[數(shù)學]高三數(shù)學一輪復習 第七章 第七節(jié) 立體幾何中的向量方法 理 新人教A版ppt課件

1、第七節(jié)立體幾何中的向量方法第七節(jié)立體幾何中的向量方法1直線的方向向量和平面的法向量直線的方向向量和平面的法向量(1)直線的方向向量：假設(shè)表示非零向量直線的方向向量：假設(shè)表示非零向量a的有向線段所的有向線段所在直線與直線在直線與直線l_或或_，那么稱此向量，那么稱此向量a為直線為直線l的方向向量的方向向量(2)平面的法向量：直線平面的法向量：直線l，取直線，取直線l的方向向量的方向向量a，那，那么向量么向量a叫做平面叫做平面的法向量的法向量平行平行重合重合2空間位置關(guān)系的向量表示空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系位置關(guān)系向量表示向量表示直線直線l1，l2的方向向量的方向向量分別為分別為n1，n2l1

2、l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20直線直線l的方向向量為的方向向量為n，平面平面的法向量為的法向量為mlnmnm0lnmnm平面平面，的法向量分的法向量分別為別為n，mnmnmnmnm03.利用空間向量求空間角利用空間向量求空間角(1)求兩條異面直線所成的角求兩條異面直線所成的角設(shè)設(shè)a，b分別是兩異面直線分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，那么的方向向量，那么l1與與l2所成的角所成的角a與與b的夾角的夾角a，b范圍范圍_0a，b 關(guān)系關(guān)系cos |cosa，b|_(2)求直線與平面所成的角求直線與平面所成的角設(shè)直線設(shè)直線l的方向向量為的方向向量為a，平面，平面的法向量為的法向量

3、為n，直線，直線l與平與平面面所成的角為所成的角為，那么，那么sin _(3)求二面角的大小求二面角的大小假設(shè)假設(shè)AB、CD分別是二面角分別是二面角l的兩個面內(nèi)與棱的兩個面內(nèi)與棱l垂 直 的 異 面 直 線 ， 那 么 二 面 角 的 大 小 就 是垂 直 的 異 面 直 線 ， 那 么 二 面 角 的 大 小 就 是_的夾角的夾角(如圖如圖771) |cosa，n|設(shè)設(shè)n1，n2分別是二面角分別是二面角l的兩個面的兩個面，的法向的法向量，那么向量量，那么向量n1與與n2的夾角的夾角(或其補角或其補角)的大小就是的大小就是_(如圖如圖771)二面角的平面角的大小二面角的平面角的大小1怎樣求平面

4、的法向量？怎樣求平面的法向量？2如何確定一個二面角的兩個半平面的法向量夾角與如何確定一個二面角的兩個半平面的法向量夾角與這個二面角的平面角的大小關(guān)系？這個二面角的平面角的大小關(guān)系？【提示】可從兩個方面判別：一是察看圖形，確定二【提示】可從兩個方面判別：一是察看圖形，確定二面角的平面角是銳角還是鈍角；二是根據(jù)兩個半平面的法向面角的平面角是銳角還是鈍角；二是根據(jù)兩個半平面的法向量的方向來確定量的方向來確定 1(人教人教A版教材習題改編版教材習題改編)設(shè)設(shè)u(2，2，t)，v(6，4，4)分別是平面分別是平面，的法向量假設(shè)的法向量假設(shè)，那么，那么t()A3B4C5D6【解析】【解析】，那么，那么uv

5、262(4)4t0，t5.【答案】【答案】C【答案】【答案】A3知兩平面的法向量分別為知兩平面的法向量分別為m(0，1，0)，n(0，1，1)，那么兩平面所成的二面角為，那么兩平面所成的二面角為()A45 BC45或或 D90【答案】【答案】C【答案】【答案】A 如圖如圖774所示，在四棱錐所示，在四棱錐PABCD中，中，PC平平面面ABCD，PC2，在四邊形，在四邊形ABCD中，中，BC90，AB4，CD1，點，點M在在PB上，上，PB4PM，PB與平面與平面ABCD成成30的角的角(1)求證：求證：CM平面平面PAD；(2)求證：平面求證：平面PAB平面平面PAD.【嘗試解答】以【嘗試解答

6、】以C為坐標原點，為坐標原點，CB所在直線為所在直線為x軸，軸，CD所在直線所在直線為為y軸，軸，CP所在直線為所在直線為z軸建立如軸建立如圖所示的空間直角坐標系圖所示的空間直角坐標系Cxyz.PC平面平面ABCD，1恰當建立坐標系，準確表示各點與相關(guān)向量的坐恰當建立坐標系，準確表示各點與相關(guān)向量的坐標，是運用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵標，是運用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵2證明直線與平面平行，只須證明直線的方向向量與證明直線與平面平行，只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個向量共面，然后闡明

7、直線在平面外即可這的不共線的兩個向量共面，然后闡明直線在平面外即可這樣就把幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量運算樣就把幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量運算3證明直線與直線垂直，只需求證明兩條直線的方向證明直線與直線垂直，只需求證明兩條直線的方向向量垂直，而直線與平面垂直，平面與平面垂直可轉(zhuǎn)化為直向量垂直，而直線與平面垂直，平面與平面垂直可轉(zhuǎn)化為直線與直線垂直證明線與直線垂直證明 如圖如圖775所示，知直三棱柱所示，知直三棱柱ABCA1B1C1中，中，ABC為等腰直為等腰直角三角形，角三角形，BAC90，且，且ABAA1，D、E、F分別為分別為B1A、C1C、BC的中點求證：的中點求證：(1)DE平面平面ABC；

8、(2)B1F平面平面AEF.【證明】如圖建立空間直角坐標系【證明】如圖建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz，令，令ABAA14，那么那么A(0，0，0)，E(0，4，2)，F(xiàn)(2，2，0)，B(4，0，0)，B1(4，0，4) (2021湖南高考湖南高考)如圖如圖776所示，在四棱錐所示，在四棱錐PABCD中，中，PA平面平面ABCD，AB4，BC3，AD5，DABABC90，E是是CD的中點的中點(1)證明：證明：CD平面平面PAE；(2)假設(shè)直線假設(shè)直線PB與平面與平面PAE所成的角和所成的角和PB與平面與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐所成的角相等，求四棱錐PABCD的體積的體積【思緒點撥】【思

9、緒點撥】(1)以點以點A為坐標原點建系，用向量法證為坐標原點建系，用向量法證明明CDAE，CDAP.(2)先確定平面先確定平面PAE和平面和平面ABCD的法向量，再根據(jù)直線的法向量，再根據(jù)直線PB的方向向量和兩個平面的法向量的夾角余弦值的絕對值的方向向量和兩個平面的法向量的夾角余弦值的絕對值相等求相等求AP.【嘗試解答】如下圖，以【嘗試解答】如下圖，以A為坐標原點，為坐標原點，AB，AD，AP所在所在直線分別為直線分別為x軸，軸，y軸，軸，z軸建立軸建立空間直角坐標系設(shè)空間直角坐標系設(shè)PAh，那么相關(guān)各點的坐標為：那么相關(guān)各點的坐標為：A(0，0，0)，B(4，0，0)， (2021山東高考山

10、東高考)在如圖在如圖778所示的幾何體中，所示的幾何體中，四邊形四邊形ABCD是等腰梯形，是等腰梯形，ABCD，DAB60，F(xiàn)C平面平面ABCD，AEBD，CBCDCF.(1)求證：求證：BD平面平面AED；(2)求二面角求二面角FBDC的余弦值的余弦值 【思緒點撥】【思緒點撥】(1)(1)先證先證ADBDADBD，再根據(jù)，再根據(jù)AEBDAEBD可證明可證明結(jié)論成立結(jié)論成立(2)(2)根據(jù)根據(jù)ADBDADBD知知ACBCACBC，以點，以點C C為坐標原點建立空間直為坐標原點建立空間直角坐標系，用向量法求解角坐標系，用向量法求解【嘗試解答】證明【嘗試解答】證明 (1) (1)由于四邊形由于四邊

11、形ABCDABCD是等腰梯是等腰梯形，形，ABCDABCD，DABDAB6060，所以所以ADCADCBCDBCD120120. .又又CBCBCDCD，所以，所以CDBCDB3030，因此因此ADBADB9090，即，即ADBD.ADBD.又又AEBDAEBD，且，且AEADAEADA A，AEAE，ADAD平面平面AEDAED，所以所以BDBD平面平面AED.AED.(2)由由(1)知知ADBD，所以，所以ACBC.又又FC平面平面ABCD，因此因此CA，CB，CF兩兩垂直兩兩垂直以以C為坐標原點，分別以為坐標原點，分別以CA，CB，CF所在的直線為所在的直線為x軸，軸，y軸，軸，z軸，建

12、立如下圖的空軸，建立如下圖的空間直角坐標系無妨設(shè)間直角坐標系無妨設(shè)CB1，1利用空間向量求二面角可以有兩種方法：一是分別利用空間向量求二面角可以有兩種方法：一是分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到一個與棱垂直且從垂足出發(fā)的在二面角的兩個半平面內(nèi)找到一個與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個向量，那么這兩個向量的夾角的大小就是二面角的平面兩個向量，那么這兩個向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大?。欢墙?jīng)過平面的法向量來求：設(shè)二面角的兩個半角的大小；二是經(jīng)過平面的法向量來求：設(shè)二面角的兩個半平面的法向量分別為平面的法向量分別為n1和和n2，那么二面角的大小等于，那么二面角的大小等于n1，n2(或或n1，n2)2利

13、用空間向量求二面角時，留意結(jié)合圖形判別二面利用空間向量求二面角時，留意結(jié)合圖形判別二面角是銳角還是鈍角角是銳角還是鈍角【解】【解】(1)證明由題設(shè)知，三棱柱的側(cè)面為矩形由證明由題設(shè)知，三棱柱的側(cè)面為矩形由于于D為為AA1的中點，故的中點，故DCDC1. (2021北京高考北京高考)如圖如圖7710(1)，在，在RtABC中，中，C90，BC3，AC6.D，E分別是分別是AC，AB上的點，上的點，且且DEBC，DE2，將，將ADE沿沿DE折起到折起到A1DE的位的位置，使置，使A1CCD，如圖，如圖(2)(1)求證：求證：A1C平面平面BCDE；(2)假設(shè)假設(shè)M是是A1D的中點，求的中點，求CM

14、與平面與平面A1BE所成角的所成角的大??；大??；(3)線段線段BC上能否存在點上能否存在點P，使平面，使平面A1DP與平面與平面A1BE垂直？闡明理由垂直？闡明理由【思緒點撥】【思緒點撥】(1)經(jīng)過證明經(jīng)過證明DE平面平面A1CD來證明來證明DEA1C.(2)以點以點C為坐標原點建立空間直角坐標系，求平面為坐標原點建立空間直角坐標系，求平面A1BE的法向量，用向量法求解的法向量，用向量法求解(3)假設(shè)點假設(shè)點P存在，設(shè)出其坐標，然后求出平面存在，設(shè)出其坐標，然后求出平面A1DP的的法向量，利用兩個平面的法向量垂直求解法向量，利用兩個平面的法向量垂直求解【嘗試解答】【嘗試解答】(1)ACBC，D

15、EBC，DEAC.DEA1D，DECD，又，又A1DCDD，DE平面平面A1DC.DEA1C.又又A1CCD，CDDED，A1C平面平面BCDE.立體幾何開放性問題求解方法有以下兩種：立體幾何開放性問題求解方法有以下兩種：(1)根據(jù)標題的知條件進展綜合分析和察看猜測，找出點根據(jù)標題的知條件進展綜合分析和察看猜測，找出點或線的位置，然后再加以證明，得出結(jié)論或線的位置，然后再加以證明，得出結(jié)論(2)假設(shè)所求的點或線存在，并設(shè)定參數(shù)表達知條件，根假設(shè)所求的點或線存在，并設(shè)定參數(shù)表達知條件，根據(jù)標題進展求解，假設(shè)能求出參數(shù)的值且符合知限定的范據(jù)標題進展求解，假設(shè)能求出參數(shù)的值且符合知限定的范圍，那么存

16、在這樣的點或線，否那么不存在圍，那么存在這樣的點或線，否那么不存在如圖如圖7711，在三棱錐，在三棱錐PABC中，中，ABAC，D為為BC的中點，的中點，PO平面平面ABC，垂足，垂足O落在線段落在線段AD上，知上，知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)證明：證明：APBC；(2)在線段在線段AP上能否存在點上能否存在點M，使得二面角，使得二面角AMCB為直二面角？假設(shè)存在，求出為直二面角？假設(shè)存在，求出AM的長；假設(shè)不存在，請闡的長；假設(shè)不存在，請闡明理由明理由用向量法處理立體幾何問題，是空間向量的一個詳細運用向量法處理立體幾何問題，是空間向量的一個詳細運用，表達了向量的工具性，這種方法可

17、把復雜的推理證明、用，表達了向量的工具性，這種方法可把復雜的推理證明、輔助線的作法轉(zhuǎn)化為空間向量的運算，降低了空間想象演繹輔助線的作法轉(zhuǎn)化為空間向量的運算，降低了空間想象演繹推理的難度，表達了由推理的難度，表達了由“形轉(zhuǎn)形轉(zhuǎn)“數(shù)的轉(zhuǎn)化思想數(shù)的轉(zhuǎn)化思想利用平面的法向量求二面角的大小時，當求出兩半平面利用平面的法向量求二面角的大小時，當求出兩半平面、的法向量的法向量n1，n2時，要根據(jù)向量坐標在圖形中察看法向時，要根據(jù)向量坐標在圖形中察看法向量的方向，從而確定二面角與向量量的方向，從而確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等，還的夾角是相等，還是互補，這是利用向量求二面角的難點、易錯點是互補，這是利

18、用向量求二面角的難點、易錯點從近兩年高考試題看，利用空間向量求空間角是每年必從近兩年高考試題看，利用空間向量求空間角是每年必考內(nèi)容，重點調(diào)查向量方法的運用，在利用平面的法向量求考內(nèi)容，重點調(diào)查向量方法的運用，在利用平面的法向量求二面角大小時，兩個向量的夾角與二面角的平面角相等還是二面角大小時，兩個向量的夾角與二面角的平面角相等還是互補，是學生的易錯易誤點，解答此類標題時應(yīng)特別留意答互補，是學生的易錯易誤點，解答此類標題時應(yīng)特別留意答題的規(guī)范化題的規(guī)范化(1)證明：證明：AA1BC；(2)求求AA1的長；的長；(3)求二面角求二面角ABCA1的余弦值的余弦值【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)取取BC，B1C1的中點分別為的中點分別為D和和D1，銜接銜接A1D1，DD1，AD.由由BB1C1C為矩形知，為矩形知，DD1B1C1.由于平面由于平面BB1C1C平面平面A1B1C1，所以所以DD1平面平面A1B1C1.又由又由A1B1A1C1知，知，A1D1B1C1.(2)判別法向量的夾角與二面角的大小關(guān)系，普通有兩種判別法向量的夾角與二面角的大小關(guān)系，普通有兩種方法：一是察看法，借助幾何體察看二面角是銳二面角還是方法：一是察看法，借助幾何體察看二面角是銳二面角還是鈍二面角；二是判別法向量的方向，同指向二面