第三章 時域分析

1、2341231( )( )43.33tty tLY see)(2)(7)()(6)(5)(22trdttdrdttrdtydttdydttyd)()()(sRsGsY6527)(22sssssG6527)(22sssssYs15123456789100.30.350.40.450.50.550.60.650.70.751231( )( )43.33tty tLY see1/36解表達式曲 線系統(tǒng)性能穩(wěn)定性快速性穩(wěn)態(tài)精度分析拉氏變換微分方程7第三章控制系統(tǒng)的時域分析831 時域分析概述 一、時域分析法的特點 它根據(jù)系統(tǒng)微分方程，通過拉氏變換，直接求出系統(tǒng)的時間響應(yīng)。依據(jù)響應(yīng)的表達式及時間響應(yīng)曲線

2、來分析系統(tǒng)控制性能，并找出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)與這些性能之間的關(guān)系。 這是一種直接方法，而且比較準(zhǔn)確，可以提供系統(tǒng)時間響應(yīng)的全部信息。9二、自動控制系統(tǒng)的典型輸入信號1、階躍函數(shù)000)(tAttxr，A=1時稱為單位階躍函數(shù)，記為 )()()( 1)(tutxttxrr，或stLsXr1)( 1 )(A0 tr(t)102、斜坡函數(shù)000)(tAtttxr，A=1時稱為單位斜坡函數(shù)，其拉氏變換為21( )rXss113、拋物線函數(shù)000)(2tAtttxr，當(dāng)A=1/2時，稱為單位拋物線函數(shù)，其拉氏變換為 31)(ssXr124、脈沖函數(shù) 0(0)( )0 0(0)rAtx ttt ，當(dāng)A=1時，

3、稱為單位脈沖函數(shù)（t）1)( dtt01( )lim1rXsL0t( ) t135、正弦函數(shù)f(t)000sin)(ttttf 其數(shù)學(xué)表達式為：其拉氏變換為：220sin)()(sdte tsFtfLst用正弦函數(shù)作輸入信號，可以求得系統(tǒng)對不同頻率的正弦輸入函數(shù)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，由此可以間接判斷系統(tǒng)的性能。14p分析和設(shè)計控制系統(tǒng)時，選擇哪一種典型輸入信號作為實驗信號，要根據(jù)實際情況來決定p對于同一個線性定?？刂葡到y(tǒng)，雖然它們在不同輸入下的輸出響應(yīng)是不同的，但所表征的系統(tǒng)性能是一致的。p本章討論的時域分析是在階躍輸入下進行的1505101500.20.40.60.811.21.41.61.8典型階躍

4、響應(yīng)：timey期望值三、線性系統(tǒng)的時域性能指標(biāo)16典型抗擾響應(yīng)：ytime期望值加擾動171. 動態(tài)過程：又稱為過渡過程或瞬態(tài)過程，是指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到接近最終狀態(tài)的響應(yīng)過程。動態(tài)過程表現(xiàn)為衰減、發(fā)散或等幅振蕩形式。一個實際運行的控制系統(tǒng)，其動態(tài)過程必須是衰減的，換句話說，系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的。動態(tài)過程的其他信息用動態(tài)性能描述。2. 穩(wěn)態(tài)過程：是系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，當(dāng)時間t趨于無窮時，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)方式。穩(wěn)態(tài)過程又稱穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，表征系統(tǒng)輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度，用穩(wěn)態(tài)誤差來描述。q 動態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程 18q 對控制系統(tǒng)性能的要求 系統(tǒng)應(yīng)是穩(wěn)定的； 系統(tǒng)達

5、到穩(wěn)定時，應(yīng)滿足給定的穩(wěn)態(tài)誤差的要求； 系統(tǒng)在動態(tài)過程中應(yīng)滿足動態(tài)品質(zhì)的要求。19q 時域性能指標(biāo) 1. 動態(tài)性能指標(biāo) 描述穩(wěn)定系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，動態(tài)過程隨t衰減變化的指標(biāo)。20時間tr上 升峰值時間tpAB超調(diào)量% =AB100%調(diào)節(jié)時間ts控制系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)定義1( )%100%( )myyy2%, 5% 211、峰值時間tp：指h(t)曲線中超過其穩(wěn)態(tài)值而達到第一個峰值所需的時間。2、超調(diào)量：指h(t)中對穩(wěn)態(tài)值的最大超出量與穩(wěn)態(tài)值之比。3、調(diào)節(jié)時間ts：指響應(yīng)曲線中，h(t)進入穩(wěn)態(tài)值附近5%h()或2%h()誤差帶，而不再超出的最小時間。5、穩(wěn)態(tài)誤差ess：指響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值

6、與期望值之差。6、延遲時間：響應(yīng)曲線第一次達到終值一半所需的時間。4、上升時間：動態(tài)響應(yīng)曲線從零到第一次上升到穩(wěn)態(tài)值所需的時間。（若無超調(diào)量，取穩(wěn)態(tài)值1090）通常以系統(tǒng)單位階躍輸入時的響應(yīng)來定義時域性能指標(biāo)22動態(tài)性能指標(biāo)定義動態(tài)性能指標(biāo)定義2上升時間tr調(diào)節(jié)時間 ts23動態(tài)性能指標(biāo)定義動態(tài)性能指標(biāo)定義3trtpAB%= 100%BAts2%,5% ( )%100%( )myyy24說明： 以上各種性能指標(biāo)中，上升時間、峰值時間和調(diào)節(jié)時間都表示動態(tài)過程進行的快慢程度，是快速性指標(biāo)。超調(diào)量反映動態(tài)過程振蕩激烈程度，是平穩(wěn)性指標(biāo)，也稱相對穩(wěn)定性能。超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間是反映系統(tǒng)動態(tài)性能好壞的兩個最

7、主要指標(biāo)。252. 穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)穩(wěn)態(tài)誤差是描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的一種性能指標(biāo)，是當(dāng)時間趨于無窮時，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值與輸入量之差，即)(1cess2627)t (Kr)t (ydt)t (dyT 數(shù)學(xué)模型為系統(tǒng)r(t)y(t)s(G1TsK)s(R)s(Y G(s)R(s)Y(s) j0P=-1/TS平面T0時G的極點分布3.2.1 數(shù)學(xué)模型2811( ),1G sTTsK( )rXs( )cXsKs設(shè) K=1 ，T0293.2.2 一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)11Ts？3.2 一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng) )0( ,1)(1tetxtTc30ssXr1)(sTssXsWsXrBc111)(

8、)()(TssLsTsLtxc111111)(1131)0( ,1)(1tetxtTc一階系統(tǒng)時域分析一階系統(tǒng)時域分析32h(t)=1-e-t/Tc(t)=t-T+Te-t/Tr(t)= t 問無零點的一階系統(tǒng) (s)=Ts+11, T時間常數(shù)(畫圖時取T=0.5)T1 、調(diào)節(jié)時間ts=？2、r(t)=at時，ess=？r(t)= 1(t)一階系統(tǒng)的時域分析一階系統(tǒng)的時域分析p一階系統(tǒng)只有一個特征參數(shù)一階系統(tǒng)只有一個特征參數(shù)T。在一定輸入作。在一定輸入作用下，系統(tǒng)響應(yīng)由時間常數(shù)用下，系統(tǒng)響應(yīng)由時間常數(shù)T唯一確定。唯一確定。p系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)主要是調(diào)節(jié)時間。系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)主要是調(diào)節(jié)時間。T

9、越小，越小，系統(tǒng)的快速性越好系統(tǒng)的快速性越好。3334例題( )rXs( )cXs100s0.1求：1）該系統(tǒng)階躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)時間ts；（5%)2）如果要求ts0.1s,問系統(tǒng)的反饋系數(shù)取多少？3）如果要求ts0)0)，那么同樣可由結(jié)構(gòu)圖寫出閉環(huán)，那么同樣可由結(jié)構(gòu)圖寫出閉環(huán)傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 361001/( )1000.0111tBttKsWsKssK由閉環(huán)傳遞函數(shù)可得 T = 0.01/Kt根據(jù)題意要求 ts (5%) 0.1（s）則 ts = 3T = 0.03/Kt 0.1(s)所以 Kt 0.3 37 凡是由二階微分方程描述的系統(tǒng)，稱為二階系統(tǒng)。在控制工程中的許多系統(tǒng)都是二階系統(tǒng)，如電學(xué)

10、系統(tǒng)、力學(xué)系統(tǒng)等。即使是高階系統(tǒng)，在簡化系統(tǒng)分析的情況下有許多也可以近似成二階系統(tǒng)。因此，二階系統(tǒng)的性能分析在自動控制系統(tǒng)分析中有非常重要的地位。 383.3.1 典型二階系統(tǒng)的暫態(tài)特性數(shù)學(xué)模型為：阻阻尼尼比比，：無無阻阻尼尼自自然然振振蕩蕩頻頻率率 n222( )2nBnnWsss222( )2nBnnWsss39解方程求得特征根：s1,s2完全取決于 ，n兩個參數(shù)。40當(dāng)輸入為階躍信號時，則微分方程解的形式為：12012( )s ts tc tAAeA e式中 為由r(t)和初始條件確定的待定的系數(shù)。 012,AAA222( )2nBnnWsss411y(t)= 1T2tT1T21e+T1

11、tT2T11e+j00222nnss1, 3二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)定性分析21,21nns 4210222nnss1, 1二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)定性分析j01,2ns ( )1 (1)ty tt e 43100222nnss1, 3 . 0二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)定性分析j021( )1sin()1ntdy tet 21,21nnsj 44j0y(t)= 1 -cosnt00222nnss二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)定性分析S1,2= jn1, 045010222nnss1, 1 . 0二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)定性分析j021,21nnsj 460222nnss二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)定性分析j01j0121,21n

12、ns 47j0j0j0j0j0111001048j011101001 121nnsjj 49=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.00123456789101112nt y(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)（0）小結(jié)在不同的阻尼比下，二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)在不同的阻尼比下，二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)有很大的差別；有很大的差別；當(dāng)阻尼比小于零時，系統(tǒng)無法正常工作；當(dāng)阻尼比小于零時，系統(tǒng)無法正常工作；當(dāng)阻尼比大于等于當(dāng)阻尼比大于等于1時，系統(tǒng)的響應(yīng)太慢；時，系統(tǒng)的響應(yīng)太慢；對二階系統(tǒng)來講，欠阻尼情況是最有實際對二階系統(tǒng)來講，欠阻尼情

13、況是最有實際意義的。意義的。50513.3.2 二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)分析與計算3.3.2.1 01 欠阻尼情況振蕩衰減222( )2nnnsss1( )R ss( ) sR(s)Y(s)=?5222221()()nnndndssss2221( )2nnnY ssss22212nnnssss22221()(1)nnnsss21dn 其中5322221( )()()nndnndsY ssss22221()1nnds 22222()11( )()dndnndsY ssss21dn 54cosntdet2sin1ntdet22222()11()ndddnnssY sss2222sin()cos()atat

14、L etsasaL etsa1( )y t 221( )11cossin1ntddy tett 55221( )11cossin1ntddy tett 221sin1nn cosnn21( )1sincoscos sin1ntddy tett 21( )1sin()1ntdy tet -初相角3.3.2.2 欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)性能分析與欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)性能分析與計算計算222( )2nnnG sss21,21nnsj n21dn56j0221arccosarcsin 1arctan21( )1sin()1ntdy tet n21( )1sin()1ntdy tet rdtpdt21%100%

15、e57tr=?令y(t)=1取其解中的最小值，令y(t)一階導(dǎo)數(shù)=0，取其解中的最小值，( )( )%100%( )py tyy時間tr上 升峰值時間tpAB超調(diào)量% =AB100%調(diào)節(jié)時間ts( )%100%( )myyy2%, 5% 21( )1sin()1ntdy tet 21e1n t-21e1n t-58)02. 0(4)05. 0(3nsnstt5960222221( )2/2 /1nBnnnnWsssss ,0.7070.2 0.51/nrad s61123tp1tp2,3ts1ts2例：求如下3條曲線所代表二階系統(tǒng)的極點相對位置。 6221210.7072%100%4.3%11

16、4.7221(2%)8.43(5%)4.14rnnnssetTTtTtT63( )rXs( )cXs(1)kKs s例題求Kk=4時，1）自然振蕩角頻率；2）阻尼比；3）超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間？4）如果要求阻尼比為0.707，應(yīng)怎樣改變Kk222( )2nnnsss6424( )4sss 解 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為和標(biāo)準(zhǔn)式比較得：)/(24sradn25. 021n222( )2nnnsss)(6225. 033%)5(stns2/ 1%100%47%e655 . 0,)/(21212nnKsrad要求=0.707時:2( )KsssK 從上可以看出，降低開環(huán)放大系數(shù)K值能使阻尼比增大、超調(diào)量下降，可

17、改善系統(tǒng)動態(tài)性能。但在以后的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差分析中可知，降低開環(huán)放大系數(shù)將使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差增大。 66( )rXs( )cXs4(1)s ss例題為了使超調(diào)小于5%，引入微分反饋，求6710( )(1)(10)G sss例題1：求如下系統(tǒng)的階躍響應(yīng)681010( )(1)(10)( )11.10.11( )110( )1 1.10.11ttG sssG sY sssssy tee -1-10解：10( )(1)(10)G sss主導(dǎo)極點69例題2：求如下系統(tǒng)的階躍響應(yīng)10(0.81)( )(1)(10)sG sss10( )(1)(10)G sss701010(0.81)( )(1)(10)( )

18、10.220.78( )110( )1 0.220.78ttsG sssG sY sssssy tee 解：主導(dǎo)極點定義：實部絕對值小于其他的五分之一，且附近無零點的極點。零點對零點對過過阻尼二階系統(tǒng)的影響阻尼二階系統(tǒng)的影響 71j0%=33%零點對零點對欠欠阻尼二階系統(tǒng)的影響阻尼二階系統(tǒng)的影響 72j0附加極點對系統(tǒng)的影響附加極點對系統(tǒng)的影響73j0j0j0j0結(jié)論1：增加極點是削弱了阻尼 還是增加了阻尼？結(jié)論2：增加的極點越靠近原點越怎樣？74結(jié) 論1、極點起慣性延緩作用，離虛軸越近影響越大；2、零點起微分加快作用，可抵消最近極點作用；3、左極點穩(wěn)定，右極點發(fā)散；4、復(fù)極點振蕩，實極點不振

19、蕩。3.4 3.4 高階系統(tǒng)的時域分析高階系統(tǒng)的時域分析定義：用高階微分方程描述的系統(tǒng)稱為高定義：用高階微分方程描述的系統(tǒng)稱為高階系統(tǒng)。階系統(tǒng)。75由于求高階系統(tǒng)的時間響應(yīng)很是困難，所以通?？偸菍⒍鄶?shù)高階系統(tǒng)化為一、二階系統(tǒng)加以分析。通常對于高階系統(tǒng)來說，離虛軸最近的一個或兩個閉環(huán)極點在時間響應(yīng)中起主導(dǎo)作用，而其他離虛軸較遠的極點，它們在時間響應(yīng)中相應(yīng)的分量衰減較快，只起次要作用，可以忽略。76(s2+2s+5)(s+6)301(s) =(s2+2s+5)52(s) =主導(dǎo)極點%= 19.1% ts= 3.89s%= 20.8% ts= 3.74s77主導(dǎo)極點：當(dāng)部分極點與虛軸的距離遠小于其他

20、極點時，稱其為主導(dǎo)極點，非主導(dǎo)極點的影響可以忽略。j0s平面s2s1 主導(dǎo)極點j0s平面s1主導(dǎo)極點1s1)5s)(1s(5)s(G 例：例：不變。不變。系統(tǒng)增益系統(tǒng)增益注意：近似時應(yīng)保證注意：近似時應(yīng)保證)0(G 1s1)1s2 . 0)(1s(1)s(G 或或時間常數(shù)t2時,系統(tǒng)可能經(jīng)過一定的時間回到原來的平衡工作點,也可能隨著時間的增加而無限偏離原來的平衡工作點。953.5.1 穩(wěn)定性的概念和充要條件1) 穩(wěn)定性概念 穩(wěn)定性：系統(tǒng)一個系統(tǒng)受到擾動，偏離了原來的平衡狀態(tài)，而當(dāng)擾動取消后，這個系統(tǒng)又能夠逐漸恢復(fù)到原來的狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則，稱這個系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。擾動消失后系統(tǒng)恢復(fù)到平

21、衡狀態(tài)的特性 穩(wěn)定性只與系統(tǒng)內(nèi)部特性有關(guān)，而與輸入無關(guān)。962) 穩(wěn)定性的充要條件系統(tǒng)特征多項式的所有特征根都在s左半平面內(nèi)。理解a）微分方程的解b）標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)時域分析穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)條件97設(shè)系統(tǒng)的線性化方程為：)()()()()()()()(1111011110trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn 98對上式進行拉氏變換得：)()()()()(011101110sMsRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn 其中：D(s)為系統(tǒng)閉環(huán)特征式；R(s)為輸入，C(s)為輸出，M0(s)為總的初始條件，與系統(tǒng)的初始狀

22、態(tài)有關(guān)的多項式?；蚝唽憺椋?( ) ( )( ) ( )( )D s C sM s R sMs99則有：)()()()()()(0sDsMsRsDsMsC 假定：01( )()niiiD sasss其中 互異。將C(s)等式右的兩項分別展開成部分分式，可得0111( )nlnjiiijiirjiBACC sssssss100再進行拉氏反變換，得 )(tc nitsiieC1tsniiieA 1該部分為穩(wěn)態(tài)分量，即微分方程的特解，取決于輸入作用。1rjls tjjB e101 )(tc nitsiieC1tsniiieA 11rjls tjjB e該為瞬態(tài)分量，即微分方程的通解，運動規(guī)律取決于

23、，由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)確定。is102系統(tǒng)去掉擾動后的恢復(fù)能力，應(yīng)由瞬態(tài)分量決定。故：穩(wěn)定性定義可轉(zhuǎn)化為：式中：Ai，Ci均為常值，因此，系統(tǒng)的穩(wěn)定性僅取決于特征根si的性質(zhì)。01lim()0ins tiitiAC e特征根的性質(zhì)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響特征根的性質(zhì)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響當(dāng)當(dāng)s si i為實根時，即為實根時，即s si i i i，103時時：0 i tsiitieCA)(lim0時時：0 i tsiitieCA)(limiiCA 時時：0 i tsiitieCA)(lim 1040 i 0 i 0 i t0)(tciiCA 特征根與系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)系特征根與系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)系(2)105n當(dāng)s

24、i為共軛復(fù)根時，即si，i+1i ji)()(lim)(11)(tjiitjiitiiiieCAeCA )()(lim11tjiitjiittiiieCAeCAe )sin(limiitttAei 則則若若, 0 i 0)sin(lim iitttAei 則則若若, 0 i 則則若若, 0 i )sin()sin(limiiiitttAtAei )sin(limiitttAei 共軛復(fù)根情況下系統(tǒng)的穩(wěn)定性共軛復(fù)根情況下系統(tǒng)的穩(wěn)定性106結(jié)論：結(jié)論：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：107系統(tǒng)的特征方程的所有根都具有負實部，或者說都位于S平面的虛軸之左。1083) 判別系統(tǒng)穩(wěn)定

25、性的方法1093.5.2 勞斯判據(jù)1）判據(jù)的描述：若線性系統(tǒng)的特征方程表示為：10110nnnna sa sasa則此系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：特征方程系數(shù)均為正數(shù)，且對應(yīng)勞斯表第一列元素均為正數(shù)。11011102461135721234312342121101nnnnsaaaasaaaasbbbbsccccseesfsg3）Routh表定義021131042151063171111aabaaaaabaaaaabaaa 15213117314111aacbbbaacbbb 10110nnnna sa sasa1311211aacbbb 0nnnnasasasasD1110)(11201232133

26、212753 11 6420 ssscccsbbbsaaaasaaaasnnnn130211aaaaab150412aaaaab170613aaaaab121311bbaabc131512bbaabc 一直計算到最后一行算完為止。然后判斷陣列中第一列系數(shù)的符號，若全部大于0,則系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)，就為特征方程在右半s平面根的個數(shù)。構(gòu)造勞斯陣列表11343223450ssss431350240ss例題1 已知求系統(tǒng)的穩(wěn)定性解：列Routh表2s1501s600s5第1列元素：1，2，1，-6，5變號兩次不穩(wěn)定，有兩個正實部的根。01324852234ssss114例2 系統(tǒng)

27、特征方程式為 試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解：由系統(tǒng)特征方程所有系數(shù)均為正實數(shù)，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件 ,列表得勞斯陣列第一列沒改變符號，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。s4 1 24 15s3 8 32 0s2s1s0事實上，上式可化簡為特征根為-1，-3，-2+j，都具有負的實部,系統(tǒng)穩(wěn)定。0)54)()(2ssss3120 1526 015115例題例題(28)/ 8(28)/7/ (28)/116設(shè)系統(tǒng)特征方程為：s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0勞 斯 表s6s5s0s1s2s3s41246357(64)/2=11(10-6)/2=227124635710(6-14)/1= -8-

28、82 41 2勞斯表特點2 每兩行個數(shù)相等1 右移一位降兩階3 行列式第一列不動4 次對角線減主對角線5 分母總是上一行第一個元素7 第一列出現(xiàn)零元素時，用正無窮小量代替。6 一行可同乘以或同除以某正數(shù)71 2 7 -871171184322210ssss 32220sss 119 系統(tǒng)必然存在關(guān)于坐標(biāo)原點為對稱的根。即存在等值反號的實根 、共軛虛根或偶數(shù)對共軛復(fù)根。系統(tǒng)必然非漸進穩(wěn)定。SS顯然，這些根的數(shù)目一定是偶數(shù)。由該行的上一行元素來解決：（1）構(gòu)成輔助多項式，并求導(dǎo)，用其系數(shù)代替全為零的行；（2）構(gòu)成輔助方程，并解出這些大小相等但位置徑向相反的特征根。Routh判據(jù)的特殊情況II：某行

29、所有元都為零120Routh判據(jù)的特殊情況II：某行所有元都為零例如：654322712141680ssssss654317148212160ssss1680003( )412dp sssds4123412s210384/38sss42680ss1,23,422pjpj 42( )68p sss1211,23,45,62212pjpjpj 654322712141680ssssss012012320123000a saa sa saa sa sa sa1203a aa a1221233.5.3 勞斯判據(jù)的應(yīng)用例題40( )(4)(10)40KG ss ssK321440400sssK解：124

30、321440400sssKs3s2s0s11401440K(560-40K)/1440K560400014KK125相對穩(wěn)定性的概念：根平面虛軸為穩(wěn)定邊界，若把此邊界左移，針對新邊界的系統(tǒng)穩(wěn)定性為相對穩(wěn)定性。相對穩(wěn)定性反映了系統(tǒng)穩(wěn)定的深度。左移距離稱為穩(wěn)定裕量。穩(wěn)定裕量1 126例 檢驗特征方程式 02015823sss是否有根在右半平面，并檢驗有幾個根在垂直線s = -的右邊。 解 勞斯陣列表為 s 3 1 15s 2 8 20s 1 25/4s 0 20 第一列無符號改變，故沒有根在S平面的右半平面，說明系統(tǒng)穩(wěn)定。 再令s= z-1，代入特征方程式，得 0122523zzz新的勞斯陣列表為

31、 z 3 1 2z 2 5 12z 1 -2/5z 0 12 從上表中可看出，第一列符號改變2次，故有二個根在垂直線s= -1（即新座標(biāo)虛軸）的右邊，因此穩(wěn)定裕量達不到1。 課程回顧 10110nnnna sa sasa127穩(wěn)定性的概念 穩(wěn)定的充要條件 穩(wěn)定判據(jù)（1）判定穩(wěn)定的必要條件 0 ia（2）勞斯判據(jù)（3）勞斯判據(jù)特殊情況的處理（4）勞斯判據(jù)的應(yīng)用（確定穩(wěn)定的參數(shù)范圍,相對穩(wěn)定性） 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的所有根都具有負的實部或所有閉環(huán)特征根均位于左半s平面 1283.5.4 赫爾維茨判據(jù)10110nnnna sa sasa則此系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：特征方程系數(shù)均為正數(shù)，且對應(yīng)赫爾維茨行列

32、式的各階主子式均為正數(shù)。12910110nnnna sa sasa1350241302101200000000000000000000nnnaaaaaaaaDaaaaaaa11Da13202aaDaa1353024130aaaDaaaaa1301313.6 穩(wěn)態(tài)誤差定義：穩(wěn)態(tài)條件下，輸出量的期望值與穩(wěn)態(tài)值之間存在的誤差。影響因素： 1、結(jié)構(gòu)（傳遞函數(shù)的形式） 2、參數(shù)（阻尼比和頻率） 3、輸入量（階躍、斜坡等）分類： 擾動穩(wěn)態(tài)誤差（恒值系統(tǒng)） 給定穩(wěn)態(tài)誤差（隨動系統(tǒng)）132一、一般形式1( )W s2( )W s( )N s( )fWs( )rXs( )cXs2( )W s( )N s( )c

33、Xs1( )W s( )fWs00rXN133( )( )( )ceXsW sN s2( )W s( )N s( )cXs1( )W s( )fWs( )eW s( )0,( )0rx tn t而( )cx t( )cx t212( )1( )( )( )fW sW s W s Ws1341( )N ss若可見，擾動誤差取決于( )eW sN和0( )lim( )lim( )cctsex ts Xs 02012( )lim( )( )( )lim( )1( )( )( )essfesW sN sW ssN sW s W s Ws 135舉例說明：( )N s( )zIs( )rUs1ssKT

34、s1aRaemRC T scKeCfK1csfsK K KT s1/1emCT s0136( )zIs( )N saR1/1emCT s1csfsK K KT s(1)( )( )(1)(1)1aszemskkcsfeRT sIsCN sT sT sKKK K KC1( )zzIsIs求( )?n 1370(1)lim( )lim(1)(1)1aszetsmskRT sICn tTKssTss(1)( )( )(1)(1)aszemskRT sIsCN sT sT sK1( )zzIsIs(1)zaekI RCK138( )n s( )zIs( )rUs1ssKT s1aRaemRC T sc

35、KeCfK1kcsfeKK K KC分析：lim( )(1)zatekI Rn tCKlim( )(1)zatekI Rn tCK139140( )n s( )zIs( )rUs1ssKT s1aRaemRC T scKeCfK1s解決方案：將比例調(diào)節(jié)器換成積分調(diào)節(jié)器！141(1)( )( ),(1)(1)sfsazemseK Ks T sRN sIs KCT sT sKC0lim( )lim( )tsn ts N s( )N saR1/1emCT s1sfsK KT scK1s0(1)1lim(1)(1)sazsemss T sRsICT sT sK s0誤差誤差定義定義誤差的兩種定義： a

36、. 從輸出端定義：等于系統(tǒng)輸出量的實際值與希望值之差。這種方法在性能指標(biāo)提法中經(jīng)常使用，但在實際系統(tǒng)中有時無法測量。因此，一般只具有數(shù)學(xué)意義。 b. 從輸入端定義：等于系統(tǒng)的輸入信號與主反饋信號之差。 142( )R s( )C s( )G s( )B s( )E s( )H s)()()(tbtrte143穩(wěn)態(tài)誤差 )()(lim eteetss按輸入端定義的誤差 )()()()(sCsHsRsE 按輸出端定義的誤差 )()()()(sCsHsRsE 144( )fWs( )rXs( )fXs( )E s( )cXs( )gWs( )rXs( )fXs( )E s( )cXs( )kW s1

37、45( )()(erE sXW ss( )( )( )kgfW sWs Ws( )fWs( )rXs( )fXs( )E s( )cXs( )gWs( )( )( )rfE sXsXs( )( )( )rfcXsWs Xs( )1( )( )cfrXsWsXs 11( )( )gfWs Ws11( )kW s1( )1( )ekW sW s146( )( )( )( )1( )rrekXsE sXs W sW s( )( )( )krW sXse 和對有影響00( )( )lim ( )lim( )lim1( )rtsskXsee tEWssss ( )fWs( )rXs( )fXs( )E

38、s( )cXs( )gWs147G0H0注意：s 0時，G0H0一定1此時的Kk為開環(huán)增益sN表示開環(huán)有N個極點在坐標(biāo)原點N=0稱為0型系統(tǒng)稱為型系統(tǒng)稱為型系統(tǒng)稱為型系統(tǒng)N=1N =2N =3注意！1 “尾1”23引入一個概念：11(1)( )( )(1)n NmkiiNjjKTsG s H ssT s148( )rXs ( )e 0li( ,m)pkspkW sk稱為位置誤差系數(shù)1( )1pek 1( )( )( )reE sXs W ss01lim1( )skW s0lim( )ssE s11( )kW s1s149101(1)lim(1)mkiinsjjKTsT s011lim( )11

39、spksE skK101(1)lim(1)mkiipn NsNjjKTsksT s1( )1pek 0lim( )pkskW s11(1)( )( )(1)mkiin NNjjKTsG s H ssT spk kK( )e 1( )1pek 015021( )rXss00011( )lim( )limlim1( )( )ssskkesE ssW ssW s 0lim( )ksvvkksW s稱為速度誤差系數(shù)21( )( )( )reE sXs W ss11( )kW s1( )vek 1510lim( )vksksW s011( )lim( )skvesW sk 0lim( )vksksW s

40、11(1)( )( )(1)mkiin NNjjKTsG s H ssT s101(1)lim(1)mkiinsjjKTssT s01( )vek 1520lim( )vksksW s011( )lim( )skvesW sk 11(1)( )( )(1)mkiin NNjjKTsG s H ssT s1101(1)lim(1)mkiivnsjjKTskssT skK1( )vek 1kK12021(1)lim(1)mkiivnsjjKTskssT s1( )vek 015331( )rXss3200111( )limlim1( )( )sskkesW s ss W s 20lim( )aka

41、sks W sk加速稱為度誤差系數(shù)154 0( )1aakkkekKeK 155型0型型R1(t) R1+ kR kR kRt000Rt2/2R1(t)RtRt2/2kkk000 e pkvkak156157158111(1)( )1( )1( )(1)(1)nNjjnmNrkjkijisT sE sXsW ssT sKTs20122012( )( )nnnrnaa sa sa sE sXssss2012( )111( )rE sssXskkk1592012111( )( )( )( )rrrE sXssXss Xskkk0k1k2k動態(tài)誤差系數(shù)動態(tài)誤差系數(shù)動態(tài)加速度誤差系數(shù) 2300012l

42、im( )lim( )rsssssesE sXskkk 01231111( )lim ( )lim( )( )( )( )rrrrttee tx txtxtxtkkkk 160 201201223000120123111( )( )( )( )111( )( )( )( )lim( )lim( )1111lim ( )lim( )( )( )( )rrrrrrrssrrrrttE sXssXss Xskkke tx txtxtkkksssesE sXskkke tx txtxtxtkkkk 1612( )1kkmdmKW sT T sT s( )( )( )erE sW sXs222( )1(

43、 )1( )1(1)(1)(1)kmkmdmerkkkdkK TK T TTE sW sssXsKKKTK01k11k21k長除法怎么求?2211mmdkmmdT sT T sKT sT T s11( )kW s1622211mmdkmmdT sT T sKT sT T s( )( )rE sXs21mmdT sT T s21kmmdKT sT T s11kK211111mmdkkTsT TsKK211kmkmdkkK TK T TssKK2(1)kmkK TsK1kmkK TsK222(1)kmkK TsK221(1)(1)kmdmkdkK T TTsKTK163( )1,( )( )( )

44、0rrrrx txtxtxt012111( )( )( )( )rrre tx txtxtkkk012011111( )lim ( )lim( )( )( )1rrrttkee tx txtxtkkkkK 1( )1( ),( )rrx ttXss 2000120111111lim( )( )lim1ersskesW s XsssskkkskK 164( ),( )1,( )( )0rrrrx tt xtxtxt21( ),( )rrx tt Xss 22000121111lim( )( )limerssesW s Xsssskkks 0101111( )( )( )rrte tx txtkk

45、kk 011lim ( )limtttee tkk 165210(1)( )(51)ksW sss20121( )2rx tgg tg t( )( )( )erE sW sXs2323510 105sssss11( )kW s16623235( )10 105essW sssss2 + 5s310+10s+s2+5s32110s1/2s51/2s5+325s2s6s2+s3+1/10s4+4s3_ 1/10s4_ 4s3+4s4+ 2/5s5+_ 41/10s4_ _ 9/10s52s6_ 441100s41/10s4_ 23( )12( )105rE sssXs01235,10,2kkkk 1672312( )( )( )10512( )( )( )105rrrrE ss Xss Xse txtxt122( ),( ),( )0rrrx tgg t x tgx t( )lim ( )tee t 2( )10ge t 2lim10tg210g16811(1)( )( )(1)miin NjkjNTsG s H ssT sK型0型