信號與系統(tǒng)課后答案

1、Signals and Systems信號與系統(tǒng)濟(jì)南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Signals and Systemsdttttta442)2(2)()23()(4426)2(24)(2dttt442)2()()5()1()(dtttttbdtttt44)2(5)()5(261.18 求以下積分的值求以下積分的值)()()()(000tttxtttx)()0()()(txttxdttttttt4422)2()23(2)()23(dttt44)2()264(2)()200(6)2(5)(44dtttSignals and Systems1) 2/() 2/cos1

2、() 2/()cos1 ()(dttdtttc4)231 ()21 ()21 ()231 ()(cos)231 ()21 ()21 ()231 ()23()2()2()23( )1 ()(cos)1 (20022222dttdttttttdttt)(| )(|1)(cos)(iiitttftdSignals and Systems波波形形波波形形，求求已已知知)()23(txtx 0124X(3-2t)2t1.19反轉(zhuǎn)反轉(zhuǎn)擴(kuò)展擴(kuò)展2倍倍右平移右平移3解解:0-1-2-4X(3+2t)2t-3t0-2-4-8X(3+t)4-6-5-3-112X(t)t4t - -tt - t/2t - t-3S

3、ignals and Systems322,)4/3cos(2)(00 Tta解解：是是連連續(xù)續(xù)的的周周期期信信號號222,)(00)1( Tebtj解解：是是連連續(xù)續(xù)的的周周期期信信號號7,7427/8227/8cos)(00 Nnc，是是離離散散的的周周期期信信號號解解： 周期信號。為無理數(shù)，不是離散的解：8124/124/cos)(0nd 。的的圖圖形形可可知知，周周期期解解：由由4414414)( Nknknknknekkkk n01481.21 1.21 判斷以下信號是否周期信號判斷以下信號是否周期信號? ?如果是周期的如果是周期的, ,試求出它的基波周期。試求出它的基波周期。為為有

4、有理理數(shù)數(shù)Nm /2/0 Signals and Systems1644122/2,1616128/288124/2)2/cos(2)8/sin()4/cos(2)(0332211 NNNNnnng離離散散信信號號周周期期為為別別為為解解：各各離離散散項項的的周周期期分分 3575,5,71)(05/27/45/27/4 NNeNeeehnjnjnjnj是是離離散散周周期期信信號號解解： 022112422,51022,)14sin()110cos(2)(TTTttf基基波波周周期期解解：是是連連續(xù)續(xù)的的周周期期信信號號Signals and Systems的的響響應(yīng)應(yīng)，并并求求波波形形求求：

5、該該系系統(tǒng)統(tǒng)對對輸輸入入如如圖圖所所示示的的響響應(yīng)應(yīng)系系統(tǒng)統(tǒng)對對信信號號已已知知一一個個)(),()()(3211tttytxLTIxx1.24)(1tx12301t)(1ty1201tSignals and Systemst214t)(2ty2)2()()(112 tttyyy)(2tx1 23401)2()()(112 txtxtxt-10122)(3ty)()1()(113tttyyy )()1()(113txtxtx )(3tx2-112t1)(1tx)1(1 tx)(1tx12301t)(1ty1201tSignals and Systems求求:(a)當(dāng)初始狀態(tài) 時的零輸入響應(yīng)。

6、(b)當(dāng)x(t)=2u(t)時的零狀態(tài)響應(yīng)。2)0(, 1)0(21 xx1.27 LTI系統(tǒng)的輸入x(t)=u(t),初始狀態(tài)).()56()(2)0(, 1)0(3221tueetyxxtt 時時響響應(yīng)應(yīng)).()78()(32tueetytt如果輸入改為x(t)=3u(t)而初始狀態(tài)不變，那么輸出Signals and Systems解解1： (a) 當(dāng)輸入當(dāng)輸入x(t)=u(t)時時,全響應(yīng)全響應(yīng) )()56()()()(3201tueetytytyttx).()78()(3)()(3202tueetytytyttx當(dāng)輸入當(dāng)輸入x(t)=3u(t)時時,全響應(yīng)全響應(yīng))()()()()()

7、(3201tueetytytybttx時的零狀態(tài)響應(yīng)為可得，由 u(t)x(t)a)所以零輸入響應(yīng)所以零輸入響應(yīng)).()45()()(321)(32210tueetytytytt)()22()(2 2u(t)x(t)32tueetyttx 時的零狀態(tài)響應(yīng)為時的零狀態(tài)響應(yīng)為Signals and Systems解解2： (b) 當(dāng)輸入當(dāng)輸入x(t)=u(t)時時,全響應(yīng)全響應(yīng) )()22()()()(23212tueetytytyttx時的零狀態(tài)響應(yīng)為 2u(t)x(t)()56()()()(3201tueetytytyttx)(2)()( 2u(t)x(t)0tytytyx 時時，全全響響應(yīng)應(yīng)

8、而而).()78()(3)()(3202tueetytytyttx當(dāng)輸入當(dāng)輸入x(t)=3u(t)時時,全響應(yīng)全響應(yīng))()()()(21)()(3212tueetytytyattx時的零狀態(tài)響應(yīng)為可得，由 u(t)x(t)b)所以零輸入響應(yīng)所以零輸入響應(yīng))()45()()()(3210tueetytytyttxSignals and Systems連續(xù)時間系統(tǒng)：連續(xù)時間系統(tǒng)： 1 數(shù)學(xué)模型：微分方程數(shù)學(xué)模型：微分方程 2 求解方法：求解方法：1 齊次解齊次解+特解特解 齊次解：根本形式齊次解：根本形式 ，P43表表2-1，關(guān)鍵，關(guān)鍵點(diǎn)：求特征根點(diǎn)：求特征根 特解：見課本特解：見課本P44表表2

9、-2tiiec時域分析總結(jié)離散時間系統(tǒng)：離散時間系統(tǒng)： 1 數(shù)學(xué)模型：差分方程數(shù)學(xué)模型：差分方程 2 求解方法：求解方法： 1 遞推法：適于較簡單的方程遞推法：適于較簡單的方程 2齊次解齊次解+特解不常用特解不常用 mrrrnkkktxDbtyDa00)()(MrrNkkrnxbknDya00i機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Signals and Systems連續(xù)時間系統(tǒng)：連續(xù)時間系統(tǒng)： 2 求解方法：求解方法：2 零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) 零輸入響應(yīng)：解的形式同齊次解，零輸入響應(yīng)：解的形式同齊次解， 關(guān)鍵點(diǎn)：初始條件關(guān)鍵點(diǎn)：初始條件 零狀態(tài)響應(yīng)：解的形式為齊次解零狀

10、態(tài)響應(yīng)：解的形式為齊次解+特解特解 關(guān)鍵點(diǎn)：初始條件關(guān)鍵點(diǎn)：初始條件 離散時間系統(tǒng)：離散時間系統(tǒng)： 2 求解方法：求解方法：3零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) 零輸入響應(yīng)：解的形式同齊次解零輸入響應(yīng)：解的形式同齊次解 關(guān)鍵點(diǎn)：初始條件關(guān)鍵點(diǎn)：初始條件 零狀態(tài)響應(yīng)：利用卷積和求解零狀態(tài)響應(yīng)：利用卷積和求解)0()0()()(0kkyy0)0()(kxy)0()0()()(kxkxyy不一定等于,.22,1 100yyyy求解方程：機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Signals and Systems穩(wěn)定系統(tǒng)：穩(wěn)定系統(tǒng)：h(t)/hn是絕對可積/和的 單位沖激抽樣響應(yīng)：系統(tǒng)特性的表征

11、 輸入是單位沖激信號時所產(chǎn)生的響應(yīng)因果系統(tǒng)：因果系統(tǒng)：h(t)=0(hn =0),t0(n0) 級聯(lián)系統(tǒng)：級聯(lián)系統(tǒng)： */ )(*)()(2121nhnhnhththth并聯(lián)系統(tǒng)：并聯(lián)系統(tǒng)： / )()()(2121nhnhnhththth恒等系統(tǒng)：恒等系統(tǒng)： )()(tth微分系統(tǒng)：微分系統(tǒng)： )()(tth積分系統(tǒng)：積分系統(tǒng)： )()(tuth機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Signals and Systems連續(xù)時間系統(tǒng)：連續(xù)時間系統(tǒng)： 步驟：步驟： 可先求可先求 ：解的形式同齊次解，：解的形式同齊次解， 關(guān)鍵點(diǎn)：初始條件關(guān)鍵點(diǎn)：初始條件 離散時間系統(tǒng)：離散時間系統(tǒng)：可先求可先求

12、：解的形式同齊次解，：解的形式同齊次解， 初始條件初始條件0)0 ()0 (.)0 (,/ 1)0 () 1 () 2() 1(hhhahnnnmrrrnkkktDbthDa00)()()(thmrrrmrrrthDbthtDb00)()()(對應(yīng)的輸出輸入mrrnkkrnbknha00nh0)1. 1,/ 1 0 0nhhahmrrmrrrnhbnhrnb00對應(yīng)的輸出輸入h(t)的求解：的求解：機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Signals and Systems 關(guān)鍵點(diǎn)：有限長序列求和上下限的求取關(guān)鍵點(diǎn)：有限長序列求和上下限的求取離散時間系統(tǒng)：離散時間系統(tǒng)： 定義：定義：零狀態(tài)響應(yīng)卷

13、積法：dtxtx)()()(dthxtyx)()()(anknhakh的邊界為則的邊界坐標(biāo)為設(shè),kkxknhkxnykkknkxnx連續(xù)時間系統(tǒng)：連續(xù)時間系統(tǒng)： 定義：定義： 關(guān)鍵點(diǎn)：分段函數(shù)積分上下限的求取關(guān)鍵點(diǎn)：分段函數(shù)積分上下限的求取atthath的邊界為則的邊界坐標(biāo)為設(shè))(,)( 卷積和的另一解法：陣列圖法卷積和的另一解法：陣列圖法機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Signals and Systems00y10y0ty2D3Db12 )(,)(;)()()()(21023212 ，解解：特特征征方方程程：etettyhcc21)(齊次解ececyttth221)1(2)( 由初始條

14、件由初始條件: 0122121cccc 1221cc解得：解得：0,)(22ttyeett2.1 解微分方程解微分方程機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Signals and Systems2)0(, 1)0(, 1)0(,0)()1()()2()1(23 yyytyDDDd110110132,1223 ，）（）（）解解：（ttttthtttthttthectecececectyectececectyectececty32221)2(3221)1(321)()()( 4/12/34/3221132132132131ccccccccccc0,4/12/34/3)(teteetyttthet 3

15、機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Signals and Systems0) 0() 0()()() 34()(122 yytuetyDDbt13844)(,2)()(3)()(3103422222)2(2)1(2321)1(321212 AeAeAeAeAetyAetyAetyecectyecectytttttptptptthtth代代入入方方程程得得：設(shè)設(shè)特特解解，解解： 2.3機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Signals and Systems0),2/12/1 ()(2/12/1023)0(01)0(23)()()()(322121) 1 (212321) 1 (2321tee

16、etyccccyccyeecectyeecectytytytttttttttph完全解：機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Signals and Systems)()1(1)()()(20)(tueaatdetuettucatttaat t0)()1(12tueaat at 2.50)( tae t圖形圖形設(shè)設(shè))()(, 1tuettuaat 0 ae 圖圖解解法法)()(tuettuat 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Signals and Systems40,)cos1(1,040,)4()(sin,0)4()()(sin)(0ttttdtututtututtuet其它其它t024

17、2機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Signals and Systems40,)cos1(1,04()()cos1(1)4()(*)()cos1(1)4()(*)(sin)4()(*)(sin)4()()(sin2)(0ttttututtttutttduttdutututtu：ett其它解機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Signals and Systems 1)1 (3110) 1()()1(31)(33tedettutuetttt t01)(ty31t011) 1( u)()(3tuet0 t1 tt：解解法法1注意注意機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ) 1()()(3 tut

18、uegtSignals and Systems 1)1(3110)1()()1(31033tedettutuettt t011)(3 ue )()(3tuet t01)(ty311 0 t1 tt) 1( tu1 t：解解法法2)(* gSignals and Systems0)0(1)0(0)0(0)0(0)0(0)0()()(34)()() 1()() 34() 1 () 1 () 1 (22hhhhhhtthDDthtxDtyDD，可得：，由初始條件，）解：設(shè)（。求，已知2.7機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Signals and Systems)(21212123)()()()()

19、1()()(2/12/1)(2/1, 2/10)0(1)0()(13034)()(34333321)1(2312122tueeeeethdtthdththDthtueethcchhececthrrrrtthDDttttttttt 可可得得：，代代入入初初始始條條件件特特征征根根，的的特特征征方方程程：）（ 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Signals and Systems2.15求求系系統(tǒng)統(tǒng)總總沖沖激激響響應(yīng)應(yīng)。圖圖中中),()(),1()(),()(321tthtthtuth h2(t)h1(t)h3(t)h1(t)(tx)(ty) 1()() 1(*)()()(*) 1(*)()(

20、)(*)(*)()()(3211 tututtututttutuththththth 解解：機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Signals and Systems系系統(tǒng)統(tǒng)的的零零狀狀態(tài)態(tài)響響應(yīng)應(yīng)。時時程程，并并計計算算當(dāng)當(dāng)輸輸入入由由圖圖寫寫出出系系統(tǒng)統(tǒng)的的微微分分方方,)(2)(tuetxt y(t)*2.19)(6)(5)()( tytytxty x(t)+-5-6(a)(ty)( ty機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Signals and Systems122265)(, 2, 30)0()0(),(2)()()(6)(5)()(6)(5)()(21) 1 ( AeAeeAeAe

21、AeAetyyytuetxtxtytytytytytxtyatttttttt把特解代入方程中特解：特征根：時）（解：tttxtttxeecectyeececty2132)1(213223)()(零狀態(tài)響應(yīng)：機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Signals and Systems 0123)0(01)0(12)1(12ccyccyxx)()2()(123221tueeetycctttx 解解得得：機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Signals and Systems。求求總總系系統(tǒng)統(tǒng)圖圖中中)(),3()()();1()(21thtututhtth )5()4()3()2() 1()()3

22、()(*)2() 1()()3()(*)1(*) 1() 1()()(*)(*)()()()(2111 tututututututututtttututtttththththtth 解解：x(t)(1th)(1th)(1th)(2th+-y(t)2.21機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Signals and Systemsnnnnnyccccyccyccnyaaaayynynynyb)2(12) 1(41241)2() 1(22)2() 1( 1)2() 1(2, 1023:12, 2 1, 022 131 . 32122211211210212得由初始條件特征方程：解）（解差分方程3.1

23、(b)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Signals and Systems10121 2 1, 0 2 12)(212 aaaayynynynyc解解：特特征征方方程程：nnnnnnnnyccnccny) 1)(23() 1(2) 1( 32, 3) 1() 1(2121 由由初初始始條條件件得得：3.1(c)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Signals and Systems2 . 05/18 . 05/4,)2 . 0()8 . 0(2 . 0, 8 . 0, 016. 06 . 00216. 0 16 . 000 1, 100, 00216. 0 16 . 0216. 0 1

24、6 . 0)(3 . 32121212ccccnhaaaanhnhnhnhhnhnnnhnhnhnxnynynyann由初始條件解：求單位抽樣響應(yīng)) 2 . 0( 2 . 0) 8 . 0(8 . 0nunhnn3.3(a)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Signals and Systems232)3 . 0 8/35 . 0 8/5(8/58/305 . 03 . 015 . 03 . 05 . 0, 3 . 0015. 02 . 001,10215. 012 . 0232215. 012 . 0)(21212121212 nhnhnhnunhccccccccnhhhnnhnhnhnx

25、nxnynynycnnnn 得：得：由由解：解：3.3(c)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Signals and Systems2) 3 . 0447 5 . 0425( 15224254475013141005221032, 5 . 0 3 . 05 . 0, 3 . 0015. 02 . 0501312,52 1 ,20232215. 0 12 . 02232215. 0 12 . 0)(2122121212nunnnhcccccnccnhhhhnnnhnhnhnxnxnynynycnnnn得：由：解3.3(c)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Signals and System

26、s全全響響應(yīng)應(yīng)。）零零狀狀態(tài)態(tài)響響應(yīng)應(yīng)（零零輸輸入入響響應(yīng)應(yīng)求求初初始始條條件件輸輸入入已已知知系系統(tǒng)統(tǒng)的的差差分分方方程程為為)(;)(,)/()/()/(.cbayynunxnxnynynyn25261512611656300nnnnnyccccnyaaaaa)2/1(2/7)3/1(3/132/73/13)2/1()3/1(2/13/106/16/5(021210212 由由初初始始條條件件得得，）零零輸輸入入響響應(yīng)應(yīng)解解：3. 6機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Signals and Systems)3/1(2)2/1(33, 2)2/1()3/1(001, 10:26/116/5

27、: )(21210nunhccccnhnhnhhnnhnhnhnhbnnnn 由由初初始始值值得得：齊齊次次解解：時時初初始始值值先先求求零零狀狀態(tài)態(tài)響響應(yīng)應(yīng) ) 5/ 1 () 3/ 1 () 5/ 1 ( 2) 5/ 1 () 2/ 1 () 5/ 1 ( 3) 5/ 1() 3/ 1 (2) 5/ 1() 2/ 1 (3) 5/ 1 (*) 3/ 1 ( 2) 5/ 1 (*) 2/ 1 ( 3*0000nunuknukuknukunununununhnxnykknknkknknknknkknknknnnnx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Signals and Systems)/(

28、)/()/()/()/()/()/(/)/()/(/)/()/()/()/()/()/(nu51315215nu135513125512nu135135512251251513nu35512nu25513nnn1nn1nn1nn1nnkn0knkn0kn )/()/(/)/(/)(nunyynycnnnx513132212300全全響響應(yīng)應(yīng)：機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Signals and Systems 022/1112022/112210nnknnknnknk2*,28 . 3kunkunhnxnynunhnunxcknkn 解解：）（計計算算卷卷積積3.8xn-kk0kuk0n

29、nk0 x-k機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Signals and Systems 0,22/11120,22/112201nnkknnknk2*knukunhnxnykk 或或：*,)(21212121nnnnknnknynnnnhnxnynnnhnnnxdk 另另解解：解解：kun-k0 xkk0nn機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Signals and Systems*)(*)(.,)(;,11. 31000knhnhknhknnhknnhnunhnsansnhbnhnsnunxaLTIkkkk 解解：求求已已知知求求單單位位抽抽樣樣響響應(yīng)應(yīng)為為階階躍躍響響應(yīng)應(yīng)）時時的的零零狀

30、狀態(tài)態(tài)響響應(yīng)應(yīng)（單單位位）已已知知（離離散散時時間間系系統(tǒng)統(tǒng)中中在在3.11機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Signals and Systems111*1*1100 nsnsnhknhknhknnhnunhnskkk *)(0knhkuknhkhknukhnunhnsbkknkk 1 1 1 1 1,nsnsnhnsnsnununnsnunsnu或：機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Signals and Systems第四章機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 連續(xù)時間傅里葉變換連續(xù)時間信號的譜分析和時-頻分析Signals and Systems 4.1引言引言 4.2復(fù)指數(shù)函數(shù)的正

31、交性復(fù)指數(shù)函數(shù)的正交性 4.3周期信號的表示：連續(xù)時間傅里葉級數(shù)周期信號的表示：連續(xù)時間傅里葉級數(shù) 4.4波形對稱性與傅里葉系數(shù)波形對稱性與傅里葉系數(shù) 4.5周期信號的頻譜與功率譜周期信號的頻譜與功率譜 4.6傅里葉級數(shù)的收斂性傅里葉級數(shù)的收斂性 吉伯斯現(xiàn)象吉伯斯現(xiàn)象 4.7非周期信號的表示：連續(xù)時間傅里葉變換非周期信號的表示：連續(xù)時間傅里葉變換 4.8傅里葉級數(shù)與傅里葉變換的關(guān)系傅里葉級數(shù)與傅里葉變換的關(guān)系 4.9連續(xù)時間傅里葉變換的性質(zhì)與應(yīng)用連續(xù)時間傅里葉變換的性質(zhì)與應(yīng)用 4.10卷積定理及其應(yīng)用卷積定理及其應(yīng)用 4.11相關(guān)相關(guān) 4.12能量譜密度與功率譜密度能量譜密度與功率譜密度 4.

32、13信號的時信號的時-頻分析和小波分析簡介頻分析和小波分析簡介Signals and Systems本章重點(diǎn)與難點(diǎn)：本章重點(diǎn)與難點(diǎn)：機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1.周期信號的連續(xù)時間傅里葉級數(shù)；周期信號的連續(xù)時間傅里葉級數(shù)；2.非周期信號的連續(xù)時間傅里葉變換；非周期信號的連續(xù)時間傅里葉變換；3.頻譜與功率譜及能量譜密度與功率譜密度概念；頻譜與功率譜及能量譜密度與功率譜密度概念；4.連續(xù)時間傅里葉變換的性質(zhì)與應(yīng)用；連續(xù)時間傅里葉變換的性質(zhì)與應(yīng)用； 5.時域、頻域卷積定理及其應(yīng)用時域、頻域卷積定理及其應(yīng)用 ；6.相關(guān)的概念。相關(guān)的概念。Signals and Systems時域分析：時域分

33、析：1解微分差分方程，求系統(tǒng)響應(yīng)。解微分差分方程，求系統(tǒng)響應(yīng)。2利用卷積積分，求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)利用卷積積分，求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng) yx(t)=h(t)*x(t).把把x(t)表示成表示成 為根本信號，為根本信號， h(t) 為根本響應(yīng)。為根本響應(yīng)。 )(t)()()()()(ttxdtxtx 4.1 引言Signals and Systems頻域分析傅里葉分析：頻域分析傅里葉分析：根本信號：復(fù)指數(shù)函數(shù)。根本信號：復(fù)指數(shù)函數(shù)。根本響應(yīng)：復(fù)指數(shù)信號響應(yīng)。根本響應(yīng)：復(fù)指數(shù)信號響應(yīng)。 ktjkk0ectx )(tjetx )(tjHjtjtjeeHeHdehtxthty)(arg)(| )(|)()()(

34、)()( dehHj )()( 頻率響應(yīng)頻域分析：把信號表示為一組不同頻率的復(fù)指數(shù)函數(shù)或正弦信號的加權(quán)和/積分，稱為信號的頻譜分析。用頻譜分析的觀點(diǎn)分析系統(tǒng)，稱為系統(tǒng)的頻域分析。Signals and Systems機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4.2 復(fù)指數(shù)函數(shù)的正交性1、正交函數(shù)的定義 mnKmndtttittmn, 0)()(21* 在區(qū)間 內(nèi)函數(shù)集 中的各個函數(shù)間，若滿足正交條件： )(),.(),(10tttN),(21tt則稱 為正交函數(shù)集 )(),.(),(10tttN 若 ，則稱 為歸一化正交函數(shù)集 )(),.(),(10tttN1iKSignals and System

35、s機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Nmdtttttm, 1 , 0, 0)()(21*則稱 為完備的正交函數(shù)集 )(),.(),(10tttN 對于區(qū)間 內(nèi)的正交函數(shù)集 若再也找不到一個函數(shù) 能夠滿足 )(),.(),(10tttN),(21tt)(t若 為完備的正交函數(shù)集，則區(qū))(),.(),(10tttN間 內(nèi)的任意函數(shù) 可以用這 個正交函數(shù)的加權(quán)和精確表示，即),(21tt1N)(tx),(, )()()()()(2101100ttttctctctctxNnnnNN且 2121)()()()(*ttnnttnndtttdtttxcSignals and Systems機(jī)動 目錄 上頁

36、 下頁 返回 結(jié)束 NnnnNNtctctctctx01100)()()()()(證： 21)()(*ttmdtttx兩邊同乘 并在區(qū)間 內(nèi)積分，得 )(*tm),(21tt21)()(*0ttmnNnndtttc 21)()(*0ttmNnnndtttc21)()(*ttnnndtttcnttnnKdtttxc21)()(*所以 21)()(*ttnnndtttK21)()(*ttndtttxSignals and Systems機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2、復(fù)指數(shù)函數(shù)是正交函數(shù)0110001100*)(TtttjmtjnTtttjmtjndteedtee0110)(Ttttmnj

37、dte2, 1, 0,0netjn 復(fù)指數(shù)函數(shù)集 在 內(nèi)是正交函數(shù)集，其中 為基波周期。 ),(011Ttt0TmnTmn, 00Signals and Systems機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 正弦函數(shù) 和余弦函數(shù) 在 內(nèi)是正交函數(shù)，其中 為基波周期。 ),(011Ttt0Ttn0 sintn0 cosmnTmntdtmtnTtt, 2/, 0sinsin000011mnTmntdtmtnTtt, 2/, 0coscos000011nmtdtmtnTtt, 0cossin01100所有 Signals and Systems機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4.3 周期信號的表示

38、傅里葉級數(shù)1、復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù) 00/2T00/2T 基波角頻率 基波周期0/20, 2, 1, 0,)(0Tkettjkk 具有共同的周期為周期函數(shù)。ktjkkectx0)(0k 直流分量 1k 一次諧波 2k 二次諧波 Nk N 次諧波 Signals and Systems機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 周期信號可以表示成一組成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)函數(shù)的加權(quán)和，稱其為該周期信號的傅里葉級數(shù)表示或該周期信號的復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)ktjkkectx0)(Signals and Systems機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 330)(ktjkkectx例題： 一周期信號的傅里葉級數(shù)

39、表示式為式中 ，3/1, 2/1, 4/1, 13322110ccccccc20求三角函數(shù)表示式并繪制波形圖。解： 直流分量 一次諧波 二次諧波 1三次諧波 4/)(22tjtjeet2cos)2/1 (2/)(44tjtjeet4cos3/)(66tjtjeet6cos)3/2()(tx1t2cos)2/1 (t4cost6cos)3/2(Signals and Systems機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 -3-2-101230123-3-2-10123-1-0.500.51Signals and Systems機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2、三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù) ktjk

40、kktjkkecectx00*)(*若信號 為實信號)(txktjkkectx0)(有kkcc*或*kkcc10000)(ktjkktjkkktjkkececcectx1*000ktjkktjkkececc100Re2ktjkkeccktjkkectx0)(Signals and Systems機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 100Re2)(ktjkkecctx1)(00Re2ktkjkkeAckjkkeAc100)cos(2kkktkAc100Re2)(ktjkkecctxkkkjDBccossinsincosRe2001000tkDtkBjtkDtkBckkkkk1000)sincos

41、(2kkktkDtkBc極坐標(biāo)形式三角函數(shù)形式直觀，但不如指數(shù)形式運(yùn)算方便正弦-余弦形式Signals and Systems機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3、傅里葉級數(shù)系數(shù)確實定0000000)(TtjktjkTtjkkdteedtetxc0000)(1TtjkdtetxTktjkkectx0)(0110)(10TtttjkkdtetxTc綜合公式分析公式傅里葉系數(shù)/頻譜傅里葉級數(shù)表示Signals and Systems機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1000)sincos(2)(kkktkDtkBctx011)(100TttdttxTctdtktxTBTttk00cos)(22

42、011tdtktxTDTttk00sin)(22011正弦-余弦形式傅里葉級數(shù)的系數(shù)Signals and Systems機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)系數(shù)之間的關(guān)系100)cos(2)(kkktkActx22kkkDBAkkkBDtg/1000)sincos(2)(kkktkDtkBctxkkkBAcoskkkDAsinSignals and Systems機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1000)sincos(2)(kkktkDtkBctxRekkcB 0,kcIDkmk0,*kccjDBcjDBkkkkkkk復(fù)指數(shù)系數(shù)與直角坐標(biāo)系數(shù)的關(guān)系：復(fù)指數(shù)系數(shù)與直角坐標(biāo)系

43、數(shù)的關(guān)系：若 為實數(shù)kc 級數(shù)中只包含余弦項若 為純虛數(shù)kc 級數(shù)中只包含正弦項0kD0kBSignals and Systems機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例題： 解：。的頻譜求nTnTtt)()(0-T-2TT2Tt)(tTktjkTeTt01 )( 220)(1TTtjkkdtetTcTdtetTTT1)(1220k002002T1kcSignals and Systems機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例題： 解：tttttx00002sin42cos5sin3cos7)(求其復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)。對照1000)sincos(2)(kkktkDtkBctx可寫出42, 5

44、2 , 32, 722211DBDB由知kkkjDBc所以5 . 15 . 31jc5 . 15 . 31jckkkjDBc25 . 22jc25 . 22jc)(txtjej0)5 . 15 . 3(tjej0)5 . 15 . 3(tjej02)25 . 2(tjej02)25 . 2(Signals and Systems機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例題： 解：周期信號 如下圖，求其傅里葉級數(shù))(tx0t)(tx21T21T20T20T0T0T可寫出一個周期內(nèi)的表達(dá)式為其它, 02/|,)(1TtAtx計算系數(shù)012/2/00111TTAAdtTcTTASignals and S

45、ystems機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2/2/01101TTtjkkdtAeTc)(2/2/001010TjkTjkeeTjkA)2/sin(21000TkjTjkA)2/sin(21000TkTkA)(5)(3)(2)(0000005533tjtjtjtjtjtjeeAeeAeeAAtx所以級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式為由于 為實數(shù)，所以 ， kc0kD)2/sin(22kkABktAtAtAAtx0005cos523cos32cos22)(所以級數(shù)的正弦-余弦形式為)2/sin()4/sin(20000kkATkTkAck2/01TT 假設(shè)Signals and Systems機(jī)動 目錄 上

46、頁 下頁 返回 結(jié)束 例題： 解：周期信號 如下圖，求其傅里葉級數(shù))(tx0t)(tx20T20T0T0T2121可寫出一個周期內(nèi)的表達(dá)式為2/2/,/)(000TtTTttx計算系數(shù)02112/2/2202/2/2000000TTTTtTtdtTcSignals and Systems機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 由于 為純虛數(shù)，所以kc0kBkDkk) 1(2ttttx0003sin312sin21sin1)(所以級數(shù)的正弦-余弦形式為jkeejkeeTTjkejkteTjkdtteTckjkjkjkjkTTtjkTTtjkTTtjkk2) 1(121111002002/2/02/2

47、/2002/2/20000000000200TSignals and Systems機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )()(:)(txtx，tx即是偶函數(shù)若dttxTT2/2/00)(dttxdttxTT2/002/00)()(dttxT2/00)(2tt偶函數(shù)在對稱區(qū)間內(nèi)的積分dttxdttxTT2/02/000)()(dttxdttxTT2/002/00)() (4.4 波形對稱性與傅里葉系數(shù)Signals and Systems機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )()(txtx奇函數(shù)在對稱區(qū)間內(nèi)的積分dttxTT2/2/00)(dttxdttxTT2/002/00)()(dttxt

48、 dtxTT2/002/00)()(0ttdttxdttxTT2/02/000)()(dttxdttxTT2/002/00)()(Signals and Systems機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Fourier級數(shù)中只含級數(shù)中只含常數(shù)項、余弦項。常數(shù)項、余弦項。02kDtdtktxTBTk02/00cos)(420kkkBcc0,kkkkBcA1.偶對稱：)()(txtx1000)sincos(2)(kkktkDtkBctx)(tx02T00T 1tdtktxTBTTk02/2/0cos)(2200tdtktxTDTTk02/2/0sin)(2200dttxTcTT2/2/0000)(1Signals and Systems機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.奇對稱：00c02kBtdtktxTDTk02/00s