第8章 時間序列基本問題

1、 第二篇第二篇 時間序列數(shù)據(jù)單方程模型時間序列數(shù)據(jù)單方程模型第八章第八章 時間序列回歸的一般問題時間序列回歸的一般問題第九章第九章 結(jié)構(gòu)型時間序列模型結(jié)構(gòu)型時間序列模型第十章第十章 誤差項自相關(guān)與異方差誤差項自相關(guān)與異方差第八章第八章 時間序列回歸的一般問題時間序列回歸的一般問題n第一節(jié)第一節(jié) 時間序列回歸的特殊性時間序列回歸的特殊性n 隨機變量在特定時間上的觀測值按照先后順序隨機變量在特定時間上的觀測值按照先后順序排列而成的數(shù)據(jù)集稱為時間序列數(shù)據(jù)。時間序列排列而成的數(shù)據(jù)集稱為時間序列數(shù)據(jù)。時間序列用用xt表示。在不致引起混淆的情況下，還用來表表示。在不致引起混淆的情況下，還用來表示隨機變量，

2、或者用來表示這個隨機變量在時刻示隨機變量，或者用來表示這個隨機變量在時刻t的觀測數(shù)據(jù)。由于時間序列數(shù)據(jù)的特殊性，使得的觀測數(shù)據(jù)。由于時間序列數(shù)據(jù)的特殊性，使得時間序列回歸與橫截面數(shù)據(jù)回歸相比有很大不同。時間序列回歸與橫截面數(shù)據(jù)回歸相比有很大不同。 一、隨機過程一、隨機過程n橫截面數(shù)據(jù)橫截面數(shù)據(jù):樣本是從總體中產(chǎn)生樣本是從總體中產(chǎn)生n時間序列數(shù)據(jù)：由相應(yīng)隨機過程產(chǎn)生時間序列數(shù)據(jù)：由相應(yīng)隨機過程產(chǎn)生n自然界中事物變化的過程可以分成兩類：自然界中事物變化的過程可以分成兩類：n1.確定型過程。可以用關(guān)于時間確定型過程?？梢杂藐P(guān)于時間t的函數(shù)描述的過程。的函數(shù)描述的過程。n例：真空中的自由落體運動過程。

3、例：真空中的自由落體運動過程。n2.隨機過程（非確定型過程）。不能用一個（或幾個）關(guān)隨機過程（非確定型過程）。不能用一個（或幾個）關(guān)于時間于時間t的確定性函數(shù)準確描述的過程。對同一事物的變的確定性函數(shù)準確描述的過程。對同一事物的變化過程獨立、重復地進行多次觀測而得到的結(jié)果是不相同化過程獨立、重復地進行多次觀測而得到的結(jié)果是不相同的。的。n例：河流水位的測量為例。例：河流水位的測量為例。n一組時間序列數(shù)據(jù)，相當于對應(yīng)隨機過程的一次一組時間序列數(shù)據(jù)，相當于對應(yīng)隨機過程的一次實現(xiàn)。（類似橫截面數(shù)據(jù)中總體和樣本的關(guān)系）實現(xiàn)。（類似橫截面數(shù)據(jù)中總體和樣本的關(guān)系）n例如，某市日電力消耗量是一個隨機變量，以

4、年例如，某市日電力消耗量是一個隨機變量，以年為單位的日電力消耗量是一個隨機過程（相當于為單位的日電力消耗量是一個隨機過程（相當于未知總體）。而特定年份實際觀測值序列就是一未知總體）。而特定年份實際觀測值序列就是一個時間序列（相當于樣本）。個時間序列（相當于樣本）。n隨機過程是生成時間序列數(shù)據(jù)的內(nèi)在機制，故又隨機過程是生成時間序列數(shù)據(jù)的內(nèi)在機制，故又被稱為數(shù)據(jù)生成過程（被稱為數(shù)據(jù)生成過程（DGP）。）。n實際的生成時間序列的隨機過程永遠是未知的。實際的生成時間序列的隨機過程永遠是未知的。外面的任務(wù)之一就是通過觀察到的時間序列對其外面的任務(wù)之一就是通過觀察到的時間序列對其數(shù)據(jù)生成過程的某些特征進行

5、推斷或估計（類似數(shù)據(jù)生成過程的某些特征進行推斷或估計（類似于橫截面回歸中通過樣本推斷總體）。于橫截面回歸中通過樣本推斷總體）。 二、常用術(shù)語二、常用術(shù)語 n（一）滯后（一）滯后nx的當期觀測值記為的當期觀測值記為xt，它的過去觀測值（或前期，它的過去觀測值（或前期觀測值）觀測值） 稱為滯后值，前一期值稱為一階滯后值，稱為滯后值，前一期值稱為一階滯后值，記為記為xt-1，以此類推，前第，以此類推，前第j期值稱為期值稱為j階滯后值，階滯后值，記為記為 。在回歸模型中。在回歸模型中xt-j 叫做叫做x的滯后變量（或滯的滯后變量（或滯后項）。后項）。n定義定義 n其中，其中，L稱為滯后算子。如稱為滯后

6、算子。如 jttjL xx212ttttLxxL xx；（二）差分（二）差分n隨機變量的當期值與其滯后值相減的運算叫差分。隨機變量的當期值與其滯后值相減的運算叫差分。數(shù)值之間的間隔期數(shù)稱為差分階數(shù)，差分運算的數(shù)值之間的間隔期數(shù)稱為差分階數(shù)，差分運算的次數(shù)稱為差分次數(shù)。次數(shù)稱為差分次數(shù)。n一階一次差分一階一次差分 ：n二階一次差分二階一次差分 ：nk階一次差分階一次差分 ：n高次差分是對差分序列的再差分高次差分是對差分序列的再差分 。n一階二次差分一階二次差分 ：1(1)ttt -ttt xx - x = - L x = x - Lx 2222(1)ttt -ttt xx - x = - L x

7、 = x - L x (1)kkkttt kttt xxx L xxL x2111212()()2ttt -ttttttt xx - x = xx xx xxx 222212(1)(1 2)22ttttttttt xL x L L x xLxLxxxx（三）自協(xié)方差（三）自協(xié)方差n自協(xié)方差度量隨機變量在兩個不同時期的觀測值自協(xié)方差度量隨機變量在兩個不同時期的觀測值之間關(guān)聯(lián)的方向和程度。定義為時間序列滯后期之間關(guān)聯(lián)的方向和程度。定義為時間序列滯后期的自協(xié)方差：的自協(xié)方差：n顯然時間序列滯后顯然時間序列滯后0期的自協(xié)方差就是方差：期的自協(xié)方差就是方差：n與兩個隨機變量的協(xié)方差一樣，自協(xié)方差的正負與

8、兩個隨機變量的協(xié)方差一樣，自協(xié)方差的正負符號和絕對值大小反映了同一個隨機變量不同時符號和絕對值大小反映了同一個隨機變量不同時期取值的關(guān)聯(lián)方向和程度。期取值的關(guān)聯(lián)方向和程度。cov(,)()( )kt ktt kt kttxxE xE xxE x20var()()tttxE xE x（四）自相關(guān)函數(shù)（四）自相關(guān)函數(shù)n自協(xié)方差絕對值大小沒有確定的上下界，不方便自協(xié)方差絕對值大小沒有確定的上下界，不方便使用。為了將自協(xié)方差標準化為一個使用。為了將自協(xié)方差標準化為一個-1，+1之之間的有界函數(shù)，我們引入自相關(guān)函數(shù)：間的有界函數(shù)，我們引入自相關(guān)函數(shù)： n自相關(guān)函數(shù)的取值范圍與橫截面數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)自相關(guān)函

9、數(shù)的取值范圍與橫截面數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)解釋完全相同。解釋完全相同。00cov( ,)var( )var()()()tt kkktt ktt kx xxxyy（五）自回歸（五）自回歸np階自回歸序列階自回歸序列AR(p) ： n隨機擾動項是相互獨立的平穩(wěn)序列，均值獨立于隨機擾動項是相互獨立的平穩(wěn)序列，均值獨立于滯后變量：滯后變量：n使用滯后算子，使用滯后算子， AR(p)可表示為可表示為 11220tttptptyyyyu12(|,)0tttt pE u yyy212PtttpttyLyL yL yu212(1)PpttLLLyunAR(p)的特征方程：的特征方程：n最簡單的自回歸方程是沒有常數(shù)項的

10、最簡單的自回歸方程是沒有常數(shù)項的AR(1)： 11tttyyu212( )10ppLLLL 三、時間序列回歸的特殊性三、時間序列回歸的特殊性n（一）側(cè)重于預(yù)測（一）側(cè)重于預(yù)測n時間序列回歸分析與橫截面回歸分析的側(cè)重點有時間序列回歸分析與橫截面回歸分析的側(cè)重點有所區(qū)別。橫截面回歸分析大多數(shù)采用結(jié)構(gòu)模型所區(qū)別。橫截面回歸分析大多數(shù)采用結(jié)構(gòu)模型（即因果模型），關(guān)注的是解釋變量對被解釋變（即因果模型），關(guān)注的是解釋變量對被解釋變量條件均值的效應(yīng)，預(yù)測問題不是主要問題；時量條件均值的效應(yīng)，預(yù)測問題不是主要問題；時間序列回歸分析重點考察變量之間的長期均衡和間序列回歸分析重點考察變量之間的長期均衡和短期調(diào)整

11、問題，預(yù)測是其應(yīng)用的重點，結(jié)構(gòu)分析短期調(diào)整問題，預(yù)測是其應(yīng)用的重點，結(jié)構(gòu)分析的重要性倒在其次。由于研究側(cè)重點不同，所以的重要性倒在其次。由于研究側(cè)重點不同，所以除了結(jié)構(gòu)模型之外，時間序列回歸還經(jīng)常采用非除了結(jié)構(gòu)模型之外，時間序列回歸還經(jīng)常采用非結(jié)構(gòu)性模型或動態(tài)模型。結(jié)構(gòu)性模型或動態(tài)模型。（二）（二）“偽回歸偽回歸”問題問題n所謂所謂“偽回歸偽回歸”（ “虛假回歸虛假回歸”），是指變量間），是指變量間本來不存在系統(tǒng)性的數(shù)量依存關(guān)系，但回歸結(jié)果本來不存在系統(tǒng)性的數(shù)量依存關(guān)系，但回歸結(jié)果卻得出存在系統(tǒng)性關(guān)系的錯誤結(jié)論的現(xiàn)象。偽回卻得出存在系統(tǒng)性關(guān)系的錯誤結(jié)論的現(xiàn)象。偽回歸與時間序列的特性有關(guān)：歸與時

12、間序列的特性有關(guān)：n1. 確定性時間趨勢（或季節(jié)變化）：確定性時間趨勢（或季節(jié)變化）：“第一種類第一種類型的偽回歸型的偽回歸” （遺漏時間或季節(jié)變量造成）。（遺漏時間或季節(jié)變量造成）。n2. 非平穩(wěn)或高度持久：非平穩(wěn)或高度持久：“第二種類型的偽回歸第二種類型的偽回歸”。 大數(shù)定律和中心極限定理前提不存在，大數(shù)定律和中心極限定理前提不存在，OLSE的的大樣本性質(zhì)（如一致性、漸進正態(tài)性）不能成立。大樣本性質(zhì)（如一致性、漸進正態(tài)性）不能成立。假設(shè)檢驗往往作出與事實不符的推斷，得到誤導假設(shè)檢驗往往作出與事實不符的推斷，得到誤導性的結(jié)論。性的結(jié)論。（三）往往需要進行數(shù)據(jù)預(yù)處理（三）往往需要進行數(shù)據(jù)預(yù)處理

13、n1.去除趨勢（對確定性時間趨勢序列）、差分去除趨勢（對確定性時間趨勢序列）、差分（對非平穩(wěn)或是高度持久序列）等預(yù)處理，使得（對非平穩(wěn)或是高度持久序列）等預(yù)處理，使得數(shù)據(jù)具有平穩(wěn)性和遍歷性。數(shù)據(jù)具有平穩(wěn)性和遍歷性。n2. 對數(shù)化（增長率）。定義：對數(shù)化（增長率）。定義：n增長率（報告期數(shù)值基期數(shù)值）增長率（報告期數(shù)值基期數(shù)值）/基期數(shù)值基期數(shù)值n往往用相鄰兩期數(shù)值對數(shù)差近似地反映增長率：往往用相鄰兩期數(shù)值對數(shù)差近似地反映增長率： n在經(jīng)濟生活中，不同變量的增長率之間存在穩(wěn)定在經(jīng)濟生活中，不同變量的增長率之間存在穩(wěn)定關(guān)系的可能性遠遠大于絕對量之間存在穩(wěn)定的關(guān)關(guān)系的可能性遠遠大于絕對量之間存在穩(wěn)定

14、的關(guān)系的可能性。系的可能性。1111lnlnlnln(/)ttttttttyyyyyyyy 第二節(jié)第二節(jié) 時間序列回歸時間序列回歸OLSE 的統(tǒng)計性質(zhì)及其假定的統(tǒng)計性質(zhì)及其假定n在橫截面回歸分析中，我們討論了在什么樣的條件下，最在橫截面回歸分析中，我們討論了在什么樣的條件下，最小二乘估計量（小二乘估計量（OLSE）才具有我們期望的有限樣本性質(zhì)）才具有我們期望的有限樣本性質(zhì)（如無偏性、有效性）；具有我們期望的漸進性質(zhì)（如一（如無偏性、有效性）；具有我們期望的漸進性質(zhì)（如一致性、漸進正態(tài)性、漸進有效性）。在時間序列回歸中，致性、漸進正態(tài)性、漸進有效性）。在時間序列回歸中，也是如此。但由于時間序列數(shù)

15、據(jù)的特殊性，保證這些性質(zhì)也是如此。但由于時間序列數(shù)據(jù)的特殊性，保證這些性質(zhì)成立的某些條件可能有所變化。成立的某些條件可能有所變化。n本節(jié)將要討論在時間序列條件下，為保證本節(jié)將要討論在時間序列條件下，為保證OLSE也具有我也具有我們期望的統(tǒng)計性質(zhì)，如何對回歸模型進行合理假定的問題。們期望的統(tǒng)計性質(zhì)，如何對回歸模型進行合理假定的問題。一、時間序列條件下一、時間序列條件下OLSE的有限樣本性質(zhì)及的有限樣本性質(zhì)及其假定其假定n與橫截面數(shù)據(jù)多元線性回歸模型類似，一般化的與橫截面數(shù)據(jù)多元線性回歸模型類似，一般化的時間序列回歸模型形式如下：時間序列回歸模型形式如下：n n其中，其中，y是被解釋變量是被解釋變

16、量nx是解釋變量（可以是外生變量，也可以是是解釋變量（可以是外生變量，也可以是y的滯的滯后變量）后變量）nu是隨機干擾項，是隨機干擾項，t是觀測時期。是觀測時期。n 01 122.tttkkttttyxxxuuX 1 ,2 ,(1,.,)Xtttktx xx012(,.,)k= n根據(jù)給定的時間序列數(shù)據(jù)，運用根據(jù)給定的時間序列數(shù)據(jù)，運用OLS（與橫截面（與橫截面回歸相同），可以得到回歸系數(shù)回歸相同），可以得到回歸系數(shù)OLSE：n n表明表明OLSE是是Y（或（或u）的一個線性函數(shù)。我們希）的一個線性函數(shù)。我們希望在時間序列條件下，線性估計量望在時間序列條件下，線性估計量OLSE也具有也具有無偏

17、性、有效性和正態(tài)性的有限樣本性質(zhì)。無偏性、有效性和正態(tài)性的有限樣本性質(zhì)。-1) XXXY 121TTyyyy112111222212(1)111kkTTkTTkxxxxxxxxxX01(1) 1kk n（一）（一）OLSE的無偏性的假定條件的無偏性的假定條件n 是一個隨機變量，但對于所有樣本，是一個隨機變量，但對于所有樣本， 。n為了保證為了保證OLSE的無偏性，我們需要如下三個假的無偏性，我們需要如下三個假定：定：n假定假定TS.1：參數(shù)線性假定：參數(shù)線性假定n即變量之間具有線性關(guān)系：即變量之間具有線性關(guān)系：n這個假定與橫截面回歸的第一個假定本質(zhì)上相同。這個假定與橫截面回歸的第一個假定本質(zhì)上

18、相同。由于我們只在預(yù)設(shè)的線性模型下討論，所以這個由于我們只在預(yù)設(shè)的線性模型下討論，所以這個條件自然滿足。注意的是，該假定沒有對模型中條件自然滿足。注意的是，該假定沒有對模型中的變量是否是線性形式作出假定。的變量是否是線性形式作出假定。 01 122.Xtttkkttttyxxxuu n假定假定TS.2： 隨機項零條件均值假定（或解釋變量隨機項零條件均值假定（或解釋變量嚴格外生假定）嚴格外生假定）n即當所有時期的解釋變量給定時，有即當所有時期的解釋變量給定時，有n n隱含了以下兩個假定：隱含了以下兩個假定：n解釋變量解釋變量x嚴格外生嚴格外生n隨機項的條件均值等于隨機項的無條件均值，表隨機項的條

19、件均值等于隨機項的無條件均值，表明不僅均值獨立于同期的明不僅均值獨立于同期的x，而且均值獨立于以前，而且均值獨立于以前時期和以后時期的時期和以后時期的x，所以這個假定也稱為，所以這個假定也稱為x的嚴的嚴格外生假定。格外生假定。(|)= (|,)= ( )=0,1,2,.,XXX Xttt-itt+itE uE uE utTn這個假定排除了這個假定排除了u（實際上是（實際上是y）對）對x的反饋效應(yīng)。的反饋效應(yīng)。例如，我們有模型：例如，我們有模型：n當年糧食產(chǎn)量當年糧食產(chǎn)量f（當年降水量，當年化肥投入）（當年降水量，當年化肥投入） +隨機干擾項隨機干擾項n降水量：嚴格外生。降水量：嚴格外生。n化肥

20、投入：不嚴格外生?；释度耄翰粐栏裢馍?。n更為嚴格的假定：對于靜態(tài)模型和有限分布滯后更為嚴格的假定：對于靜態(tài)模型和有限分布滯后模型，假定解釋變量是非隨機變量，或不同實現(xiàn)模型，假定解釋變量是非隨機變量，或不同實現(xiàn)（抽樣）中保持固定取值。（抽樣）中保持固定取值。n但這一假定距離現(xiàn)實更遠。而假定但這一假定距離現(xiàn)實更遠。而假定TS.2在承認在承認x隨隨機性的特點的同時，又假定機性的特點的同時，又假定u均值獨立于均值獨立于x，使二，使二者對者對y的影響可以分離開來，相對而言更加寬松和的影響可以分離開來，相對而言更加寬松和符合實際一些。符合實際一些。n2.模型設(shè)定正確模型設(shè)定正確n隨機項隨機項u具有零條件

21、均值，表明模型函數(shù)形式設(shè)具有零條件均值，表明模型函數(shù)形式設(shè)定正確，即沒有模型設(shè)定偏誤。而且沒有變量遺定正確，即沒有模型設(shè)定偏誤。而且沒有變量遺漏問題，解釋變量也不存在系統(tǒng)的測量誤差。漏問題，解釋變量也不存在系統(tǒng)的測量誤差。n假定假定TS.3：無多重共線性假定：無多重共線性假定n n這個假定保證了模型參數(shù)可以通過樣本估計出來，這個假定保證了模型參數(shù)可以通過樣本估計出來，并保證一定的估計精度。并保證一定的估計精度。n在上述三個假定成立的條件下，在上述三個假定成立的條件下，OLSE是總體參是總體參數(shù)的線性無偏估計量。其證明過程與橫截面數(shù)據(jù)數(shù)的線性無偏估計量。其證明過程與橫截面數(shù)據(jù)回歸完全一樣，在此從

22、略?；貧w完全一樣，在此從略。1,2,rank()rank(1,.,)1kkT XX XXn比較：放棄了橫截面數(shù)據(jù)回歸的隨機抽樣假定，比較：放棄了橫截面數(shù)據(jù)回歸的隨機抽樣假定，代之以解釋變量的嚴格外生假定（包含在假定代之以解釋變量的嚴格外生假定（包含在假定TS.2中）。這是一個關(guān)鍵假定。中）。這是一個關(guān)鍵假定。n（二）（二）OLSE有效性的假定條件有效性的假定條件n對于參數(shù)任意的線性無偏估計量對于參數(shù)任意的線性無偏估計量 ，有，有n這意味著高斯馬爾科夫定理在時間序列下成立。這意味著高斯馬爾科夫定理在時間序列下成立。n要保證要保證OLSE有效性，需要在前三個假定的基礎(chǔ)有效性，需要在前三個假定的基礎(chǔ)

23、上，再增加兩個假定：上，再增加兩個假定：n假定假定TS.4：同方差假定：同方差假定n給定給定X,隨機誤差項的條件方差在所有的隨機誤差項的條件方差在所有的t上都相等：上都相等：var(var( 2var( |)=var()=,1,2,XttuutTn這個假定意味著：這個假定意味著：n1. 不能依賴條件不能依賴條件Xt。否則條件異方。否則條件異方差差n2.在所有時期都是恒定的在所有時期都是恒定的ut是產(chǎn)生自平穩(wěn)過程。是產(chǎn)生自平穩(wěn)過程。n同方差假定與橫截面回歸類似。當然，時間序列同方差假定與橫截面回歸類似。當然，時間序列回歸還包括動態(tài)異方差的情況。回歸還包括動態(tài)異方差的情況。n假定假定TS.5：無序

24、列相關(guān)假定：無序列相關(guān)假定n給定有關(guān)時期的自變量給定有關(guān)時期的自變量,任何兩個不同時期隨機誤任何兩個不同時期隨機誤差項不相關(guān)：差項不相關(guān)：var( |)Xtucov(|,)(|,)0,tstststsu uE u uts,X XX Xn忽略它是以為條件的，假定忽略它是以為條件的，假定TS.5變?yōu)椋鹤優(yōu)椋簄否則，隨機誤差項之間存在序列相關(guān)或自相關(guān)。否則，隨機誤差項之間存在序列相關(guān)或自相關(guān)。（時間序列回歸中特有的問題）。（時間序列回歸中特有的問題）。n在假定在假定TS.1-假定假定TS.5成立的條件下，成立的條件下，OLSE的條的條件方差為件方差為n n我們可以證明，均方誤差（即殘差的方差）是我們

25、可以證明，均方誤差（即殘差的方差）是 的無偏估計：的無偏估計：cov()=0,tsu ,uts21222var(|,0,1,2,.,() (1)ujjjujijjjkxxR)=()XXX2211tueRSSTkTk2n在假定在假定TS.1-假定假定TS.5成立的條件下，高斯馬爾成立的條件下，高斯馬爾科夫定理在時間序列回歸中也成立。說明在此時，科夫定理在時間序列回歸中也成立。說明在此時，截面截面OLS方法同樣適用于時間序列回歸。方法同樣適用于時間序列回歸。n（三）（三）OLSE正態(tài)性的假定條件正態(tài)性的假定條件n由于由于OLSE是是y的線性函數(shù)，從而是的線性函數(shù)，從而是u的線性函數(shù)，的線性函數(shù)，所

26、以只要假定所以只要假定u服從正態(tài)分布，就能保證參數(shù)的服從正態(tài)分布，就能保證參數(shù)的OLSE的正態(tài)性。的正態(tài)性。n假定假定TS.6：正態(tài)性假定：正態(tài)性假定n n假定假定TS.6包含了假定包含了假定2（零條件均值）、假定（零條件均值）、假定TS.4（同方差）和假定（同方差）和假定TS.5（無序列相關(guān)）。除此之（無序列相關(guān)）。除此之外，它還假定了條件分布的正態(tài)性。外，它還假定了條件分布的正態(tài)性。 2| . . .(0,)Xtuii d Nn假定假定TS.1-假定假定TS.6稱為時間序列的經(jīng)典假定。稱為時間序列的經(jīng)典假定。n在經(jīng)典假定下，給定在經(jīng)典假定下，給定X，參數(shù)的，參數(shù)的OLSE遵循正態(tài)分遵循正態(tài)

27、分布，而且，在原假設(shè)下，布，而且，在原假設(shè)下，t、F、x2等統(tǒng)計量分別等統(tǒng)計量分別服從常規(guī)的服從常規(guī)的t分布，分布，F(xiàn)分布和分布和x2分布，類似橫截面分布，類似橫截面數(shù)據(jù)回歸中的參數(shù)檢驗方法和置信區(qū)間構(gòu)造方法數(shù)據(jù)回歸中的參數(shù)檢驗方法和置信區(qū)間構(gòu)造方法都是有效的。都是有效的。n這一個結(jié)論意味著，在假定這一個結(jié)論意味著，在假定TS.1-假定假定TS.6下，橫下，橫截面回歸方法全部可以用到時間序列的回歸，經(jīng)截面回歸方法全部可以用到時間序列的回歸，經(jīng)典線性模型方法可以用于時間序列數(shù)據(jù)的建模。典線性模型方法可以用于時間序列數(shù)據(jù)的建模。n但經(jīng)典線性模型方法用于時間序列數(shù)據(jù)的建模，但經(jīng)典線性模型方法用于時間

28、序列數(shù)據(jù)的建模，比在橫截面數(shù)據(jù)條件下受到更多限制，尤其是嚴比在橫截面數(shù)據(jù)條件下受到更多限制，尤其是嚴格外生性假定和無序列相關(guān)假定經(jīng)常都得不到滿格外生性假定和無序列相關(guān)假定經(jīng)常都得不到滿足。盡管如此，經(jīng)典線性模型方法對于時間序列足。盡管如此，經(jīng)典線性模型方法對于時間序列建模實踐而言，仍不失為一個合理的起點。建模實踐而言，仍不失為一個合理的起點。二、二、OLSE的漸進性質(zhì)成立的假定條件的漸進性質(zhì)成立的假定條件n如前所述，保證如前所述，保證OLSE具有良好有限樣本性質(zhì)的具有良好有限樣本性質(zhì)的假定條件比較嚴苛，尤其是嚴格外生性假定和無假定條件比較嚴苛，尤其是嚴格外生性假定和無序列相關(guān)假定經(jīng)常都得不到滿

29、足，從而導致序列相關(guān)假定經(jīng)常都得不到滿足，從而導致OLSE的部分或全部優(yōu)良性質(zhì)不再具備。在這種的部分或全部優(yōu)良性質(zhì)不再具備。在這種情況下，我們轉(zhuǎn)而求助于情況下，我們轉(zhuǎn)而求助于OLSE的漸進性質(zhì)，即的漸進性質(zhì)，即在樣本規(guī)模在樣本規(guī)模T漸次增大的情況下，我們希望漸次增大的情況下，我們希望OLSE具有期望的良好性質(zhì)，如一致性、漸進正態(tài)性和具有期望的良好性質(zhì)，如一致性、漸進正態(tài)性和漸進有效性。保證漸進有效性。保證OLSE的漸進性質(zhì)存在也需要的漸進性質(zhì)存在也需要某些條件，但要比有限樣本下的條件寬松。某些條件，但要比有限樣本下的條件寬松。n（一）一致性及其假定條件（一）一致性及其假定條件n如果將時間序列的

30、觀測時期數(shù)為時總體參數(shù)的如果將時間序列的觀測時期數(shù)為時總體參數(shù)的OLSE記為記為 ，所一致性指，所一致性指n ，或，或n可以證明，可以證明， 是是的一致估計量，當且僅當?shù)囊恢鹿烙嬃?，當且僅當n因此，一致估計量一定是漸近無偏的，并且在真因此，一致估計量一定是漸近無偏的，并且在真實值附近離散的程度隨觀測時期（樣本容量）的實值附近離散的程度隨觀測時期（樣本容量）的增大逐漸趨于增大逐漸趨于0。T lim1TTPlimTTPT lim()TPE limvar()0TP n以一元線性回歸模型為例，一致估計量的前提。以一元線性回歸模型為例，一致估計量的前提。n不管數(shù)據(jù)具有何種特征，對不管數(shù)據(jù)具有何種特征，對

31、n應(yīng)用應(yīng)用OLS，參數(shù)的估計量都是，參數(shù)的估計量都是01tttyxu1122()()()()()()()tttttttxxyyxxxxuuxxxx*11122* 2()()()()()()tttttttttxx uuxx ux uxxxxx*()ttxxxn我們分下列二種情況進行討論。我們分下列二種情況進行討論。n1.如果如果x是非隨機變量，或在重復觀測（抽樣）是非隨機變量，或在重復觀測（抽樣）中取固定的值，中取固定的值，nx是隨機變量，但滿足假定是隨機變量，但滿足假定TS.2，即，即x嚴格外生嚴格外生（u均值獨立于均值獨立于x），則都有），則都有n n所以，所以， ，即，即OLSE是無偏的。

32、是無偏的。112()()tttx uEEx*2*2()0()()ttttttx uxEE uxx 11()E*()( )ttttE x ux E un2. x是隨機變量，不滿足假定是隨機變量，不滿足假定TS.2，但與，但與u同期無同期無線性相關(guān)關(guān)系，即線性相關(guān)關(guān)系，即 意味著意味著 不再有不再有n即即OLSE是有偏的。但在大樣本下，如果滿足一是有偏的。但在大樣本下，如果滿足一定的前提條件，定的前提條件， 是是 的一致估計量的一致估計量n *cov( ,)()0ttttx uE x u*()()ttttE x ux E u*20()tttx uEx*()ttx uTcov( ,)ttx u*()

33、limcov(,)0ttttTx uPx uT兩邊求概率極限，有兩邊求概率極限，有11covvartttxux（, ）（ ）*111* 2* 2lim(/ )limlim()( )lim( ( ) / )ttttTTTttTPx u Tx uPPxPxTn即在大樣本下，即使假定即在大樣本下，即使假定TS.2不能滿足，只要不能滿足，只要與同期線性無關(guān)，在一定的前提條件下，仍然與同期線性無關(guān)，在一定的前提條件下，仍然可以獲得一致估計量：隨著樣本容量增加，可以獲得一致估計量：隨著樣本容量增加， 逐漸逼近真實的總體參數(shù)逐漸逼近真實的總體參數(shù)。這時，盡管。這時，盡管OLSE是有偏的，但一致性保證了是有偏

34、的，但一致性保證了OLSE在大在大樣本下的估計精度。樣本下的估計精度。n現(xiàn)在重點討論與同期不相關(guān)時保證一致性成立現(xiàn)在重點討論與同期不相關(guān)時保證一致性成立的前提條件。的前提條件。n橫截面數(shù)據(jù)回歸中，橫截面數(shù)據(jù)回歸中，OLSE具有一致性的大樣具有一致性的大樣本性質(zhì)是基于大數(shù)定律和中心極限定理推導出本性質(zhì)是基于大數(shù)定律和中心極限定理推導出來的，而應(yīng)用大數(shù)定律和中心極限定理要求樣來的，而應(yīng)用大數(shù)定律和中心極限定理要求樣本觀測值是獨立同分布（本觀測值是獨立同分布（i.i.d.）的。）的。n但對于時間序列而言，假定相鄰觀測值獨立不太但對于時間序列而言，假定相鄰觀測值獨立不太合理；作為隨機過程的一個實現(xiàn)，也

35、不能將時間合理；作為隨機過程的一個實現(xiàn)，也不能將時間序列如同橫截面數(shù)據(jù)一樣是看作來源于一個同質(zhì)序列如同橫截面數(shù)據(jù)一樣是看作來源于一個同質(zhì)總體。所以大數(shù)定律和中心極限定理成立的條件總體。所以大數(shù)定律和中心極限定理成立的條件相應(yīng)變?yōu)椋合鄳?yīng)變?yōu)椋簄1.遍歷性。如果時間間隔遍歷性。如果時間間隔 時時, 與與 是漸進獨立的，則稱序列是遍歷是漸進獨立的，則稱序列是遍歷的。此時序列不存在長期記憶性，間隔較長的觀的。此時序列不存在長期記憶性，間隔較長的觀測值近乎獨立，也稱為測值近乎獨立，也稱為“漸進獨立漸進獨立”或或 “弱相弱相依依”；2.平穩(wěn)性。即為了保證觀測的平穩(wěn)性。即為了保證觀測的“同分布同分布”性，要

36、求性，要求時間序列數(shù)據(jù)產(chǎn)生于一個平穩(wěn)隨機過程。時間序列數(shù)據(jù)產(chǎn)生于一個平穩(wěn)隨機過程。 “遍歷性遍歷性”和和“平穩(wěn)性平穩(wěn)性”代替了橫截面條件下的代替了橫截面條件下的樣本觀測值的樣本觀測值的“獨立同分布獨立同分布”假定，是時間序列假定，是時間序列回歸中回歸中OLSE具有一致性的前提條件。具有一致性的前提條件。m ,.,ttkxx+,.,tmtkmxx+n綜上所述，要保證綜上所述，要保證OLSE的一致性，全部假定條的一致性，全部假定條件為：件為：n假定假定TS.1：參數(shù)線性假定（同假定：參數(shù)線性假定（同假定TS.1.）n假定假定TS.2： 隨機項零條件均值假定隨機項零條件均值假定(或或x外生性假外生性

37、假定定) 弱于假定弱于假定TS.2 n假定假定TS.3：遍歷性、平穩(wěn)性假定：遍歷性、平穩(wěn)性假定n（1）遍歷性：在）遍歷性：在s較大時，觀測值近乎獨立；較大時，觀測值近乎獨立；用于代替橫截面數(shù)據(jù)回歸中的隨機抽樣用于代替橫截面數(shù)據(jù)回歸中的隨機抽樣n（2）平穩(wěn)性：產(chǎn)生時間序列的隨機過程是平穩(wěn)的，）平穩(wěn)性：產(chǎn)生時間序列的隨機過程是平穩(wěn)的，即具有平穩(wěn)分布代替同分布即具有平穩(wěn)分布代替同分布n假定假定TS.4：無多重共線性假定（同假定：無多重共線性假定（同假定TS.3.）。）。n（二）漸進正態(tài)性及其假定條件（二）漸進正態(tài)性及其假定條件n假定假定TS.5：同方差性假定：同方差性假定n對于任意的對于任意的t，u

38、有相同的條件方差，即有相同的條件方差，即n n 這個假定只給出了本期解釋變量的條件，弱于經(jīng)這個假定只給出了本期解釋變量的條件，弱于經(jīng)典線性模型下的假定典線性模型下的假定TS.4（以（以X所有時期的觀測所有時期的觀測值為條件）。值為條件）。n假定假定TS.6：無序列相關(guān)性假定：無序列相關(guān)性假定n對于所有的對于所有的 ，n n弱于假定弱于假定TS.5 2var(|)Xttutscov( ,|,)(|,)0XXXXtstststsu uE u un在大樣本下，如果時間序列滿足假定在大樣本下，如果時間序列滿足假定TS.1-假定假定TS.6（尤其是滿足假定（尤其是滿足假定TS.3的弱相依和平穩(wěn)性假的弱相

39、依和平穩(wěn)性假定），按照中心極限定理，不管隨機項是否服從定），按照中心極限定理，不管隨機項是否服從正態(tài)分布，正態(tài)分布，OLSE具有漸進正態(tài)性，通常的具有漸進正態(tài)性，通常的t、F和和X2推斷程序也是漸進生效的。這就為推斷程序也是漸進生效的。這就為OLS在時在時間序列回歸中的應(yīng)用提供了理論依據(jù)。間序列回歸中的應(yīng)用提供了理論依據(jù)。n（三）漸進有效性及其假定條件（三）漸進有效性及其假定條件n可以證明：在大樣本下，如果時間序列滿足假定可以證明：在大樣本下，如果時間序列滿足假定TS.1-假定假定TS.6，最小二乘估計量（，最小二乘估計量（OLSE）具有）具有最小的漸進方差，最小的漸進方差，OLSE具有漸進有

40、效性。具有漸進有效性。有限樣本有限樣本大樣本大樣本假定假定統(tǒng)計性質(zhì)統(tǒng)計性質(zhì)假定假定統(tǒng)計性質(zhì)統(tǒng)計性質(zhì)TS.1：參數(shù)線：參數(shù)線性性無無有有正正TS. 1參數(shù)線性參數(shù)線性一一 漸漸 漸漸TS.2：解釋變：解釋變量嚴格外生量嚴格外生偏偏效效態(tài)態(tài)TS. 2解釋變量外解釋變量外生生致致 進進 進進TS.3：無多重：無多重共線性共線性性性性性性性TS.3：遍歷性、：遍歷性、平穩(wěn)性平穩(wěn)性性性 有有 正正TS.4：同方差：同方差假定假定TS.4：無多重共：無多重共線性線性 效效 態(tài)態(tài)TS.5：無序列：無序列相關(guān)相關(guān) TS.5：同方差：同方差性性 性性TS.6：正態(tài)性：正態(tài)性TS.6：無序列相：無序列相關(guān)關(guān) 第三

41、節(jié)第三節(jié) 時間序列的平穩(wěn)性時間序列的平穩(wěn)性n時間序列的非平穩(wěn)性是導致偽回歸的重要原因，時間序列的非平穩(wěn)性是導致偽回歸的重要原因，而參數(shù)估計量的一致性需要以平穩(wěn)性為前提，所而參數(shù)估計量的一致性需要以平穩(wěn)性為前提，所以平穩(wěn)性對時間序列回歸至關(guān)重要。只有經(jīng)濟變以平穩(wěn)性對時間序列回歸至關(guān)重要。只有經(jīng)濟變量的時間序列是平穩(wěn)的，才可以使用經(jīng)典線性回量的時間序列是平穩(wěn)的，才可以使用經(jīng)典線性回歸模型方法。如果經(jīng)濟變量時間序列是非平穩(wěn)的，歸模型方法。如果經(jīng)濟變量時間序列是非平穩(wěn)的，則需要尋找新的處理方法，否則做出的統(tǒng)計推斷則需要尋找新的處理方法，否則做出的統(tǒng)計推斷很可能是誤導性的。很可能是誤導性的。n一、時間序

42、列的平穩(wěn)性一、時間序列的平穩(wěn)性n時間序列的平穩(wěn)性（時間序列的平穩(wěn)性（Stationary），嚴格地說應(yīng)該），嚴格地說應(yīng)該稱為產(chǎn)生時間序列的隨機過程的平穩(wěn)性，是指生稱為產(chǎn)生時間序列的隨機過程的平穩(wěn)性，是指生成變量時間序列數(shù)據(jù)的隨機過程的統(tǒng)計規(guī)律不會成變量時間序列數(shù)據(jù)的隨機過程的統(tǒng)計規(guī)律不會隨著時間的推移而發(fā)生變化。隨著時間的推移而發(fā)生變化。 n從理論上，有兩種意義的平穩(wěn)性，嚴平穩(wěn)、弱平從理論上，有兩種意義的平穩(wěn)性，嚴平穩(wěn)、弱平穩(wěn)。嚴平穩(wěn)是指隨機過程的聯(lián)合分布函數(shù)與時間穩(wěn)。嚴平穩(wěn)是指隨機過程的聯(lián)合分布函數(shù)與時間的位移無關(guān)。的位移無關(guān)。n弱平穩(wěn)（協(xié)方差平穩(wěn)）是指隨機過程的分布參數(shù)弱平穩(wěn)（協(xié)方差平穩(wěn)）

43、是指隨機過程的分布參數(shù)期望、方差和自協(xié)方差不隨時間推移而變化。即期望、方差和自協(xié)方差不隨時間推移而變化。即滿足如下三個條件：滿足如下三個條件： n產(chǎn)生于平穩(wěn)隨機過程的時間序列是平穩(wěn)時間序列。產(chǎn)生于平穩(wěn)隨機過程的時間序列是平穩(wěn)時間序列。 ( )tE x22var()()ttxE xcov( ,)()()tt ktt kkx xE xxn一個最基本的協(xié)方差平穩(wěn)隨機過程是白噪聲一個最基本的協(xié)方差平穩(wěn)隨機過程是白噪聲（White Noise，簡寫為，簡寫為WN）過程：）過程： n ytutn其中，其中，E(yt )0n記為記為n顯然，給定任意的時刻顯然，給定任意的時刻t，y具有相同的均值與方具有相同的

44、均值與方差，且任意階的自協(xié)方差為零，滿足協(xié)方差平穩(wěn)差，且任意階的自協(xié)方差為零，滿足協(xié)方差平穩(wěn)性條件。如果性條件。如果yt 同時還服從正態(tài)分布，則被稱同時還服從正態(tài)分布，則被稱為高斯白噪聲過程，是一個獨立同分布（為高斯白噪聲過程，是一個獨立同分布（i.i.d.）的協(xié)方差平穩(wěn)過程，記為的協(xié)方差平穩(wěn)過程，記為 2var()tycov(,)0tt ky y2(0,)tyWN2(0,)tyi.i.d.N-3-2-1012320406080100120140160180200white noisen平穩(wěn)性對于時間序列分析的直觀意義在于，只有平穩(wěn)性對于時間序列分析的直觀意義在于，只有生成時間序列的隨機過程是

45、平穩(wěn)的，我們才能使生成時間序列的隨機過程是平穩(wěn)的，我們才能使用過去的事實（規(guī)律）推斷未來。然而，在現(xiàn)實用過去的事實（規(guī)律）推斷未來。然而，在現(xiàn)實經(jīng)濟生活中，許多時間序列是非平穩(wěn)的。非平穩(wěn)經(jīng)濟生活中，許多時間序列是非平穩(wěn)的。非平穩(wěn)性有兩個來源：趨勢（性有兩個來源：趨勢（Trend）和結(jié)構(gòu)突變）和結(jié)構(gòu)突變（Structural Breaks）。）。n二、時間序列的非平穩(wěn)性來源之一：趨勢二、時間序列的非平穩(wěn)性來源之一：趨勢n時間序列的趨勢包括確定性趨勢和隨機趨勢。盡時間序列的趨勢包括確定性趨勢和隨機趨勢。盡管在樣本容量管在樣本容量T較小時，二者具有類似的動態(tài)路較小時，二者具有類似的動態(tài)路徑，但二者的

46、概率性質(zhì)完全不同。徑，但二者的概率性質(zhì)完全不同。（一）確定性趨勢（一）確定性趨勢n含有確定性趨勢的非平穩(wěn)隨機過程是非平穩(wěn)的。含有確定性趨勢的非平穩(wěn)隨機過程是非平穩(wěn)的。例如對于最簡單的確定性趨勢模型例如對于最簡單的確定性趨勢模型n可見，盡管其方差和自協(xié)方差是常數(shù)，但均值是可見，盡管其方差和自協(xié)方差是常數(shù)，但均值是時間時間t的線性函數(shù)。由于趨勢平穩(wěn)過程的均值不是的線性函數(shù)。由于趨勢平穩(wěn)過程的均值不是常數(shù)，所以趨勢平穩(wěn)過程是不平穩(wěn)的。常數(shù)，所以趨勢平穩(wěn)過程是不平穩(wěn)的。01ttytu2(0,)tuNW201; var(); c()0)ov(,tt ktttyyyE yn由于圍繞其均值以固定的幅度波動，

47、所以稱為趨由于圍繞其均值以固定的幅度波動，所以稱為趨勢平穩(wěn)過程。當然，確定性趨勢也可以是其他形勢平穩(wěn)過程。當然，確定性趨勢也可以是其他形式的，如式的，如n但所有的趨勢平穩(wěn)過程都可以通過去除趨勢達到但所有的趨勢平穩(wěn)過程都可以通過去除趨勢達到平穩(wěn)。例如，從直線模型去除其趨勢成分，只剩平穩(wěn)。例如，從直線模型去除其趨勢成分，只剩下白噪聲過程，自然是平穩(wěn)的。下白噪聲過程，自然是平穩(wěn)的。n當然，對于直線模型也可以進行差分運算使其平當然，對于直線模型也可以進行差分運算使其平穩(wěn)化，但對非線性趨勢無效。所以，差分處理對穩(wěn)化，但對非線性趨勢無效。所以，差分處理對于趨勢平穩(wěn)過程的平穩(wěn)化不具有一般性意義。于趨勢平穩(wěn)過

48、程的平穩(wěn)化不具有一般性意義。230123ttytttun（二）隨機趨勢（二）隨機趨勢n比確定性趨勢過程更為常見的是隨機趨勢過程。比確定性趨勢過程更為常見的是隨機趨勢過程。一個最簡單的隨機趨勢過程是隨機游走過程：一個最簡單的隨機趨勢過程是隨機游走過程：n給定給定yt的初值為的初值為y0 ，則易知，則易知（自相關(guān)系數(shù)是兩個無窮大量的比值（自相關(guān)系數(shù)是兩個無窮大量的比值 ,沒有定義沒有定義 。）。）01201ttthhyyuuuyu0()tE yy2var()tyt211,| (0,)tttttyyuu yNW8085909510010511050100150200250300JPYn另一種常見的隨

49、機趨勢過程是帶漂移項的隨機游另一種常見的隨機趨勢過程是帶漂移項的隨機游走過程走過程 :n由于通過差分運算可以去除上述過程中的隨機趨由于通過差分運算可以去除上述過程中的隨機趨勢，所以含有隨機趨勢的隨機過程稱為差分平穩(wěn)勢，所以含有隨機趨勢的隨機過程稱為差分平穩(wěn)過程。過程。 211,|(0,)tttttNWyyuuy01201ttthhyytuuuytu20()var()ttE yytyt04080120160200240020406080100120140TYY vs. Tn還有一種不太常見的隨機趨勢過程是帶漂移項和還有一種不太常見的隨機趨勢過程是帶漂移項和確定性趨勢的隨機游走過程確定性趨勢的隨機游走過程 :n差分后，再去除確定性趨勢，也符合協(xié)方差平穩(wěn)差分后，再去除確定性趨勢，也符合協(xié)方差平穩(wěn)的條件的條件 211,|(0,)tttttytyuuyNW01201201(12)()(1) 2 ()22ttthhthhyyttuuut tytuyttu-100001000200030004000020406080100120140TYY vs. Tn因為上述三