工程力學-材料力學-第4章 摩擦的平衡問題PPT(唐學彬)

1、第四章第四章 考慮摩擦的平衡問題考慮摩擦的平衡問題 摩擦是自然界中廣泛存在的一種復雜的物理、力學現象，不但摩擦是自然界中廣泛存在的一種復雜的物理、力學現象，不但在粗糙接觸中有摩擦存在，就是極光滑的接觸中也有摩擦存在。一在粗糙接觸中有摩擦存在，就是極光滑的接觸中也有摩擦存在。一般認為般認為摩擦產生的原因是摩擦產生的原因是：（：（1）接觸面的凹凸不平；（）接觸面的凹凸不平；（2）接觸面）接觸面間的分子吸引力。間的分子吸引力。 摩擦的分類摩擦的分類：（1）按相互接觸物體的運動形式分為）按相互接觸物體的運動形式分為滑動摩擦滑動摩擦和滾動摩擦和滾動摩擦；（；（2）按相互接觸物體有無相對運動分為）按相互接

2、觸物體有無相對運動分為靜摩擦和動靜摩擦和動摩擦摩擦。 趨利避害是我們研究摩擦的目的。本章主要研究滑動摩擦和滾趨利避害是我們研究摩擦的目的。本章主要研究滑動摩擦和滾動摩擦的理論，介紹摩擦角和自鎖的概念，從宏觀的角度研究摩擦動摩擦的理論，介紹摩擦角和自鎖的概念，從宏觀的角度研究摩擦對物體產生的作用力，即對物體產生的作用力，即摩擦力摩擦力，解決帶摩擦力的物系平衡問題。，解決帶摩擦力的物系平衡問題。 4.1 4.1 滑動摩擦滑動摩擦 如圖如圖4-1所示，物體所示，物體A在主動力作用下，如果產生相對滑動在主動力作用下，如果產生相對滑動趨勢時，周圍物體（圖示為約束面）會對該物體產生一個與相趨勢時，周圍物體

3、（圖示為約束面）會對該物體產生一個與相對滑動趨勢方向相反的力對滑動趨勢方向相反的力Fs，它總是力圖阻止相對滑動的發(fā)生，它總是力圖阻止相對滑動的發(fā)生，這個力這個力Fs就是就是靜滑動摩擦力靜滑動摩擦力，簡稱，簡稱靜摩擦力靜摩擦力。沿接觸點的切線，沿接觸點的切線，其方向總是與相對運動趨勢方向相反。其方向總是與相對運動趨勢方向相反。 實驗表明，摩擦力的大小隨主動力的增實驗表明，摩擦力的大小隨主動力的增大而增大，當物體即將滑動（將動未動）時，大而增大，當物體即將滑動（將動未動）時，摩擦力達到最大值，因此有摩擦力達到最大值，因此有 max0sFF（4-1）1.滑動摩擦力滑動摩擦力 其中，最大摩擦力其中，最

4、大摩擦力Fmax稱為稱為臨界摩擦力臨界摩擦力（或（或最大靜滑動摩擦最大靜滑動摩擦力力）。物體處于平衡的臨界狀態(tài)，稱為臨界平衡狀態(tài)。）。物體處于平衡的臨界狀態(tài)，稱為臨界平衡狀態(tài)。 Fmax的值的值由由庫侖靜摩擦定律庫侖靜摩擦定律（又稱（又稱靜摩擦定律靜摩擦定律）決定，即）決定，即 maxsNFf F(4-2) 式中：式中：FN為正壓力；為正壓力；fs為靜摩擦因數，是一個無量綱的常數，為靜摩擦因數，是一個無量綱的常數，取決于物體的材料。取決于物體的材料。 當滑動摩擦力已達到最大值時，若主動力再繼續(xù)加大，接觸面當滑動摩擦力已達到最大值時，若主動力再繼續(xù)加大，接觸面之間將出現相對滑動。此時，接觸物體之

5、間仍作用有阻礙相對滑動之間將出現相對滑動。此時，接觸物體之間仍作用有阻礙相對滑動的阻力，這種阻力稱為的阻力，這種阻力稱為動滑動摩擦力動滑動摩擦力，簡稱，簡稱動摩擦力動摩擦力，以表示。此，以表示。此時摩擦定律（時摩擦定律（4-2）仍然近似成立，其中的摩擦系數符號需要改動，）仍然近似成立，其中的摩擦系數符號需要改動，即即 NFfF（4-3）式中：式中：F為動摩擦力；為動摩擦力；f 為動摩擦因數，它與接觸物體的材料和表為動摩擦因數，它與接觸物體的材料和表面情況有關。一般情況下，動摩擦因數小于靜摩擦因數，即面情況有關。一般情況下，動摩擦因數小于靜摩擦因數，即 f m,如如F太小，則物塊將下滑；如太小，

6、則物塊將下滑；如F過大，又將使物塊過大，又將使物塊上滑，所以需要分兩種情形加以討論。上滑，所以需要分兩種情形加以討論。 先求恰能維持物塊不致下滑所需的力先求恰能維持物塊不致下滑所需的力Fmin。這時摩擦力向上，。這時摩擦力向上，如圖（如圖（b）所示。列平衡方程）所示。列平衡方程min10,cossin0 xFFFW1min0,sincos0yNFFFWm insincoscossinssfFWf11sNFf F注意注意 再求不使物體向上滑動的力再求不使物體向上滑動的力Fmax。這時摩擦力向下，如圖（。這時摩擦力向下，如圖（c）所示。列平衡方程所示。列平衡方程maxsincoscossinssf

7、FWfmax20,cossin0 xFFFW2max0,sincos0yNFFFW22sNFf F可見，要使物塊在斜面上保持靜止，力可見，要使物塊在斜面上保持靜止，力F必須滿足必須滿足sincossincoscossincossinssssffWFWff這就是所求的平衡范圍。這就是所求的平衡范圍。 例例4-2 制動器如圖制動器如圖4-6（a）所示。已知重物）所示。已知重物M重量為重量為W，制，制動塊和鼓輪間的摩擦因數為動塊和鼓輪間的摩擦因數為fs，各部分尺寸已知。試求使鼓輪保，各部分尺寸已知。試求使鼓輪保持平衡時手柄上所作用的最小力持平衡時手柄上所作用的最小力Fmin。 解解：鼓輪在重力：鼓輪

8、在重力W的作用下有轉動的趨勢。手柄受力的作用下有轉動的趨勢。手柄受力F作用，作用，制動塊緊壓鼓輪，使鼓輪靜止不動。因此鼓輪與制動塊之間存制動塊緊壓鼓輪，使鼓輪靜止不動。因此鼓輪與制動塊之間存在著正壓力和摩擦力。在著正壓力和摩擦力。對鼓輪列靜力平衡方程，得對鼓輪列靜力平衡方程，得對手柄列靜力平衡方程，得對手柄列靜力平衡方程，得補充方程補充方程 當鼓輪處于要轉動而未轉動的臨界平衡狀態(tài)時，靜摩擦力當鼓輪處于要轉動而未轉動的臨界平衡狀態(tài)時，靜摩擦力Fs達到最大值達到最大值Fsmax，而主動力，而主動力F達到最小值達到最小值Fmin，即，即；由式和式解得由式和式解得；將式、式代入式、式，即得將式、式代入

9、式、式，即得 例例4-3 梯子梯子AB靠在墻上，其重為靠在墻上，其重為W=200N，如圖所示。梯長為，如圖所示。梯長為l，梯子與水，梯子與水平面的夾角平面的夾角=600。已知接觸面間的摩擦因。已知接觸面間的摩擦因數為數為0.25。今有一重。今有一重650N的人沿梯上爬，的人沿梯上爬，問人所能達到的最高點問人所能達到的最高點C到到A點的距離點的距離s為為多少？多少？ 解解：整體受力如圖所示，設：整體受力如圖所示，設C點為人點為人所能達到的極限位置，此時所能達到的極限位置，此時 例例4-4 鄂式破碎機的動鄂與固定鄂板之間的夾角稱為嚙角。當鄂式破碎機的動鄂與固定鄂板之間的夾角稱為嚙角。當動鄂靠近固定

10、鄂板時，則位于兩鄂板之間的礦石被粉碎；當動鄂離動鄂靠近固定鄂板時，則位于兩鄂板之間的礦石被粉碎；當動鄂離開固定鄂板時，已破碎的礦石在重力作用下經排礦口排出，如圖開固定鄂板時，已破碎的礦石在重力作用下經排礦口排出，如圖4-8（a）所示。已知礦石與鄂板間的摩擦角為）所示。已知礦石與鄂板間的摩擦角為m ，不計礦石自重，不計礦石自重，問要保證礦石能被鄂板夾住不致上滑，則嚙角問要保證礦石能被鄂板夾住不致上滑，則嚙角應為多大？應為多大？ 解解：設礦石的：設礦石的形狀為球形，當鄂形狀為球形，當鄂板壓緊礦石時，其板壓緊礦石時，其受力如圖受力如圖4-8（b）所示。所示。 力力FNA和和FNB為鄂板作用于礦石的壓

11、碎力，其方向垂直于鄂為鄂板作用于礦石的壓碎力，其方向垂直于鄂板表面，力板表面，力Fs1與與Fs2為摩擦力，其方向平行于鄂板表面，而力為摩擦力，其方向平行于鄂板表面，而力FRA與與FRB分別為分別為FNA和和Fs1、FNB和和Fs2的合力。礦石的自重可忽略不計。的合力。礦石的自重可忽略不計。 當破碎礦石時，嚙角當破碎礦石時，嚙角應該保證礦石能被夾住，既不向上滑應該保證礦石能被夾住，既不向上滑動也不從破碎機的給礦口中跳出來，即產生自鎖。由于礦石僅受動也不從破碎機的給礦口中跳出來，即產生自鎖。由于礦石僅受FRA 、FRB兩力的作用，根據二力平衡條件，該兩力必大小相等、兩力的作用，根據二力平衡條件，該

12、兩力必大小相等、方向相反、沿同一直線方向相反、沿同一直線AB。由圖。由圖4-8（b）的幾何關系，對頂角相）的幾何關系，對頂角相等和對應邊相互垂直，可得等和對應邊相互垂直，可得 所以所以 由以上各例的解題過程，可以得到求解摩擦問題的基本方由以上各例的解題過程，可以得到求解摩擦問題的基本方法和步驟：法和步驟： 根據題意選取適當的研究對象，正確分析約束的性質和根據題意選取適當的研究對象，正確分析約束的性質和物體的運動趨勢，畫受力圖。摩擦力總是阻礙物體的運動，因物體的運動趨勢，畫受力圖。摩擦力總是阻礙物體的運動，因此，物體所受摩擦力的方向總是與其運動方向相反。此，物體所受摩擦力的方向總是與其運動方向相

13、反。 列靜力平衡方程?？紤]摩擦的平衡問題與沒有摩擦的平列靜力平衡方程?？紤]摩擦的平衡問題與沒有摩擦的平衡問題一樣，它們都應滿足靜力平衡方程式。為了不解聯立方衡問題一樣，它們都應滿足靜力平衡方程式。為了不解聯立方程，應適當地選取坐標系。程，應適當地選取坐標系。 列摩擦力的補充方程，求解未知量。由于摩擦力有一個列摩擦力的補充方程，求解未知量。由于摩擦力有一個取值范圍，因此，一般需要解不等式。用幾何法求解時，主動取值范圍，因此，一般需要解不等式。用幾何法求解時，主動力和全約束反力的數目不應多于三個，此時可用三力平衡匯交力和全約束反力的數目不應多于三個，此時可用三力平衡匯交定理求解。定理求解。 4.3

14、 滾動摩擦滾動摩擦 設一重量為設一重量為W，半徑，半徑r的滾子靜止地放在水平面上（圖的滾子靜止地放在水平面上（圖4-9（a）。在其中心）。在其中心O作用一個變力作用一個變力F。開始時力。開始時力F比較小，滾子既比較小，滾子既不滾動也不滑動地靜止在水平面上，說明這時滾子處于平衡狀態(tài)。不滾動也不滑動地靜止在水平面上，說明這時滾子處于平衡狀態(tài)。作用在滾子上的力有重力作用在滾子上的力有重力W、拉力、拉力F、法向反力、法向反力FN和靜摩擦力和靜摩擦力Fs，如圖如圖4-9（b）所示。由平面一般力系的平衡方程可得）所示。由平面一般力系的平衡方程可得 由上述結果可知，只要拉力由上述結果可知，只要拉力F的值不超

15、過最大靜摩擦力的值不超過最大靜摩擦力Fmax的值，滾子就不會向前滾動。但是，拉力的值，滾子就不會向前滾動。但是，拉力F和靜摩擦力和靜摩擦力Fs又組又組成一個力偶，其力偶矩為成一個力偶，其力偶矩為Fr。從圖。從圖4-9（b）中可以看出，如果）中可以看出，如果沒有其他力偶存在，則不論力偶矩沒有其他力偶存在，則不論力偶矩Fr多么小，在它的作用下，多么小，在它的作用下，滾子都將滾動?，F在滾子不動，就說明一定還存在另一個矩為滾子都將滾動?，F在滾子不動，就說明一定還存在另一個矩為Mf的力偶，其轉向與的力偶，其轉向與Fr的轉向相反，且與的轉向相反，且與Fr平衡，阻止?jié)L子平衡，阻止?jié)L子的滾動（圖的滾動（圖4-

16、9（c）。）。Mf稱為稱為滾動摩阻力偶滾動摩阻力偶（又稱（又稱滾阻力滾阻力偶偶）。）。 由此可知，在滾子上作用的是由此可知，在滾子上作用的是一個平衡力系，所以滾子靜止不動。一個平衡力系，所以滾子靜止不動。此時有此時有 那么阻礙滾子滾動的滾動摩阻是如何產生的呢？事實上，在那么阻礙滾子滾動的滾動摩阻是如何產生的呢？事實上，在現實中，剛體是不存在的。在外力作用下，滾子和其支承面都將現實中，剛體是不存在的。在外力作用下，滾子和其支承面都將產生微小的變形，它們所接觸的不是一個點而是一條曲線（就平產生微小的變形，它們所接觸的不是一個點而是一條曲線（就平面圖形而言）。為便于分析，假定滾子是剛體，僅支承面發(fā)生

17、變面圖形而言）。為便于分析，假定滾子是剛體，僅支承面發(fā)生變形。這樣，滾子中心在受到豎直和水平力的作用下，地面將對它形。這樣，滾子中心在受到豎直和水平力的作用下，地面將對它產生反作用力，方向如圖產生反作用力，方向如圖4-10（a）所示。）所示。 將地面的反作用力向將地面的反作用力向B點簡化，得到圖（點簡化，得到圖（b），再向），再向A點簡化，點簡化，并略去并略去A、B兩點在豎直方向的微小距離，得到圖（兩點在豎直方向的微小距離，得到圖（c）。正是其）。正是其中矩為中矩為Mf的滾動摩擦力偶阻礙著滾子的滾動。其大小和轉向可由的滾動摩擦力偶阻礙著滾子的滾動。其大小和轉向可由下列平衡方程確定下列平衡方程確

18、定:( )0,0AfMFMFr得：得：fNMFrF e 當當F逐漸增大時，逐漸增大時，Mf也逐漸增大，即也逐漸增大，即e也隨著增大。由于也隨著增大。由于e的的增大是有限，因此，當增大是有限，因此，當e增大到某一極限值增大到某一極限值時，滾子即達到將要時，滾子即達到將要滾動而未滾動的臨界狀態(tài)，這時的滾動摩擦力偶矩達到最大值，滾動而未滾動的臨界狀態(tài)，這時的滾動摩擦力偶矩達到最大值，稱為稱為最大滾動摩擦力偶矩最大滾動摩擦力偶矩，用，用Mmax表示。如果此時表示。如果此時F再增加一個微再增加一個微小的量，滾子就從靜止開始滾動。小的量，滾子就從靜止開始滾動。滾子開始滾動后，滾動摩擦力滾子開始滾動后，滾動

19、摩擦力偶仍然存在。偶仍然存在。一般認為滾動時的滾動摩擦力偶矩與最大摩擦力偶一般認為滾動時的滾動摩擦力偶矩與最大摩擦力偶矩相等。矩相等。 從上述討論可知，滾動摩擦力偶矩從上述討論可知，滾動摩擦力偶矩Mf的大小在零和最大值之的大小在零和最大值之間變化，即間變化，即 實驗表明，最大滾動摩擦力偶矩實驗表明，最大滾動摩擦力偶矩Mmax與支承面法向反力與支承面法向反力FN的大的大小成正比，即小成正比，即max0fMM（4-6）maxNMF（4-7） 這就是這就是滾動摩擦定理滾動摩擦定理。式中。式中稱為滾動摩擦系數，是一個具有稱為滾動摩擦系數，是一個具有長度量綱的量，常用單位是毫米（長度量綱的量，常用單位是毫米（mm）。）。 下面討論滾子的滾動與滑動之間的關系。設滾子達到將要滾動下面討論滾子的滾動與滑動之間的關系。設滾子達到將要滾動而未滾動的臨界狀態(tài)時的受力情況如圖而未滾動的臨界狀態(tài)時的受力情況如圖4-11（a）所示。如果滾子）所示。如果滾子開始滾動，則有開始滾動，則有 設滾子達到將要滑動而未滑動的臨界狀態(tài)時的受力情況如圖設滾子達到將要滑動而未滑動的臨界狀態(tài)時的受力情況如圖4-11（b）所示。如果滾子開始滑動，則有）所示。如果