自動(dòng)控制原理 夏超英 +習(xí)題解答

1、第二章 習(xí)題解答2-1試求以下各函數(shù)的拉氏變換。a，b，c，d，e，f，g，h解：abcd，efgh2-2試求圖所示各信號(hào)的拉氏變換。a b c d圖2.54 習(xí)題2-2圖解：abcd所以2-3運(yùn)用局部分式展開，求以下各像函數(shù)的原函數(shù)。a，b，c，d，e，f解：a局部分式分解有查表得b局部分式分解有查表得c局部分式分解有查表得d局部分式分解有查表得e局部分式分解有查表得f根據(jù)位移定理有2-4用拉氏變換求解下面的常微分方程。abcd解：a根據(jù)微分定理，微分方程兩邊拉氏變換得即局部分式分解有拉氏反變換得到b根據(jù)微分定理，微分方程兩邊拉氏變換得即局部分式分解有拉氏反變換得到c根據(jù)微分定理，微分方程兩

2、邊拉氏變換得即局部分式分解有拉氏反變換得到d根據(jù)微分定理，微分方程兩邊拉氏變換得即局部分式分解有拉氏反變換得到注：可利用Matlab命令來求解微分方程。例如對(duì)此題的a，鍵入Matlab命令回車后得到2-5設(shè)質(zhì)量、彈簧、阻尼器系統(tǒng)如圖a、b、c所示，圖中是輸入位移，是輸出位移。試分別列寫各系統(tǒng)的輸入輸出微分方程描述。 a b c圖5 習(xí)題2-5圖解：a對(duì)于圖a所示的質(zhì)量、彈簧、阻尼器系統(tǒng)，有即b對(duì)于圖b所示的質(zhì)量、彈簧、阻尼器系統(tǒng)，設(shè)彈簧下端位置為，那么有即有消去中間變量得到c對(duì)于圖c所示的質(zhì)量、彈簧、阻尼器系統(tǒng)，有即2-6車輪的減震器模型如下圖，圖中為減振系統(tǒng)支撐點(diǎn)向上的位移，單位為；為去掉四

3、個(gè)車輪質(zhì)量后的整車質(zhì)量的四分之一；為減震器的彈性系數(shù)；為減震器的阻尼系數(shù)；kg為單個(gè)車輪的質(zhì)量；為輪胎的彈性系數(shù)。圖中所示為重力作用下，車輛在水平路面勻速行駛時(shí)減振系統(tǒng)所處于的平衡位置。考慮由于路面不平引起的輪胎變形，減振系統(tǒng)支撐點(diǎn)的增量運(yùn)動(dòng)，求二者間的輸入輸出微分方程并求傳遞函數(shù)。 圖6 習(xí)題2-6圖解：根據(jù)牛頓力學(xué)知識(shí)，有對(duì)上面的第2式微分，將表示成、的函數(shù)有將結(jié)果代入上面的第1式，消去得將結(jié)果代入上面的第2式，消去得將上述的結(jié)果及其微分代入到上面的第2式，消去和，整理得根據(jù)上面的結(jié)果得到傳遞函數(shù)為將各個(gè)參數(shù)的數(shù)值代入得到2-7用一根彈簧連接兩個(gè)擺，如下圖，系統(tǒng)在下平衡位置時(shí)彈簧剛好不受力

4、。以作用力作為輸入，作為輸出，求系統(tǒng)下平衡位置附近的輸入輸出微分方程并求傳遞函數(shù)。圖7 習(xí)題2-7圖解：在下平衡位置附近，下平衡位置附近系統(tǒng)的微分方程為從上述第2式解出為代入到上述第1式得到根據(jù)上面的結(jié)果得到傳遞函數(shù)為2-8試證明圖中a的電網(wǎng)絡(luò)與(b)的機(jī)械系統(tǒng)有相同的數(shù)學(xué)模型。 (a) (b)圖7 習(xí)題2-8圖解：對(duì)于圖7a所示電路，根據(jù)復(fù)阻抗的概念有于是，輸入輸出微分方程描述為對(duì)于圖7b所示電路彈簧阻尼器系統(tǒng)，根據(jù)牛頓定律有式中為阻尼器上端的位置。為消去中間變量，先由第1式有將結(jié)果代入到上面的第2式解出即有將結(jié)果代入到上面的第1式有即它和圖中a的電網(wǎng)絡(luò)有相似的數(shù)學(xué)模型。2-9運(yùn)算放大器是有

5、源器件，實(shí)際中通常以供電電源的地作為參考點(diǎn)，如圖a所示，、和分別是反向輸入端、正向輸入端、輸出端對(duì)參考點(diǎn)的電壓，那么有式中為運(yùn)算放大器的差動(dòng)放大倍數(shù)，在很寬的頻率范圍內(nèi)它是一個(gè)很大的值。 a b圖8 習(xí)題2-9圖圖b所示為運(yùn)算放大器的典型應(yīng)用電路，圖中為輸入復(fù)阻抗，為輸出復(fù)阻抗。運(yùn)算放大器的輸入阻抗很高，輸出阻抗很低，差動(dòng)放大倍數(shù)很大。所以從兩輸入端流入或流出的電流都很小，正向輸入端的電位接近于零，而且在運(yùn)算放大器正負(fù)供電電源限定的線性輸出范圍內(nèi)，電壓差也很小，反向輸入端的電位也接近于零，稱為虛地。于是有下述關(guān)系存在所以有即圖b所示運(yùn)算放大器電路的傳遞函數(shù)為輸出復(fù)阻抗與輸入復(fù)阻抗之比的負(fù)值。a

6、設(shè)輸入復(fù)阻抗和輸出端復(fù)阻抗是電阻和，試求傳遞函數(shù)。b設(shè)輸入復(fù)阻抗是電阻，輸出端復(fù)阻抗是電容，試求傳遞函數(shù)。c設(shè)輸入復(fù)阻抗是電阻，輸出端復(fù)阻抗是電阻和電容串聯(lián)，試求傳遞函數(shù)。d設(shè)輸入復(fù)阻抗是電阻和電容并聯(lián)，輸出端復(fù)阻抗是電阻，試求傳遞函數(shù)。解：a此時(shí)，故有是一個(gè)比例環(huán)節(jié)。b此時(shí)，故有是一個(gè)積分環(huán)節(jié)，積分時(shí)間常數(shù)為。c此時(shí)，故有是一個(gè)比例+積分環(huán)節(jié)，比例系數(shù)為，積分時(shí)間常數(shù)為。d此時(shí)，故有是一個(gè)比例+微分環(huán)節(jié)，比例系數(shù)為，時(shí)間常數(shù)為。2-10由運(yùn)算放大器組成的同向輸入和差分輸入放大器電路如圖a、b所示，試求各自的傳遞函數(shù)。 (a) (b)圖9 習(xí)題2-10圖解：對(duì)于圖a所示同向輸入的放大器電路，運(yùn)

7、算放大器正向輸入端“和反向輸入端“根本同電位，且正負(fù)輸入端間的輸入阻抗很大，因此有因此有式中、為電路中的復(fù)阻抗。對(duì)于圖b所示差分輸入的放大器電路，同樣因?yàn)檫\(yùn)算放大器正向輸入端和反向輸入端根本同電位，且正負(fù)輸入端間的輸入阻抗很大，有式中，、分別為同向輸入阻抗左端對(duì)地、反向輸入阻抗左端對(duì)地、運(yùn)算放大器輸出端對(duì)地的電壓，因此有即因?yàn)?，所?-11設(shè)晶閘管三相橋式全控整流電路的輸入量為控制角，輸出量為空載整流電壓，它們之間的關(guān)系為式中是控制角時(shí)的空載整流電壓值。試推導(dǎo)整流裝置在靜態(tài)工作點(diǎn)附近的線性化方程。解：設(shè)在靜態(tài)工作點(diǎn)上滿足靜態(tài)工作點(diǎn)附近增量間滿足故得整流裝置在靜態(tài)工作點(diǎn)附近的線性化方程為式中，。

8、2-12某試驗(yàn)室通過兩水箱做水流量試驗(yàn)，如圖2.60所示，假設(shè)左側(cè)水箱的截面積為，右側(cè)水箱的截面積為，、截流孔的大小相同，、截流孔等高，設(shè)為水面到截流孔的高差，通過各截流孔的流量滿足關(guān)系式a假定孔封閉，孔翻開，求從水泵流量到水位的傳遞函數(shù)；b假定孔封閉，孔翻開，求從水泵流量到水位的傳遞函數(shù)。圖2.60 習(xí)題2-12圖解：a假定孔封閉，孔翻開，水泵流量，流過截流孔、的流量、間滿足將和表示成液位差的函數(shù)有靜態(tài)工作點(diǎn)的增量間滿足消去中間變量有故得水泵流量到水位的傳遞函數(shù)為b假定孔封閉，孔翻開，水泵流量，流過截流孔、的流量、間滿足將和表示成液位差的函數(shù)有靜態(tài)工作點(diǎn)的增量間滿足消去中間變量有故得水泵流量

9、到水位的傳遞函數(shù)為2-13熱交換器的示意圖如下圖，圖中外層夾套中的蒸汽用來加熱罐中的液體，設(shè)流入夾套中蒸汽的溫度為，流量為，夾套流出的蒸汽溫度為，流量為，且；流入罐中液體的溫度為，流量為，罐中流出的液體溫度為，流量為，且。罐內(nèi)液體由于有攪拌作用，可以認(rèn)為溫度是均勻的，即有。根據(jù)熱傳導(dǎo)原理，夾套中蒸汽溫度的變化率正比于進(jìn)入夾層的凈熱量，即有式中，為夾套內(nèi)蒸汽的熱溶，為蒸汽的比熱，整個(gè)交換器平均熱流量的熱阻。同理，罐中液體溫度的變化率成正比于進(jìn)入罐內(nèi)的熱量，即有式中，為罐內(nèi)液體的熱溶，為水的比熱。假設(shè)為常值，系統(tǒng)工作在某靜態(tài)工作點(diǎn)附近，靜態(tài)工作點(diǎn)滿足給流量一擾動(dòng)或給一擾動(dòng)，求兩種情況下關(guān)于增量的傳

10、遞函數(shù)和。圖2.61 習(xí)題2-13圖解：給流量一擾動(dòng)，記、，那么有將靜態(tài)工作點(diǎn)滿足條件代入得略去二階增量，有消去中間變量得到 故有同理，給一擾動(dòng)，記、，那么有將靜態(tài)工作點(diǎn)滿足條件代入得消去中間變量得到故有2-14直流電動(dòng)機(jī)如下圖，設(shè)電樞電壓和負(fù)載轉(zhuǎn)矩輸入為常值，應(yīng)用終值定理求取電機(jī)轉(zhuǎn)速和電樞電壓、負(fù)載轉(zhuǎn)矩間的穩(wěn)態(tài)關(guān)系式。以負(fù)載轉(zhuǎn)矩為橫軸，轉(zhuǎn)速為縱軸，繪制電機(jī)的靜態(tài)特性曲線，解釋其含義。解：電樞電壓和負(fù)載轉(zhuǎn)矩作為輸入轉(zhuǎn)速作為輸出，電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù)為設(shè)電樞電壓為常值，負(fù)載轉(zhuǎn)矩輸入為常值，即，那么有應(yīng)用終值定理得電機(jī)轉(zhuǎn)速和電樞電壓、負(fù)載轉(zhuǎn)矩間的穩(wěn)態(tài)關(guān)系式為如以下圖所示，電機(jī)穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速隨供電電壓的提高而

11、提高，隨負(fù)載轉(zhuǎn)矩的加大而降低。2-15某系統(tǒng)在零初始條件下的單位階躍響應(yīng)為求該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和脈沖響應(yīng)。解：系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)是系統(tǒng)階躍響應(yīng)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，即系統(tǒng)的傳遞函數(shù)等于系統(tǒng)脈沖響應(yīng)函數(shù)的拉氏變換，即2-16設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為初始條件，。試求階躍輸入時(shí)系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。解：系統(tǒng)的微分方程描述為應(yīng)用微分定理有，于是有拉氏反變換得到2-17在圖2.62所示電路中，二極管是一非線性元件，流經(jīng)它的電流和加在它上面的電壓滿足關(guān)系，設(shè)電路中，。圖2.62 習(xí)題2-17圖a列寫系統(tǒng)輸入和輸出之間滿足的微分方程，畫出反映系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的方框圖。b設(shè)系統(tǒng)靜態(tài)工作點(diǎn)為，求靜態(tài)工作點(diǎn)附近輸入、輸出增量、間的傳遞函數(shù)。解

12、：a圖2.62所示含有非線性元件二極管的電路滿足將代入上式消去中間變量得輸入和輸出之間滿足的微分方程為反映系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的方框圖如以下圖所示。b從靜態(tài)工作點(diǎn)，算得非線性元件二極管的靜態(tài)工作點(diǎn)為，非線性元件二極管在靜態(tài)工作的線性化模型為各變量用增量替代，將上面的結(jié)果代入得即有2-18由運(yùn)算放大器組成的控制系統(tǒng)模擬電路如圖2.63所示，試求閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。圖2.63 習(xí)題2-18圖解：第1級(jí)運(yùn)放的傳遞函數(shù)為第2級(jí)運(yùn)放的傳遞函數(shù)為第3級(jí)運(yùn)放的傳遞函數(shù)為閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為2-19根據(jù)電樞控制的直流電動(dòng)機(jī)的微分方程以轉(zhuǎn)速作為輸出，畫出直流電動(dòng)機(jī)的結(jié)構(gòu)圖，并由結(jié)構(gòu)圖求出電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù)和。解：設(shè)系統(tǒng)初

13、始條件為零，上述方程取拉氏變換得到據(jù)此繪制電動(dòng)機(jī)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖如以下圖所示。由電動(dòng)機(jī)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖得到傳遞函數(shù)2-20某位置隨動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2.64所示。給定電位器的最大工作角度，功率放大級(jí)放大系數(shù)為。a試求傳遞系數(shù)、第一級(jí)和第二級(jí)放大器的比例系數(shù)和。b試?yán)L制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。c化簡(jiǎn)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖，求傳遞函數(shù)。圖2.64 習(xí)題2-20圖解：a，。b設(shè)電樞控制的直流電機(jī)的簡(jiǎn)化模型為繪制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖如以下圖所示。由系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖得到傳遞函數(shù)2-21系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖如圖2.65a、b、c、d、e所示，試通過結(jié)構(gòu)圖等效變換求傳遞函數(shù)。 a bcde圖2.65 習(xí)題2-21圖a根據(jù)向同類相鄰點(diǎn)移動(dòng)

14、的原那么，將左面的綜合點(diǎn)移動(dòng)到右面的綜合點(diǎn)，結(jié)構(gòu)圖等效變換為求得傳遞函數(shù)為b應(yīng)用反應(yīng)連接的等效變換法那么簡(jiǎn)化反應(yīng)通路，結(jié)構(gòu)圖等效變換為求得傳遞函數(shù)為c根據(jù)向同類相鄰點(diǎn)移動(dòng)的原那么，將第1個(gè)綜合點(diǎn)向后移動(dòng)到第2個(gè)綜合點(diǎn)，結(jié)構(gòu)圖等效變換為求得傳遞函數(shù)為d根據(jù)向同類相鄰點(diǎn)移動(dòng)的原那么，將第2個(gè)綜合點(diǎn)向前移動(dòng)到第1個(gè)綜合點(diǎn)，將第2個(gè)取出點(diǎn)向后移動(dòng)到第3個(gè)取出點(diǎn)，結(jié)構(gòu)圖等效變換為求得傳遞函數(shù)為e根據(jù)向同類相鄰點(diǎn)移動(dòng)的原那么，將第2個(gè)綜合點(diǎn)向前移動(dòng)到第1個(gè)綜合點(diǎn)，結(jié)構(gòu)圖等效變換為求得傳遞函數(shù)為2-22試通過結(jié)構(gòu)圖化簡(jiǎn)求圖a、b所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和。ab圖2.66 習(xí)題2-22圖解：a令，合并反應(yīng)通路結(jié)構(gòu)圖

15、變換為得到傳遞函數(shù)為令，合并化簡(jiǎn)反應(yīng)通路，結(jié)構(gòu)圖變換為得到傳遞函數(shù)為b令，根據(jù)向同類相鄰點(diǎn)移動(dòng)的原那么，將第2個(gè)綜合點(diǎn)向后移動(dòng)到第2個(gè)綜合點(diǎn)，結(jié)構(gòu)圖等效變換為得到傳遞函數(shù)為令，根據(jù)向同類相鄰點(diǎn)移動(dòng)的原那么，結(jié)構(gòu)圖等效變換為得到傳遞函數(shù)為2-23畫出圖2.66a、b所示系統(tǒng)的信號(hào)流圖，并用梅遜增益公式求各系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和。解：a圖2.66a所示系統(tǒng)的信號(hào)流圖為用梅遜增益公式求得傳遞函數(shù)為b圖2.66b所示系統(tǒng)的信號(hào)流圖為用梅遜增益公式求得傳遞函數(shù)為2-24試?yán)L制圖2.67中各系統(tǒng)的信號(hào)流圖，并用梅遜增益公式求各系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和。ab圖2.67 習(xí)題2-24圖解：a共有3個(gè)回路，回路傳遞函數(shù)為分別

16、為，其中2個(gè)互不相接觸回路的傳遞函數(shù)的乘積為。由到共有2個(gè)前向通路，這2個(gè)前向通路的傳遞函數(shù)及相應(yīng)的余子式分別為，。故得傳遞函數(shù)由到共有2個(gè)前向通路，這2個(gè)前向通路的傳遞函數(shù)及相應(yīng)的余子式分別為，。故得傳遞函數(shù)b共有5個(gè)回路，回路傳遞函數(shù)為分別為，沒有互不相接觸的回路。由到共有4個(gè)前向通路，這4個(gè)前向通路的傳遞函數(shù)及相應(yīng)的余子式分別為，。故得傳遞函數(shù)由到共有1個(gè)前向通路，這1個(gè)前向通路的傳遞函數(shù)及相應(yīng)的余子式分別為，。故得傳遞函數(shù)2-25試用梅遜增益公式求圖2.68中各系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。a(b)(c)(d)e圖2.68 習(xí)題2-25圖解：a共有3個(gè)回路，回路傳遞函數(shù)為分別為，沒有不相接觸的回路。由到共有2個(gè)前向通路，這2個(gè)前向通路的傳遞函數(shù)及相應(yīng)的余子式分別為，。故得傳遞函數(shù)b共有9個(gè)回路，回路傳遞函數(shù)為分別為，其中2個(gè)互不相接觸回路的傳遞函數(shù)的乘積為，3個(gè)互不相接觸回路的傳遞函數(shù)的乘積為。由到共有4個(gè)前向通路，這4個(gè)前向通路的傳遞函數(shù)及相應(yīng)的余子式分別為，。故得傳遞函數(shù)c共有3個(gè)回路，回路傳遞函數(shù)為分別為，其中2個(gè)互不相接觸回路的傳遞函數(shù)的乘積為，。由到共有2個(gè)前向通路，這2個(gè)前向通路的傳遞函數(shù)及相應(yīng)的余子式分別為，。故得傳遞函數(shù)d共有4個(gè)回路，回路傳遞函數(shù)為分別為