìn)行抽樣所得的樣本率p1和p2來推斷總體率1和2是否相等。根據(jù)二項(xiàng)分布的正態(tài)近似原理，得到檢驗(yàn)統(tǒng)計量為合并率Page72例： 某醫(yī)院腫瘤

9、科3 年中共治療乳腺癌患者n=131例，每例均觀察滿5年，其中單純手術(shù)治療組觀察n1=84例，存活x1=57例，存活率p1，聯(lián)合治療(手術(shù)+術(shù)后化療)組觀察n2=47例，存活x2=39例，存活p2，問兩組存活率有無差異？ H0 ： 1 = 2H1 ： 1 2用正態(tài)近似檢驗(yàn)，檢驗(yàn)統(tǒng)計量u為：式中p1、p2分別為兩樣本率，為率差的標(biāo)準(zhǔn)誤；n1、n2分別為兩樣本例數(shù)；pc為兩樣本合計率，pc=(x1+x2)/ (n1+n2)。 按照的水準(zhǔn)拒絕H0,不拒絕H0，差異無統(tǒng)計學(xué)意義。故尚不能認(rèn)為單純手術(shù)療法與聯(lián)合療法對乳腺癌患者治療效果有差異。，Poisson分布Poisson分布也是一種離散型分布，用以

10、描述罕見事件發(fā)生次數(shù)的概率分布。Page22每升水中大腸菌群數(shù)的分布/單位空間中某些野生動物或昆蟲數(shù)的分布單位體積內(nèi)粉塵的計數(shù)/單位面積內(nèi)細(xì)菌計數(shù)放射性物質(zhì)單位時間內(nèi)的放射次數(shù)每天交通事故發(fā)生數(shù)的分布 血細(xì)胞或微生物在顯微鏡下的計數(shù)人群中患病率很低的非傳染性疾病的患病數(shù)例如：Poisson分布可以看作是發(fā)生的概率或未發(fā)生的概率1-很小，而觀察例數(shù)n很大時的二項(xiàng)分布。除二項(xiàng)分布的三個根本條件以外，Poisson分布還要求或1-接近于0或1。有些情況和n都難以確定，只能以觀察單位時間、空間、面積等內(nèi)某種稀有事件的發(fā)生數(shù)X來表示，如每毫升水中的大腸桿菌數(shù)，只要細(xì)菌在觀察單位內(nèi)的分布滿足以上條件，就可

11、以近似視為Poisson分布。Poisson分布的定義如果某事件的發(fā)生是完全隨機(jī)的，那么單位時間或單位空間內(nèi)，隨機(jī)事件X發(fā)生0次、1次、2次的概率為：那么稱該事件的發(fā)生服從參數(shù)為的Poisson分布，記為XP()。P22：Poisson分布的總體均數(shù)X：觀察單位內(nèi)某稀有事件的發(fā)生次數(shù)e：自然對數(shù)的底，Poisson分布的圖形Poisson分布的形狀取決于的大小。Poisson分布為正偏態(tài)分布，且愈小分布愈偏；隨著的增大， =20時分布逐漸趨于對稱；當(dāng)50時，Poisson分布近似正態(tài)分布，可按正態(tài)分布原理處理。Poisson分布的性質(zhì)分布的總體均數(shù)與總體方差相等，均為，即：即為均數(shù)，表示單位空

12、間或單位時間內(nèi)事件平均發(fā)生的次數(shù)，又稱強(qiáng)度參數(shù)。當(dāng)未知時，常用樣本均數(shù)X/n作為的估計值，那么 n表示單位空間或單位時間數(shù)分布具有可加性觀察某一現(xiàn)象的發(fā)生數(shù)時，如果它呈Piosson分布，那么把假設(shè)干個小單位合并為一個大單位后，其總計數(shù)亦呈Piosson分布。如果X1P1, X2P2, XKPK，那么X=X1+ X2+ +XK ， 1 2 k ,那么XP。因此Poisson分布資料可利用可加性原理使50，然后用正態(tài)近似法處理。分布與二項(xiàng)分布及正態(tài)分布的關(guān)系Poisson分布是二項(xiàng)分布的特例，某現(xiàn)象的發(fā)生率很小，而樣本例數(shù)n很大時，那么二項(xiàng)分布接近于Piosson分布。此時可用 Piosson替

13、代二項(xiàng)分布來簡化計算。Possion分布的累積概率計算常用的有左側(cè)或右側(cè)累計概率。單位空間或時間內(nèi)事件發(fā)生的次數(shù) 最多為k次的概率： 最少為k次的概率： 計算時可借助以下遞推公式。 ,P(X+1)= P(X) /(X+1 )Poisson分布的應(yīng)用條件由于Piosson分布是二項(xiàng)分布的特例，所以，二項(xiàng)分布的三個條件也就是Poisson分布的適用條件。 “大量、有或無 “小概率、重復(fù) “獨(dú)立性另外，單位時間、面積或容積、人群中觀察事件的分布應(yīng)該均勻，才符合Poisson分布。如細(xì)菌在牛奶中成集落存在，釘螺在繁殖期成窩狀散步時，不服從Poisson分布。Poisson分布的應(yīng)用統(tǒng)計推斷：總體均數(shù)的

14、區(qū)間估計(p41)樣本均數(shù)和總體均數(shù)的比較(p83)兩樣本均數(shù)的比較P41,p83總體均數(shù)的區(qū)間估計1.正態(tài)近似法X502.查表法附表7X50例 用計數(shù)器兩次測得某放射性物質(zhì)5分鐘內(nèi)發(fā)出的脈沖數(shù)分別為42和48個。假設(shè)單位時間內(nèi)發(fā)射的脈沖數(shù)符合Poisson分布，試估計該放射性物質(zhì)每5分鐘平均發(fā)射脈沖數(shù)的95%可信區(qū)間。(90，90，108.6) 那么每單位時間(5分鐘)該放射性物質(zhì)平均發(fā)出脈沖數(shù)為個/5分鐘，其95%CI 為：個/5分鐘。用公式(4.15)計算，結(jié)果一樣。 解：由X=42+48=90 ，得例4.7 從一份混合均勻的自來水中取1升水樣，檢出3個大腸菌群。試估計自來水中平均每升水

15、中大腸桿菌數(shù)的95可信區(qū)間。 查附表7，得平均每升自來水中大腸桿菌群的95可信區(qū)間為：個/升 單個總體均數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)1.直接計算概率法2.正態(tài)近似法50例：某溶液原來平均每毫升有細(xì)菌80個，現(xiàn)想了解某低劑量輻射能的殺菌效果。研究者以此劑量照射該溶液后取1毫升，培養(yǎng)得細(xì)菌40個。請問該劑量的輻射能是否有效？解：一、建立檢驗(yàn)假設(shè)，確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)H0 ： = 80H1 ： 1.645, P0.05,按 拒絕H0，接受H1?？梢哉J(rèn)為該劑量的輻射能有效。兩個總體均數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)兩個樣本觀察單位相同時，計算統(tǒng)計量兩個樣本觀察單位不同時，計算統(tǒng)計量例7.12 分別用甲、乙兩種培養(yǎng)基對同一水樣作細(xì)菌培養(yǎng)，每份水樣

16、均取1ml，各培養(yǎng)8次，得細(xì)菌個數(shù)如下：甲培養(yǎng)基分別為8，6，7，8，5，6，4，7；乙培養(yǎng)基分別為10，8，11，11，9，8，9，9。試比較兩種培養(yǎng)基的效果有無差異？ 解：一、建立檢驗(yàn)假設(shè)，確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)H0：兩培養(yǎng)基效果相同，12；H1：兩培養(yǎng)基效果不同，12。= 。二計算檢驗(yàn)統(tǒng)計量據(jù)題意，本例為觀察單位相同(均為1ml水樣)的有重復(fù)試驗(yàn)，且重復(fù)次數(shù)亦相同(n1 = n2 =8)。故 解：三、確定P值，下結(jié)論。 u，P， 按 水準(zhǔn)拒絕H0，接受H1，差異有統(tǒng)計學(xué)意義。故可認(rèn)為兩種培養(yǎng)基效果不同，結(jié)合資料可認(rèn)為乙培養(yǎng)基培養(yǎng)效果較好。 例7.13 某車間在改革生產(chǎn)工藝前，測取三次粉塵濃度，每升空氣中分別有38、39、36顆粉塵；改革生產(chǎn)工藝后，測取兩次，分別有25、28顆粉塵。問工藝改革前后粉塵顆粒有無差異？ 解：一、建立檢驗(yàn)假設(shè)，確定檢驗(yàn)水準(zhǔn) H0：工藝改革前后粉塵顆粒無差異，12； H1