自動控制原理 夏超英 +習題解答

1、第二章 習題解答2-1試求以下各函數(shù)的拉氏變換。a，b，c，d，e，f，g，h解：abcd，efgh2-2試求圖所示各信號的拉氏變換。a b c d圖2.54 習題2-2圖解：abcd所以2-3運用局部分式展開，求以下各像函數(shù)的原函數(shù)。a，b，c，d，e，f解：a局部分式分解有查表得b局部分式分解有查表得c局部分式分解有查表得d局部分式分解有查表得e局部分式分解有查表得f根據位移定理有2-4用拉氏變換求解下面的常微分方程。abcd解：a根據微分定理，微分方程兩邊拉氏變換得即局部分式分解有拉氏反變換得到b根據微分定理，微分方程兩邊拉氏變換得即局部分式分解有拉氏反變換得到c根據微分定理，微分方程兩

2、邊拉氏變換得即局部分式分解有拉氏反變換得到d根據微分定理，微分方程兩邊拉氏變換得即局部分式分解有拉氏反變換得到注：可利用Matlab命令來求解微分方程。例如對此題的a，鍵入Matlab命令回車后得到2-5設質量、彈簧、阻尼器系統(tǒng)如圖a、b、c所示，圖中是輸入位移，是輸出位移。試分別列寫各系統(tǒng)的輸入輸出微分方程描述。 a b c圖5 習題2-5圖解：a對于圖a所示的質量、彈簧、阻尼器系統(tǒng)，有即b對于圖b所示的質量、彈簧、阻尼器系統(tǒng)，設彈簧下端位置為，那么有即有消去中間變量得到c對于圖c所示的質量、彈簧、阻尼器系統(tǒng)，有即2-6車輪的減震器模型如下圖，圖中為減振系統(tǒng)支撐點向上的位移，單位為；為去掉四

3、個車輪質量后的整車質量的四分之一；為減震器的彈性系數(shù)；為減震器的阻尼系數(shù)；kg為單個車輪的質量；為輪胎的彈性系數(shù)。圖中所示為重力作用下，車輛在水平路面勻速行駛時減振系統(tǒng)所處于的平衡位置。考慮由于路面不平引起的輪胎變形，減振系統(tǒng)支撐點的增量運動，求二者間的輸入輸出微分方程并求傳遞函數(shù)。 圖6 習題2-6圖解：根據牛頓力學知識，有對上面的第2式微分，將表示成、的函數(shù)有將結果代入上面的第1式，消去得將結果代入上面的第2式，消去得將上述的結果及其微分代入到上面的第2式，消去和，整理得根據上面的結果得到傳遞函數(shù)為將各個參數(shù)的數(shù)值代入得到2-7用一根彈簧連接兩個擺，如下圖，系統(tǒng)在下平衡位置時彈簧剛好不受力

4、。以作用力作為輸入，作為輸出，求系統(tǒng)下平衡位置附近的輸入輸出微分方程并求傳遞函數(shù)。圖7 習題2-7圖解：在下平衡位置附近，下平衡位置附近系統(tǒng)的微分方程為從上述第2式解出為代入到上述第1式得到根據上面的結果得到傳遞函數(shù)為2-8試證明圖中a的電網絡與(b)的機械系統(tǒng)有相同的數(shù)學模型。 (a) (b)圖7 習題2-8圖解：對于圖7a所示電路，根據復阻抗的概念有于是，輸入輸出微分方程描述為對于圖7b所示電路彈簧阻尼器系統(tǒng)，根據牛頓定律有式中為阻尼器上端的位置。為消去中間變量，先由第1式有將結果代入到上面的第2式解出即有將結果代入到上面的第1式有即它和圖中a的電網絡有相似的數(shù)學模型。2-9運算放大器是有

5、源器件，實際中通常以供電電源的地作為參考點，如圖a所示，、和分別是反向輸入端、正向輸入端、輸出端對參考點的電壓，那么有式中為運算放大器的差動放大倍數(shù)，在很寬的頻率范圍內它是一個很大的值。 a b圖8 習題2-9圖圖b所示為運算放大器的典型應用電路，圖中為輸入復阻抗，為輸出復阻抗。運算放大器的輸入阻抗很高，輸出阻抗很低，差動放大倍數(shù)很大。所以從兩輸入端流入或流出的電流都很小，正向輸入端的電位接近于零，而且在運算放大器正負供電電源限定的線性輸出范圍內，電壓差也很小，反向輸入端的電位也接近于零，稱為虛地。于是有下述關系存在所以有即圖b所示運算放大器電路的傳遞函數(shù)為輸出復阻抗與輸入復阻抗之比的負值。a

6、設輸入復阻抗和輸出端復阻抗是電阻和，試求傳遞函數(shù)。b設輸入復阻抗是電阻，輸出端復阻抗是電容，試求傳遞函數(shù)。c設輸入復阻抗是電阻，輸出端復阻抗是電阻和電容串聯(lián)，試求傳遞函數(shù)。d設輸入復阻抗是電阻和電容并聯(lián)，輸出端復阻抗是電阻，試求傳遞函數(shù)。解：a此時，故有是一個比例環(huán)節(jié)。b此時，故有是一個積分環(huán)節(jié)，積分時間常數(shù)為。c此時，故有是一個比例+積分環(huán)節(jié)，比例系數(shù)為，積分時間常數(shù)為。d此時，故有是一個比例+微分環(huán)節(jié)，比例系數(shù)為，時間常數(shù)為。2-10由運算放大器組成的同向輸入和差分輸入放大器電路如圖a、b所示，試求各自的傳遞函數(shù)。 (a) (b)圖9 習題2-10圖解：對于圖a所示同向輸入的放大器電路，運

7、算放大器正向輸入端“和反向輸入端“根本同電位，且正負輸入端間的輸入阻抗很大，因此有因此有式中、為電路中的復阻抗。對于圖b所示差分輸入的放大器電路，同樣因為運算放大器正向輸入端和反向輸入端根本同電位，且正負輸入端間的輸入阻抗很大，有式中，、分別為同向輸入阻抗左端對地、反向輸入阻抗左端對地、運算放大器輸出端對地的電壓，因此有即因為，所以2-11設晶閘管三相橋式全控整流電路的輸入量為控制角，輸出量為空載整流電壓，它們之間的關系為式中是控制角時的空載整流電壓值。試推導整流裝置在靜態(tài)工作點附近的線性化方程。解：設在靜態(tài)工作點上滿足靜態(tài)工作點附近增量間滿足故得整流裝置在靜態(tài)工作點附近的線性化方程為式中，。

8、2-12某試驗室通過兩水箱做水流量試驗，如圖2.60所示，假設左側水箱的截面積為，右側水箱的截面積為，、截流孔的大小相同，、截流孔等高，設為水面到截流孔的高差，通過各截流孔的流量滿足關系式a假定孔封閉，孔翻開，求從水泵流量到水位的傳遞函數(shù)；b假定孔封閉，孔翻開，求從水泵流量到水位的傳遞函數(shù)。圖2.60 習題2-12圖解：a假定孔封閉，孔翻開，水泵流量，流過截流孔、的流量、間滿足將和表示成液位差的函數(shù)有靜態(tài)工作點的增量間滿足消去中間變量有故得水泵流量到水位的傳遞函數(shù)為b假定孔封閉，孔翻開，水泵流量，流過截流孔、的流量、間滿足將和表示成液位差的函數(shù)有靜態(tài)工作點的增量間滿足消去中間變量有故得水泵流量

9、到水位的傳遞函數(shù)為2-13熱交換器的示意圖如下圖，圖中外層夾套中的蒸汽用來加熱罐中的液體，設流入夾套中蒸汽的溫度為，流量為，夾套流出的蒸汽溫度為，流量為，且；流入罐中液體的溫度為，流量為，罐中流出的液體溫度為，流量為，且。罐內液體由于有攪拌作用，可以認為溫度是均勻的，即有。根據熱傳導原理，夾套中蒸汽溫度的變化率正比于進入夾層的凈熱量，即有式中，為夾套內蒸汽的熱溶，為蒸汽的比熱，整個交換器平均熱流量的熱阻。同理，罐中液體溫度的變化率成正比于進入罐內的熱量，即有式中，為罐內液體的熱溶，為水的比熱。假設為常值，系統(tǒng)工作在某靜態(tài)工作點附近，靜態(tài)工作點滿足給流量一擾動或給一擾動，求兩種情況下關于增量的傳

10、遞函數(shù)和。圖2.61 習題2-13圖解：給流量一擾動，記、，那么有將靜態(tài)工作點滿足條件代入得略去二階增量，有消去中間變量得到 故有同理，給一擾動，記、，那么有將靜態(tài)工作點滿足條件代入得消去中間變量得到故有2-14直流電動機如下圖，設電樞電壓和負載轉矩輸入為常值，應用終值定理求取電機轉速和電樞電壓、負載轉矩間的穩(wěn)態(tài)關系式。以負載轉矩為橫軸，轉速為縱軸，繪制電機的靜態(tài)特性曲線，解釋其含義。解：電樞電壓和負載轉矩作為輸入轉速作為輸出，電動機的傳遞函數(shù)為設電樞電壓為常值，負載轉矩輸入為常值，即，那么有應用終值定理得電機轉速和電樞電壓、負載轉矩間的穩(wěn)態(tài)關系式為如以下圖所示，電機穩(wěn)態(tài)轉速隨供電電壓的提高而

11、提高，隨負載轉矩的加大而降低。2-15某系統(tǒng)在零初始條件下的單位階躍響應為求該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和脈沖響應。解：系統(tǒng)的脈沖響應是系統(tǒng)階躍響應對時間求導數(shù)，即系統(tǒng)的傳遞函數(shù)等于系統(tǒng)脈沖響應函數(shù)的拉氏變換，即2-16設系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為初始條件，。試求階躍輸入時系統(tǒng)的輸出響應。解：系統(tǒng)的微分方程描述為應用微分定理有，于是有拉氏反變換得到2-17在圖2.62所示電路中，二極管是一非線性元件，流經它的電流和加在它上面的電壓滿足關系，設電路中，。圖2.62 習題2-17圖a列寫系統(tǒng)輸入和輸出之間滿足的微分方程，畫出反映系統(tǒng)動態(tài)特性的方框圖。b設系統(tǒng)靜態(tài)工作點為，求靜態(tài)工作點附近輸入、輸出增量、間的傳遞函數(shù)。解

12、：a圖2.62所示含有非線性元件二極管的電路滿足將代入上式消去中間變量得輸入和輸出之間滿足的微分方程為反映系統(tǒng)動態(tài)特性的方框圖如以下圖所示。b從靜態(tài)工作點，算得非線性元件二極管的靜態(tài)工作點為，非線性元件二極管在靜態(tài)工作的線性化模型為各變量用增量替代，將上面的結果代入得即有2-18由運算放大器組成的控制系統(tǒng)模擬電路如圖2.63所示，試求閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。圖2.63 習題2-18圖解：第1級運放的傳遞函數(shù)為第2級運放的傳遞函數(shù)為第3級運放的傳遞函數(shù)為閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為2-19根據電樞控制的直流電動機的微分方程以轉速作為輸出，畫出直流電動機的結構圖，并由結構圖求出電動機的傳遞函數(shù)和。解：設系統(tǒng)初

13、始條件為零，上述方程取拉氏變換得到據此繪制電動機的動態(tài)結構圖如以下圖所示。由電動機的動態(tài)結構圖得到傳遞函數(shù)2-20某位置隨動系統(tǒng)結構圖如圖2.64所示。給定電位器的最大工作角度，功率放大級放大系數(shù)為。a試求傳遞系數(shù)、第一級和第二級放大器的比例系數(shù)和。b試繪制系統(tǒng)的動態(tài)結構圖。c化簡系統(tǒng)的動態(tài)結構圖，求傳遞函數(shù)。圖2.64 習題2-20圖解：a，。b設電樞控制的直流電機的簡化模型為繪制系統(tǒng)的動態(tài)結構圖如以下圖所示。由系統(tǒng)的動態(tài)結構圖得到傳遞函數(shù)2-21系統(tǒng)的動態(tài)結構圖如圖2.65a、b、c、d、e所示，試通過結構圖等效變換求傳遞函數(shù)。 a bcde圖2.65 習題2-21圖a根據向同類相鄰點移動

14、的原那么，將左面的綜合點移動到右面的綜合點，結構圖等效變換為求得傳遞函數(shù)為b應用反應連接的等效變換法那么簡化反應通路，結構圖等效變換為求得傳遞函數(shù)為c根據向同類相鄰點移動的原那么，將第1個綜合點向后移動到第2個綜合點，結構圖等效變換為求得傳遞函數(shù)為d根據向同類相鄰點移動的原那么，將第2個綜合點向前移動到第1個綜合點，將第2個取出點向后移動到第3個取出點，結構圖等效變換為求得傳遞函數(shù)為e根據向同類相鄰點移動的原那么，將第2個綜合點向前移動到第1個綜合點，結構圖等效變換為求得傳遞函數(shù)為2-22試通過結構圖化簡求圖a、b所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和。ab圖2.66 習題2-22圖解：a令，合并反應通路結構圖

15、變換為得到傳遞函數(shù)為令，合并化簡反應通路，結構圖變換為得到傳遞函數(shù)為b令，根據向同類相鄰點移動的原那么，將第2個綜合點向后移動到第2個綜合點，結構圖等效變換為得到傳遞函數(shù)為令，根據向同類相鄰點移動的原那么，結構圖等效變換為得到傳遞函數(shù)為2-23畫出圖2.66a、b所示系統(tǒng)的信號流圖，并用梅遜增益公式求各系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和。解：a圖2.66a所示系統(tǒng)的信號流圖為用梅遜增益公式求得傳遞函數(shù)為b圖2.66b所示系統(tǒng)的信號流圖為用梅遜增益公式求得傳遞函數(shù)為2-24試繪制圖2.67中各系統(tǒng)的信號流圖，并用梅遜增益公式求各系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和。ab圖2.67 習題2-24圖解：a共有3個回路，回路傳遞函數(shù)為分別

16、為，其中2個互不相接觸回路的傳遞函數(shù)的乘積為。由到共有2個前向通路，這2個前向通路的傳遞函數(shù)及相應的余子式分別為，。故得傳遞函數(shù)由到共有2個前向通路，這2個前向通路的傳遞函數(shù)及相應的余子式分別為，。故得傳遞函數(shù)b共有5個回路，回路傳遞函數(shù)為分別為，沒有互不相接觸的回路。由到共有4個前向通路，這4個前向通路的傳遞函數(shù)及相應的余子式分別為，。故得傳遞函數(shù)由到共有1個前向通路，這1個前向通路的傳遞函數(shù)及相應的余子式分別為，。故得傳遞函數(shù)2-25試用梅遜增益公式求圖2.68中各系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。a(b)(c)(d)e圖2.68 習題2-25圖解：a共有3個回路，回路傳遞函數(shù)為分別為，沒有不相接觸的回路。由到共有2個前向通路，這2個前向通路的傳遞函數(shù)及相應的余子式分別為，。故得傳遞函數(shù)b共有9個回路，回路傳遞函數(shù)為分別為，其中2個互不相接觸回路的傳遞函數(shù)的乘積為，3個互不相接觸回路的傳遞函數(shù)的乘積為。由到共有4個前向通路，這4個前向通路的傳遞函數(shù)及相應的余子式分別為，。故得傳遞函數(shù)c共有3個回路，回路傳遞函數(shù)為分別為，其中2個互不相接觸回路的傳遞函數(shù)的乘積為，。由到共有2個前向通路，這2個前向通路的傳遞函數(shù)及相應的余子式分別為，。故得傳遞函數(shù)d共有4個回路，回路傳遞函數(shù)為分別為