高中數(shù)學(xué)空間向量坐標(biāo)新人教B選修PPT課件

1、一、向量在軸上的投影與投影定理一、向量在軸上的投影與投影定理.上的有向線段上的有向線段是軸是軸，設(shè)有一軸設(shè)有一軸uABuuAB.ABABABuuABuABAB= = =l ll ll ll ll ll l，即，即的值，記作的值，記作上有向線段上有向線段叫做軸叫做軸那末數(shù)那末數(shù)是負(fù)的，是負(fù)的，軸反向時軸反向時與與是正的，當(dāng)是正的，當(dāng)向時向時軸同軸同與與，且當(dāng)，且當(dāng)滿足滿足如果數(shù)如果數(shù)第1頁/共26頁空間兩向量的夾角的概念：空間兩向量的夾角的概念：, 0 a, 0 bab 向量向量a與向量與向量b的夾角的夾角 ),(ba= = ),(ab= =類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角類似地，可定義

2、向量與一軸或空間兩軸的夾角. .特殊地，當(dāng)兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定特殊地，當(dāng)兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定它們的夾角可在它們的夾角可在0 0與與 之間任意取值之間任意取值. . )0( ),(ba= = ),(ab= =或者記作或者記作第2頁/共26頁空間一點(diǎn)在軸上的投影空間一點(diǎn)在軸上的投影u AA . 上的投影上的投影在在即為即為平面，交點(diǎn)平面，交點(diǎn)的垂直的垂直作軸作軸過過uAAuA 第3頁/共26頁空間一向量在軸上的投影空間一向量在軸上的投影uAA BB 已知向量的起點(diǎn)已知向量的起點(diǎn)A和終點(diǎn)和終點(diǎn)B在軸在軸 u上的投影分別上的投影分別為為BA , , 那么軸那么軸 u上的有向線段上的

3、有向線段 BA 的值，稱的值，稱為向量在軸為向量在軸u上的投影上的投影. . 第4頁/共26頁ABjuPr.BA = =向量向量AB在在 軸軸u上的投影記為上的投影記為 關(guān)于向量的投影定理（關(guān)于向量的投影定理（1 1）向量向量AB在軸在軸u上的投影等于向量的模乘以軸與向上的投影等于向量的模乘以軸與向量量 的夾角的余弦：的夾角的余弦： ABjuPr cos| AB= =證明證明B BuAA B ABjuPrABju Pr= = cos| AB= =u 第5頁/共26頁定理定理1 1的說明：的說明：投影為正；投影為正；投影為負(fù)；投影為負(fù)；投影為零；投影為零；(4)(4) 相等向量在同一軸上投影相等

4、；相等向量在同一軸上投影相等；uabc 0)1(,2 2)2(, = = )3(,2 第6頁/共26頁關(guān)于向量的投影定理（關(guān)于向量的投影定理（2 2）兩個向量的和在軸上的投影等于兩個向量兩個向量的和在軸上的投影等于兩個向量在該軸上的投影之和在該軸上的投影之和. . .PrPr)(Pr2121a ja jaaj = = AA BB CC （可推廣到有限多個）（可推廣到有限多個）u1a2a第7頁/共26頁AA BB CC u1a2a 如圖所示，由向量加如圖所示，由向量加證明證明法的三角形法則可知法的三角形法則可知. 21aaBCABAC = = = =.Pr , Pr , PrCAjACCBjBC

5、BAjAB = = = = = =由于由于CACBBA = = 所以所以jACjBCjABPr PrPr= = 即即).(Pr PrPr2121aajjaja = = 第8頁/共26頁二、向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐二、向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐標(biāo)標(biāo)1M1P2M2P上的投影分別為點(diǎn)上的投影分別為點(diǎn)在軸在軸點(diǎn)點(diǎn)為一條數(shù)軸為一條數(shù)軸為一向量，為一向量，設(shè)設(shè)212121,PPuMMuMMa = =上上的的坐坐標(biāo)標(biāo)依依次次為為在在軸軸又又設(shè)設(shè)2121,uuuPPuo,Pr21uuaMMj= =記記1221 OPOPPP = =,12uu = =.12uuau = =第9頁/共26頁如果如果e

6、是與是與u軸正向一致的單位向量，軸正向一致的單位向量， .)(12euu = =設(shè)設(shè)a是以是以),(1111zyxM為起點(diǎn)、為起點(diǎn)、),(2222zyxM 為終點(diǎn)的向量，為終點(diǎn)的向量， 過過21, MM各作垂直于三個坐標(biāo)軸的平面各作垂直于三個坐標(biāo)軸的平面 , 這六個平面圍成一個以線段這六個平面圍成一個以線段21MM為對角線的為對角線的長方體長方體. 由上節(jié)課例由上節(jié)課例3 3，有，有eaPPu= =21以以kji,分別表示沿分別表示沿zyx,軸正向的單位向量軸正向的單位向量. 第10頁/共26頁xyz1R2R1P2P1Q2QORQP1M2MN2111MMRMNM= = 111NMQMPM= =

7、 .11121RMQMPMMM = =從而得到從而得到由于由于,)(121ixxiaPMx = = =由圖可以看出由圖可以看出,)(121jyyjaQMy = = =.)(121kzzkaRMz = = =第11頁/共26頁因此因此kajaiaMMzyx = =21把上式稱為向量把上式稱為向量 按基本單位向量的分解式按基本單位向量的分解式 . . 21MM這里這里.,121212zzayyaxxazyx = = = = = =.)()()(121212kzzjyyixx = =xyz1R2R1P2P1Q2QORQP1M2MN,2第12頁/共26頁kzzjyyixxMM)()()(1212122

8、1 = =按基本單位向量的坐標(biāo)分解式：按基本單位向量的坐標(biāo)分解式：在三個坐標(biāo)軸上的分向量：在三個坐標(biāo)軸上的分向量：,kajaiazyx向量的坐標(biāo)：向量的坐標(biāo)：,zyxaaa向量的坐標(biāo)表達(dá)式：向量的坐標(biāo)表達(dá)式：,zyxaaaa = =,12121221zzyyxxMM = =特殊地：特殊地：,zyxOM = =第13頁/共26頁向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運(yùn)算的坐標(biāo)表達(dá)式向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運(yùn)算的坐標(biāo)表達(dá)式,zyxaaaa = =,zyxbbbb = =,zzyyxxbabababa = = ,zzyyxxbabababa = = ,zyxaaaal ll ll ll l= =;)()(

9、)(kbajbaibazzyyxx = =;)()()(kbajbaibazzyyxx = =.)()()(kajaiazyxl l l l l l= =第14頁/共26頁解解,111zzyyxxAM = =,222zzyyxxMB = =設(shè)設(shè)),(zyxM為直線上的點(diǎn)，為直線上的點(diǎn)，例例 2 2 設(shè)設(shè)),(111zyxA和和),(222zyxB為兩已知點(diǎn)，而為兩已知點(diǎn)，而在在AB直線上的點(diǎn)直線上的點(diǎn)M分有向線段分有向線段 AB 為兩部分為兩部分AM、MB，使它們的值的比等于某數(shù)，使它們的值的比等于某數(shù))1( l ll l，即，即l l= =MBAM，求分點(diǎn)求分點(diǎn)的坐標(biāo)的坐標(biāo). ABMxyzo

10、第15頁/共26頁由題意知：由題意知：MBAMl l= =,111zzyyxx ,222zzyyxx = =l l1xx )(2xx = =l l1yy )(2yy = =l l1zz )(2zz = =l l,121l ll l = =xxx,121l ll l = =yyy,121l ll l = =zzz,221xxx = =,221yyy = =.221zzz = = . 的的定定比比分分點(diǎn)點(diǎn)為為有有向向線線段段點(diǎn)點(diǎn)ABM為為中中點(diǎn)點(diǎn)時時，當(dāng)當(dāng) M第16頁/共26頁非零向量非零向量 的方向角：的方向角：a非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向

11、角. .,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 三、向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示三、向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式式., 第17頁/共26頁由投影定理可知由投影定理可知 cos|aax= = cos|aay= = cos|aaz= =方向余弦通常用來表示向量的方向方向余弦通常用來表示向量的方向. .222|zyxaaaa = =向量模長的坐標(biāo)表示式向量模長的坐標(biāo)表示式21212121RMQMPMMM = =pQRxyzo 1M 2M 第18頁/共26頁，時時當(dāng)當(dāng) 0 222 zyxaaa,cos222zyxxaaaa = = ,cos222zyxyaaaa = = .cos222zyxzaaa

12、a = = 向量方向余弦的坐標(biāo)表示式向量方向余弦的坐標(biāo)表示式xyzo 1M 2M 第19頁/共26頁1coscoscos222= = 方向余弦的特征方向余弦的特征oa|aa= =.cos,cos,cos = =特殊地，單位向量可表示為特殊地，單位向量可表示為第20頁/共26頁向量向量 例例3 3 設(shè)已知兩點(diǎn)設(shè)已知兩點(diǎn) 和和 . . 計(jì)算計(jì)算 )2, 2 , 2(1M)0 , 3 , 1(2M21MM的摸的摸 ，方向余弦和方向角，方向余弦和方向角. .解解 21MM2, 1 , 120 , 23 , 21 = = = =21MM222)2(1)1( = =; 2= =; 22cos , 21co

13、s , 21cos = = = = = . 43 , 3 , 32 = = = =第21頁/共26頁例例4 4 設(shè)已知兩點(diǎn)設(shè)已知兩點(diǎn) 和和 . . 求方向和求方向和 一致的單位向量一致的單位向量 . .)5 , 0 , 4(A)3 , 1 , 7(BAB解解AB2, 1 , 353 , 01 , 47 = = = =因?yàn)橐驗(yàn)橛谑怯谑茿B= =設(shè)設(shè) 為和為和 的方向一致的單位向量，那么由于的方向一致的單位向量，那么由于 o ABo = ABAB即得即得 = =o . 142,141,143 14= =222)2(13 第22頁/共26頁解解設(shè)向量設(shè)向量21PP的方向角為的方向角為 、 、 ,3

14、= =,4 = =, 1coscoscos222= = .21cos = = ,21cos= = ,22cos= = 例例5 5 設(shè)有向量設(shè)有向量P P1 1P P2 2 ，已知，已知| |P P1 1P P2 2|=2 |=2 ，它與，它與x x 軸和軸和y y 軸的夾角分別為軸的夾角分別為 和和 ，如果的，如果的 P P1 1 的的坐標(biāo)為坐標(biāo)為(1,0,3)(1,0,3)，求，求P P2 2的坐標(biāo)的坐標(biāo). .3 4 第23頁/共26頁.32,3 = = =1cos = =x 21PP21 x21= =, 2= = x0cos = =y 21PP20 y22= =, 2= = y3cos = =z 21PP23 z, 2, 4= = =zz2P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 ).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 = =, ),( 2zyxP 的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為設(shè)設(shè)第