隱函數(shù)求導(dǎo)公式PPT課件

1、1:公式推導(dǎo)公式推導(dǎo)0),(yxF)(xyy 0)(,(xyxFFxyx:求導(dǎo)求導(dǎo)0dxdyyFxFyxFFdxdy第1頁/共23頁2例例驗驗證證方方程程0122 yx在在點點)1 , 0(的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)能能唯唯一一確確定定一一個個單單值值可可導(dǎo)導(dǎo)、且且0 x時時1 y的的隱隱函函數(shù)數(shù))(xfy ，并并求求這這函函數(shù)數(shù)的的一一階階和和二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在0 x的的值值.解解令1),(22 yxyxF則,2xFx ,2yFy , 0)1 , 0( F, 02)1 , 0( yF依依定定理理知知方方程程0122 yx在在點點)1 , 0(的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)能能唯唯一一確確定定一一個個單單值

2、值可可導(dǎo)導(dǎo)、且且0 x時時1 y的的函函數(shù)數(shù))(xfy 第2頁/共23頁3函函數(shù)數(shù)的的一一階階和和二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為yxFFdxdy ,yx , 00 xdxdy22dxyd2yyxxy ,13y . 1022 xdxyd2yyxy第3頁/共23頁4解解 令則,arctan)ln(21),(22xyyxyxF,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 第4頁/共23頁5:另解另解求導(dǎo)求導(dǎo)兩邊對兩邊對x222221yxyyx2211xyxyxy)(dxdy.xyyx第5頁/共23頁6隱隱函函數(shù)數(shù)存存在在定定理理 2 2 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(zyxF在

3、在點點,(0 xP ),00zy的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有連連續(xù)續(xù)的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且,(0 xF 0),00 zy，0),(000 zyxFz，則則方方程程,(yxF 0) z在在點點),(000zyxP的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)恒恒能能唯唯一一確確定定一一個個單單值值連連續(xù)續(xù)且且具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)),(yxfz ，它它滿滿足足條條件件),(000yxfz ， 并并有有 zxFFxz ， zyFFyz . . 0),(. 2 zyxF),(yxzz ?,yzxz如何求如何求第6頁/共23頁7:公式推導(dǎo)公式推導(dǎo),),(0zyxF),(yxzz ,),(,(0yxzyxF

4、Fxyzxy求求導(dǎo)導(dǎo)將將上上式式分分別別對對yx,0 xzFFzxzxFFxz0yzFFzyzyFFyz第7頁/共23頁8解解令則,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFz,2zxFFxzzx :另解另解求偏導(dǎo)求偏導(dǎo)對對x0422xzxzzx,zxxz2第8頁/共23頁9.)2()2(322zxz 2)2(2)2(zzxxz 2)2()2(zxzxz )(xzxxz22)(zxx2第9頁/共23頁10思路：解解令, zyxu ,xyzv 則),(vufz 第10頁/共23頁11xz )1(xzfu ),(xzxyyzfv 整理得xz ,1vuvuxyffyzff )1(0

5、yxfu),(yxyzxzfv ),(vufz , zyxu ,xyzv 第11頁/共23頁12整理得,vuvuyzffxzff yx )1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得zy .1vuvuxzffxyff ),(vufz , zyxu ,xyzv 第12頁/共23頁13例5解：解：記記)(),(zyzxzyxF , 則則zFx1 ，,1)(zzyFy ,)()(22zyzyzxFz ,)(zyyxzFFxzzx ,)()(zyyxzyzFFyzzy 于是于是zyzyxzx .第13頁/共23頁14 xz例例6. 設(shè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) , 已知方程 ),(vuF, 0),(zyzxF.

6、 zd解法一解法一 . 設(shè)是由方程 ),(yxfz 0),(zyzxFzxFFxz yz212FyFxFz211FyFxFzydyzxdxzzd求1F 1F)(2zx 2F)(2zy2F確定)(2121ydFxdFFyFxz的隱函數(shù) , 則z1z1 1F)(2zx 2F)(2zy第14頁/共23頁15解法二解法二. . 對方程兩邊微分 1F)(2121ydFxdFFyFxzzd)(2zzdxxdzzdzFyFx221zydFxdF21例例6. .設(shè) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) , 已知方程 ),(vuF, 0),(zyzxF. zd求)(2zzdyydz)(zxd 2F0)(zyd 1F 2F0第15頁/

7、共23頁16 0),(0),(vuyxGvuyxF二、方程組的情形),(),(yxvvyxuu?,yvxvyuxu如何求如何求第16頁/共23頁1700),(),(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu00),(),(,(),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF求偏導(dǎo)求偏導(dǎo)方程組對方程組對x00 xvGxuGGxvFxuFFvuxvuxxvxu,求偏導(dǎo)求偏導(dǎo)方程組對方程組對yyvyu,第17頁/共23頁18解解 將所給方程的兩邊對 求導(dǎo)x,00 xvxvxuyxvyxuxu解得解得,22yxyvxuxu ,22yxxvyuyu 第18頁/共23頁19將所給方程的兩邊對 求導(dǎo)，用同樣方法得y,22yxyuxvyu .22yxyvxuyv 第19頁/共23頁208例例.,sindzduzyxzyxxyu求求且且10222:解解求導(dǎo)求導(dǎo)方程組對方程組對z022201zdzdyydzdxxdzdydzdx,yxzydzdxyxxzdzdydzdudzd