多維隨機(jī)變量（精）

1、第三章 多維隨機(jī)變量及其分布第一節(jié) 二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)第二節(jié) 二維離散型隨機(jī)變量及其分布律第三節(jié) 二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)第四節(jié) 相互獨(dú)立的隨機(jī)變量第五節(jié) 條件分布第六節(jié) 二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布第一節(jié) 二維隨機(jī)變量定義 設(shè)是定義在同一個(gè)樣本空間上的隨機(jī)變量，則稱由它們構(gòu)成的二維向量為二維隨機(jī)向量，亦稱為二維隨機(jī)變量.二維隨機(jī)變量的性質(zhì)不僅與各自的性質(zhì)有關(guān),而且還依賴于它們之間的相互關(guān)系,因此必須把它們作為一個(gè)整體來(lái)研究.為了描述二維隨機(jī)變量整體的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,我們引入聯(lián)合分布函數(shù)的概念.定義 設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量,稱二元函數(shù)為(X,Y)的分布函數(shù),或 X與Y的聯(lián)合分布函數(shù).可視

2、為隨機(jī)點(diǎn)落在以為頂點(diǎn)的左下方的無(wú)窮矩形的概率.設(shè),則有圖2二維隨機(jī)變量分布函數(shù)的根本性質(zhì)設(shè)是二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù),則1)關(guān)于與都是右連續(xù)的,即3)對(duì)任意有 可以證明,以上三條性質(zhì)是二元函數(shù)能否成為某二維隨機(jī)變量分布函數(shù)的充分必要條件.2) 由于X與Y本身也是一個(gè)隨機(jī)變量,因此也有各自的分布函數(shù),并且分別稱為(X,Y)關(guān)于與的邊緣分布函數(shù). 例1 設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為稱此分布為二維指數(shù)分布,其中參數(shù)易得,關(guān)于和的邊緣分布函數(shù)分別為 注意 邊緣分布與參數(shù) 無(wú)關(guān)！這說(shuō)明研究多維隨機(jī)變量,僅僅研究邊緣分布是不夠,而必須將他們作為一個(gè)整體來(lái)研究. 整體大于局部之和! 第二節(jié)

3、二維離散型隨機(jī)變量 定義 如果二維隨機(jī)變量(X,Y)只取有限對(duì)或可列無(wú)窮多對(duì)值,那么 稱(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量. 假設(shè)(X,Y)的可能取值為 ,并且那么稱上式為(X,Y)的分布律,或稱為X與Y的聯(lián)合分布律.分布律也常寫成如下表格的形式:顯然有由于故關(guān)于X的邊緣分布律為:同理關(guān)于 的邊緣概率密度為 可以將聯(lián)合分布律與邊緣分布律寫成下述形式: 例1 假設(shè)5件產(chǎn)品中有3件正品,2件次品,從中取兩次,每次取一件,記分別對(duì)有放回抽樣和無(wú)放回抽樣兩種情況,求(X1,X2)的聯(lián)合分布律和邊緣分布律.解 (1)有放回的情形.此時(shí)類似的,可求得其它的 ,最后可得 的聯(lián)合分布律與邊緣分布律如下表:0101

4、(2)無(wú)放回的情形.此時(shí)類似的,可求得其它的 ,最后可得 的聯(lián)合分布律與邊緣分布律如下表:0101 注:兩種情形的邊緣分布律是相同的!例2 設(shè)二維隨機(jī)變量 的分布律為0.10.4已知試求常數(shù)的值.解 由以及解得第三節(jié) 二維連續(xù)型隨機(jī)變量 定義 設(shè) 是二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合分布函數(shù),如果存在一個(gè)非負(fù)函數(shù) ,使得則稱 是二維連續(xù)型隨機(jī)變量,稱 為 的概率密度,或者稱為 與 的聯(lián)合概率密度.聯(lián)合概率密度的根本性質(zhì):1)2)1)設(shè) 為任意平面區(qū)域, 有2) 在 的連續(xù)點(diǎn) 處,有3)若平面區(qū)域 的面積為0,則概率密度還有如下性質(zhì):由于所以,關(guān)于X的邊緣概率密度為:同理,關(guān)于Y 的邊緣概率密度為:例1 設(shè)(

5、X,Y)的概率密度為求:1) 常數(shù) ;2)聯(lián)合分布函數(shù) ;4)(X,Y)落在以(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)為頂點(diǎn)的正方形內(nèi)概率;5) 邊緣密度函數(shù)3)解 1)2)3)4) 設(shè)D為如下圖的單位正方形區(qū)域,那么所求的概率為O11(1,1)5)同理注意:在本例中,有兩個(gè)重要的分布一.二維均勻分布 設(shè)D為平面有界區(qū)域,其面積為SD,假設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為則稱 服從區(qū)域D上的均勻分布. 若 服從區(qū)域 D上的均勻分布,則對(duì)于D中任一子區(qū)域G,有GD 于是 落在D中任一子區(qū)域G的概率與G的面積成正比,而與G的形狀和位置無(wú)關(guān)。在這個(gè)意義上我們說(shuō),服從某區(qū)域上均勻分布的二維隨機(jī)

6、變量在該區(qū)域內(nèi)是“等可能”的。例3 設(shè)(X,Y)服從單位圓上的的均勻分布，求X與Y的邊緣概率密度。 解 由題意知,(X,Y)的概率密度為于是，有-11-11由對(duì)稱性可知注意此時(shí)二.二維正態(tài)分布 定義 若二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合概率密度為其中 是實(shí)數(shù),則稱 服從參數(shù)為的二維正態(tài)分布,記作稱上述的 為二維正態(tài)概率密度. 可以證明,若則 也就是說(shuō),二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布仍然為正態(tài)分布,而且其邊緣分布不依賴于參數(shù) .因此可以斷定參數(shù) 描述了 與 之間的某種關(guān)系!第四節(jié) 相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 定義 設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量,如果對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x 和y,隨機(jī)事件 和 相互獨(dú)立,即則稱隨機(jī)變量 和 相互獨(dú)立

7、.1.假設(shè)離散型隨機(jī)變量(X,Y)的可能取值為并且對(duì)任意的 和 ,事件與相互獨(dú)立,即那么X與Y相互獨(dú)立. 下面給出離散型和連續(xù)型時(shí)的兩個(gè)重要結(jié)論. 2.設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為關(guān)于X 和Y的邊緣概率密度分別為和如果對(duì)任意實(shí)數(shù)x和y,成立那么X 和Y相互獨(dú)立.重要結(jié)論:設(shè)那么 X與Y相互獨(dú)立的充分必要條件為 .例1 設(shè)二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合分布律為:1 2 31 2且X與Y相互獨(dú)立,試求 和解 由于X與Y獨(dú)立,所以有又由分布律的根本性質(zhì),有所以,有例2.設(shè)隨機(jī)變量 X與Y相互獨(dú)立,下表列出了二維隨機(jī)變量(X,Y)聯(lián)合分布律及關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律中的局部數(shù)值,試將其余數(shù)值

8、填入表中的空白處. 1分析 定理 設(shè)X與Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, h(x)和g(y)均為連續(xù)或單調(diào)函數(shù),那么隨機(jī)變量h(X)與g(Y)也是相互獨(dú)立的.例如,若 與 是相互獨(dú)立的,則相互獨(dú)立;相互獨(dú)立;相互獨(dú)立 等等 例3 假設(shè) 的聯(lián)合概率密度為問(wèn)X與Y 是否相互獨(dú)立?11解 與 不相互獨(dú)立.第五節(jié) 條件分布一.離散型隨機(jī)變量的條件分布 設(shè)二維隨機(jī)變量 的分布律為稱為 的條件下, 的條件分布律;為 的條件下, 的條件分布律. 例1 一射手進(jìn)行射擊,單發(fā)擊中目標(biāo)的概率為 射擊進(jìn)行到擊中目標(biāo)兩次為止.以 表示第一次擊中目標(biāo)所需射擊的次數(shù),以 表示總共進(jìn)行的射擊次數(shù).試求 的聯(lián)合分布律及條件分布律.

9、解 由題意知, (X,Y)的可能取值為(i, j),其中或并且于是而所以,當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有 -1 0 2 -1 2 1/8 3/16 1/16 1/4 c 5/16解 (1) 因?yàn)樗?邊緣分布為其余完全類似 第六節(jié) 二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布 根本任務(wù): 二維隨機(jī)變量或(X,Y)的分布,求隨機(jī)變量 Z(X,Y)的分布. 例1 設(shè) 的聯(lián)合分布律為分別求 和 的分布律.解 的可能取值為-3,-2,-1,0,并且的可能取值為0,1,2,3,其分布律為 例2 設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)相互獨(dú)立,并且,試證證明 顯然 的可能取值為0,1,2,并且即 例3 設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立,其概率密度分別為 試求Z=X+Y的概率密度.解 先求分布函數(shù)或者以上兩個(gè)公式稱為卷積公式. 例4 設(shè)X,Y相互獨(dú)立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,求Z