常微分方程4.4 常系數(shù)齊線性方程組

1、4.4 常系數(shù)齊次線性微分方程組本節(jié)研究常系數(shù)齊次線性微分方程組解的情況，特別是方程基本解組的情形，所以方程組的解在區(qū)間上存在唯一.即尋找n個線性無關(guān)的解常數(shù)矩陣在 上連續(xù)，一 系數(shù)矩陣A有單特征根時的解 使是對角矩陣,設(shè)矩陣 有n個不同特征根，由線性代數(shù)知識，一定存在一個非奇異矩陣 ,這里是矩陣A的特征根.?記,設(shè)對應(yīng)的特征向量，為矩陣 的特征根作線性代換并代入方程可得寫成純量形式,可得方程組積分上面各個方程得解:因此方程 通解為將y代入?可得方程組的基解矩陣為定理4.13 設(shè)矩陣A有n個不同的特征根 的通解為且其相對應(yīng)的特征向量為,則方程組例1 求解方程組解 先求矩陣A的特征根因此,矩陣A

2、的特征根為對可求得其特征向量對也可求得其相應(yīng)的特征向量為因此,方程組的通解為例2 求解方程組解 該方程對應(yīng)的矩陣A的特征根滿足對特征根其相對應(yīng)的特征向量滿足特征向量特征根對應(yīng)的特征向量分別為線性齊次方程組的通解為假設(shè)矩陣A 的特征根具有復(fù)特征根的情形,這時方程就會出現(xiàn)實變量數(shù)復(fù)值函數(shù)解.求出方程組的n個實的線性無關(guān)的實值解?定理2 若實系數(shù)線性齊次方程組 有復(fù)值解 則其實部 和虛部都是解.證明是方程組的解,即和都是齊次方程組的解.實矩陣A有復(fù)特征根一定共軛成對出現(xiàn).對應(yīng)的特征向量也與對應(yīng)的特征向量共軛,因此齊次方程組出現(xiàn)一對共軛的復(fù)值解.如果 是特征根,也是特征根.則共軛復(fù)數(shù)例3 求解方程組解

3、 系數(shù)矩陣A的特征方程為故有特征根且是共軛的.對應(yīng)的特征向量滿足方程取根底解系非零解：原微分方程組有解原方程組的通解例4 求解方程組解 該方程組的系數(shù)矩陣特征方程故原方程有復(fù)值解取的實部和虛部,得原方程的兩個線性無關(guān)解。故原方程組的通解為是 對應(yīng)的特征子空間的一個基.則存在 且 對應(yīng)的特征子空間維數(shù)為1,定理 設(shè)矩陣 A 有一個重特征根重數(shù)的向量 使得 和 是齊次線性方程組兩個線性無關(guān)的解. 二 系數(shù)矩陣A 有重特征根時的解 把代入方程證明 只需證明是齊次線性方程組的解，且 與 線性無關(guān)。因為對應(yīng)的特征向量，是矩陣A的特征根，所以且 滿足這說明是齊次線性方程組的解.下面證明和線性無關(guān).事實上，

4、若存在常數(shù)和滿足兩邊乘以 得兩邊對求導(dǎo)得因為因而必有代入得即有即說明和線性無關(guān).定理給出了求解方程 的通解的一種方法.例 求解方程組解 系數(shù)矩陣 A 的特征方程為因此矩陣 A 有單特征根和二重根對，有特征向量有特征向量滿足方程方程有解定理 設(shè)矩陣A有一 重特征根重數(shù)且其相應(yīng)的特征子空間是一維的，是該特征子空間的一個基，則一定存在向量 滿足而且對 也一定存在 滿足是齊次線性方程組的三個線性無關(guān)的解.例 求解方程組解 系數(shù)矩陣A的特征方程為對應(yīng)的特征向量可取這里 滿足方程組解該方程組，取這里 滿足方程解該方程組，取三個解 線性無關(guān)。存在不全為零常數(shù) 和 以及向量 滿足定理 設(shè)矩陣 A 有一 重特征

5、根重數(shù)且其對應(yīng)的特征子空間的維數(shù)為2，有兩個線性無關(guān)的特征向量 和 ，使得是 方程的三個線性無關(guān)的解.例 求解方程組解 系數(shù)矩陣A的特征方程為對應(yīng)的特征向量方程組有解的充要條件是選取三 矩陣指數(shù)函數(shù)的定義和性質(zhì) 設(shè)A是常數(shù)矩陣,定義矩陣指數(shù)函數(shù)其中E為n階單位矩陣,是矩陣A的k 次冪.必須證明矩陣級數(shù)是收斂的.事實上,對一切正整數(shù)k,有所以矩陣級數(shù)是收斂的.而數(shù)項級數(shù)是收斂的,可以證明右端在任何有限區(qū)間上都是一致收斂的.矩陣指數(shù)函數(shù)有下面的性質(zhì)：1 若矩陣A和B是可交換的,即AB=BA,則定義矩陣指數(shù)函數(shù)2 對任何矩陣存在,且3 若T是非奇異矩陣,則定理 6 矩陣是方程組 的基解矩陣.證明所以是方程組 的基解矩陣.方程組的通解為這里c是一個常數(shù)向量.定理 6 矩陣是方程組 的基解矩陣.方程組的特解?滿足初始條件假設(shè)是方程組的另外一個與不同的基解矩陣,那么存在非奇異常數(shù)矩陣