[數(shù)學(xué)]材料力學(xué)能量法新ppt課件

1、131 概 述一一. .能量法：能量法： 利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可變形固體的位利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可變形固體的位移、變形和內(nèi)力等的方法。移、變形和內(nèi)力等的方法。二二. .能量法的運用范圍：能量法的運用范圍：1 1線彈性體；非線性彈性體線彈性體；非線性彈性體2 2靜定問題；超靜定問題靜定問題；超靜定問題3 3是有限單元法的重要根底是有限單元法的重要根底三.功能原理在彈性變形中的運用 在緩慢加載(靜載)的條件下，外力所做的功W全部轉(zhuǎn)化為彈性體的變形能U，即：W = U； 在彈性范圍內(nèi)，外力逐漸解除時，變形能又全部轉(zhuǎn)變?yōu)楣?。?作用在彈性體上的功的計算 (在線彈性范圍內(nèi)

2、)1.一個力 P 在其產(chǎn)生的位移 d 上做的功：PW21 這里 P是廣義力， d 是對應(yīng)的廣義位移(1) P 是一個力， d 是力的作用點的P方向的線位移；(2) P 是一個力偶， d 是在力偶作用面內(nèi)的轉(zhuǎn)角；(3) P 是一對力， d 是一對力的作用點的相對線位移；(4) P 是一對力偶， d 是力偶作用面內(nèi)的相對轉(zhuǎn)角。13-2 桿件應(yīng)變能計算桿件應(yīng)變能計算一、軸向拉伸和緊縮一、軸向拉伸和緊縮UWNoImagePPll12Pl12PPlEAP lEAN lEA2222UNxEA xxl22( )( )d二、改動二、改動UWNoImagemm12m 122222mmlG Im lG IT lG

3、 IpppUTxG Ixxpl22( )( )d當(dāng)T=T(x)或截面變化A=A(x)時，可取微段：三、彎曲三、彎曲UWNoImage純彎曲：純彎曲：橫力彎曲：橫力彎曲：UMxEI xxl22( )( )d12m12mmlEIm lEIM lEI2222四: 作用在彈性體上力的功的計算 (在線彈性范圍內(nèi)) 一個力 P 在其產(chǎn)生的位移 d 上做的功：PW21 這里 P是廣義力， d 是對應(yīng)的廣義位移(1) P 是一個力， d 是力的作用點的P方向的線位移；(2) P 是一個力偶， d 是在力偶作用面內(nèi)的轉(zhuǎn)角；(3) P 是一對力， d 是一對力的作用點的相對線位移；(4) P 是一對力偶， d 是

4、力偶作用面內(nèi)的相對轉(zhuǎn)角。 例：試求圖示懸臂梁的變形能，并利用功例：試求圖示懸臂梁的變形能，并利用功能原理求自在端能原理求自在端B的撓度。的撓度。NoImageNoImage解：解：M xP x( ) UMxEIxl22( )d ()PxEIxl202d P lEI2 36WP vB12由，得UWvPlEIB33 例：試求圖示梁的變形能，并利用功能原例：試求圖示梁的變形能，并利用功能原理求理求C截面的撓度。截面的撓度。NoImage解：解：UMxEIxl22( )dNoImageP bEI laP aEI lb222322232323WP vC12PblxEIxPalxEIxab12102220

5、22ddP a bEI l2226由，得：UWvPa bEI lC223 例：試求圖示四分之一圓曲桿的變形能，例：試求圖示四分之一圓曲桿的變形能，并利用功能原理求并利用功能原理求B截面的垂直位移。知截面的垂直位移。知EI 為為常量。常量。NoImage解：解：MPR( )sinWPBV12由，得：UWBVPREI34NoImageNoImageNoImageNoImageRUMEIRl22( )d(sin )PREIR2022dP REI238 例：軸線為半圓形的平面曲桿，作用于例：軸線為半圓形的平面曲桿，作用于A端端的集中力的集中力P垂直于軸線所在的平面。試求垂直于軸線所在的平面。試求A點的

6、點的垂直位移。知垂直位移。知GIp、EI為常量。為常量。NoImage解：解：,( )sinMPRWPAV12由，得：UWAVpPRGIPREI32233RUTGIRMEIRpll2222( )( )ddNoImageNoImageNoImageTPR( )(cos )13442323P RGIP REIp一.普通情況下變形能不符合疊加原理 變形能是廣義力(或廣義位移)的二次函數(shù)，所以不能 隨意疊加。二.克拉貝依隆原理 假設(shè)彈性體上作用著n 個廣義力Pi，那么Pi對應(yīng)的廣義位移di不僅與Pi有關(guān)，與n個力能夠都有關(guān)系，因此算功困難。 而由力的獨立作用原理，多個外力的總功與加載次序無關(guān)，所以可以

7、想象一個便于計算變形能的加載次序“比例加載，即：各力從零開場同時按比例添加，最后同時到達(dá)終值；在線性構(gòu)造的條件下，此時各力的作用點的相應(yīng)位移與各力堅持線性關(guān)系。一.功的互等定理1.力 Pi 在力 Pj 的作用點引起的位移是 dji 。2.功的互等定理： Pidij = Pjdji 推行：第一組力在第二組力引起的位移上所做的功等于第二組力在第一組力引起的位移上所做的功。二.位移互等定理 假設(shè) Pi = Pj (僅指數(shù)值相等) ，那么由功的互等定理可得： dij = dji (僅數(shù)值相等)位移互等定理位移互等定理例例 裝有尾部頂針的車削工件可裝有尾部頂針的車削工件可簡化為靜不定梁。利用互等簡化為靜

8、不定梁。利用互等定理求解定理求解解解 第一組力P、RB 第二組力X=1135 卡氏定理1.1.卡氏第一定理卡氏第一定理設(shè)圖中資料為非線性彈性體，設(shè)圖中資料為非線性彈性體，由于應(yīng)變能只與由于應(yīng)變能只與最后荷載有關(guān)，最后荷載有關(guān)，而與加載順序無而與加載順序無關(guān)。無妨按比例關(guān)。無妨按比例方式加載，從而方式加載，從而有有iniiFWVd101 假設(shè)與第假設(shè)與第i個荷載相應(yīng)的位移有一微小增量個荷載相應(yīng)的位移有一微小增量d i ,那么應(yīng)變能的變化為：那么應(yīng)變能的變化為：iiVVdd123n123nBiiVF 因僅與第因僅與第i個荷載相應(yīng)的位移有一微小增量個荷載相應(yīng)的位移有一微小增量,而與其而與其他各荷載相

9、應(yīng)的位移堅持不變，因此，對于位移的微他各荷載相應(yīng)的位移堅持不變，因此，對于位移的微小增量小增量d i ，僅，僅Fi作了外力功，外力功的變化為：作了外力功，外力功的變化為：iiFWdd留意到上式與下式在數(shù)值上相等留意到上式與下式在數(shù)值上相等iiVVdd從而有：從而有：iiVF卡氏第一定理卡氏第一定理 留意：留意：卡氏第一定理既適宜于線彈性體，也適宜于非線卡氏第一定理既適宜于線彈性體，也適宜于非線性彈性體。性彈性體。式中式中Fi及及i分別為廣義力、廣義位移。分別為廣義力、廣義位移。必需將必需將V 寫成給定位移的函數(shù)，才可求其變化寫成給定位移的函數(shù)，才可求其變化率。率?？ㄊ系诙ɡ砜ㄊ系诙ɡ?由于

10、通常不知道位移函數(shù)，因此卡氏第一定理不很有用常見情況的卡氏定理1.梁與剛架 (以彎曲為主)dxxMEIMliijnjjjjiPNEAlN12.桁架 (以拉壓為主)留意：留意：卡氏第一定理既適宜于線彈性體，也適宜于卡氏第一定理既適宜于線彈性體，也適宜于非線性彈性體，而卡氏第二定理非線性彈性體，而卡氏第二定理 僅適宜于線僅適宜于線彈性體。彈性體。lilipliNNlilpilNiixFMEIMxFTGITxFFEAFxEIMFxIGTFxEAFFdddd2d2d2222所導(dǎo)出的位移是加力點沿加力方向的位移。所導(dǎo)出的位移是加力點沿加力方向的位移。當(dāng)所求位移處無相應(yīng)廣義力時，可在該處當(dāng)所求位移處無相應(yīng)

11、廣義力時，可在該處“虛加上廣義力，將其看成知外力，反映在虛加上廣義力，將其看成知外力，反映在反力和內(nèi)力方程中，待求過偏導(dǎo)后，再令該反力和內(nèi)力方程中，待求過偏導(dǎo)后，再令該“虛加外力為虛加外力為0 0。實踐計算時，常采用以下更適用的方式：實踐計算時，常采用以下更適用的方式：卡氏定理的運用1.計算剛架上一點的位移。2.數(shù)值載荷的位移計算：先用載荷變量 Pi 計算變形能，求導(dǎo)后再代入詳細(xì)數(shù)值進(jìn)展計算。3.計算無載荷作用途的位移：先在需計算位移處加上一個虛設(shè)的相應(yīng)的載荷(廣義力)，計算變形能，求導(dǎo)后再令此虛設(shè)的載荷為零。4.在不同處有一樣載荷作用的情況：令需計算位移處的載荷為另一個變量名，計算變形能，求

12、導(dǎo)后再恢復(fù)原變量名。例例 求懸臂梁求懸臂梁B點的撓度。點的撓度。EI為常數(shù)。為常數(shù)。 xFxMqxFxxM)(,2)(2EIqlEIFldxFxMEIxMFVwlB83)()(43 q F A x B l 例例 圖示桁架構(gòu)造。知：圖示桁架構(gòu)造。知：F=35kN, d1=12mm, F=35kN, d1=12mm, d2=15mm, E=210Gpad2=15mm, E=210Gpa。求。求A A點垂直位移。點垂直位移。 C B 45o 30o 1m A 0.8m F 312,312312,3122121FFFFFFFFNNNNmmEAFlEAFlFFAElFFVniNjjjjNjy365. 1

13、3123122222111例例 彎曲剛度均為彎曲剛度均為 EI的靜定組合梁的靜定組合梁 ABC，在，在 AB段段上受均布荷載上受均布荷載q作用，如圖作用，如圖a 所示。梁資料為線彈性體，所示。梁資料為線彈性體，不計切應(yīng)變對梁變形的影響。試用卡氏第二定理求梁不計切應(yīng)變對梁變形的影響。試用卡氏第二定理求梁中間鉸中間鉸B兩側(cè)截面的相對轉(zhuǎn)角。兩側(cè)截面的相對轉(zhuǎn)角。 解：解：在中間鉸在中間鉸B兩側(cè)虛設(shè)一對外力偶兩側(cè)虛設(shè)一對外力偶MB圖圖b)各支反力如圖各支反力如圖b。 AB段彎矩方程：段彎矩方程：222)(22xqlqMxlMqlxMBBqACBllMBMB222qlMBlMqlBlMBACBqxx由卡氏

14、第二定理得：由卡氏第二定理得：EIlqxxxMEIxMBMBMlB247d)()(300 結(jié)果符號為正，闡明相對轉(zhuǎn)角結(jié)果符號為正，闡明相對轉(zhuǎn)角B的轉(zhuǎn)向與的轉(zhuǎn)向與圖圖b中虛加外力偶中虛加外力偶MB的轉(zhuǎn)向一致。的轉(zhuǎn)向一致。BC段彎矩方程段彎矩方程xlM)x(MB例例 求圖示剛架求圖示剛架B截面截面Bx, By。 F=qa Ff C B q a A a 解：解：1 1求求BxBx： 222222111)(,2)(:0)(,)(:xFxMxFqxFaxMACFxMFxxMBCfffafBxEIqadxxqxqaEIFV0422222285212 2求求By By ： aFxMqxFaxMACxFxMF

15、xxMBC)(,2)(:)(,)(:22221111EIqadxqxFadxxFxEIaaBy2321420022111例例 圖示彎曲剛度為圖示彎曲剛度為EI的等截面開口圓環(huán)受一對集的等截面開口圓環(huán)受一對集中力中力F作用。環(huán)的資料為線彈性的，不計圓環(huán)內(nèi)剪作用。環(huán)的資料為線彈性的，不計圓環(huán)內(nèi)剪力和軸力對位移的影響。試用卡氏第二定理求圓環(huán)力和軸力對位移的影響。試用卡氏第二定理求圓環(huán)的張開位移的張開位移和相對轉(zhuǎn)角。和相對轉(zhuǎn)角。 。 解：解：1、張開位移、張開位移)cos1 ()()cos1 ()(RFMFRMFRFR (1-cos )(3dcos12)d()()(1232030EIRFEIRFRFM

16、MEIFV所以所以FRFR (1-cos )2 2、相對轉(zhuǎn)角：、相對轉(zhuǎn)角： FRFR (1-cos )Mf Mf0222)cos1 (21)()cos1 ()(EIFRdEIFRMMMFRMff一：虛位移一：虛位移 滿足約束條件及延續(xù)條件的微小能夠位移滿足約束條件及延續(xù)條件的微小能夠位移二：外力的虛功二：外力的虛功 虛設(shè)外力在真實位移上所做的功虛設(shè)外力在真實位移上所做的功 ( (或真實外力或真實外力在虛位移上所做的功在虛位移上所做的功) )，記為：，記為： P P* *d d 或或 Pd Pd * * 。三.虛變形能 由虛設(shè)外力引起的虛內(nèi)力在桿件微段的真實變形上所做的功之和 或真實內(nèi)力在由虛位

17、移引起的虛變形上所做的功之和，記為：dTdQdMldN*)(*)(TdQdMdlNd或：四.虛功原理 外力虛功之和 = 虛變形能內(nèi)力的虛功內(nèi)力的虛功虛功原理虛功原理例例 求各桿內(nèi)力。三桿EA一樣且線彈性。解解一.單位載荷法 在需計算位移處加一個虛設(shè)的單位載荷 “1，那么由虛功原理此單位載荷的虛功( 1D )應(yīng)等于相應(yīng)的虛變形能，由此可以計算出所需的位移。 即：dTdQdMldN)(1 此即單位載荷法的根本方程；其中： ，是虛設(shè)的單位載荷引起的虛內(nèi)力； D 是所求的真實位移，D l、q、l、f 是真實的變形。 對于詳細(xì)構(gòu)造，往往只需計算右端的個別項!TQMN,二.莫爾定理1.對于線彈性桿件，有：

18、dxGITddxEANlddxEIMdp,)(, 其中，M、N、T 是真實載荷引起的真實內(nèi)力。所以，由單位載荷法有：(普通桿件中剪力影響可不計)dxGITTdxEANNdxEIMMp1 此即“莫爾定理，是單位載荷法在線彈性構(gòu)造中的詳細(xì)方式 ；其中的各個積分又叫做“莫爾積分。二.莫爾定理在不同變形桿件中的方式1.梁 (不計剪力對位移的影響)dxEIMM12.桁架niiiiEAlNN13.剛架 (不計剪力對 位移的影響)dxEANNdxEIMM14.彎扭組合變形的軸dxGITTdxEIMMp1三.用單位載荷法(莫爾定理)解題的本卷須知1.用虛功原理時有一實一虛兩套物理量，此處是：(1)虛設(shè)的載荷系

19、統(tǒng)：單位載荷虛反力虛內(nèi)力；(2)真實的位移與變形：真實位移與真實內(nèi)力產(chǎn)生的變形。2.在分別寫出真內(nèi)力與虛內(nèi)力表達(dá)式時，兩者所用的坐標(biāo)系要一樣，內(nèi)力正方向規(guī)定要一致。3.積分時要留意按內(nèi)力函數(shù)區(qū)間與截面剛度分段處置。4.最后根據(jù)計算結(jié)果(虛功)的正負(fù)號確定位移的方向(與虛設(shè)的單位載荷同向或反向)。例用莫爾定理例用莫爾定理計算圖計算圖(a)所示懸所示懸臂梁自在端臂梁自在端B的的撓度和轉(zhuǎn)角。撓度和轉(zhuǎn)角。NoImageNoImageNoImageNoImagePABABABlxxx11xxMPxxMbB)(,)()(,) 1 (所示如圖截面作用一單位力在解：NoImagelBxIExMxMvd)()(

20、PxEIxl20d PlEI331)(,)()(,)2(xMPxxMcB所示如圖截面作用一單位力偶在lBxIExMxMd)()(PxEIxld0PlEI22NoImageLAByxCq一、求C點撓度例在均布荷載作用下的簡支梁，例在均布荷載作用下的簡支梁，EI=常量。試用常量。試用莫爾定理計算梁中點莫爾定理計算梁中點C的撓度及的撓度及B截面的轉(zhuǎn)角。截面的轉(zhuǎn)角。解：1建立坐標(biāo)系如圖，列Mx方程NoImagexyLABx 22121qxqLxxMq2在C點加單位力，列 方程xMyxABC1P0 2)(21xLxLRxMCBxxRxMACBA段段3)求中點C撓度：NoImage EIqldxxlqxx

21、qlEIdxEIqxxqldxEIxMxMfllllc38452)22(11)22()()(422220 xyxAC二、求B截面的轉(zhuǎn)角：在B端加單位力偶1M1MB列單位力偶作用下的彎矩方程)(xMlxxM)(xEIqldxlxqxxqLEIdxEIxMxMlLB24)22(1)()(3200aaPABC解：一、不計軸力、剪力影響解：一、不計軸力、剪力影響2在A處加單位力：P0=1axMBCxxMAB)(:)(:2111)列剛架彎矩方程：PaxMBCPxxMAB)(:)(:211EI1EI2x1x2CP0=1ABx1x2例圖示鋼架。假設(shè)例圖示鋼架。假設(shè)1不計軸力、剪力影不計軸力、剪力影響；響；

22、2思索軸力影響，思索軸力影響， 計算計算A點垂直位移點垂直位移y及及B截面轉(zhuǎn)角截面轉(zhuǎn)角B由莫爾定理：)(3)()()()()()(23132021012022210111EIPaEIPadxEIaPadxEIxPxdxEIxMxMdxEIxMxMaaaay二、思索軸力影響P0=1ABx1x2CAB:NAB=0NAB=0BC:NBC=-PNBC=-1在A處加程度單位力：P0=1EAPadxEAPdxEANNdxEANNaaBCBCaABAByN202010) 1)(0EAPaEIPaEIPayNy23133故A點總的垂直位移：三、計算B截面轉(zhuǎn)角：B1在B處加單位力偶：M=1M0=1ABx1C1)

23、()(:0)()(:22111xMPaxMBCxMPxxMAB222022022210111)1)()()()()(EIPadxEIPadxEIxMxMdxEIxMxMaaaB“-表示B與M0轉(zhuǎn)向相反 在運用莫爾定理求位移時，需計算以下在運用莫爾定理求位移時，需計算以下方式的積分：方式的積分：lxIExMxMd)()(lxxMxMd)()(對于等直桿，對于等直桿，EI=const，可以提到積分號外，可以提到積分號外，故只需計算積分故只需計算積分直桿的直桿的 圖必定是直線或折線。圖必定是直線或折線。tg)( xxMNoImageNoImageNoImageNoImagellxxMxxxMxMd)

24、(tgd)()(CxtgNoImageNoImageCMNoImage)(xMNoImageEIMxIExMxMCld)()(計算本卷須知1.只能對等截面直桿進(jìn)展計算 ( EI為常數(shù) )。2.虛彎矩圖上必需取直線段部分，分段計算。3.分別按兩個彎矩圖計算不同的量(面積、形心彎矩值)。4.兩彎矩圖同側(cè)結(jié)果為正，兩彎矩圖異側(cè)結(jié)果為負(fù)。頂點頂點頂點頂點23lh13lh二次拋物線二次拋物線NoImageNoImageNoImageNoImage常見圖形的面積和形心的位置常見圖形的面積和形心的位置abhC3a3b三角形h21hC頂點21nn21nn次拋物線hn11組合圖形的分解=+ 1 2 21=+ 1

25、 2 21=+ 1 2 3321 例：試用圖乘法求所示懸臂梁自在端例：試用圖乘法求所示懸臂梁自在端B的的撓度和轉(zhuǎn)角。撓度和轉(zhuǎn)角。NoImage解：解：NoImageNoImageNoImageNoImageNoImageIEMxIEMxMvClBd(x)()32(212lPlEI PlEI330cMBEIPl1212PlEI22順時針NoImageNoImageIEMxIExMxMClBd)()( 例：試用圖乘法求所示簡支梁的最大撓度例：試用圖乘法求所示簡支梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。和最大轉(zhuǎn)角。NoImage解：解：vEIlqllmax223285322 53844qlEINoImageNoImageNoImageNoImageNoImageql28/l / 4l85ma