馬爾柯夫過程及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用

1、馬爾柯夫過程及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用馬爾柯夫過程及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用第一節(jié)、隨機過程及馬爾柯夫鏈的概念1.什么是隨機過程自然、社會和經(jīng)濟中的隨機現(xiàn)象，可由一個或多個隨機變量來描述，這是我們都已知道的（概率和數(shù)理統(tǒng)計），在實際中還需要研究有些隨機現(xiàn)象隨時間的變化規(guī)律性。隨機過程的數(shù)學(xué)理論就是適應(yīng)這一客觀需要而產(chǎn)生的。例1以(t)表示某一 站在時間(0,T)中接到的呼叫次數(shù)，那么，對每一確定的t(0, ), (t)是一個隨機變數(shù)，當(dāng)t在(0,T)中的取值不斷增大時， (t)就描述著呼叫次數(shù)隨時間的變化過程，若以一天24小時間計，則(t)就是時間從0到24呼叫次數(shù)的隨機的變化規(guī)律。例2 某商店一特定的商品在

2、一月內(nèi)每天的售貨量為一隨機變量(t)，如果t從1變化到30，則(t)就是一月內(nèi)此商品銷售量的隨機變化過程。以上兩例中，我們研究的是隨時間t變化的一族隨機變量。我們將這樣的一族隨機變量，稱為隨機過程記為(t)t 0,T馬爾柯夫過程是隨機過程中的一種，它研究的是這樣的一類隨機現(xiàn)象，現(xiàn)象在變化的過程中，處于某種狀態(tài)的概率，只與它在這之前的狀態(tài)有關(guān)，而與它在很遠(yuǎn)的過去處在什么狀態(tài)無關(guān)。二十世紀(jì)初1907年，俄國數(shù)學(xué)家馬爾柯夫（A.A.Markov)研究了這類現(xiàn)象，并把這類現(xiàn)象歸結(jié)為這樣一種數(shù)學(xué)模式，現(xiàn)象在概率轉(zhuǎn)換過程中，第n次試驗的結(jié)果，常決定于n-1次試驗的結(jié)果。以后，人們在研究時，就把具有由前項推

3、算出來的轉(zhuǎn)移概率的隨機變化過程，稱為馬爾柯夫過程；而把從整體上看到的一連串的轉(zhuǎn)移過程稱為馬爾柯夫鏈。2.轉(zhuǎn)移概率矩陣設(shè)一系統(tǒng)S有有限個互不相容的狀態(tài)，A1，A2，An，每隔一個有限時間后狀態(tài)就要變更一次，在時刻tk時（k=1,2,3 )系統(tǒng)S處于狀態(tài)Ai（I=1,2,3n)在下一個時刻tk+1轉(zhuǎn)而呈現(xiàn)出狀態(tài)Aj(j=1,2,3 n)的概率恒等于一個不依賴于S在時刻t1,t2,tk-1狀態(tài)的非負(fù)常數(shù)pij,利用通常的條件概率寫法，可記為：) 1, 10()3 , 2 , 1(,|,1ijjkijjjippiktAtApp這里的pij(j,j=1,2,3 n)稱為系統(tǒng)S的馬爾柯夫鏈的一步轉(zhuǎn)移概率。

4、由轉(zhuǎn)移概率pij為元素構(gòu)成的矩陣：nnnnnnnpppppppppAAAP21222121121121) 1, 10(ijijpp這個矩陣稱為系統(tǒng)S的狀態(tài)A1，A2，An的轉(zhuǎn)移概率矩陣，也叫馬爾柯夫鏈的轉(zhuǎn)移矩陣。轉(zhuǎn)移概率矩陣P的建立是以對問題的觀察和試驗為基礎(chǔ)為。例3為了了解顧客對甲、乙、丙三種不同牌號的洗衣粉的購買傾向，我們結(jié)市志進行了調(diào)查。在本月購買乙、丙三種不同牌號的洗衣粉的顧客中，各找100人，分別了解他們下月的購買傾向情況如下：301060103060303040丙乙甲A此矩陣說明，在本月購買甲牌的100人中，有40人仍購買甲牌，30人轉(zhuǎn)向購買乙牌，30人轉(zhuǎn)向購買丙牌，在購買乙 牌的

5、100人中，有60人轉(zhuǎn)向購買甲牌，30人仍購買乙牌,10人轉(zhuǎn)向購買丙牌，在購買丙牌的100人中，有60人轉(zhuǎn)向購買甲牌，有10人轉(zhuǎn)向購買乙牌，有30人仍購買丙牌。這個矩陣就叫某系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣。用轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣的各行和分別除以各對應(yīng)的頻數(shù)，就得到轉(zhuǎn)移概率矩陣%30%10%60%10%30%60%30%30%40丙乙甲A定義1：一方陣P（pij)中，如果各行之各元素為非負(fù)數(shù)，且各行元素總和為1，則此方陣為轉(zhuǎn)移概率矩陣。例4 判斷下列矩陣是否是轉(zhuǎn)移概率矩陣？032313161210103121434131313141214332031CBA3.轉(zhuǎn)移概率矩陣的性質(zhì)和正規(guī)轉(zhuǎn)移概率矩陣定理1 如果A和

6、B皆為同階的轉(zhuǎn)移概率矩陣，則乘積AB亦為轉(zhuǎn)移概率矩陣，當(dāng)P為轉(zhuǎn)移概率矩陣，m為有限時，pm亦為轉(zhuǎn)移概率矩陣。定義若一轉(zhuǎn)移概率矩陣P的某次方Pm的所有元素皆為正(pij(m)0),則p為一正規(guī)轉(zhuǎn)移概率矩陣。例5 轉(zhuǎn)移概率矩陣212110A是一正規(guī)轉(zhuǎn)移概率矩陣。因為434121212121102A而單位矩陣E不是正規(guī)轉(zhuǎn)移概率矩陣，因為E的任意次方都是單位矩陣，都有0元素，故單位矩陣不是正規(guī)轉(zhuǎn)移概率矩陣。定義（固定向量）任一非零行向量U=（u1,u2, ,un)當(dāng)乘以某方陣A后，若仍然固定為U，則稱U為此方陣的固定向量，即有AU=U例6 試證U=（2，-1）為3212A的固定向量。證明：因為UUA)

7、 1, 2(30212) 1, 2(引理：設(shè)P為一正規(guī)轉(zhuǎn)移概率矩陣，則（1）P恰有一個固定概率向量U，且U的所有元素皆為正。（2）P的各次冪組成的序列P，P2，P3 ，趨于方陣U，而方陣U的每一行均為固定概率向量u;4.狀態(tài)的多步轉(zhuǎn)移與轉(zhuǎn)移概率矩陣P的乘冪（3）若V為任意一個行概率向量，則向量序列VP，VP2，VP3， ，趨于固定概率向量U前面討論了某系統(tǒng)S的轉(zhuǎn)移概率矩陣的乘冪，P的乘冪 反映了系統(tǒng)S中狀態(tài)多步轉(zhuǎn)移的概率變化規(guī)律。馬爾柯夫鏈的主要功能就在于計算自i狀態(tài)開始經(jīng)R步轉(zhuǎn)移至j狀態(tài)的概率。例7 設(shè)000. 0288. 0712. 0598. 0014. 0388. 0600. 0398

8、. 0002. 0CBAA它滿足條件) 3 , 2 , 1(11031ippjijij和其含義為從狀態(tài)C一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)A的概率可能性最大，從狀態(tài)A一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)C可能性次之。問題是在從P中能否推出狀態(tài)A經(jīng)過兩步轉(zhuǎn)移成什么狀態(tài)的可能性最大？又經(jīng)過兩步轉(zhuǎn)移成什么狀態(tài)的可能性最??？由卡普曼柯爾莫哥洛夫方程（Chapman-Kolmogorov)Pk=Pmpk-m得Pk= Pk例：預(yù)測商品在未來期間的市場占有率例8 A、B、C、D、E五種商標(biāo)的同類新產(chǎn)品在市場上同時銷售。據(jù)市場調(diào)查，199名顧客的購買傾向所顯示的轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣如下：354638384201049121809613814011541111

9、01251114120EDCBAN各行和除以各行分量得到的轉(zhuǎn)移概率矩陣0%6 .28%4 .11%7 .25%3 .34%1 .390%6 .19%13%3 .28%1 .21%8 .360%9 .28%2 .13%6 .10%9 .28%9 .280%6 .31%9 .11%2 .26%3 .33%6 .280EDCBAP以后經(jīng)過五個月的情況預(yù)測可用五步轉(zhuǎn)移矩陣得之：方陣主對角線表示各種品牌保有原來顧客的概率，以上矩陣，各種品牌保有原來顧客的概率為0，明顯地顯示了顧客對各種新產(chǎn)品都想試一試的心理。A=0 0.286 0.333 0.262 0.1190.316 0 0.289 0.289 0

10、.1060.132 0.289 0 0.368 0.2110.283 0.130 0.196 0 0.3910.343 0.257 0.114 0.286 0 A5ans = 0.2115 0.1906 0.1910 0.2302 0.1767 0.2129 0.1901 0.1895 0.2320 0.1755 0.2092 0.1939 0.1904 0.2322 0.1744 0.2125 0.1876 0.1932 0.2287 0.1779 0.2097 0.1929 0.1895 0.2329 0.1749 A10ans = 0.2113 0.1908 0.1908 0.2311

11、0.1760 0.2113 0.1908 0.1909 0.2311 0.1760 0.2113 0.1908 0.1909 0.2311 0.1760 0.2112 0.1909 0.1908 0.2311 0.1760 0.2113 0.1908 0.1909 0.2311 0.1760A15ans = 0.2113 0.1908 0.1909 0.2311 0.1760 0.2113 0.1908 0.1909 0.2311 0.1760 0.2113 0.1908 0.1909 0.2311 0.1760 0.2113 0.1908 0.1909 0.2311 0.1760 0.2113 0.1908 0.1909 0.2311 0.1760可見，在十六個月后顧客的購買傾向趨于穩(wěn)定，A種牌號的市場占有率為21.13%問題：預(yù)測顧客流量，選擇服務(wù)網(wǎng)點假定汽車出租公司在甲乙丙三個國際機場附近設(shè)立租車和還車處。經(jīng)抽樣調(diào)查，顧客在甲乙丙三處租車、還車的估計概率如下表 P=0.8 0.2 0;0.2 0 0.8;0.2 0.2 0.6P2ans = 0.6800 0.1600