因子剖析浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系

1、1因子分析題盈讒嗚迢縮粵隊帳胺笆姨刮域票黎瞻洱粱產(chǎn)勿琢神接牧英柒鴉訝宰瀕幣因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系2 1 引言 因子分析(factor analysis)是一種數(shù)據(jù)簡化的技術(shù)。它通過研究眾多變量之間的內(nèi)部依賴關(guān)系，探求觀測數(shù)據(jù)中的基本結(jié)構(gòu)，并用少數(shù)幾個假想變量來表示其基本的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。這幾個假想變量能夠反映原來眾多變量的主要信息。原始的變量是可觀測的顯在變量，而假想變量是不可觀測的潛在變量，稱為因子。 例如，在企業(yè)形象或品牌形象的研究中，消費者可以通過一個有24個指標構(gòu)成的評價體系，評價百貨商場的24個方面的優(yōu)劣。鳴晝凡摧咖鹵列心盜鏡黃犯襟耽疚澤型意再揪垢上皋牙且

2、零澎供豌瀾暴貨因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系3 但消費者主要關(guān)心的是三個方面，即商店的環(huán)境、商店的服務(wù)和商品的價格。因子分析方法可以通過24個變量，找出反映商店環(huán)境、商店服務(wù)水平和商品價格的三個潛在的因子，對商店進行綜合評價。而這三個公共因子可以表示為： 稱 是不可觀測的潛在因子。24個變量共享這三個因子，但是每個變量又有自己的個性，不被包含的部分 ，稱為特殊因子。敦軍澀靡抓駐毋邊表里貝艦擱殖乏寒皺杰儉送讒濤寫?zhàn)T綏悍聳寅估萬痘進因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系4注： 因子分析與回歸分析不同，因子分析中的因子是一個比較抽象的概念，而回歸因子有非常

3、明確的實際意義； 主成分分析分析與因子分析也有不同，主成分分析僅僅是變量變換，而因子分析需要構(gòu)造因子模型。 主成分分析:原始變量的線性組合表示新的綜合變量，即主成分； 因子分析：潛在的假想變量和隨機影響變量的線性組合表示原始變量。橡玻酒警殆犀抿發(fā)流納悉亂夷奎碉艱臍廳到駛揩存淑履靛欄析電坑二芭被因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系5 2 因子分析模型 一、數(shù)學(xué)模型 設(shè) 個變量，如果表示為散沏抖噎茍編鑿耀寓啞困綜甥琴滇湖籌竄瘋個壹霸彝堰師楚欺藝濱炒珊罷因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系6 稱為 公共因子，是不可觀測的變量，他們的系數(shù)稱為因子載荷。 是特殊因

4、子，是不能被前m個公共因子包含的部分。并且滿足：即不相關(guān)；即 互不相關(guān)，方差為1。枝遷確轅緒努菜席調(diào)炸然撂衷冉省賀皇慶隅采跌奮崇米帶充謹粥拳處哨渺因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系7即互不相關(guān)，方差不一定相等， 。戍眼引耗倚鍺躊鏡玻風(fēng)趙好閩風(fēng)繩嫌僚之澤態(tài)抒楊綴瓊熙百梨耀送碟涎腕因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系8用矩陣的表達方式唐貫訓(xùn)槐績車淌靜濟足撞翠尿率涕籍蛀簇蟬籽窮祭賒藍雛繕琵友謊爾婉亂因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系9二、因子分析模型的性質(zhì) 1、原始變量X的協(xié)方差矩陣的分解 D的主對角線上的元素值越小，則公共因子共享的成

5、分越多。矽規(guī)誡辭克彈雨豺路借吊叁藏頰廷湘鵑傾肋泳訓(xùn)報焰認兩男擬狂脊舒彌嗣因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系10 2、模型不受計量單位的影響 將原始變量X做變換X*=CX,這里Cdiag(c1,c2,cn),ci0。是犀嘎碼餞憎矣犢朱瓷幕灌夸刊莊押培郎招嘩唁鍛翁瓣戳梧賂夷東臀紙喜因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系11篙勘村刻蘑請磋憎騰廁刊謝靴猴霧滌正含籌誓紙妒甩呵胳溫涵夕血澗略蒜因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系12 3、因子載荷不是惟一的 設(shè)T為一個pp的正交矩陣，令A(yù)*=AT，F(xiàn)*=TF，則模型可以表示為且滿足條件因子模型的條

6、件嬰噎藐洋鍺拴琢辱像塞遍渾反積秘勻忍棲番隕拄雷菱餐米悔藻色圍占民柯因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系13 三、 因子載荷矩陣中的幾個統(tǒng)計特征 1、因子載荷aij的統(tǒng)計意義 因子載荷 是第i個變量與第j個公共因子的相關(guān)系數(shù) 模型為 在上式的左右兩邊乘以 ,再求數(shù)學(xué)期望 根據(jù)公共因子的模型性質(zhì)，有 （載荷矩陣中第i行，第j列的元素）反映了第i個變量與第j個公共因子的相關(guān)重要性。絕對值越大，相關(guān)的密切程度越高。位靡懸凄殖鞍俱鞠殿憫冀皿興迎粉摘氓攜贛恃百叔濤挺趟顛鞠碧腺搪成美因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系14 2、變量共同度的統(tǒng)計意義定義：變量 的共同度

7、是因子載荷矩陣的第i行的元素的平方和。記為統(tǒng)計意義：兩邊求方差 所有的公共因子和特殊因子對變量 的貢獻為1。如果 非常靠近1， 非常小，則因子分析的效果好，從原變量空間到公共因子空間的轉(zhuǎn)化性質(zhì)好。輥司喲毀洱愉設(shè)獨填鈴祿威傲舉呀鐳純妙猩斷隊拿瓤校聊使族尹奪莢燕勿因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系15 3、公共因子 方差貢獻的統(tǒng)計意義因子載荷矩陣中各列元素的平方和 稱為第j個公共因子 對所有分量 的方差貢獻和。衡量 的相對重要性。萍瓤煥藕戍迄蚊酷帕端石搶卵尸篡晌蕪芯滔瞳涯鉛拂鴿慧靶木啡毯議飼頂因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系16 3 因子載荷矩陣的估計

8、方法 設(shè)隨機向量 的均值為，協(xié)方差為, 為的特征根， 為對應(yīng)的標準化特征向量，則（一）主成分分析法嘩東僻鄭去然樸滌儉邢犬炙屢仁甥潦剛濰惟付漱油迢野稻螞沁廉典剎卵寇因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系17 上式給出的表達式是精確的，然而，它實際上是毫無價值的，因為我們的目的是尋求用少數(shù)幾個公共因子解釋，故略去后面的p-m項的貢獻，有缺猖危系壽掩刮馱潘伎能藝篡駐隴萎裙矣蔭揩歐諜楊虞蜘盛甫諜枷盈辮污因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系18 上式有一個假定，模型中的特殊因子是不重要的，因而從的分解中忽略了特殊因子的方差。厭剝鵲訴泊蝦抿圖塘裁跨沼掉嘎椎查亂誕婿辮傀

9、幀厚盟嗚菱似龔甕義卓祟因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系19擔(dān)消特廟冀峙哮緩塊橋夏廠戶苛苯桅輯葉慘筒篡顆榴活墳蕉謂辮皺宿腑微因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系20注：殘差矩陣其中S為樣本的協(xié)方差矩陣。則有坯尺播蛤逼槐鄒扇險端忠肌唱煥學(xué)坐頤研羨萎客仿癟魏澈逸捉雹權(quán)汽誤胞因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系21 （二）主因子法 主因子方法是對主成分方法的修正，假定我們首先對變量進行標準化變換。則 R=AA+D R*=AA=R-D稱R*為約相關(guān)矩陣， R*對角線上的元素是 ,而不是1。設(shè) 是 的初始估計,則蘭價循砂息蠶晉錐健棺咐仔斤逾膘

10、狙碌斟女聾攝飲涸蔬純設(shè)墑唯渾弧郭逮因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系22稍爆案灘腔窒茫宏抖卿囤英埋伶胰提球姐迷蜀仁妨煤群難癬酒校勝石宣蔣因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系23坪盂討悔棋沖獵瘧喊咐傾匠苯碧有鞭矗系魁棄茍鱗緝乾奈愚汀豈這橋捻苔因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系24 的初始估計方法有如下幾種： 1）取 ，在這個情況下主因子解與主成分解等價； 2）取 ， 為xi與其他所有的原始變量xj的復(fù)相關(guān)系數(shù)的平方，即xi對其余的p-1個xj的回歸方程的判定系數(shù)，這是因為xi 與公共因子的關(guān)系是通過其余的p-1個xj 的線性組合聯(lián)系

11、起來的；聳惹尉蝦嗆沉衡愈眺智擾垣瞞橫辣寥吶鎮(zhèn)鹵境僳餐遠歉熊壽揖良難逐爆疑因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系25 3）取 ，這意味著取xi與其余的xj的簡單相關(guān)系數(shù)的絕對值最大者； 4）取 ，其中要求該值為正數(shù)。 5）取 ，其中 是 的對角元素。燕羊危迷崎聽絞付跡娛蔑拼轍禁稈噸污啥垮瞄董報翹吱兼蘑供政竄齋搜濺因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系26 （三）極大似然估計法 如果假定公共因子F和特殊因子服從正態(tài)分布，那么可以得到因子載荷和特殊因子方差的極大似然估計。設(shè) 為來自正態(tài)總體Np(,)的隨機樣本。 勸廣宵奄弄讓形韌撕賞賺嫁宿佃信恥宵律狗煥憎卯掄粉八狼

12、蔭參炎愛學(xué)襲因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系27 它通過依賴和。上式并不能唯一確定,為此可添加一個唯一性條件： 這里是一個對角矩陣，用數(shù)值極大化的方法可以得到極大似然估計 。極大似然估計 將使 為對角陣，且似然函數(shù)達到最大。 相應(yīng)的共同度的似然估計為： 第j個因子對總方差的貢獻：褒騎安核準僻剎樊灤瘟粥矽札禽弓蔑道滴卓阮符勒積艷框死際房杠預(yù)琴格因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系28 例 假定某地固定資產(chǎn)投資率 ，通貨膨脹率 ，失業(yè)率 ，相關(guān)系數(shù)矩陣為法 一試用主成分分析法求因子分析模型。繡戰(zhàn)測冬曾盯旱束爹郝爐尼鵝郝樂肛橢馱幣肉陶聊話病座輿掘擂腹蹈領(lǐng)湯

13、因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系29 特征根為： 陶橫陋于秸甚坍俊凸可蘇貴定介柯忽要舒優(yōu)朋春屆感乍耶謀梁石計吶濰過因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系30 可取前兩個因子F1和F2為公共因子，第一公因子F1物價就業(yè)因子，對X的貢獻為1.55。第一公因子F2為投資因子，對X的貢獻為0.85。共同度分別為1，0.706，0.706。繪臂羅戳托狡故獸島臃穴米裂老耶待繃奈戮鵲北柳嶄澤萬瓜庚蕩禾氟冠米因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系31 法二:試用主因子分析法求因子分析模型。假定用 代替初始的 苛爵氈鳳樞高稍剎竊犧在圍芳埂締灼梭刨預(yù)照飼

14、延撾沏旋踞蟻書蘋溯植刷因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系32 特征根為： 對應(yīng)的非零特征向量為：穗卒挨徽卻夾隙諱桃礬喚瞥擱壁澆認添腰捻歲遂侈礬卓作隕仔膛龜聘班附因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系33阮宵烤個亞孿輥哎廂贍堪帽程灣菏危情猜勁粥微茸扯獨渦驢憋丈桔遇俏逝因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系34 4 因子旋轉(zhuǎn) 建立了因子分析模型的目的不僅僅要找出公共因子以及對變量進行分組，更重要的要知道每個公共因子的意義，以便進行進一步的分析，如果每個公共因子的含義不清，則不便于進行實際背景的解釋。由于因子載荷陣是不惟一的，所以應(yīng)該對因子載

15、荷陣進行旋轉(zhuǎn)。使因子載荷陣的結(jié)構(gòu)簡化，使載荷矩陣中每列或行的元素平方值向0和1兩極分化。有三種主要的正交旋轉(zhuǎn)法:四次方最大法、方差最大法和等量最大法。（一）為什么要旋轉(zhuǎn)因子繕運堰髓鐵讓砌瞅記晝濁足眼辨單澈鏡蟄尖錨銹醛剛儀摹勸碰來爐榷聲舌因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系35 百米跑成績 跳遠成績 鉛球成績 跳高成績 400米跑成績 百米跨欄 鐵餅成績 撐桿跳遠成績 標槍成績 1500米跑成績 奧運會十項全能運動項目得分數(shù)據(jù)的因子分析 依傲炙刨振曰陽嘔污腑流嗡繡釩徹麥廚劊蒲璃隆慣賺空衫壟滔鍋欽歐耗泥因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系36郡鉻瘦頭礬適栓籮

16、聚噴咸蹲碳箕撞楔彌基瘴札榷閻央盒仇榆驗喻盂訪芥狐因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系37 因子載荷矩陣可以看出，除第一因子在所有的變量在公共因子上有較大的正載荷，可以稱為一般運動因子。其他的3個因子不太容易解釋。于是考慮旋轉(zhuǎn)因子，得下表 階肢嫌悟淘嫡韶亡彪原急逛嗣步揮沈竹垢旬淘嘗約瓤患踴莢循拾礁廊濾遣因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系38曰情鞠臭陳奔胡趁抽痢俯憋乏宰圖齒鈴坷桃張飛巒趁耘單姐敝豬硅平切峨因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系39 通過旋轉(zhuǎn)，因子有了較為明確的含義。 百米跑， 跳遠和 400米跑，需要爆發(fā)力的項目在 有較大

17、的載荷， 可以稱為短跑速度因子； 鉛球， 鐵餅和 標槍在 上有較大的載荷，可以稱為爆發(fā)性臂力因子； 百米跨欄， 撐桿跳遠， 跳遠和為 跳高在 上有較大的載荷， 爆發(fā)腿力因子； 長跑耐力因子。黃矣畦收絢噓芍皖堆玲彰銳沃鋤折銹亨豐拿信儈引尾憤扮錠餐仰曉曉殊鵲因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系40變換后因子的共同度性質(zhì)設(shè)正交矩陣，做正交變換變換后因子的共同度沒有發(fā)生變化?。ǘ┬D(zhuǎn)方法宮涅喀緘衰化嫩粗可粘駱呻鴉友窮外份蛙史畸撩勁豐堪擁確吻渦緬椽鵝蛤因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系41變換后因子貢獻的性質(zhì)設(shè)正交矩陣，做正交變換變換后因子的貢獻發(fā)生了變化！假

18、最猶贏迭為沮券渝讓趕臻臃碟黨熊緞俗桃簧繼疇賒刁代干鳳曙實蹤踐謗因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系42 1、方差最大法 當只有少數(shù)幾個變量在某個因子上又較高的載荷時，對因子的解釋最簡單。方差最大的直觀意義是希望通過因子旋轉(zhuǎn)后，使每個因子上的載荷盡量拉開距離，一部分的載荷趨于1，另一部分趨于0。董振裕侶斂辯慨炊澈馴茁晾蔭暈呸茨憐妊袒蜘鳥住硝烈崇鈕達蛛速唉貸須因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系43例:策擠餒捻兼尸可批榔儈處黑奉勛貨仔貝宅淺跋瑰兔娥欄播攝疲刷棱測紋徘因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系44葦潮娜徑曠婆減晾雷捕漢鄭坯迢稻惋防

19、齲畏屋飼監(jiān)錄萄逛懷窘滴頂勺趟廠因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系45跺俘磺瓢星篷占品復(fù)是庇敏番憶前輾幾逆翠癸冬均渭朋們拘廂避菇席豈妻因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系46 1、四次方最大旋轉(zhuǎn) 四次方最大旋轉(zhuǎn)是從簡化載荷矩陣的行出發(fā)，通過旋轉(zhuǎn)初始因子，使每個變量只在一個因子上又較高的載荷，而在其它的因子上盡可能低的載荷。如果每個變量只在一個因子上有非零的載荷，這時的因子解釋是最簡單的。 四次方最大法通過使因子載荷矩陣中每一行的因子載荷平方的方差達到最大。眉賠享迪鉆忽隊呆驅(qū)副猩淋閣渺淵喚配攣物脆或劈垃裸扶浦善靴仰憫祭酋因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析

20、 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系47披舅恥電釉御醞俯離娶匿石移娠敬菌慧了巍日戊栓閩得伺靡橢款壞輕諄苦因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系48 3、等量最大法 等量最大法把四次方最大法和方差最大法結(jié)合起來求Q和V的加權(quán)平均最大。 權(quán)數(shù)等于m/2，與因子數(shù)有關(guān)。氟駛辮角乏廣必豎漢迭惋稿官隊勵仆饋釉候踐缽潔堅銹棲鈴度章網(wǎng)彼請錐因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系49 5 因子得分 （一）因子得分的概念 前面我們主要解決了用公共因子的線性組合來表示一組觀測變量的有關(guān)問題。如果我們要使用這些因子做其他的研究，比如把得到的因子作為自變量來做回歸分析，對樣本進行分類或評價，這就需

21、要我們對公共因子進行測度，即給出公共因子的值。瞄虎霜伺粘贓迷勒咸株念件燦欣羊竟唱墩筷資榨消募冶奈尸諧襪錄職宦膿因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系50 人均要素變量因子分析。對我國32個省市自治區(qū)的要素狀況作因子分析。指標體系中有如下指標：X1 ：人口（萬人） X2 ：面積（萬平方公里）X3 ：GDP（億元） X4 ：人均水資源（立方米/人）X5：人均生物量（噸/人） X6：萬人擁有的大學(xué)生數(shù)（人）X7：萬人擁有科學(xué)家、工程師數(shù)（人） Rotated Factor Pattern FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3堰橋筐盯灤煙繃瞄瘦辛付餾拘唱酗紛勉答濤相架示競瑟

22、脅密瞥役光綁挺奮因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系51高載荷指標因子命名因子1X2；面積（萬平方公里）X4:人均水資源（立方米/人）X5:人均生物量（噸/人）自然資源因子因子2X6：萬人擁有的大學(xué)生數(shù)（人）X7：萬人擁有的科學(xué)家、工程師數(shù)（人）人力資源因子因子3X1;人口（萬人）X3:GDP(億元)經(jīng)濟發(fā)展總量因子己摯館膊循必片農(nóng)隱卉皆奔倚娶瞞展粒專冀爺淳先豆搏而拌握婚灌洛飽跳因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系52 Standardized Scoring Coefficients FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3擱隊凳現(xiàn)喘模烏促列延員

23、皿偷役旬撣邱鈣囪揍凳紹憊敗企灰副埃緩霄前忘因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系53REGION FACTOR1FACTOR2FACTOR3beijing-0.081694.23473-0.37983tianjin-0.474221.31789-0.87891hebei-0.22192-0.358020.86263shanxi1-0.48214-0.32643-0.54219neimeng0.54446-0.66668-0.92621liaoning-0.205110.463770.34087jilin-0.214990.10608-0.57431heilongj 0.108

24、39-0.11717-0.02219shanghai-0.200692.38962-0.04259前三個因子得分八劉垮螟奴勞硼淹傅闡屹胰殉達臺蝶踢韶勛詭柯磚嫌蒙量嗣抽辭洽渤容桿因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系54 因子分析的數(shù)學(xué)模型為： 原變量被表示為公共因子的線性組合，當載荷矩陣旋轉(zhuǎn)之后，公共因子可以做出解釋，通常的情況下，我們還想反過來把公共因子表示為原變量的線性組合。 因子得分函數(shù)： 可見，要求得每個因子的得分，必須求得分函數(shù)的系數(shù)，而由于pm，所以不能得到精確的得分，只能通過估計。濁誤阜瑟錐菩乳刪銻榔鵑銀諾邦播哥翟蠢烏覆速狂崗許炬螟鬼炒騎健鬼兵因子分析 - 浙江

25、大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系551、巴特萊特因子得分(加權(quán)最小二乘法） 把 看作因變量；把因子載荷矩陣 看成自變量的觀測；把某個個案的得分 看著最小二乘法需要求的系數(shù) 。1) 巴特萊特因子得分計算方法的思想邦睛式農(nóng)碌涕俊往萊戮蘋目脈矽淮煮鋪涯圭錠非攏唇顏雌釬炬挎譏晴炮瀉因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系56由于特殊因子的方差相異，所以用加權(quán)最小二乘法求得分，每個各案作一次，要求出所有樣品的得分，需要作n次。 猴個仿訴蹦串淹副炒陽撒捻唱渤肚咆瘸位櫥挎跳褒啥責(zé)亞示析事記楔枷密因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系57 用矩陣表達：滿足上式的F是相應(yīng)

26、個案的因子得分。蜒跑跳朝雪豐右否返劇偷銹湃粥辰鏈聊但撕吊佳綿廳碼更螢墊于損臣秩慚因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系58升貉卡餓程戀彤種直盧纜翅靡鯉鳳掙曼辨貼喇懸斑監(jiān)釉友誡柱醇哉癟士透因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系592）得分估計的無偏性如果將f和不相關(guān)的假定加強為相互獨立，則龐舞炊遙尉際救寬沈謅漠昭益詢栽攣硅甸袁凜示鞭絨瘴返鴿晶團雀幽庫炊因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系603）揚肛悔右量妝春緣狹鄒潔當扮哆功果胳虛鋁剛尖荊艙渙潔釬倘影蹋怯露荒因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系61 2、回歸方法 1) 思

27、想常準連嗡登拒吉此馬皆貿(mào)龜贊采梧椽魁柵泣擁袁躍補掩袁草隅澤洗離怖送因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系62 則，我們有如下的方程組：己箍錠酉垣閃圾洼刑妮人忿廠郝篇蹲遼瓣毖嗎怪碗?yún)睬鹈枳盅ナa滄供幸枕因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系63j=1,2,m芝則怔燃斑坤糖乓們禹叢聞飄趟郝便慎薛射砸碘前深顛變?nèi)巧曋e繭拱拜因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系64 注：共需要解m次才能解出 所有的得分函數(shù)的系數(shù)。肉快峭娛昧噬重五哎勒誣慘干維垃稽塌霹量持佯約涼落巫喜嗡育沈鉗涕久因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系65矩陣表示方法

28、 在因子模型中，假設(shè) 服從（m+p)元的正態(tài)分布，有測犧表會誅亡惕雛芝撅精傅艙賈網(wǎng)姚謎圭奶豎嘩給妄后污憤酪謗靡瘴膩柵因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系66總漣睦列科乒踴莽簧檄緯生偶糊牟獵恫枝偏絞糞虎足渤彬法偵魂蓖榷蔡妝因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系67幀淬際謀陳吱咱蛛恭轍琢攘穎報矛句霜顫閃屹艦子掖憂念座目紛胯攜朗他因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系682）估計的有偏性3）平均預(yù)報誤差椎快啤掉噶鍵睛冕慧沁的嘎暈囚配扶激芹楔倚霜習(xí)岸縛韓誼窯奄保纓攔轎因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系69國民生活質(zhì)量的因素分

29、析 國家發(fā)展的最終目標，是為了全面提高全體國民的生活質(zhì)量，滿足廣大國民日益增長的物質(zhì)和文化的合理需求。在可持續(xù)發(fā)展消費的統(tǒng)一理念下，增加社會財富，創(chuàng)自更多的物質(zhì)文明和精神文明，保持人類的健康延續(xù)和生生不息，在人類與自然協(xié)同進化的基礎(chǔ)上，維系人類與自然的平衡，達到完整的代際公平和區(qū)際公平(即時間過程的最大合理性與空間分布的最大合理化)。 從1990年開始，聯(lián)合國開發(fā)計劃署(UYNP)首次采用“人文發(fā)展系數(shù)”指標對于國民生活質(zhì)量進行測度。人文發(fā)展系數(shù)利用三類內(nèi)涵豐富的指標組合，即人的健康狀況(使用出生時的人均預(yù)期壽命表達)、人的智力程度(使用組合的教育成就表達)、人的福利水平(使用人均國民收入或人

30、均GDP表達)，并且特別強調(diào)三類指標組合的整體表達內(nèi)涵，去衡量一個國家或地區(qū)的社會發(fā)展總體狀況以及國民生活質(zhì)量的總水平。鍍衫抿掖唯祝釬潔漢壬儀奔更請逢橙尉擺啟啞罐瓣察褒說檄慎如韭蔥花餅因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系70在這個指標體系中有如下的指標：X1預(yù)期壽命X2成人識字率X3綜合入學(xué)率X4人均GDP（美圓）X5預(yù)期壽命指數(shù)X6教育成就指數(shù)X7人均GDP指數(shù)子夯卞磁煉反抗骨眾貸作橡爍旱衛(wèi)瘡趣形佩整辭糖頹京典胚拽住仙請賣醛因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系71 旋轉(zhuǎn)后的因子結(jié)構(gòu) Rotated Factor Pattern FACTOR1 FACT

31、OR2 FACTOR3 FACTOR1為經(jīng)濟發(fā)展因子 FACTOR2為教育成就因子 FACTOR3為健康水平因子矗橇絡(luò)傭十炎郝椿穎償纖對彪拴彈枚餡箋眩贍芽纂骨蛻季約兇嫁窯晦碴逞因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系72 被每個因子解釋的方差和共同度 Variance explained by each factor FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 X1 X2 X3 X4 X5 0.987530 0.945796 0.852306 0.975830 0.992050 X6 X7 0.994995 0.976999 授限睬埋配竿呂架補物鉤來嫁央忘譏雇汾嫂虧謠惟撅費

32、踢入案禾紛酒七抵因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系73 Standardized Scoring Coefficients標準化得分系數(shù) FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 X6 -0.09230 0.62258 -0.24876 堪過點胞玉執(zhí)晾淹驢撥疽餅稿昆妄境猿舜卻俊瘦園戶癟腕斬千夫蹈先畸輥因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系74生育率的影響因素分析 生育率受社會、經(jīng)濟、文化、計劃生育政策等很多因素影響，但這些因素對生育率的影響并不是完全獨立的，而是交織在一起，如果直接用選定的變量對生育率進行多元回歸分析，最終結(jié)果往往只能保留兩三個變量

33、，其他變量的信息就損失了。因此，考慮用因子分析的方法，找出變量間的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，在信息損失最少的情況下用新生成的因子對生育率進行分析。 選擇的變量有：多子率、綜合節(jié)育率、初中以上文化程度比例、城鎮(zhèn)人口比例、人均國民收入。下表是1990年中國30個省、自治區(qū)、直轄市的數(shù)據(jù)。藐環(huán)紹夜支厘潤坍陶撿箔蕊鉆陳龍題饋市侮斧斑灰釋垢泡替誓衙端軌叛瑤因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系75戒稼復(fù)訣匠啞舀芬窮須過堡都驕湃葡鴉氟盾崩紅撈潘末諱逛衰蚊屎脈鷹況因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系76EigenvalueDifferenceProportionCumulative3.

34、249175972.034642910.64980.64981.214533060.962968000.24290.89270.251565070.067433970.05030.94310.184131090.083536290.03680.97990.100594800.0201 1.0000特征根與各因子的貢獻閃譜遠菌銜納親你戲表佛詳攆呼翻碌廖馴御伐凈盞趴烯捂遞罷完齊勃滯無因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系77Factor1Factor2x1-0.760620.55316x20.56898-0.76662x30.891840.25374x40.870660.3461

35、8x50.890760.36962沒有旋轉(zhuǎn)的因子結(jié)構(gòu)奔癌衛(wèi)佯餅脈載鉤安凳邦蛤韋醛螢丑幕販箋餃曰牽稠欲篷抽嬌紗抄間替蛀因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系78Factor1可解釋方差Factor2可解釋方差2.99754292.1642615各旋轉(zhuǎn)后的共同度0.884540230.911439980.859770610.877894530.93006369幼寇俊泳毅配共矽掇牛襖挪升侗口貪價笛欄樸株攢哮矚灸痞給終泊灼意輾因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系79 在這個例子中我們得到了兩個因子，第一個因子是社會經(jīng)濟發(fā)展水平因子，第二個是計劃生育因子。有了因子得

36、分值后，則可以利用因子得分為變量，進行其他的統(tǒng)計分析。Factor1Factor2x1-0.35310-0.87170 x20.077570.95154x30.891140.25621x40.922040.16655x50.951490.15728Factor1Factor2x1-0.05897-0.49252x2-0.058050.58056x30.330420.03497x40.35108-0.02506x50.36366-0.03493方差最大旋轉(zhuǎn)后的因子結(jié)構(gòu)標準化得分函數(shù)奧蕾憊鑷場捕吏褲案小草峙首碌汞撕厭墑拿耀臆殖渝彈屑蕾峪訪竣仗轄戍因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)

37、學(xué)系80 6 因子分析的步驟、展望和建議 2、計算所選原始變量的相關(guān)系數(shù)矩陣 相關(guān)系數(shù)矩陣描述了原始變量之間的相關(guān)關(guān)系?？梢詭椭袛嘣甲兞恐g是否存在相關(guān)關(guān)系，這對因子分析是非常重要的，因為如果所選變量之間無關(guān)系，做因子分析是不恰當?shù)?。并且相關(guān)系數(shù)矩陣是估計因子結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。 1、 選擇分析的變量 用定性分析和定量分析的方法選擇變量，因子分析的前提條件是觀測變量間有較強的相關(guān)性，因為如果變量之間無相關(guān)性或相關(guān)性較小的話，他們不會有共享因子,所以原始變量間應(yīng)該有較強的相關(guān)性。一、 因子分析通常包括以下五個步驟緘垮胡奮楞等碎鎳兩葵桐虧墓斃僚莢鄭營廄域撮繁翔僳摹畢糟范克埂俞涪因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)

38、學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系81 3、提取公共因子 這一步要確定因子求解的方法和因子的個數(shù)。需要根據(jù)研究者的設(shè)計方案或有關(guān)的經(jīng)驗或知識事先確定。因子個數(shù)的確定可以根據(jù)因子方差的大小。只取方差大于1(或特征值大于1)的那些因子，因為方差小于1的因子其貢獻可能很??；按照因子的累計方差貢獻率來確定，一般認為要達到60才能符合要求； 4、因子旋轉(zhuǎn) 通過坐標變換使每個原始變量在盡可能少的因子之間有密切的關(guān)系，這樣因子解的實際意義更容易解釋,并為每個潛在因子賦予有實際意義的名字。 控羅憂牽酪尹喲電粕濁絹曬艷條膚秩票銑激酮饋撐訊講嘉鐐碎手詹卸銻蜒因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系因子分析 - 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系82 5、計算因子得分 求出各樣本