數(shù)學(xué)建模排隊(duì)模型2015-7-12

1、排隊(duì)模型及其應(yīng)用中北大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)科張張 峰峰數(shù)學(xué)建模暑期培訓(xùn)系列講座排隊(duì)模型簡(jiǎn)介排隊(duì)模型簡(jiǎn)介經(jīng)典排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型布傳播的風(fēng)險(xiǎn)因素以及動(dòng)力學(xué)建模布傳播的風(fēng)險(xiǎn)因素以及動(dòng)力學(xué)建模 123推廣的排隊(duì)模型推廣的排隊(duì)模型34排隊(duì)系統(tǒng)的優(yōu)化排隊(duì)系統(tǒng)的優(yōu)化1 排隊(duì)模型排隊(duì)模型簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介 （背景）（背景）超市排隊(duì)為什么不多開(kāi)個(gè)窗口銀行排隊(duì)1 排隊(duì)模型排隊(duì)模型簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介 （背景）（背景）服務(wù)效率忒低購(gòu)票排隊(duì)哥 要 回 家1 排隊(duì)模型排隊(duì)模型簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介 （背景）（背景）高速公路車輛排隊(duì)Where is the toilet?1 排隊(duì)模型排隊(duì)模型簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介 （背景）（背景）壯哉！壯哉！購(gòu)票排隊(duì)1 排隊(duì)模型排隊(duì)模型簡(jiǎn)介

2、簡(jiǎn)介 （背景）（背景）呼叫中心排隊(duì)1 排隊(duì)模型排隊(duì)模型簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介 （背景）（背景）9為什么會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象？為什么會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象？假定每小時(shí)平均有假定每小時(shí)平均有4位顧客到達(dá)，服務(wù)人員為每位顧客的平均服務(wù)時(shí)間位顧客到達(dá)，服務(wù)人員為每位顧客的平均服務(wù)時(shí)間為為15分鐘。如果顧客到達(dá)的間隔時(shí)間正好是分鐘。如果顧客到達(dá)的間隔時(shí)間正好是15分鐘，而服務(wù)人員為每位顧分鐘，而服務(wù)人員為每位顧客的服務(wù)時(shí)間也正好是客的服務(wù)時(shí)間也正好是15分鐘，那么，就只需要一名服務(wù)人員，顧客也根分鐘，那么，就只需要一名服務(wù)人員，顧客也根本用不著等待。本用不著等待。 在以下情況將出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象：在以下情況將出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象： 平均到達(dá)率高

3、于平均服務(wù)率平均到達(dá)率高于平均服務(wù)率 顧客到達(dá)的間隔時(shí)間不一樣（隨機(jī)）顧客到達(dá)的間隔時(shí)間不一樣（隨機(jī)） 服務(wù)時(shí)間不一樣（隨機(jī)）服務(wù)時(shí)間不一樣（隨機(jī)）顧客離開(kāi)顧客離開(kāi)顧客顧客顧客排隊(duì)顧客排隊(duì)服務(wù)設(shè)施服務(wù)設(shè)施1 排隊(duì)模型排隊(duì)模型簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介 （基本概念）（基本概念） 排隊(duì)論排隊(duì)論(Queuing Theory)，又稱隨機(jī)服務(wù)隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)系統(tǒng)是一門研究擁擠現(xiàn)象(排隊(duì)、等待)的科學(xué)。具體地說(shuō)，它是在研究各種排隊(duì)系統(tǒng)概率規(guī)律性的基礎(chǔ)上，解決相應(yīng)排隊(duì)系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)和最優(yōu)控制問(wèn)題。 每個(gè)顧客的等待時(shí)間多長(zhǎng)？每個(gè)顧客的等待時(shí)間多長(zhǎng)？ 選擇哪個(gè)隊(duì)列時(shí)間最短？選擇哪個(gè)隊(duì)列時(shí)間最短？ 多開(kāi)一個(gè)窗口？多開(kāi)一個(gè)窗口？ 顧客

4、消費(fèi)收入與超市成本之間博弈顧客消費(fèi)收入與超市成本之間博弈 怎樣設(shè)計(jì)最優(yōu)怎樣設(shè)計(jì)最優(yōu) ；最優(yōu)運(yùn)行（）；最優(yōu)運(yùn)行（）排隊(duì)模型排隊(duì)模型簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介1 排隊(duì)模型排隊(duì)模型簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介 （基本概念）（基本概念）一、排隊(duì)模型的描述一、排隊(duì)模型的描述相似的特征及數(shù)學(xué)抽象相似的特征及數(shù)學(xué)抽象顧客到達(dá)系統(tǒng)的時(shí)刻是隨機(jī)的，為每一位顧客提供服務(wù)的時(shí)間是隨機(jī)的，因而整個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)也是隨機(jī)的，因此排隊(duì)論排隊(duì)論又稱為隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)顧客顧客-請(qǐng)求服務(wù)的人或者物服務(wù)員或服務(wù)臺(tái)服務(wù)員或服務(wù)臺(tái)-為顧客服務(wù)的人或者物排隊(duì)模型排隊(duì)模型簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介1 排隊(duì)模型排隊(duì)模型簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介 （基本概念）（基本概念）一、排隊(duì)模型的描述（組成）一、排隊(duì)

5、模型的描述（組成）基本排隊(duì)過(guò)程基本排隊(duì)過(guò)程排隊(duì)系統(tǒng)一般有三個(gè)基本組成部分：排隊(duì)系統(tǒng)一般有三個(gè)基本組成部分：1.輸入過(guò)程；輸入過(guò)程；2.排隊(duì)規(guī)則；排隊(duì)規(guī)則；3.服務(wù)機(jī)構(gòu)服務(wù)機(jī)構(gòu)排隊(duì)結(jié)構(gòu)服務(wù)機(jī)構(gòu)顧客源顧客到達(dá)排隊(duì)規(guī)則服務(wù)規(guī)則離去圖1 排 隊(duì)系統(tǒng)示意圖排隊(duì)模型排隊(duì)模型簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介1 排隊(duì)模型排隊(duì)模型簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介 （基本概念）（基本概念）一、排隊(duì)模型的描述（組成）一、排隊(duì)模型的描述（組成）基本排隊(duì)過(guò)程基本排隊(duì)過(guò)程1.輸入過(guò)程輸入過(guò)程 顧客是按怎樣的規(guī)律到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)的過(guò)程，有時(shí)也顧客是按怎樣的規(guī)律到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)的過(guò)程，有時(shí)也把它稱為把它稱為顧客流顧客流（1 1）顧客顧客總數(shù)總數(shù) 有限有限 無(wú)限？無(wú)限？ （2 2）

6、到達(dá)方式到達(dá)方式 單個(gè)單個(gè) 成批？成批？ （3 3）顧客流的概率分布族顧客流的概率分布族 相繼到達(dá)的顧客間的概率分布相繼到達(dá)的顧客間的概率分布排隊(duì)模型排隊(duì)模型簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介1 排隊(duì)模型排隊(duì)模型簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介 （基本概念）（基本概念）一、排隊(duì)模型的描述（組成）一、排隊(duì)模型的描述（組成）基本排隊(duì)過(guò)程基本排隊(duì)過(guò)程2. 排隊(duì)規(guī)則排隊(duì)規(guī)則 服務(wù)臺(tái)以怎樣的順序和方式服務(wù)顧客服務(wù)臺(tái)以怎樣的順序和方式服務(wù)顧客（1 1）損失制損失制 如果顧客到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)時(shí)，所有服務(wù)臺(tái)都已被先來(lái)的如果顧客到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)時(shí)，所有服務(wù)臺(tái)都已被先來(lái)的顧客占用，那么他們就自動(dòng)離開(kāi)系統(tǒng)顧客占用，那么他們就自動(dòng)離開(kāi)系統(tǒng)。（2 2）等待制等待制 當(dāng)顧客來(lái)到

7、系統(tǒng)時(shí)，所有服務(wù)臺(tái)都不空，顧客加入排隊(duì)當(dāng)顧客來(lái)到系統(tǒng)時(shí)，所有服務(wù)臺(tái)都不空，顧客加入排隊(duì)行列等待服務(wù)行列等待服務(wù) FCFS LCFS PR RO（3 3）混合制混合制 等待制與損失制等待制與損失制的混合的混合 一般是指允許排隊(duì)，但又不一般是指允許排隊(duì)，但又不允許隊(duì)列無(wú)限長(zhǎng)下去允許隊(duì)列無(wú)限長(zhǎng)下去排隊(duì)模型排隊(duì)模型簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介1 排隊(duì)模型排隊(duì)模型簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介 （基本概念）（基本概念）一、排隊(duì)模型的描述（組成）一、排隊(duì)模型的描述（組成）基本排隊(duì)過(guò)程基本排隊(duì)過(guò)程3. 服務(wù)機(jī)構(gòu)服務(wù)機(jī)構(gòu)（1 1）服務(wù)臺(tái)數(shù)量及構(gòu)成方式服務(wù)臺(tái)數(shù)量及構(gòu)成方式 單服務(wù)臺(tái)單服務(wù)臺(tái) 多服務(wù)臺(tái)；多服務(wù)臺(tái)；（2 2）服務(wù)方式服務(wù)方式 單個(gè)服務(wù)，批量

8、服務(wù)；單個(gè)服務(wù)，批量服務(wù)；（3 3）服務(wù)時(shí)間的概率分布服務(wù)時(shí)間的概率分布 服務(wù)過(guò)程是泊松過(guò)程？高斯過(guò)程？服務(wù)過(guò)程是泊松過(guò)程？高斯過(guò)程？一個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間是指數(shù)分布還是一般概率分布？一個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間是指數(shù)分布還是一般概率分布？排隊(duì)模型排隊(duì)模型簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介1 排隊(duì)模型排隊(duì)模型簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介 （基本概念）（基本概念）一、排隊(duì)模型的描述（組成）一、排隊(duì)模型的描述（組成）基本排隊(duì)過(guò)程基本排隊(duì)過(guò)程3. 服務(wù)機(jī)構(gòu)服務(wù)機(jī)構(gòu) （結(jié)構(gòu)）（結(jié)構(gòu)）單隊(duì)多服務(wù)臺(tái)并聯(lián)單隊(duì)多服務(wù)臺(tái)并聯(lián) 例如例如 學(xué)校內(nèi)的一些小超市學(xué)校內(nèi)的一些小超市排隊(duì)模型排隊(duì)模型簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介1 排隊(duì)模型排隊(duì)模型簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介 （基本概念）（基本概念）一、排隊(duì)模型的描述（組

9、成）一、排隊(duì)模型的描述（組成）基本排隊(duì)過(guò)程基本排隊(duì)過(guò)程3. 服務(wù)機(jī)構(gòu)服務(wù)機(jī)構(gòu) （結(jié)構(gòu)）（結(jié)構(gòu)）單隊(duì)多服務(wù)臺(tái)并聯(lián)單隊(duì)多服務(wù)臺(tái)并聯(lián) （銀行排隊(duì)）（銀行排隊(duì)）排隊(duì)模型排隊(duì)模型簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介1 排隊(duì)模型排隊(duì)模型簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介 （基本概念）（基本概念）一、排隊(duì)模型的描述（組成）一、排隊(duì)模型的描述（組成）基本排隊(duì)過(guò)程基本排隊(duì)過(guò)程3. 服務(wù)機(jī)構(gòu)服務(wù)機(jī)構(gòu) （結(jié)構(gòu)）（結(jié)構(gòu)）多隊(duì)多服務(wù)臺(tái)并聯(lián)多隊(duì)多服務(wù)臺(tái)并聯(lián) 大型超市、火車站窗口、醫(yī)院窗大型超市、火車站窗口、醫(yī)院窗口、口、 高速公路收費(fèi)、高速公路收費(fèi)、 多車道路口車輛通行等多車道路口車輛通行等排隊(duì)模型排隊(duì)模型簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介1 排隊(duì)模型排隊(duì)模型簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介 （基本概念）（基本概念）一、排

10、隊(duì)模型的描述（組成）一、排隊(duì)模型的描述（組成）基本排隊(duì)過(guò)程基本排隊(duì)過(guò)程3. 服務(wù)機(jī)構(gòu)服務(wù)機(jī)構(gòu) （結(jié)構(gòu)）（結(jié)構(gòu)）單隊(duì)列多服務(wù)臺(tái)串聯(lián)單隊(duì)列多服務(wù)臺(tái)串聯(lián) 柔性制造業(yè)柔性制造業(yè) 產(chǎn)品按工序加工產(chǎn)品按工序加工 排隊(duì)模型排隊(duì)模型簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介1 排隊(duì)模型排隊(duì)模型簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介 （基本概念）（基本概念）二、建模過(guò)程及主要指標(biāo)二、建模過(guò)程及主要指標(biāo) 1 排隊(duì)系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)推斷排隊(duì)系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)推斷 確定或擬合排隊(duì)系統(tǒng)顧客到達(dá)的時(shí)間間隔分布和服務(wù)時(shí)間分布確定或擬合排隊(duì)系統(tǒng)顧客到達(dá)的時(shí)間間隔分布和服務(wù)時(shí)間分布。2 模型的性態(tài)模型的性態(tài)在確定模型的基礎(chǔ)上，求解主要性能指標(biāo)，如隊(duì)長(zhǎng)分布、等在確定模型的基礎(chǔ)上，求解主要性能指標(biāo)，如隊(duì)長(zhǎng)分布

11、、等待時(shí)間分布。待時(shí)間分布。3 模型進(jìn)行優(yōu)化模型進(jìn)行優(yōu)化系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)（系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)（參數(shù)選擇，服務(wù)質(zhì)量評(píng)價(jià)）如機(jī)場(chǎng)跑道數(shù)量，呼參數(shù)選擇，服務(wù)質(zhì)量評(píng)價(jià)）如機(jī)場(chǎng)跑道數(shù)量，呼 叫中心坐席量。叫中心坐席量。已有系統(tǒng)的最優(yōu)控制已有系統(tǒng)的最優(yōu)控制 如從顧客和服務(wù)機(jī)構(gòu)雙方利益出發(fā)，對(duì)排隊(duì)如從顧客和服務(wù)機(jī)構(gòu)雙方利益出發(fā)，對(duì)排隊(duì)系統(tǒng)進(jìn)行最優(yōu)控制系統(tǒng)進(jìn)行最優(yōu)控制排隊(duì)模型排隊(duì)模型簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介1 排隊(duì)模型排隊(duì)模型簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介 （基本概念）（基本概念）二、建模過(guò)程及主要指標(biāo)二、建模過(guò)程及主要指標(biāo) 1 隊(duì)長(zhǎng)隊(duì)長(zhǎng): 系統(tǒng)中的顧客數(shù)系統(tǒng)中的顧客數(shù), 平均隊(duì)長(zhǎng)平均隊(duì)長(zhǎng)LS 等待隊(duì)長(zhǎng)等待隊(duì)長(zhǎng) : 系統(tǒng)中排隊(duì)等待服務(wù)的顧客數(shù)系統(tǒng)中排隊(duì)

12、等待服務(wù)的顧客數(shù), 平均等待隊(duì)長(zhǎng)平均等待隊(duì)長(zhǎng)Lq 系統(tǒng)系統(tǒng)中顧中顧客客 數(shù)數(shù)在隊(duì)列中等在隊(duì)列中等待服務(wù)的顧待服務(wù)的顧客數(shù)客數(shù)正 被 服正 被 服務(wù) 的 顧務(wù) 的 顧客數(shù)客數(shù)+=一般情形，一般情形，Ls(或或Lq)越大，說(shuō)明服務(wù)效率越低。越大，說(shuō)明服務(wù)效率越低。排隊(duì)模型排隊(duì)模型簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介1 排隊(duì)模型排隊(duì)模型簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介 （基本概念）（基本概念）二、建模過(guò)程及主要指標(biāo)二、建模過(guò)程及主要指標(biāo)2. 逗留時(shí)間逗留時(shí)間:一個(gè)顧客在系統(tǒng)中的停留時(shí)間一個(gè)顧客在系統(tǒng)中的停留時(shí)間,平均逗留時(shí)間平均逗留時(shí)間 WS等待時(shí)間等待時(shí)間: 一個(gè)顧客排隊(duì)等待的時(shí)間一個(gè)顧客排隊(duì)等待的時(shí)間,平均等待時(shí)間平均等待時(shí)間Wq等待時(shí)間等待時(shí)間

13、服務(wù)時(shí)間服務(wù)時(shí)間+逗留時(shí)間逗留時(shí)間= =顯然，顯然，Ws(或或Wq)越大，顧客滿意度越低。越大，顧客滿意度越低。排隊(duì)模型排隊(duì)模型簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介1 排隊(duì)模型排隊(duì)模型簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介 （基本概念）（基本概念）二、建模過(guò)程及主要指標(biāo)二、建模過(guò)程及主要指標(biāo) 3. 忙期忙期：從顧客到達(dá)空閑服務(wù)機(jī)構(gòu)起到服務(wù)機(jī)構(gòu)再次為從顧客到達(dá)空閑服務(wù)機(jī)構(gòu)起到服務(wù)機(jī)構(gòu)再次為空閑這段時(shí)間長(zhǎng)度?？臻e這段時(shí)間長(zhǎng)度?？梢院饬糠?wù)機(jī)構(gòu)效率的指標(biāo)，及可以衡量服務(wù)機(jī)構(gòu)效率的指標(biāo)，及工作強(qiáng)度工作強(qiáng)度4. 絕對(duì)通行能力絕對(duì)通行能力：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)被服務(wù)完的平均顧客數(shù)：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)被服務(wù)完的平均顧客數(shù)5. 相對(duì)通行能力相對(duì)通行能力：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)被服務(wù)完顧客數(shù)與請(qǐng)求

14、服：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)被服務(wù)完顧客數(shù)與請(qǐng)求服務(wù)的顧客數(shù)之比務(wù)的顧客數(shù)之比6. 平均被占服務(wù)臺(tái)數(shù)平均被占服務(wù)臺(tái)數(shù) 7 損失率損失率 排隊(duì)模型排隊(duì)模型簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介1 排隊(duì)模型排隊(duì)模型簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介 （基本概念）（基本概念）三、排隊(duì)模型應(yīng)用三、排隊(duì)模型應(yīng)用從從2020世紀(jì)世紀(jì)6060年代至今年代至今 對(duì)業(yè)務(wù)突發(fā)性和帶有各種網(wǎng)絡(luò)協(xié)議控制的通信系統(tǒng)進(jìn)行對(duì)業(yè)務(wù)突發(fā)性和帶有各種網(wǎng)絡(luò)協(xié)議控制的通信系統(tǒng)進(jìn)行性能評(píng)價(jià)、仿真及模擬性能評(píng)價(jià)、仿真及模擬。2020世紀(jì)初期世紀(jì)初期 主要研究應(yīng)用于電話網(wǎng)和遠(yuǎn)程通信系統(tǒng)等無(wú)隊(duì)列的排隊(duì)主要研究應(yīng)用于電話網(wǎng)和遠(yuǎn)程通信系統(tǒng)等無(wú)隊(duì)列的排隊(duì)系統(tǒng)系統(tǒng)( (損失制損失制) )2020世紀(jì)中期世紀(jì)中期 主要

15、研究通信系統(tǒng)中有隊(duì)列主要研究通信系統(tǒng)中有隊(duì)列( (等待制等待制) )的排隊(duì)系統(tǒng)和排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)的排隊(duì)系統(tǒng)和排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)排隊(duì)模型排隊(duì)模型簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介1 排隊(duì)模型排隊(duì)模型簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介 （基本概念）（基本概念）三、排隊(duì)模型應(yīng)用三、排隊(duì)模型應(yīng)用2005 2005 研究生建模研究生建模 出租車最佳數(shù)量預(yù)測(cè)出租車最佳數(shù)量預(yù)測(cè)20002005 20002005 智能地雷反坦克研究，滅火兵力部署智能地雷反坦克研究，滅火兵力部署19902000 19902000 碼頭與船舶的分配，工程土方的創(chuàng)新，停車場(chǎng)面碼頭與船舶的分配，工程土方的創(chuàng)新，停車場(chǎng)面積的計(jì)算，圖書館信息處理積的計(jì)算，圖書館信息處理20052010 20052010

16、公廁建筑面積的分配，教務(wù)處教務(wù)員崗位確定公廁建筑面積的分配，教務(wù)處教務(wù)員崗位確定 新的前沿應(yīng)用新的前沿應(yīng)用 社交網(wǎng)絡(luò)性能社交網(wǎng)絡(luò)性能 評(píng)估評(píng)估 云計(jì)算性能指標(biāo)估計(jì)等云計(jì)算性能指標(biāo)估計(jì)等1 排隊(duì)模型排隊(duì)模型簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介三、排隊(duì)模型應(yīng)用三、排隊(duì)模型應(yīng)用20092009眼科醫(yī)院病床合理安排眼科醫(yī)院病床合理安排提高醫(yī)療體系的服務(wù)效率，提高資源利用率，提高病人滿意度以及緩解患者于醫(yī)院之間的矛盾；提出了一些具體的優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)如下：1、以費(fèi)用作為優(yōu)化指標(biāo)計(jì)算最優(yōu)目標(biāo)值條件下最優(yōu)的服務(wù)水平：總費(fèi)用= 排隊(duì)損失費(fèi)+ 服務(wù)費(fèi) 2、“優(yōu)先權(quán)選擇或等級(jí)”來(lái)優(yōu)化醫(yī)院服務(wù) （眼科醫(yī)院病床）3、構(gòu)造合理的調(diào)度方式來(lái)進(jìn)行優(yōu)化4、建立

17、了“預(yù)留病床模型，逐步優(yōu)先權(quán)就診模式”1 排隊(duì)模型排隊(duì)模型簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介三、排隊(duì)模型應(yīng)用三、排隊(duì)模型應(yīng)用20132013年年 A A題題 車道被占用對(duì)城市道路通行能力的影響車道被占用對(duì)城市道路通行能力的影響 （1） 研究公交車發(fā)車間隔與排隊(duì)長(zhǎng)度 （2）研究停車場(chǎng)的車輛排隊(duì) （3）研究車輛排隊(duì)現(xiàn)象、車輛延誤 路口通行能力分析 2 排隊(duì)模型排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型一 單服務(wù)臺(tái) 排隊(duì)模型1 標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)準(zhǔn)的 模型模型1/MM2 模型條件模型條件 模型模型 表示，顧客到達(dá)過(guò)程服從泊松分布，表示，顧客到達(dá)過(guò)程服從泊松分布，服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，單服務(wù)臺(tái)，隊(duì)長(zhǎng)和顧客來(lái)源無(wú)服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，單服務(wù)臺(tái)，

18、隊(duì)長(zhǎng)和顧客來(lái)源無(wú)限限.簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為 ./1/ MM1/ MM1）已知單位時(shí)間平均到達(dá)率）已知單位時(shí)間平均到達(dá)率 和平均服務(wù)率和平均服務(wù)率 .2）系統(tǒng)容量無(wú)限，顧客源總數(shù)無(wú)限）系統(tǒng)容量無(wú)限，顧客源總數(shù)無(wú)限.3）排隊(duì)規(guī)則為單隊(duì)，先到先服務(wù)）排隊(duì)規(guī)則為單隊(duì)，先到先服務(wù))(1/MM2 排隊(duì)模型排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型一 單服務(wù)臺(tái) 排隊(duì)模型3 模型的求解模型的求解1/MM1/MM 研究研究系統(tǒng)狀態(tài)的概率系統(tǒng)狀態(tài)的概率- - 系統(tǒng)中顧客數(shù)。狀態(tài)概率用系統(tǒng)中顧客數(shù)。狀態(tài)概率用Pn( (t) )表表示示, ,即在即在t時(shí)刻系統(tǒng)中有時(shí)刻系統(tǒng)中有n個(gè)顧客的概率，也稱瞬態(tài)概率。個(gè)顧客的概率，也稱瞬態(tài)概率。

19、實(shí)際中更關(guān)心實(shí)際中更關(guān)心 穩(wěn)態(tài)概率穩(wěn)態(tài)概率 limnntPP t穩(wěn)態(tài)概率求法穩(wěn)態(tài)概率求法 馬爾科夫鏈理論馬爾科夫鏈理論 母函數(shù)母函數(shù) 遞推等遞推等穩(wěn)態(tài)概率求解步驟穩(wěn)態(tài)概率求解步驟 1 畫出穩(wěn)態(tài)概率轉(zhuǎn)移圖畫出穩(wěn)態(tài)概率轉(zhuǎn)移圖 2 列出穩(wěn)態(tài)概率平衡方程組列出穩(wěn)態(tài)概率平衡方程組3 求出穩(wěn)態(tài)概率或者母函數(shù)求出穩(wěn)態(tài)概率或者母函數(shù)2排隊(duì)模型排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型一 單服務(wù)臺(tái) 排隊(duì)模型1/MM系統(tǒng)在穩(wěn)定情況下的狀態(tài)轉(zhuǎn)移如圖系統(tǒng)在穩(wěn)定情況下的狀態(tài)轉(zhuǎn)移如圖圖1.1Pn 1P2P1P0PnPn 1 可以得到如下平衡方程可以得到如下平衡方程：nnnPPP11（1.1）01PP（1.2）4 穩(wěn)態(tài)概率公式穩(wěn)態(tài)概

20、率公式2 排隊(duì)模型排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型一 單服務(wù)臺(tái) 排隊(duì)模型1/MM5 5 模型的數(shù)量指標(biāo)公式模型的數(shù)量指標(biāo)公式由（1.1）和（1.2）可以遞推求解，01PP02102)()1 (-PPPP.0)(PPnn.nnPP110式中 表示平均到達(dá)率與平均服務(wù)率之比，稱為服務(wù)強(qiáng)度.2 排隊(duì)模型排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型一 單服務(wù)臺(tái) 排隊(duì)模型1/MM6 模型的性能指標(biāo)模型的性能指標(biāo) 1）在系統(tǒng)里沒(méi)有顧客的概）在系統(tǒng)里沒(méi)有顧客的概率率2011111LPLPnPPnLnnnnnnq10P000)1 ()1 (nqnnnnnsLkknPL2）平均排隊(duì)的顧客數(shù)平均排隊(duì)的顧客數(shù) 3）在系統(tǒng)里的平

21、均顧客數(shù)）在系統(tǒng)里的平均顧客數(shù)u2 排隊(duì)模型排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型一 單服務(wù)臺(tái) 排隊(duì)模型1/MM 4 4）一位顧客花在系統(tǒng)里的平均逗留時(shí)間）一位顧客花在系統(tǒng)里的平均逗留時(shí)間1)(XEWs 5 5）一位顧客花在排隊(duì)上的平均時(shí)間（等于逗留時(shí)間減去服）一位顧客花在排隊(duì)上的平均時(shí)間（等于逗留時(shí)間減去服 務(wù)時(shí)間）務(wù)時(shí)間） 6 6）顧客到達(dá)系統(tǒng)時(shí)，得不到及時(shí)的服務(wù)，必須等待服務(wù)的）顧客到達(dá)系統(tǒng)時(shí)，得不到及時(shí)的服務(wù)，必須等待服務(wù)的 概率概率 7 7）系統(tǒng)里正好有）系統(tǒng)里正好有 個(gè)顧客的概率個(gè)顧客的概率1qsWW 01wPP 0)(PPnnn6 模型的性能指標(biāo)模型的性能指標(biāo)2 排隊(duì)模型排隊(duì)模型經(jīng)典排

22、隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型一 單服務(wù)臺(tái) 排隊(duì)模型 應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例 1/MM庫(kù)存問(wèn)題庫(kù)存問(wèn)題 進(jìn)貨多，保管費(fèi)用大；存貨不足缺貨會(huì)引起經(jīng)濟(jì)進(jìn)貨多，保管費(fèi)用大；存貨不足缺貨會(huì)引起經(jīng)濟(jì)損失，假設(shè)貨物需求量是參數(shù)為損失，假設(shè)貨物需求量是參數(shù)為 的泊松過(guò)程，生產(chǎn)一個(gè)的泊松過(guò)程，生產(chǎn)一個(gè)產(chǎn)品實(shí)際是參數(shù)為產(chǎn)品實(shí)際是參數(shù)為 的指數(shù)分布，單位時(shí)間庫(kù)存費(fèi)用的指數(shù)分布，單位時(shí)間庫(kù)存費(fèi)用c元，元，缺貨一個(gè)產(chǎn)品損失為缺貨一個(gè)產(chǎn)品損失為h元，確定最優(yōu)庫(kù)存使得庫(kù)存費(fèi)和損失元，確定最優(yōu)庫(kù)存使得庫(kù)存費(fèi)和損失費(fèi)之和達(dá)到最小費(fèi)之和達(dá)到最小.分析分析 將生產(chǎn)廠看成服務(wù)機(jī)構(gòu)，需求看成輸入流將生產(chǎn)廠看成服務(wù)機(jī)構(gòu)，需求看成輸入流 M/M/1 排隊(duì)

23、排隊(duì)平均缺貨數(shù)平均缺貨數(shù)11squenn sEns p平均庫(kù)存數(shù)平均庫(kù)存數(shù)1011sscunnnEsn ps2 排隊(duì)模型排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型一 單服務(wù)臺(tái) 排隊(duì)模型 應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例 1/MM分析分析 將生產(chǎn)廠看成服務(wù)機(jī)構(gòu)，需求看成輸入流將生產(chǎn)廠看成服務(wù)機(jī)構(gòu)，需求看成輸入流 M/M/1 排隊(duì)排隊(duì)單位時(shí)間總費(fèi)用單位時(shí)間總費(fèi)用 1111sscunquef scEhEc sh由邊際分析法由邊際分析法 1f sf s 1f sf s由邊際分析法由邊際分析法scch1scch最佳最佳s滿足滿足ln/ln1ln/lnccschch 36例例一個(gè)碼頭，設(shè)待卸貨船到達(dá)時(shí)間間隔服從負(fù)指數(shù)一個(gè)碼頭，設(shè)待

24、卸貨船到達(dá)時(shí)間間隔服從負(fù)指數(shù)分布，平均到達(dá)分布，平均到達(dá) 2 艘艘/小時(shí)；服務(wù)臺(tái)是小時(shí)；服務(wù)臺(tái)是1臺(tái)吊車，卸臺(tái)吊車，卸貨時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每貨時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每 20 分鐘可卸一艘分鐘可卸一艘貨船，當(dāng)被占用時(shí)，新到貨船只能停在碼頭等待。貨船，當(dāng)被占用時(shí)，新到貨船只能停在碼頭等待。求在平穩(wěn)狀態(tài)下碼頭上貨船的平均數(shù)；等待卸貨求在平穩(wěn)狀態(tài)下碼頭上貨船的平均數(shù)；等待卸貨船只的平均數(shù)；每艘貨船在碼頭的平均停留時(shí)間；船只的平均數(shù)；每艘貨船在碼頭的平均停留時(shí)間；貨船平均需等待多長(zhǎng)時(shí)間可以開(kāi)始卸貨。貨船平均需等待多長(zhǎng)時(shí)間可以開(kāi)始卸貨。2 排隊(duì)模型排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型37解：解：這是一

25、個(gè)典型的這是一個(gè)典型的M/M/1排隊(duì)排隊(duì)問(wèn)題問(wèn)題213r260320u 22()32sLu艘24233qsLLr(艘)423()23LqWq小時(shí)21()2LsWs小時(shí)2 排隊(duì)模型排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型38例例某醫(yī)院手術(shù)室根據(jù)病人就診和完成手術(shù)時(shí)間某醫(yī)院手術(shù)室根據(jù)病人就診和完成手術(shù)時(shí)間的記錄，任意抽查的記錄，任意抽查100個(gè)工作小時(shí)，每小時(shí)個(gè)工作小時(shí)，每小時(shí)來(lái)就診的病人數(shù)來(lái)就診的病人數(shù)n的出現(xiàn)次數(shù)如表的出現(xiàn)次數(shù)如表6所示。又所示。又任意抽查了任意抽查了100個(gè)完成手術(shù)的病例，所用時(shí)個(gè)完成手術(shù)的病例，所用時(shí)間間t出現(xiàn)的次數(shù)如下表所示。試分別用公式、出現(xiàn)的次數(shù)如下表所示。試分別用公式、ex

26、cel和仿真求解：和仿真求解：2 排隊(duì)模型排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型39 到達(dá)病人數(shù)到達(dá)病人數(shù) n出現(xiàn)次數(shù)出現(xiàn)次數(shù) f n0101282293164105661合計(jì)合計(jì)100到達(dá)病人數(shù)到達(dá)病人數(shù)為病人完成手術(shù)為病人完成手術(shù)時(shí)間時(shí)間t/小時(shí)小時(shí)出現(xiàn)次數(shù)出現(xiàn)次數(shù) ft 0.00.2380.20.4250.40.6170.6 1.890.81.061.01.251.20合計(jì)合計(jì)100手術(shù)時(shí)間手術(shù)時(shí)間2 排隊(duì)模型排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型40解：解：這也是一個(gè)這也是一個(gè)M/M/1排隊(duì)排隊(duì)問(wèn)題問(wèn)題（1）計(jì)算平均到達(dá)率）計(jì)算平均到達(dá)率2.1(/)100nnf人 時(shí) 平均手術(shù)時(shí)間平均手術(shù)時(shí)間0.

27、4()100ttfT 時(shí)/人 平均服務(wù)率平均服務(wù)率12.5()0.4u 人/時(shí)2 排隊(duì)模型排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型41（2）?。┤?2.1，=2.5，通過(guò)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法認(rèn)為病人到達(dá)，通過(guò)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法認(rèn)為病人到達(dá)數(shù)服從參數(shù)為數(shù)服從參數(shù)為2.1的泊松分布，手術(shù)時(shí)間服從參數(shù)為的泊松分布，手術(shù)時(shí)間服從參數(shù)為2.5的指數(shù)分布。的指數(shù)分布。（3）服務(wù)設(shè)備利用率服務(wù)設(shè)備利用率2.10.842.5這說(shuō)明服務(wù)機(jī)構(gòu)（手術(shù)室）有這說(shuō)明服務(wù)機(jī)構(gòu)（手術(shù)室）有84%的時(shí)間是繁忙的時(shí)間是繁忙的的（被利用），有（被利用），有16%的時(shí)間是空閑的。的時(shí)間是空閑的。420.84ru2.12.5u 2.15.25()2.52

28、.1sLu人5.250.844.41qsLLr(人)4.412.1()2.1LqWq小時(shí)5.252.5()2.1LsWs小時(shí)（4）依次帶入公式，算出各指標(biāo)得：依次帶入公式，算出各指標(biāo)得：43單通道單通道Excel求解求解2 排隊(duì)模型排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型二二 多服務(wù)臺(tái) 排隊(duì)模型1 標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)準(zhǔn)的 模型模型/M M c2 模型描述模型描述 模型模型 表示，顧客到達(dá)過(guò)程服從泊松分布，服表示，顧客到達(dá)過(guò)程服從泊松分布，服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，C 個(gè)服務(wù)臺(tái)，隊(duì)長(zhǎng)和顧客來(lái)源無(wú)個(gè)服務(wù)臺(tái)，隊(duì)長(zhǎng)和顧客來(lái)源無(wú)限限./MMC/M M C 已知單位時(shí)間平均到達(dá)率已知單位時(shí)間平均到達(dá)率

29、， C 個(gè)服務(wù)臺(tái)，每個(gè)服務(wù)臺(tái)個(gè)服務(wù)臺(tái)，每個(gè)服務(wù)臺(tái)的工作相互獨(dú)立且平均服務(wù)率相同，都等于的工作相互獨(dú)立且平均服務(wù)率相同，都等于 ，顧客源無(wú)限，顧客源無(wú)限，容量無(wú)限，排隊(duì)規(guī)則為等待制容量無(wú)限，排隊(duì)規(guī)則為等待制3.系統(tǒng)的狀態(tài)概率和主要運(yùn)行指標(biāo)系統(tǒng)的狀態(tài)概率和主要運(yùn)行指標(biāo))1(n)1(nn20P2P1P1nPnP1nP,)(,)1(,111101cnnnnnPcPcPPnPPnPP）（),.,2, 1(cn ,.)2, 1(ccn(1) 系統(tǒng)的狀態(tài)概率系統(tǒng)的狀態(tài)概率系統(tǒng)的空閑概率4 系統(tǒng)的狀態(tài)概率和主要運(yùn)行指標(biāo)系統(tǒng)的狀態(tài)概率和主要運(yùn)行指標(biāo)系統(tǒng)內(nèi)有n個(gè)顧客的概率CnPCCCnPnPnCnnn00)(!1

30、)(!11100)(11!1)(!1CkCkCkP1C2 排隊(duì)模型排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型二二 多服務(wù)臺(tái) 排隊(duì)模型4 主要運(yùn)行指標(biāo)主要運(yùn)行指標(biāo)/M M C02()!(1)1cqqqqqcLPLLcLLWWW系統(tǒng)平均隊(duì)長(zhǎng)、平均等待時(shí)間平均占用服務(wù)臺(tái)數(shù)K系統(tǒng)通行能力 0LP損失率系統(tǒng)相對(duì)通過(guò)能力11LQP系統(tǒng)絕對(duì)通過(guò)能力AQ48例例某售票所有三個(gè)窗口，顧客的到達(dá)服從泊松分布，某售票所有三個(gè)窗口，顧客的到達(dá)服從泊松分布，平均到達(dá)速率平均到達(dá)速率 = 0.9人人/min；售票時(shí)間服從負(fù)指；售票時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均服務(wù)速率數(shù)分布，平均服務(wù)速率= 0.4人人/min ?，F(xiàn)設(shè)顧客到?，F(xiàn)設(shè)顧客到達(dá)

31、后排成一隊(duì)，依次向空閑的窗口購(gòu)票，如圖所達(dá)后排成一隊(duì)，依次向空閑的窗口購(gòu)票，如圖所示。試分別用公式、示。試分別用公式、excel和仿真求解：和仿真求解：u(1) 整個(gè)售票所空閑概率整個(gè)售票所空閑概率u(2) 平均隊(duì)列長(zhǎng)和平均隊(duì)長(zhǎng)平均隊(duì)列長(zhǎng)和平均隊(duì)長(zhǎng)u(3)平均等待時(shí)間和逗留時(shí)間平均等待時(shí)間和逗留時(shí)間u(4)顧客到達(dá)后必須等待的概率（顧客到達(dá)后必須等待的概率（n3)2 排隊(duì)模型排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型49顧客到達(dá)和服務(wù)圖顧客到達(dá)和服務(wù)圖 顧客離去 排隊(duì) = 0.9 顧客到達(dá) 窗口1 = 0.4 窗口2 = 0.4 窗口3 = 0.42 排隊(duì)模型排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型50解：解：

32、這是一個(gè)典型的這是一個(gè)典型的M/M/C 排隊(duì)排隊(duì)問(wèn)題問(wèn)題0.90.75130.4C0.90.4u (1) 整個(gè)售票所空閑概率整個(gè)售票所空閑概率r1100!(1)nccnrrPnc012352.2510!1!2!3!10.750.07482 排隊(duì)模型排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型51(2) 平均排隊(duì)長(zhǎng)度和平均隊(duì)列長(zhǎng)平均排隊(duì)長(zhǎng)度和平均隊(duì)列長(zhǎng)02!(1)cqrLpc322.250.750.07481.703!(10.75)1.702.253.95sqLLr(3)平均等待時(shí)間和逗留時(shí)間平均等待時(shí)間和逗留時(shí)間1.701.890.9qqLW111.894.39

33、0.4sqWWu2 排隊(duì)模型排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型52(4)顧客到達(dá)后必須等待的概率（顧客到達(dá)后必須等待的概率（n3)331nnPPnP0!nrpn(0)nc01!nncrpccg()nc00.0748P 230(1)(12.252.531)0.07480.4322nrPrP2 排隊(duì)模型排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型53M/M/3 Excel求解求解54例例 銀行取號(hào)系統(tǒng)有用嗎？銀行取號(hào)系統(tǒng)有用嗎？就例就例5，如果其他條件不變，顧客到達(dá)后在每個(gè)窗，如果其他條件不變，顧客到達(dá)后在每個(gè)窗口前各排一隊(duì)，且進(jìn)入隊(duì)列后堅(jiān)持不換，就形成口前各排一隊(duì)，且進(jìn)入隊(duì)列后堅(jiān)持不換，就形成3個(gè)隊(duì)列，如下圖

34、所示。試分別用公式、個(gè)隊(duì)列，如下圖所示。試分別用公式、excel求解：求解：u(1) 整個(gè)售票所空閑概率整個(gè)售票所空閑概率u(2) 平均隊(duì)列長(zhǎng)度和平均隊(duì)長(zhǎng)平均隊(duì)列長(zhǎng)度和平均隊(duì)長(zhǎng)u(3) 平均等待時(shí)間和逗留時(shí)間平均等待時(shí)間和逗留時(shí)間u(4)顧客到達(dá)后必須等待的概率（顧客到達(dá)后必須等待的概率（n3)2 排隊(duì)模型排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型55顧客到達(dá)和服務(wù)圖顧客到達(dá)和服務(wù)圖 顧客離去= 0.3顧客到達(dá) = 0.9窗口1= 0.4窗口2= 0.4窗口3= 0.4= 0.3= 0.32 排隊(duì)模型排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型56解：解：這是這是3個(gè)個(gè)M/M/1同時(shí)服務(wù)的同時(shí)服務(wù)的排隊(duì)排隊(duì)問(wèn)題問(wèn)題

35、0.30.7510.4r0.30.4u (1) 整個(gè)售票所空閑概率整個(gè)售票所空閑概率(每個(gè)窗口空閑每個(gè)窗口空閑)0110.750.25p(4)顧客到達(dá)必須等待的概率（每個(gè)窗口顧客到達(dá)必須等待的概率（每個(gè)窗口n1)10110.250.75npP2 排隊(duì)模型排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型57(2) 平均排隊(duì)長(zhǎng)度和平均隊(duì)列長(zhǎng)平均排隊(duì)長(zhǎng)度和平均隊(duì)列長(zhǎng)0.30.7qLu2.250.753sqLLr(3)平均等待時(shí)間和逗留時(shí)間平均等待時(shí)間和逗留時(shí)間2.257.50.3qqLW3100.3ssLW339系統(tǒng)（3個(gè)窗口）隊(duì)長(zhǎng)2 排隊(duì)模型排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型583個(gè)個(gè)M/M/

36、1 Excel求解求解2 排隊(duì)模型排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型59結(jié)論：銀行取號(hào)系統(tǒng)是有效的結(jié)論：銀行取號(hào)系統(tǒng)是有效的指標(biāo)指標(biāo)數(shù)值數(shù)值排隊(duì)長(zhǎng)度排隊(duì)長(zhǎng)度1.70系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)3.95平均排隊(duì)時(shí)間平均排隊(duì)時(shí)間1.89服務(wù)臺(tái)空閑概率服務(wù)臺(tái)空閑概率0.075顧客必須等待的概率顧客必須等待的概率0.57指標(biāo)指標(biāo)數(shù)值數(shù)值排隊(duì)長(zhǎng)度排隊(duì)長(zhǎng)度2.25系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)9平均排隊(duì)時(shí)間平均排隊(duì)時(shí)間7.5服務(wù)臺(tái)空閑概率服務(wù)臺(tái)空閑概率0.25顧客必須等待的概率顧客必須等待的概率0.752 排隊(duì)模型排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型二二 多服務(wù)臺(tái) 排隊(duì)模型/M M C眼科醫(yī)院病床安排眼科醫(yī)院病床安排 2 排隊(duì)模型排隊(duì)模

37、型經(jīng)典排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型眼科醫(yī)院病床安排眼科醫(yī)院病床安排 簡(jiǎn)單而言：每一類病人應(yīng)安排多少床位簡(jiǎn)單而言：每一類病人應(yīng)安排多少床位2 排隊(duì)模型排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型眼科醫(yī)院病床安排眼科醫(yī)院病床安排 2 排隊(duì)模型排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型眼科醫(yī)院病床安排眼科醫(yī)院病床安排 2 排隊(duì)模型排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型二二 多服務(wù)臺(tái) 排隊(duì)模型/M M C車道被占用對(duì)城市道路通行能力的影響車道被占用對(duì)城市道路通行能力的影響 1 根據(jù)視頻1（附件1），描述視頻中交通事故發(fā)生至撤離期間,事故所處橫斷面實(shí)際通行能力的變化過(guò)程。 2 根據(jù)問(wèn)題1所得結(jié)論，結(jié)合視頻2（附件2），分析說(shuō)明同一橫斷面交

38、通事故所占車道不同對(duì)該橫斷面實(shí)際通行能力影響的差異。2 排隊(duì)模型排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型二二 多服務(wù)臺(tái) 排隊(duì)模型/M M C車道被占用對(duì)城市道路通行能力的影響車道被占用對(duì)城市道路通行能力的影響2 排隊(duì)模型排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型經(jīng)典排隊(duì)模型二二 多服務(wù)臺(tái) 排隊(duì)模型/M M C車道被占用對(duì)城市道路通行能力的影響車道被占用對(duì)城市道路通行能力的影響123/3,/1M MM MMM67 排隊(duì)系統(tǒng)最優(yōu)設(shè)計(jì)排隊(duì)系統(tǒng)最優(yōu)設(shè)計(jì)成本分析成本分析1 概述概述排隊(duì)系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)和最優(yōu)控制，即排隊(duì)系排隊(duì)系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)和最優(yōu)控制，即排隊(duì)系統(tǒng)的最優(yōu)化問(wèn)題，其目的在于使排隊(duì)系統(tǒng)達(dá)統(tǒng)的最優(yōu)化問(wèn)題，其目的在于使排隊(duì)系統(tǒng)達(dá)到

39、到最大效益最大效益或者說(shuō)在一定指標(biāo)下使排隊(duì)系統(tǒng)或者說(shuō)在一定指標(biāo)下使排隊(duì)系統(tǒng)最為經(jīng)濟(jì)最為經(jīng)濟(jì)。3 排隊(duì)模型排隊(duì)模型排隊(duì)模型的優(yōu)化排隊(duì)模型的優(yōu)化68服務(wù)成本與等待成本的權(quán)衡（成本效益平衡）服務(wù)成本與等待成本的權(quán)衡（成本效益平衡）總成本成本最佳能力等待成本服務(wù)成本最小值排隊(duì)分析的目的是使顧客等待成本與服務(wù)能力成本這兩項(xiàng)成本之和最小3 排隊(duì)模型排隊(duì)模型排隊(duì)模型的優(yōu)化排隊(duì)模型的優(yōu)化69M/M/1模型中的最優(yōu)服務(wù)率模型中的最優(yōu)服務(wù)率u 最佳服務(wù)能力是使總成本最小化：總成本=顧客等候成本+服務(wù)能力成本1wswssCuC uC LCz為時(shí)服務(wù)機(jī)構(gòu)單位時(shí)間的費(fèi)用為每個(gè)顧客在系統(tǒng)中逗即：留時(shí)間的費(fèi)用/1SMMLu

40、模型中 swzC uCu所以：3 排隊(duì)模型排隊(duì)模型排隊(duì)模型的優(yōu)化排隊(duì)模型的優(yōu)化70 M/M/1模型中的最優(yōu)服務(wù)率模型中的最優(yōu)服務(wù)率u swzC uCu0dzdu令20()swCCu即：所以M/M/1模型的最優(yōu)服務(wù)率為：wsCuC3 排隊(duì)模型排隊(duì)模型排隊(duì)模型的優(yōu)化排隊(duì)模型的優(yōu)化71例例設(shè)某服務(wù)機(jī)構(gòu)，單服務(wù)臺(tái)，顧客到達(dá)率為每設(shè)某服務(wù)機(jī)構(gòu)，單服務(wù)臺(tái)，顧客到達(dá)率為每小時(shí)小時(shí)12位顧客。假定每位接受顧客的顧客其位顧客。假定每位接受顧客的顧客其等待費(fèi)用為每小時(shí)等待費(fèi)用為每小時(shí)5元，服務(wù)成本為每位顧元，服務(wù)成本為每位顧客客2元，欲使總平均費(fèi)用最小，服務(wù)率應(yīng)為元，欲使總平均費(fèi)用最小，服務(wù)率應(yīng)為多少？多少？3

41、排隊(duì)模型排隊(duì)模型排隊(duì)模型的優(yōu)化排隊(duì)模型的優(yōu)化72解：解：這是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的這是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1排隊(duì)排隊(duì)問(wèn)題問(wèn)題2sC元12/ h人5wC元因而swSzC uC L最 小 總 費(fèi) 用5121217.5(/ h)2wsCuC最優(yōu)服務(wù)率人122.1817.512sLu*217.552.1846Z120.68617.5u最 優(yōu) 系 統(tǒng) 利 用 率3 排隊(duì)模型排隊(duì)模型排隊(duì)模型的優(yōu)化排隊(duì)模型的優(yōu)化73、Lq 、Ls三者的關(guān)系三者的關(guān)系-1當(dāng)系統(tǒng)利用率增加時(shí)，隊(duì)列平均等候數(shù)與顧當(dāng)系統(tǒng)利用率增加時(shí)，隊(duì)列平均等候數(shù)與顧客排隊(duì)等候的平均時(shí)間呈指數(shù)增長(zhǎng)?？团抨?duì)等候的平均時(shí)間呈指數(shù)增長(zhǎng)。3 排隊(duì)模型排隊(duì)模型排隊(duì)模型的

42、優(yōu)化排隊(duì)模型的優(yōu)化74隊(duì)列中平均等 侯數(shù)100% 系統(tǒng)利用率 0、Lq 、Ls三者的關(guān)系-2qqLWqW./ 1exMM 3 排隊(duì)模型排隊(duì)模型排隊(duì)模型的優(yōu)化排隊(duì)模型的優(yōu)化75、Lq 、Ls三者的關(guān)系三者的關(guān)系-3平均隊(duì)長(zhǎng)（和平均等待時(shí)間）與服務(wù)臺(tái)利用平均隊(duì)長(zhǎng)（和平均等待時(shí)間）與服務(wù)臺(tái)利用率之間的關(guān)系不是線性的關(guān)系。資產(chǎn)利用率率之間的關(guān)系不是線性的關(guān)系。資產(chǎn)利用率太高會(huì)造成服務(wù)質(zhì)量急速下降，因而要權(quán)衡太高會(huì)造成服務(wù)質(zhì)量急速下降，因而要權(quán)衡利弊。利弊。要保證服務(wù)質(zhì)量，就必須保持要保證服務(wù)質(zhì)量，就必須保持“過(guò)剩過(guò)剩的的”生產(chǎn)或服務(wù)能力。生產(chǎn)或服務(wù)能力。3 排隊(duì)模型排隊(duì)模型排隊(duì)模型的優(yōu)化排隊(duì)模型的優(yōu)化

43、76 僅討論標(biāo)準(zhǔn)的僅討論標(biāo)準(zhǔn)的M/M/C模型，且在穩(wěn)態(tài)下，單位時(shí)間全部費(fèi)用模型，且在穩(wěn)態(tài)下，單位時(shí)間全部費(fèi)用的期望值為：的期望值為：(包括服務(wù)成本與等待費(fèi)用包括服務(wù)成本與等待費(fèi)用)zC sCC wL式中式中: : 每個(gè)服務(wù)臺(tái)單位服務(wù)時(shí)間成本；每個(gè)服務(wù)臺(tái)單位服務(wù)時(shí)間成本； 每個(gè)顧客在系統(tǒng)中停留單位時(shí)間成本每個(gè)顧客在系統(tǒng)中停留單位時(shí)間成本； L系統(tǒng)中顧客的平均數(shù)系統(tǒng)中顧客的平均數(shù)Ls或隊(duì)列平均數(shù)或隊(duì)列平均數(shù)Lq，是是C的函的函數(shù)數(shù)。這里這里Z是是C的函數(shù)的函數(shù),且且C只能取整數(shù)解只能取整數(shù)解,故不能用微分法求故不能用微分法求C*, 而只而只能用邊際分析法能用邊際分析法(Marginal Analy

44、sis)：CsCw3 排隊(duì)模型排隊(duì)模型排隊(duì)模型的優(yōu)化排隊(duì)模型的優(yōu)化77因?yàn)橐驗(yàn)?z(c*) 是最小值，則有是最小值，則有：) 1 () 1*() 1*(*)(* CLCwCsCCLCwCsC)1*(*)(czcz) 1*(*)(czcz將將z期望費(fèi)用公式代入：期望費(fèi)用公式代入：)2() 1*() 1*(*)(* CLCwCsCCLCwCsC*)()1*(/)1(CLCLCwsC得：由)1*(*)(/)2(CLCLCwsC得：由合并化簡(jiǎn)得合并化簡(jiǎn)得：*)() 1*(/) 1*(*)(CLCLCsCCLCLw依次求依次求C=1,2,3C=1,2,3，的的 L L值，即可找出符合上式的值，即可找出符

45、合上式的C C* *。78 例例6某檢驗(yàn)中心，為各用戶檢驗(yàn)產(chǎn)品，用戶每天到達(dá)按泊松流某檢驗(yàn)中心，為各用戶檢驗(yàn)產(chǎn)品，用戶每天到達(dá)按泊松流=48個(gè)個(gè)/天，每個(gè)用戶每天停工損失天，每個(gè)用戶每天停工損失6元，服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)元，服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布分布=25個(gè)個(gè)/天，每設(shè)天，每設(shè)1個(gè)檢驗(yàn)臺(tái)每天服務(wù)成本個(gè)檢驗(yàn)臺(tái)每天服務(wù)成本4元，其他條件為元，其他條件為標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)M/M/C模型，問(wèn)設(shè)幾個(gè)服務(wù)臺(tái)費(fèi)用最少？模型，問(wèn)設(shè)幾個(gè)服務(wù)臺(tái)費(fèi)用最少？ 解：解： =4元元 Cw=6=48 =25,下面再分別計(jì)算當(dāng)服務(wù)臺(tái)下面再分別計(jì)算當(dāng)服務(wù)臺(tái)C=1,2,3,時(shí)時(shí)Ls值。計(jì)算過(guò)程如下：值。計(jì)算過(guò)程如下：C12345/cWq.L

46、s1.92-0.9610.255021.6100.640.39612.6800.480.07722.0680.380.01701.952Cs79 計(jì)算計(jì)算 L(CL(C* *)-L(C)-L(C* *+1)+1)及及 L(CL(C* *-1)-L(C-1)-L(C* *) ) c=1 - c=1 - c=2 18.930 c=2 18.930 （相當(dāng)于無(wú)窮）（相當(dāng)于無(wú)窮） c=3 0.612 18.930 c=3 0.612 18.930 c=4 0.116 0.612c=4 0.116 0.612667.03/26/4/ CwsC即為所求。3* C0.612/18.930CsCw（見(jiàn)陸書（見(jiàn)

47、陸書239239頁(yè)隊(duì)長(zhǎng)表達(dá)式）頁(yè)隊(duì)長(zhǎng)表達(dá)式） 系統(tǒng)容量有限的系統(tǒng)容量有限的 模型模型/1/NMM 系統(tǒng)容量為N，系統(tǒng)中排隊(duì)等待的顧客數(shù)最多為N-1，所以在某一時(shí)刻某位顧客到達(dá)時(shí)，如果系統(tǒng)中已有N位顧客，那么這位顧客被拒絕進(jìn)入系統(tǒng)，如圖2.2N-1 N0PnP1nP2P1P圖2.2由狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖，可以建立系統(tǒng)概率平衡方程如下：,)(,11101NNkkkPPPPPPP1 Nk4 排隊(duì)模型排隊(duì)模型推廣推廣 系統(tǒng)容量有限的系統(tǒng)容量有限的 模型模型/1/NMMNkNPNPkk,11110；于是時(shí)，當(dāng),11, 110NkkkkNPN得，又設(shè)NnnP011NkPPNkkN,11111110；，模型的各數(shù)量指標(biāo)參數(shù)如下： 1）系統(tǒng)里沒(méi)有顧客的概率11111110NPN4 排隊(duì)模型排隊(duì)模型推廣推廣 系統(tǒng)容量有限的系統(tǒng)容量有限的 模型模型/1/NMM 2）系統(tǒng)里有n個(gè)顧