理論力學第十章

1、第十章第十章 動能定理動能定理制作與設(shè)計制作與設(shè)計 山東大學山東大學 工程力學系工程力學系第二篇第二篇 動動 力力 學學Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics第十章第十章 動能定理動能定理10.1 質(zhì)點和質(zhì)點系的動能質(zhì)點和質(zhì)點系的動能10.2 力的功力的功10.3 動能定理動能定理10.4 功率功率功率方程功率方程機械效率機械效率10.5 勢能場勢能場勢能勢能機械能守恒定律機械能守恒定律10.6 普遍定理的綜合應用舉例普遍定理的綜合應用舉例目目 錄錄 Theoretical Mechanics第十章第十

2、章 動能定理動能定理 10.1 質(zhì)點和質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點和質(zhì)點系的動能定理Theoretical Mechanics10.1 質(zhì)點和質(zhì)點系的動能質(zhì)點和質(zhì)點系的動能 質(zhì)系內(nèi)所有質(zhì)點在某瞬時動能質(zhì)系內(nèi)所有質(zhì)點在某瞬時動能的算術(shù)和為該瞬時質(zhì)系的動能的算術(shù)和為該瞬時質(zhì)系的動能 221mvT動能是描述質(zhì)系運動強度的一個物理量221iivm任一質(zhì)點在某瞬時的動能為質(zhì)點的動能質(zhì)點的動能Theoretical Mechanics質(zhì)點系的動能質(zhì)點系的動能2121iinivmT質(zhì)點系的動能為組成質(zhì)點系的各質(zhì)點動能的算術(shù)和 10.1 質(zhì)點和質(zhì)點系的動能質(zhì)點和質(zhì)點系的動能 當剛體平動時，剛體上各點速度相同，于是平動

3、剛體的動能為222111222CTmvvmMvTheoretical Mechanics定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能 于是繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能為于是繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能為22222212121iiiiiirmrmvmT 剛體繞定軸 z 轉(zhuǎn)動的角速度為，任一點mi的速度為 iirv 212zTJ10.1 質(zhì)點和質(zhì)點系的動能質(zhì)點和質(zhì)點系的動能Theoretical Mechanics平面運動剛體的動能平面運動剛體的動能 剛體作平面運動時，可視為繞通過速度瞬心并與運動平面垂直的軸的轉(zhuǎn)動平面運動剛體的動能等于隨質(zhì)心平動的動能與繞通平面運動剛體的動能等于隨質(zhì)心平動的動能與繞通過質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的動

4、能之和。過質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的動能之和。212CTJ2222221111()2222CCCTJJMdJMd221122CCTMvJ2CCJJMd10.1 質(zhì)點和質(zhì)點系的動能質(zhì)點和質(zhì)點系的動能 Theoretical Mechanics 10.2 力的功力的功第十章第十章 動能定理動能定理Theoretical Mechanics第第10章章 動能定理動能定理10.2 力的功力的功10.2.1 功的一般表達式功的一般表達式 10.2.2 幾種常見力的功幾種常見力的功 10.2.3 質(zhì)點系內(nèi)力的功質(zhì)點系內(nèi)力的功 10.2.4 約束力的功約束力的功 Theoretical Mechanics力的元功:在

5、一無限小位移中力所做的功。在一無限小位移中力所做的功?；?qū)懗芍苯亲鴺诵问皆谝话闱闆r下，上式右邊不表示某個坐標函數(shù)的全微分，所以元功用符號W而不用dW 。 rF dW sFtWddvF sFWdcoszFyFxFWzyxddd10.2 力的功力的功10.2.1 功的一般表達式功的一般表達式Theoretical Mechanics力在有限路程上的功為力在此路程上元功的定積分力在有限路程上的功為力在此路程上元功的定積分,即即2112dMMWFr1212dddM MWX xY yZ z功的量綱為 22TLMLFW10.2 力的功力的功10.2.1 功的一般表達式功的一般表達式Theoretical

6、Mechanics常力的功常力的功 cosdcos0FsWsFWs當 時功為正；當 時，功為負；當 時S不作功。由此可知，功為代數(shù)量。 22210.2.2 幾種常見力的功幾種常見力的功10.2 力的功力的功Theoretical Mechanics重力的功重力的功)(d211221zzmgzmgWzz 重力的功僅與質(zhì)點運動重力的功僅與質(zhì)點運動開始和終了位置的高度差開始和終了位置的高度差有關(guān)，而與運動軌跡無關(guān)有關(guān)，而與運動軌跡無關(guān)10.2.2 幾種常見力的功幾種常見力的功10.2 力的功力的功Theoretical Mechanics彈性力的功彈性力的功彈性力可表示為彈性力可表示為00()k r

7、l Fr21211200d() dMMMMWk rlFrrr202201012)()(21d)(21lrlrkrlrkWrr2011ddd()dd22rrrrrrrrrr r10.2.2 幾種常見力的功幾種常見力的功10.2 力的功力的功Theoretical Mechanics彈性力的功彈性力的功202201012)()(21d)(21lrlrkrlrkWrr 彈性力在有限路程上的功只決定于彈簧在起始彈性力在有限路程上的功只決定于彈簧在起始及終了位置的變形量，而與質(zhì)點的運動路徑無關(guān)。及終了位置的變形量，而與質(zhì)點的運動路徑無關(guān)。10.2.2 幾種常見力的功幾種常見力的功10.2 力的功力的功T

8、heoretical Mechanics滑動摩擦力的功滑動摩擦力的功 物體沿粗糙軌道滑動時，動滑動摩擦力 ，其方向總與滑動方向相反，所以，功恒為負值 NFFf221112NddMMMMWF sf Fs 10.2.2 幾種常見力的功幾種常見力的功10.2 力的功力的功Theoretical Mechanics 當物體純滾動時，圓輪與地面之間沒有相對滑動，其滑動摩擦力屬于靜滑動摩擦力。輪與地面的接觸點C是圓輪在此瞬時的速度瞬心vC=0，得 0ddtWCCvFrF圓輪沿固定軌道滾動而無滑動時，滑動摩擦力不作功。 10.2.2 幾種常見力的功幾種常見力的功10.2 力的功力的功Theoretical

9、Mechanics定軸轉(zhuǎn)動剛體上作用力的功定軸轉(zhuǎn)動剛體上作用力的功作用于定軸轉(zhuǎn)動剛體上的力的元功為作用于定軸轉(zhuǎn)動剛體上的力的元功為dddWFsF RFrzzMFMRF)(dzWM10.2.2 幾種常見力的功幾種常見力的功10.2 力的功力的功Theoretical Mechanics10.2.3 質(zhì)點系內(nèi)力的功質(zhì)點系內(nèi)力的功當質(zhì)系內(nèi)質(zhì)點間的距離變化時，內(nèi)力的元功之和不為零當質(zhì)系內(nèi)質(zhì)點間的距離變化時，內(nèi)力的元功之和不為零。因此剛體內(nèi)力的功之和恒等于零因此剛體內(nèi)力的功之和恒等于零。)(dddddBAABAAABBAAWrrFrFrFrFrF如圖所示，兩質(zhì)點間有相互作用的內(nèi)力BAFF ABABABA

10、B ，rrrrdAWAB F)(dABFWA10.2 力的功力的功Theoretical Mechanics光滑鉸鏈或軸承約束光滑鉸鏈或軸承約束由于約束力的方向恒與位移的方向垂直，所以約束力的功為零。由于約束力的方向恒與位移的方向垂直，所以約束力的功為零。 常見的理想約束有：常見的理想約束有：光滑固定面和輥軸約束光滑固定面和輥軸約束其約束力垂直于作用點的位移，約束力不做功。其約束力垂直于作用點的位移，約束力不做功。理想約束：理想約束：約束力的元功的和等于零的約束。約束力的元功的和等于零的約束。10.2 力的功力的功10.2.4 約束力的功約束力的功Theoretical Mechanics 剛

11、性連接的約束剛性連接的約束 這種約束和剛體的內(nèi)力一樣，其元功之和恒等于零。聯(lián)結(jié)兩個剛體的鉸聯(lián)結(jié)兩個剛體的鉸: :兩個剛體相互間的約束力，大小相等、方向相反，即，兩力在點的微小位移上的元功之和等于零。 柔性而不可伸長的繩索柔性而不可伸長的繩索 繩索兩端的約束力,大小相等，即，由于繩索不可伸長，所以兩點的微小位移和在繩索中心線上的投影必相等，因此不可伸長的繩索的約束力元功之和等于零。具有理想約束的質(zhì)點系具有理想約束的質(zhì)點系，有WN = 0 10.2 力的功力的功10.2.4 約束力的功約束力的功 Theoretical Mechanics 10.3 動能定理動能定理第十章第十章 動能定理動能定理T

12、heoretical Mechanics10.3 動能定理動能定理牛頓第二定律牛頓第二定律 即作用于質(zhì)點上力的元功等于質(zhì)點動能的微分。即作用于質(zhì)點上力的元功等于質(zhì)點動能的微分。質(zhì)點動能定理質(zhì)點動能定理的微分形式的微分形式Fa mFtvmdd由于 ，將上式右端乘以ds，左端乘以vdt后，得 tvsdd sFvmvddWmv21d2質(zhì)點的動能定理質(zhì)點的動能定理Theoretical Mechanics21d12MMrFW作用于質(zhì)點上的力作用于質(zhì)點上的力在有限路程上的功在有限路程上的功 質(zhì)點動能定理的積分形式，即作用于質(zhì)點上的質(zhì)點動能定理的積分形式，即作用于質(zhì)點上的力在有限路程上的功等于質(zhì)點動能的改

13、變量力在有限路程上的功等于質(zhì)點動能的改變量。221121d2vMvMmvWWmv21d2積分積分10.3 動能定理動能定理質(zhì)點的動能定理質(zhì)點的動能定理Theoretical Mechanicsn個方程相加，得2121ddiinivmT 質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，其中某一質(zhì)量為質(zhì)量為mi質(zhì)點受主動力和約束力作用。根據(jù)質(zhì)點動能定理的微分形式有根據(jù)質(zhì)點動能定理的微分形式有21d1, 2,2iiimvWin2111d2nniiiiimvW1dniiTW10.3 動能定理動能定理質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點系的動能定理Theoretical Mechanics 質(zhì)系動能定理的微分形式質(zhì)系動能定理的微分形式：在質(zhì)系無

14、限小的位移在質(zhì)系無限小的位移中，質(zhì)系動能的微分等于作用于質(zhì)系全部力所做的中，質(zhì)系動能的微分等于作用于質(zhì)系全部力所做的元功之和元功之和 質(zhì)系動能定理的積分形式：質(zhì)系在任意有限路質(zhì)系動能定理的積分形式：質(zhì)系在任意有限路程的運動中，起點和終點動能的改變量，等于作用程的運動中，起點和終點動能的改變量，等于作用于質(zhì)系的全部力在這段路程中所做功的和于質(zhì)系的全部力在這段路程中所做功的和iWTT12FWTd10.3 動能定理動能定理質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點系的動能定理Theoretical Mechanics例 圖示系統(tǒng)中，滾子A 、滑輪B 均質(zhì)，重量和半徑均為Q 及r，滾子沿傾角為 的斜面向下滾動而不滑動，借跨

15、過滑輪B的不可伸長的繩索提升重P的物體，同時帶動滑輪B繞O軸轉(zhuǎn)動，求滾子質(zhì)心C的加速度aC 。 解法一 求加速度宜用動能定理的微分形式 dFTW 系統(tǒng)在任意位置的動能222211112222CCAOBpQPTvJJvggA輪純滾動，D為A輪瞬心，所以 rvCA例例 題題10.3 動能定理動能定理Theoretical Mechanics由 ，得 2211,22CBPCCOvQQvvJrJrrgg222CvgQPTCCvvgQPTd2d主動力Q、P的元功 sPQWFd)sin(因純滾動，滑動摩擦力F不作功 代入式 ，兩邊再除以dt，且知 ，得 CvtsddFWTdCCCvPQtvvgQP)sin

16、(dd2gQPPQtvaCC2sindd例例 題題10.3 動能定理動能定理Theoretical Mechanics解法二 此題亦可用動能定理的積分形式，求出任意瞬時的速度表達式，再對時間求一階導數(shù)，得到加速度。 系統(tǒng)的初始動能為T0任意位置的動能 222211112222CCAOBpQPTvJJvgg設(shè)圓輪質(zhì)心C走過距離s，動能定理的積分形式sPQTvgQPC)sin(2202例例 題題10.3 動能定理動能定理Theoretical Mechanics設(shè)圓輪質(zhì)心C走過距離s，動能定理的積分形式sPQTvgQPC)sin(2202vC和s均為變量，將上式兩邊對時間求一階導數(shù)，得 tsPQt

17、vgQPvCCdd)sin(0dd222gQPPQaC2sin例例 題題10.3 動能定理動能定理Theoretical Mechanics例 橢圓規(guī)位于水平面內(nèi)，由曲柄帶動規(guī)尺AB運動，如圖所示。曲柄和AB都是均質(zhì)桿，重量分別為P和2P，且OCACBCl，滑塊A和B重量均為Q。常力偶M作用在曲柄上，設(shè)0時系統(tǒng)靜止，求曲柄角速度和角加速度 (以轉(zhuǎn)角 表示)。 Isin2cos2lvlvBAAvBv解：由幾何條件，OCBC， ，因此OC = AB = ，系統(tǒng)由靜止開始運動，當轉(zhuǎn)過角時，系統(tǒng)的動能222211112222ABOQQTvvJJgg瞬心為，有運動關(guān)系為 例例 題題10.3 動能定理動能

18、定理Theoretical MechanicsIAvBvglPQlgPlgPlgQlgQT2)34()2(231213121)sin2(21)cos2(2122222222系統(tǒng)中力做的功為 MW 由動能定理的積分形式 WTT12120 TTT，2)34(2lPQgM例例 題題10.3 動能定理動能定理Theoretical MechanicsIAvBvd)34(d2glPQT由動能定理的微分形式，得 例例 題題dMW tWtTddd2(43 )/QP lgM2(43 )MgQP l10.3 動能定理動能定理Theoretical Mechanics 例 圖示系統(tǒng)中，物塊A重P，均質(zhì)圓輪B重Q，

19、半徑為R，可沿水平面純滾動，彈簧剛度系數(shù)為k，初位置y=0時，彈簧為原長，系統(tǒng)由靜止開始運動，定滑輪D 的質(zhì)量不計，繩不可伸長。試建立物塊 A 的運動微分方程，并求其運動規(guī)律。 解：為建立物塊 A 的運動微分方程，宜對整個系統(tǒng)應用動能定理。以 A 的位移為變量，當A從初始位置下降任意距離y時，它的速度為vA，系統(tǒng)動能 222111222ABBBPQTvvJgg由運動關(guān)系RvvvABAB2,21212BQJRg例例 題題10.3 動能定理動能定理Theoretical Mechanics21638AvgQPT系統(tǒng)的初動能 00T2202ykPyWF初始位置時，彈簧為原長 ，當A下降y時，彈簧伸長

20、 ，功為 002y22801638ykPyvgQPA由動能定理的積分形式 WTT12對時間求一階導數(shù)，其中 ，得 tyvAdd例例 題題10.3 動能定理動能定理Theoretical Mechanics對時間求一階導數(shù)，其中 ，得 tyvAdd04382dd22kPyQPkgty物塊A的運動微分方程 用微分形式的動能定理求解2d2dyykyPWFyykPWFd4代入式 ，得 FWTd例例 題題10.3 動能定理動能定理Theoretical MechanicsyykPvgQPAd41638d2此式兩邊被dt除，令 Cyy104382dd1212kPCyQPkgty令 ，得到以y1為變量的標準

21、形式的微分方程 kPC40382dd1212yQPkgty例例 題題10.3 動能定理動能定理Theoretical Mechanics設(shè)其解為)sin(01tAy物塊A的運動規(guī)律為)sin(0tACy)cos(dd00tAty初始條件：t = 0時， 代入得 0, 0ddyty物塊A的運動規(guī)律為kPtQPkgkPy42382sin4物塊A作簡諧振動kPA4,2QPkg3820例例 題題10.3 動能定理動能定理Theoretical Mechanics 1 1具有理想約束的一個自由度系統(tǒng)，應用動能定具有理想約束的一個自由度系統(tǒng)，應用動能定理可直接建立系統(tǒng)的速度量與位移量之間的關(guān)系；理可直接建

22、立系統(tǒng)的速度量與位移量之間的關(guān)系；進一步對時間求導數(shù)，可求出系統(tǒng)的加速度量。所進一步對時間求導數(shù)，可求出系統(tǒng)的加速度量。所以，在這種情形下應用動能定理求解已知力求運動以，在這種情形下應用動能定理求解已知力求運動的問題是很方便的。的問題是很方便的。 2 2應用動能定理解題的步驟：應用動能定理解題的步驟：（1 1）明確分析對象，一般以整個系統(tǒng)為研究對象。）明確分析對象，一般以整個系統(tǒng)為研究對象。（2 2）分析系統(tǒng)的受力，區(qū)分主動力與約束力，在理）分析系統(tǒng)的受力，區(qū)分主動力與約束力，在理想約束的情況下約束力不做功。想約束的情況下約束力不做功。小小 結(jié)結(jié)10.3 動能定理動能定理Theoretical

23、 Mechanics 3.3.分析系統(tǒng)的運動，計算系統(tǒng)在任意位置的動能分析系統(tǒng)的運動，計算系統(tǒng)在任意位置的動能或在起始和終了位置的動能?；蛟谄鹗己徒K了位置的動能。 4.4.應用動能定理建立系統(tǒng)動力學方程，而后求解。應用動能定理建立系統(tǒng)動力學方程，而后求解。 5.5.對問題的進一步分析與討論。對問題的進一步分析與討論。動能定理最適用于動力學的第二類基本問題：動能定理最適用于動力學的第二類基本問題：已已知主動力求運動知主動力求運動，即求速度、加速度或建立運動，即求速度、加速度或建立運動微分方程。微分方程。 小小 結(jié)結(jié)10.3 動能定理動能定理 Theoretical Mechanics第十章第十章

24、 動能定理動能定理 10.4 功率功率 功率方程功率方程 機械效率機械效率Theoretical Mechanics10.4 功率功率 功率方程功率方程 機械效率機械效率10.4.1 功率功率 力在單位時間內(nèi)所做的功，稱為功率。它是用來衡量機器性能的一項重要指標，P表示功率vFttWPvFrFddd力偶或轉(zhuǎn)矩M的功率 MnMtMP30dd功率的量綱為132 TLFTLFTMN功率的單位是焦耳/秒，稱為瓦特（W）。1 W=1 J/s=1 Nm/s。 Theoretical Mechanics10.4 功率功率 功率方程功率方程 機械效率機械效率10.4.2 功率方程功率方程由動能定理 無用有用W

25、WWTd等號兩邊除以dt，即 無用有用NNNtTdd表明機器的輸入、消耗的功率與動能變化率的關(guān)系。 功率方程 Theoretical Mechanics 10.5 勢力場勢力場 勢能勢能 機械能守恒定律機械能守恒定律第十章第十章 動能定理動能定理Theoretical Mechanics10.5 勢力場勢力場 勢能勢能 機械能守恒定律機械能守恒定律10.5.1 勢力場勢力場 10.5.2 勢能勢能 10.5.3 機械能守恒定律機械能守恒定律 10.5.4 有勢力與勢能的關(guān)系有勢力與勢能的關(guān)系 Theoretical Mechanics10.5.1 勢力場勢力場 如質(zhì)點在某空間內(nèi)任一位置都受有一

26、個大小和方向完全由所在位置確定的力作用，具有這種特性的空間就稱為力場，例如地球表面的空間為重力場。如質(zhì)點在某一力場內(nèi)運動時，力場力對于如質(zhì)點在某一力場內(nèi)運動時，力場力對于質(zhì)點所做的功僅與質(zhì)點起點與終點位置有關(guān)，而質(zhì)點所做的功僅與質(zhì)點起點與終點位置有關(guān)，而與質(zhì)點運動的路徑無關(guān)，則這種力場稱為與質(zhì)點運動的路徑無關(guān)，則這種力場稱為勢力場勢力場或保守力場或保守力場。質(zhì)點在勢力場內(nèi)所受的力稱為勢力質(zhì)點在勢力場內(nèi)所受的力稱為勢力或保守力或保守力。如重力、彈性力及萬有引力都是勢力。10.5 勢力場勢力場 勢能勢能 機械能守恒定律機械能守恒定律Theoretical Mechanics10.5.2 勢能勢能

27、zFVP勢勢能：在勢力場中，質(zhì)點由某一位置M運動到選定的參考點M0的過程中，有勢力所做的功。以V表示，即00ddddxMMMMzyzFyFxFVrF重力場中的勢能重力場中的勢能ozzzzFzFV)(d0PP零位置選在z0=0處O10.5 勢力場勢力場 勢能勢能 機械能守恒定律機械能守恒定律Theoretical Mechanics對于質(zhì)點系或剛體對于質(zhì)點系或剛體彈性力場中的勢能彈性力場中的勢能)(21202kV221kV CzFVP 0是勢能零點時彈簧的變形量，若選擇彈簧自然長度為勢能零位置，即0=0，于是彈性力勢能 10.5.2 勢能勢能 O10.5 勢力場勢力場 勢能勢能 機械能守恒定律機

28、械能守恒定律Theoretical Mechanics10.5.3 機械能守恒定律機械能守恒定律 保守系統(tǒng)：具有理想約束，且所受的主動力皆為勢力的質(zhì)系稱為保守系統(tǒng)。對于保守系統(tǒng)，動能定理1212WTT 勢力的功與路徑無關(guān)，可通過勢能計算 。如以0點為零勢點，則202101,WVWV10.5 勢力場勢力場 勢能勢能 機械能守恒定律機械能守恒定律Theoretical Mechanics 機械能守恒定律機械能守恒定律，即保守系統(tǒng)在運動過程中，其機械能即保守系統(tǒng)在運動過程中，其機械能保持不變?；蛸|(zhì)系的動能和勢能可以互相轉(zhuǎn)化，但總的機械保持不變?；蛸|(zhì)系的動能和勢能可以互相轉(zhuǎn)化，但總的機械能保持不變能保

29、持不變。2211VTVT 因為勢力場具有機械能守恒的特性，因此勢力場又稱為保守力場，而勢力又稱為保守力。質(zhì)系在非保守力作用下運動時，則機械能不守恒。例如摩擦力做功時總是使機械能減少，但是減少的能量并未消失，而是轉(zhuǎn)化為另一形式的能量。10.5.3 機械能守恒定律機械能守恒定律 機械能：質(zhì)系在某瞬時的動能與勢能的代數(shù)和機械能：質(zhì)系在某瞬時的動能與勢能的代數(shù)和10.5 勢力場勢力場 勢能勢能 機械能守恒定律機械能守恒定律Theoretical Mechanics10.5.4 有勢力與勢能的關(guān)系有勢力與勢能的關(guān)系 勢能的大小因其在勢力場中的位置不同而異，可寫作坐標的單值連續(xù)函數(shù)V(x、y、z)，稱為勢

30、能函數(shù)，即 MMzyxOzFyFxFV)ddd(勢力的功與路徑無關(guān)，其元功必是函數(shù)V的全微分，即 )ddd(dzFyFxFVzyx 作用在質(zhì)點系上有勢力在坐標軸上的投影，等于勢能函數(shù)對相應坐標的偏導數(shù)冠以負號。 由高等數(shù)學知，V的全微分 zzVyyVxxVVddddzVFyVFxVFzyx10.5 勢力場勢力場 勢能勢能 機械能守恒定律機械能守恒定律 Theoretical Mechanics 10.6 普通定理的綜合應用舉例普通定理的綜合應用舉例第十章第十章 動能定理動能定理Theoretical Mechanics10.6 普通定理的綜合應用舉例普通定理的綜合應用舉例 質(zhì)系動力學普遍定理包

31、括質(zhì)系動力學普遍定理包括動量定理動量定理、動量矩定理動量矩定理、動能動能定理定理。它們以不同的形式建立了質(zhì)系的運動與受力之間的。它們以不同的形式建立了質(zhì)系的運動與受力之間的關(guān)系。關(guān)系。 動量定理和動量矩定理動量定理和動量矩定理分別建立了質(zhì)系動量和動量矩與分別建立了質(zhì)系動量和動量矩與質(zhì)系所受外力系的主矢量和外力系的主矩之間的關(guān)系，它質(zhì)系所受外力系的主矢量和外力系的主矩之間的關(guān)系，它們是矢量形式的。們是矢量形式的。 動能定理動能定理建立了質(zhì)系的動能與作用于質(zhì)系上的力的功之建立了質(zhì)系的動能與作用于質(zhì)系上的力的功之間的關(guān)系，是標量形式的。間的關(guān)系，是標量形式的。Theoretical Mechanic

32、s例例 題題例 均質(zhì)圓盤可繞O軸在鉛垂面內(nèi)轉(zhuǎn)動，它的質(zhì)量為m，半徑為R。在圓盤的質(zhì)心C點上連接一彈簧剛度系數(shù)為k的水平彈簧，彈簧的另一端固定在A點，CA =2R為彈簧的原長，圓盤在常力偶矩M作用下，由最低位置無初速度地繞O軸向上轉(zhuǎn)動，試求圓盤到達最高位置時，軸承O的約束力。解：用動能定理求圓盤由最低位置轉(zhuǎn)到最高位置時的角速度，用動量矩定理求最高位置時圓盤的角加速度，求出質(zhì)心的加速度，再應用質(zhì)心運動定理求約束力FOx、FOy 。10.6 普通定理的綜合應用舉例普通定理的綜合應用舉例Theoretical Mechanics例例 題題WTT02222321mRmRmRIORmgW21)223(2)

33、(21222213kRkW2MMW222)223(2234mRkRmgRM （1）以圓盤為研究對象，求圓盤轉(zhuǎn)到最高位置時的角速度，由動能定理轉(zhuǎn)動慣量重力的功彈性力的功力偶的功221OIT 00T)223(2202122kRmgRMIO10.6 普通定理的綜合應用舉例普通定理的綜合應用舉例Theoretical Mechanics例例 題題)(eOMIRFMIO045cos22)22(32mRkRM（2）求轉(zhuǎn)至最高位置時圓盤的角加速度根據(jù)動量矩定理) 12(22kRkF)22(22) 12(223222kRMkRMmR10.6 普通定理的綜合應用舉例普通定理的綜合應用舉例RkRgRMkRmgma

34、FmgFRkRMkRFmaFnCOyCOx)223(2234)22(45cos)22(32)22(45cos202Theoretical Mechanics例例 題題mRkRmgRMRamRkRMRanCC)223(2234)22(32222xCxFMa（3）用質(zhì)心運動定理求約束力RkRMkRFOx)22(32)22(2yCyFMa45cosFFmaOxC45cosFmgFmaOynC10.6 普通定理的綜合應用舉例普通定理的綜合應用舉例Theoretical Mechanics例 勻質(zhì)桿AB，質(zhì)量為 m，長度為l，偏置在粗糙平臺上。由于自重，直桿自水平位置，即 = 0開始，無初速地繞臺角E轉(zhuǎn)

35、動，當轉(zhuǎn)至1位置時，開始滑動。若已知質(zhì)心偏置因數(shù)K和靜滑動摩擦因數(shù)f，求將要滑動時的角度1。 例例 題題10.6 普通定理的綜合應用舉例普通定理的綜合應用舉例Theoretical Mechanics解：以AB桿為研究對象，假設(shè)物體繞E點轉(zhuǎn)至角度1時，摩擦力達到最大值Fmax，設(shè)此時它的角速度為。12sin021mgKlIE解得lKgKlKgK21212121sin24121sin2例例 題題依據(jù)動能定理222121lmKmlIE10.6 普通定理的綜合應用舉例普通定理的綜合應用舉例Theoretical Mechanics由AB桿對E點的定軸轉(zhuǎn)動微分方程1cosmgKlIElKKglKKg2

36、121121cos12121cos質(zhì)心C的加速度為gKKKlanC2122121sin24例例 題題gKKKlaC212121cos1210.6 普通定理的綜合應用舉例普通定理的綜合應用舉例Theoretical Mechanics應用質(zhì)心運動定理 1maxsinmgFmanC例例 題題N1cosFmgmaC1212maxsin121sin24mgKKmgF2121N121cos12cosKKmgmgFgKKanC212121sin24gKKaC212121cos12代入 ，得NmaxfFF21211212121cos12cossin121sin24KKmgmgfmgKKmg21361tgar

37、cKf10.6 普通定理的綜合應用舉例普通定理的綜合應用舉例Theoretical Mechanics例 圖中 AD 為一軟繩。ACB為一均質(zhì)細桿，長為2l，質(zhì)量為m，質(zhì)心在C點，且ACCBl?；瑝KA、 C 的質(zhì)量略去不計，各接觸面均光滑。在A點作用鉛垂向下的力F，且 F mg。圖示位置桿處于靜止狀態(tài)?，F(xiàn)將AD繩剪斷，當桿運動到水平位置時，求桿的角速度、角加速度及A、C處的約束力。例例 題題10.6 普通定理的綜合應用舉例普通定理的綜合應用舉例Theoretical Mechanics解：由動能定理WTT02202121, 0ABCCABIvmTTvC0，即C為AB桿的速度瞬心。 lmgCm221242122例例 題題lgg23210.6 普通定理的綜合應用舉例普通定理的綜合應用舉例Theoretical Mechanics 系統(tǒng)在所求位置的受力圖如圖所示。由相對于質(zhì)心的動量矩定理 )()(eiCABCmIFFllmAB23lgAB3由質(zhì)心運動定理mgFFmaFm