微元法的應(yīng)用

1、微元法的應(yīng)用微元法的應(yīng)用一、學(xué)習(xí)目標(biāo)一、學(xué)習(xí)目標(biāo)知識(shí)知識(shí)與技與技能能 知道微元法是分析、解決物理問題的常用方法之一；知道微元法是分析、解決物理問題的常用方法之一；了解微元法在高中物理教材中的應(yīng)用實(shí)例；了解微元法在高中物理教材中的應(yīng)用實(shí)例；掌握微元法解題的一般思維程序；掌握微元法解題的一般思維程序；運(yùn)用微元法解決有關(guān)連續(xù)變化的相關(guān)問題運(yùn)用微元法解決有關(guān)連續(xù)變化的相關(guān)問題過程過程與方與方法法 通過應(yīng)用微元法解題，體驗(yàn)微元法的特點(diǎn)和應(yīng)用技巧，通過應(yīng)用微元法解題，體驗(yàn)微元法的特點(diǎn)和應(yīng)用技巧，能把這種方法和動(dòng)能定理等其他處理變力問題的方法加以能把這種方法和動(dòng)能定理等其他處理變力問題的方法加以比較；比較；

2、通過了解教材中一些應(yīng)用微元法的實(shí)例，感悟這種貫穿通過了解教材中一些應(yīng)用微元法的實(shí)例，感悟這種貫穿于整個(gè)高中物理知識(shí)體系的思維方法的重要地位；于整個(gè)高中物理知識(shí)體系的思維方法的重要地位；情感情感態(tài)度態(tài)度價(jià)值價(jià)值觀觀 經(jīng)歷微元法解決非勻變速運(yùn)動(dòng)速度和位移的關(guān)系，體會(huì)經(jīng)歷微元法解決非勻變速運(yùn)動(dòng)速度和位移的關(guān)系，體會(huì)化變?yōu)楹恪⒒鸀橹?、使?fù)雜問題簡(jiǎn)單化的科學(xué)思維方法；化變?yōu)楹?、化曲為直、使?fù)雜問題簡(jiǎn)單化的科學(xué)思維方法；體驗(yàn)成功的快樂和方法的意義，增強(qiáng)科學(xué)能力的價(jià)值觀體驗(yàn)成功的快樂和方法的意義，增強(qiáng)科學(xué)能力的價(jià)值觀 微元法在高考中的地位：微元法在高考中的地位：微元法是一種深刻的思微元法是一種深刻的思維方

3、法，先分割逼近，找到規(guī)律，再累計(jì)求和，維方法，先分割逼近，找到規(guī)律，再累計(jì)求和，達(dá)到了解整體的目的。關(guān)于微元法的題目，連續(xù)達(dá)到了解整體的目的。關(guān)于微元法的題目，連續(xù)幾年出現(xiàn)在江蘇高考物理試卷中和各大高校的自幾年出現(xiàn)在江蘇高考物理試卷中和各大高校的自主招生考試中。主招生考試中。 微元法在教材中的廣泛應(yīng)用：微元法在教材中的廣泛應(yīng)用：在處理勻變速直線在處理勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移、瞬時(shí)速度，曲線運(yùn)動(dòng)速度方向、萬運(yùn)動(dòng)的位移、瞬時(shí)速度，曲線運(yùn)動(dòng)速度方向、萬有引力由有引力由“質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)”向向“大的物體大的物體”過渡、探究重過渡、探究重力做功、變力做功、推導(dǎo)第二宇宙速、推導(dǎo)正弦力做功、變力做功、推導(dǎo)第二宇宙速、推

4、導(dǎo)正弦式交流電峰值和有效值的關(guān)系等等式交流電峰值和有效值的關(guān)系等等 微元法的一般思維程序微元法的一般思維程序 例例1如圖如圖1所示，一個(gè)質(zhì)量為所示，一個(gè)質(zhì)量為m的鋼性圓環(huán)套在一根固的鋼性圓環(huán)套在一根固定的足夠長(zhǎng)的水平直桿上，環(huán)的半徑略大于桿的半徑。定的足夠長(zhǎng)的水平直桿上，環(huán)的半徑略大于桿的半徑。環(huán)與桿之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為環(huán)與桿之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為。t=0時(shí)刻給環(huán)一個(gè)向右時(shí)刻給環(huán)一個(gè)向右的初速度的初速度v0，同時(shí)對(duì)環(huán)施加一個(gè)方向始終豎直向上的，同時(shí)對(duì)環(huán)施加一個(gè)方向始終豎直向上的力力F，已知力，已知力F的大小為的大小為F=kv， (k為大于為大于0的常數(shù)且已的常數(shù)且已知，知，v為環(huán)的運(yùn)動(dòng)速度為環(huán)的運(yùn)動(dòng)

5、速度)，且有，且有kv0mg，t=t1時(shí)刻環(huán)開時(shí)刻環(huán)開始沿桿做勻速直線運(yùn)動(dòng)。試求：在始沿桿做勻速直線運(yùn)動(dòng)。試求：在0t1時(shí)間內(nèi)，環(huán)沿時(shí)間內(nèi)，環(huán)沿桿運(yùn)動(dòng)的距離。桿運(yùn)動(dòng)的距離。 （一）微元法在力學(xué)中的應(yīng)用（一）微元法在力學(xué)中的應(yīng)用F圖1GFNf環(huán)做加速度減小的減速運(yùn)動(dòng)，環(huán)做加速度減小的減速運(yùn)動(dòng)，最后勻速最后勻速解析解析:kv1=mg， v1=mg/k 環(huán)在環(huán)在任意時(shí)刻任意時(shí)刻t 的加速度的加速度 a=(kvmg)/m 式改寫為式改寫為 v =k vt /mgt在在v0v1區(qū)間內(nèi)對(duì)區(qū)間內(nèi)對(duì)式各項(xiàng)求和有式各項(xiàng)求和有 v=kx /mgt 由由式可得式可得 v0v1=kx/mgt1 式整理得式整理得 x=

6、m(v0mg/k +gt1)/ k= k x /mgt vt0v0v1t1vtt取一段時(shí)間微元取一段時(shí)間微元t0，a=v/t求：在求：在0t1時(shí)間內(nèi)，環(huán)沿桿運(yùn)動(dòng)的距離。時(shí)間內(nèi)，環(huán)沿桿運(yùn)動(dòng)的距離。練習(xí)練習(xí)1從地面上以初速度從地面上以初速度v0豎直上拋出質(zhì)量為豎直上拋出質(zhì)量為m的球，的球，若運(yùn)動(dòng)過程中受到的空氣阻力與其速率成正比，若運(yùn)動(dòng)過程中受到的空氣阻力與其速率成正比，t1時(shí)時(shí)刻到達(dá)最高點(diǎn)，再落回地面，落地時(shí)速率為刻到達(dá)最高點(diǎn)，再落回地面，落地時(shí)速率為v1，落地，落地前球已經(jīng)做勻速運(yùn)動(dòng)，求：前球已經(jīng)做勻速運(yùn)動(dòng)，求：作出球運(yùn)動(dòng)的速率隨時(shí)間變化的圖象；作出球運(yùn)動(dòng)的速率隨時(shí)間變化的圖象；球上升的最大高

7、度球上升的最大高度 GfvGfv設(shè)上升至速度為設(shè)上升至速度為v時(shí)加速度為時(shí)加速度為a， ma=mg kvvmkgahmktgtvmktgtavHmkgtvhmktgv10gvgtvH110)(對(duì)變化的速度、對(duì)變化的速度、位移從牛頓定律出位移從牛頓定律出發(fā)，采取先微元、發(fā)，采取先微元、再求和的方法再求和的方法,并注并注意換元的技巧。意換元的技巧。 取一段時(shí)間微元取一段時(shí)間微元t，a=v/t 有：有：例例2如圖所示，一個(gè)由絕緣細(xì)線構(gòu)成的剛性軌道水如圖所示，一個(gè)由絕緣細(xì)線構(gòu)成的剛性軌道水平放置，軌道平放置，軌道OCD部分光滑，是以部分光滑，是以B為中心，為中心，l為為半徑的半圓，半徑的半圓，AB2l

8、，直軌道，直軌道DE部分是粗糙的且部分是粗糙的且足夠長(zhǎng)。軌道上足夠長(zhǎng)。軌道上A處有電荷量為處有電荷量為Q1的正點(diǎn)電荷，的正點(diǎn)電荷，B處有電荷量為處有電荷量為Q2的負(fù)點(diǎn)電荷（的負(fù)點(diǎn)電荷（|Q2| Q1）。一個(gè)）。一個(gè)質(zhì)量為質(zhì)量為m電荷量為電荷量為q的小環(huán)套在軌道上，環(huán)與軌的小環(huán)套在軌道上，環(huán)與軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為。已知點(diǎn)電荷產(chǎn)生電場(chǎng)時(shí)，。已知點(diǎn)電荷產(chǎn)生電場(chǎng)時(shí)，若以無窮遠(yuǎn)為零勢(shì)面，其電勢(shì)可表示為若以無窮遠(yuǎn)為零勢(shì)面，其電勢(shì)可表示為=kQ/r，Q為場(chǎng)源電荷，為場(chǎng)源電荷，r為與電荷的距離。為與電荷的距離。（1）若小環(huán)初始位置在）若小環(huán)初始位置在O處，受到輕微擾動(dòng)后沿半處，受到輕微擾動(dòng)后

9、沿半圓軌道加速運(yùn)動(dòng)圓軌道加速運(yùn)動(dòng),求小環(huán)運(yùn)動(dòng)至求小環(huán)運(yùn)動(dòng)至D處的速度大小處的速度大小v0。（二）微元法在靜電場(chǎng)中的應(yīng)用（二）微元法在靜電場(chǎng)中的應(yīng)用解：（解：（1）根據(jù)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢(shì)公式可知，）根據(jù)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢(shì)公式可知，Q2在在O、D兩處產(chǎn)生的電勢(shì)相等，小環(huán)從兩處產(chǎn)生的電勢(shì)相等，小環(huán)從O運(yùn)動(dòng)到運(yùn)動(dòng)到D只有點(diǎn)電只有點(diǎn)電荷荷Q1對(duì)環(huán)做功，由動(dòng)能定理可得對(duì)環(huán)做功，由動(dòng)能定理可得 WOD=q（OD）=mv02/2 即即 kQ1q/l kQ1q/3l= mv02/2解得解得mlqkQv3410例例2（2）若小環(huán)到達(dá)）若小環(huán)到達(dá)D點(diǎn)后沿直軌道點(diǎn)后沿直軌道DE運(yùn)動(dòng)。設(shè)小環(huán)運(yùn)動(dòng)。設(shè)小環(huán)在兩個(gè)點(diǎn)電荷在兩個(gè)點(diǎn)

10、電荷Q1 、Q2共同作用下所受庫(kù)侖力與速度共同作用下所受庫(kù)侖力與速度大小成正比，比例系數(shù)為大小成正比，比例系數(shù)為k，經(jīng)過時(shí)間，經(jīng)過時(shí)間t0靜止，求小靜止，求小環(huán)在直軌道上運(yùn)動(dòng)的距離環(huán)在直軌道上運(yùn)動(dòng)的距離x。 解析：設(shè)某時(shí)刻解析：設(shè)某時(shí)刻t小環(huán)運(yùn)動(dòng)速度為小環(huán)運(yùn)動(dòng)速度為v時(shí)加速度為時(shí)加速度為 a=(mg+kv)/m取一段時(shí)間微元取一段時(shí)間微元t，a=v/t 有：有：v=( gt + kvt/m ) =( gt + kx/m ) v=( g t + k /m x )v0=gt0kx/m x=m(v0gt0)/kkgtmlqQmx)34(01 練習(xí)練習(xí)2，電量電量Q均勻分布在半徑為均勻分布在半徑為R的

11、圓環(huán)上（如圖的圓環(huán)上（如圖3所示），求在圓環(huán)軸線上距圓心所示），求在圓環(huán)軸線上距圓心O點(diǎn)為點(diǎn)為x處的處的P點(diǎn)的電點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì) 圖3解析：選電荷元解析：選電荷元 ,2 RQRq22222)(2cosxRxxRRQRkrqkEx322322322)(2)(2)(2xRkQxxRkQxxRkQxEEx22xRqkiP22xRkQiPP空間元空間元注意矢量和注意矢量和標(biāo)量不同的疊標(biāo)量不同的疊加方法加方法它在它在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)的點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)的x分量為：分量為：根據(jù)根據(jù) 對(duì)稱性對(duì)稱性 電荷元在電荷元在P點(diǎn)的電勢(shì)為點(diǎn)的電勢(shì)為 （三）、微元法在電磁感應(yīng)中的應(yīng)用（三）、微元法在電磁

12、感應(yīng)中的應(yīng)用 例例3.如圖如圖4，兩根足夠長(zhǎng)的光滑固定平行金屬導(dǎo)軌，兩根足夠長(zhǎng)的光滑固定平行金屬導(dǎo)軌與水平面成與水平面成角，導(dǎo)軌間距為角，導(dǎo)軌間距為d，兩導(dǎo)體棒，兩導(dǎo)體棒a和和b與與導(dǎo)軌垂直放置，兩根導(dǎo)體棒的質(zhì)量都為導(dǎo)軌垂直放置，兩根導(dǎo)體棒的質(zhì)量都為m、電阻、電阻都為都為R，回路中其余電阻不計(jì)。整個(gè)裝置處于垂，回路中其余電阻不計(jì)。整個(gè)裝置處于垂直于導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度的直于導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為大小為B。在。在t =0時(shí)刻使時(shí)刻使a沿導(dǎo)軌向上作速度為沿導(dǎo)軌向上作速度為v的的勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)將勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)將b由靜止釋放，由靜止釋放，b經(jīng)過一段時(shí)間經(jīng)過一段時(shí)間

13、后也作勻速運(yùn)動(dòng)。已知后也作勻速運(yùn)動(dòng)。已知d =1m，m = 0.5kg，R =0.5，B=0.5T，=30，g取取10m/s2，不計(jì)兩導(dǎo)，不計(jì)兩導(dǎo)棒間的相互作用力。棒間的相互作用力。bBFa（三）、微元法在電磁感應(yīng)中的應(yīng)用（三）、微元法在電磁感應(yīng)中的應(yīng)用 為使導(dǎo)體棒為使導(dǎo)體棒b能沿導(dǎo)軌向下運(yùn)動(dòng)，能沿導(dǎo)軌向下運(yùn)動(dòng)，a的速度的速度v不能不能超過多大？超過多大？bBFa圖4GFANb解析：解析：設(shè)設(shè)a的速度為的速度為v1，由于，由于b初態(tài)初態(tài)速度為零，則速度為零，則 I=E1/2R= Bdv1 /2R 對(duì)對(duì)b： FA=BId=B2d2v1/2R b要下滑要下滑 FAmgsin 將將式代入式代入式得：

14、式得： v110m/s （三）、微元法在電磁感應(yīng)中的應(yīng)用（三）、微元法在電磁感應(yīng)中的應(yīng)用 例例3.如圖如圖4，兩根足夠長(zhǎng)的光滑固定平行金屬導(dǎo)軌與水平面成，兩根足夠長(zhǎng)的光滑固定平行金屬導(dǎo)軌與水平面成角，導(dǎo)角，導(dǎo)軌間距為軌間距為d，兩導(dǎo)體棒，兩導(dǎo)體棒a和和b與導(dǎo)軌垂直放置，兩根導(dǎo)體棒的質(zhì)量都為與導(dǎo)軌垂直放置，兩根導(dǎo)體棒的質(zhì)量都為m、電阻都為、電阻都為R，回路中其余電阻不計(jì)。整個(gè)裝置處于垂直于導(dǎo)軌平，回路中其余電阻不計(jì)。整個(gè)裝置處于垂直于導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B。在。在t =0時(shí)刻使時(shí)刻使a沿導(dǎo)軌沿導(dǎo)軌向上作速度為向上作速度為v的勻速運(yùn)動(dòng)，

15、同時(shí)將的勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)將b由靜止釋放，由靜止釋放，b經(jīng)過一段時(shí)間后經(jīng)過一段時(shí)間后也作勻速運(yùn)動(dòng)。已知也作勻速運(yùn)動(dòng)。已知d =1m，m = 0.5kg，R =0.5，B=0.5T，=30，g取取10m/s2，不計(jì)兩導(dǎo)棒間的相互作用力。，不計(jì)兩導(dǎo)棒間的相互作用力。若若a在平行于導(dǎo)軌向上的力在平行于導(dǎo)軌向上的力F作用下，以作用下，以v1=2m/s的速度沿導(dǎo)軌向上的速度沿導(dǎo)軌向上運(yùn)動(dòng)，試導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)，試導(dǎo)出F與與b的速率的速率v2的函數(shù)關(guān)系式并求出的函數(shù)關(guān)系式并求出v2的最大值；的最大值； bBFa圖4解析：解析：設(shè)設(shè)a的速度為的速度為v1，b的速度為的速度為v2，回路電流為回路電流為I，則：則： I=（E

16、1+E2）/2R =Bd(v1+v2)/2R 對(duì)對(duì)a：mgsin + FA = F mgsin + B2d2(v1+v2)/2R = F 代入數(shù)據(jù)得代入數(shù)據(jù)得: F=3+v2/4(N) 設(shè)設(shè)b的最大速度為的最大速度為vm，則有：，則有：B2d2(v1+vm)/2R = mgsin代入數(shù)據(jù)得代入數(shù)據(jù)得: vm= 8m/s GFNFAaGFANb（三）、微元法在電磁感應(yīng)中的應(yīng)用（三）、微元法在電磁感應(yīng)中的應(yīng)用 在在中，當(dāng)中，當(dāng)t =2s時(shí)，時(shí)，b的速度達(dá)到的速度達(dá)到5.06m/s，2s內(nèi)回路中產(chǎn)生的焦耳熱為內(nèi)回路中產(chǎn)生的焦耳熱為13.2J，求該，求該2s內(nèi)力內(nèi)力F做的功（結(jié)果保留三位有效數(shù)字）。做

17、的功（結(jié)果保留三位有效數(shù)字）。解析：解析： 對(duì)對(duì)b：mgsinFA= ma 即即 mgsinB2d2(v1+v2)/2R = ma 取取一段時(shí)間微元一段時(shí)間微元t，a=v/t , mg sinB2d2(v1+v2i) /2R = mv2i/t 代入數(shù)據(jù)并整理得代入數(shù)據(jù)并整理得： 8v2i =2v2i/t 等式求和得等式求和得： 8tv2it =2v2i 8tx2 = 2v2 將將t=2s，v2=5.06m/s代入上式得代入上式得：x2=5.88m 解法解法1：a的位移：的位移：x1=v1t = 22 = 4m由動(dòng)能定理知：由動(dòng)能定理知： mv22/20=WFmgx1sinmgx2sinWA W

18、A =Q 代入數(shù)據(jù)得：代入數(shù)據(jù)得：WF=14.9J解法解法2：棒：棒a有一很小位移有一很小位移x1時(shí)，力時(shí)，力F做的功為做的功為Wi=Fix1=mgsin30 x1+ B2d2(v1+v2i) x /2R代人數(shù)據(jù)得代人數(shù)據(jù)得 Wi =3x1+ 0.25v2ix1 式中式中v2i可由可由式求得：式求得：v2i =82v2i/t得：得： Wi =3x1+(82v2i/t)0.25x1=5x10.5v2 ix1 /t式中式中v2i為棒為棒b在在t時(shí)間內(nèi)的速度增量，時(shí)間內(nèi)的速度增量，x1為棒為棒a在在t時(shí)間的位移，所以時(shí)間的位移，所以x1/t =v1=2m/s，代入，代入式并求和得式并求和得 WF=5

19、x10.5 v1v2i=5 x10.5 v1v2=54J15.06J =14.9J兩種解法，其中第二種解法并未使兩種解法，其中第二種解法并未使用用“2s內(nèi)回路中產(chǎn)生的焦耳熱為內(nèi)回路中產(chǎn)生的焦耳熱為13.2J，”這一條件，所以，這是一這一條件，所以，這是一個(gè)有多余已知條件的高考模擬題。個(gè)有多余已知條件的高考模擬題。在條件充分的情況下，微元法并不在條件充分的情況下，微元法并不是唯一選擇，不要形成遇到電磁感應(yīng)是唯一選擇，不要形成遇到電磁感應(yīng)必用微元這樣的先入為主的印象必用微元這樣的先入為主的印象 練習(xí)練習(xí)3-1如圖如圖5所示，兩平行光滑的金屬導(dǎo)軌所示，兩平行光滑的金屬導(dǎo)軌AD、CE相距相距L=1.0

20、m，導(dǎo)軌，導(dǎo)軌平面與水平面的夾角平面與水平面的夾角=30，下端用導(dǎo)線連接，下端用導(dǎo)線連接R=0.40的電阻，導(dǎo)軌電的電阻，導(dǎo)軌電阻不計(jì)阻不計(jì)PQGH范圍內(nèi)存在方向垂直導(dǎo)軌平面的磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的寬度范圍內(nèi)存在方向垂直導(dǎo)軌平面的磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的寬度d=0.40m，邊界，邊界PQ、HG均與導(dǎo)軌垂直質(zhì)量均與導(dǎo)軌垂直質(zhì)量m=0.10kg、電阻、電阻r=0.10的的金屬棒金屬棒MN垂直放置在導(dǎo)軌上，且兩端始終與導(dǎo)軌電接觸良好，從與磁垂直放置在導(dǎo)軌上，且兩端始終與導(dǎo)軌電接觸良好，從與磁場(chǎng)上邊界場(chǎng)上邊界GH距離也為距離也為d的位置由靜止釋放，取的位置由靜止釋放，取g=10m/s2（1）若）若PQGH范圍內(nèi)存在著磁感應(yīng)

21、強(qiáng)度隨高度變化的磁場(chǎng)（在同一水平范圍內(nèi)存在著磁感應(yīng)強(qiáng)度隨高度變化的磁場(chǎng)（在同一水平線上各處磁感應(yīng)強(qiáng)度相同），金屬棒進(jìn)入磁場(chǎng)后，以線上各處磁感應(yīng)強(qiáng)度相同），金屬棒進(jìn)入磁場(chǎng)后，以a=2.5 m/s2的加速度的加速度做勻加速運(yùn)動(dòng)，求磁場(chǎng)上邊緣（緊靠做勻加速運(yùn)動(dòng)，求磁場(chǎng)上邊緣（緊靠GH）的磁感應(yīng)強(qiáng)度；）的磁感應(yīng)強(qiáng)度；（2）在（）在（1）的情況下，金屬棒在磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)的過程中，電阻）的情況下，金屬棒在磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)的過程中，電阻R上產(chǎn)上產(chǎn)生的熱量是多少？生的熱量是多少？（3）若）若PQGH范圍內(nèi)存在著磁感應(yīng)強(qiáng)度范圍內(nèi)存在著磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.50T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，金屬棒在的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，金屬棒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)過程受到磁

22、場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)過程受到F(0.75v-0.5)N（v為金屬棒運(yùn)動(dòng)速度）沿導(dǎo)軌向下為金屬棒運(yùn)動(dòng)速度）沿導(dǎo)軌向下的力作用，求金屬棒離開磁場(chǎng)時(shí)的速度的力作用，求金屬棒離開磁場(chǎng)時(shí)的速度ACPQGHMNED圖圖5BddR解析：（解析：（1）設(shè)磁場(chǎng)上邊緣的磁感應(yīng)強(qiáng)度為）設(shè)磁場(chǎng)上邊緣的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B0，金屬棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速，金屬棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為度為v0、產(chǎn)生的感應(yīng)電流為、產(chǎn)生的感應(yīng)電流為I0、受到的安培力為、受到的安培力為F0，則有，則有I0=B0Lv0/（R+r） F0=B0 I0L mv02/2=mgdsinmgsinF0=ma 代入數(shù)據(jù)解得代入數(shù)據(jù)解得 v0=2m/s，B0=0.25T （2）設(shè)電阻

23、）設(shè)電阻R上產(chǎn)生的熱量為上產(chǎn)生的熱量為Q，金屬棒到達(dá)磁場(chǎng)下邊界時(shí)的速度為，金屬棒到達(dá)磁場(chǎng)下邊界時(shí)的速度為v，則則v2=v02+2ad mv2/20= mg2d sin WA WA= Q總總Q總總=mg2d sinmv2/2QR=R Q總總/(R+r) 代入數(shù)據(jù)解得代入數(shù)據(jù)解得 QR=0.080J （3）設(shè)金屬棒離開磁場(chǎng)時(shí)的速度為）設(shè)金屬棒離開磁場(chǎng)時(shí)的速度為v ，則，則 mgsin +FF安安=mv/t 其中其中 F安安t= BI Lt=B2 L2vt/(R+r)= B2 L2x/(R+r)則則 mv=mgt/2+FtB2L 2x /(R+r)=0.25x 即即 m（vv0）=0.25d代入數(shù)據(jù)

24、解得代入數(shù)據(jù)解得 v =3.0m/s 練習(xí)練習(xí)3-2如圖如圖6所示，兩根足夠長(zhǎng)的平行金屬導(dǎo)軌由傾斜和水平兩部分平所示，兩根足夠長(zhǎng)的平行金屬導(dǎo)軌由傾斜和水平兩部分平滑連接組成，導(dǎo)軌間距滑連接組成，導(dǎo)軌間距L=1m，傾角，傾角=45，水平部分處于磁感應(yīng)強(qiáng)度，水平部分處于磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向豎直向上，磁場(chǎng)左邊界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向豎直向上，磁場(chǎng)左邊界MN與導(dǎo)軌垂直。與導(dǎo)軌垂直。金屬棒金屬棒ab質(zhì)量質(zhì)量m1=0.2kg，電阻，電阻R1=1，金屬棒，金屬棒cd質(zhì)量質(zhì)量m2=0.2kg，電阻，電阻R2=3，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，兩棒與導(dǎo)軌間動(dòng)摩擦因數(shù)，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，兩棒與導(dǎo)軌間動(dòng)摩擦因數(shù)=0

25、.2。開始時(shí)，棒。開始時(shí)，棒ab放在斜導(dǎo)軌上，與水平導(dǎo)軌高度差放在斜導(dǎo)軌上，與水平導(dǎo)軌高度差h=1m，棒，棒cd放在水平軌上，距放在水平軌上，距MN距距離為離為s0。兩棒均與導(dǎo)軌垂直，現(xiàn)將。兩棒均與導(dǎo)軌垂直，現(xiàn)將ab棒由靜止釋放，取棒由靜止釋放，取g=10m/s2。求：。求：（1）棒）棒ab運(yùn)動(dòng)到運(yùn)動(dòng)到MN處的速度大?。惶幍乃俣却笮?；（2）棒）棒cd運(yùn)動(dòng)的最大加速度；運(yùn)動(dòng)的最大加速度；（3）若導(dǎo)軌水平部分光滑，要使兩棒不相碰，棒）若導(dǎo)軌水平部分光滑，要使兩棒不相碰，棒cd距離距離MN的最小距離的最小距離s0。 BNbcaaMhds0圖6解析：（解析：（1）對(duì)）對(duì)ab運(yùn)用動(dòng)能定理得運(yùn)用動(dòng)能定理得

26、 m1ghm1gcos45h/sin45=m1v02/2 v0=4m/s（2）棒）棒ab運(yùn)動(dòng)到運(yùn)動(dòng)到MN處，處，cd加速度最大加速度最大 Em=BLv0 Im=Em/(R1+R2) Fm=B2L2v0/( R1+R2)=1N Fm m2g =m2a a=3m/s2（3）在光滑不相碰的情況下，兩棒最終速度必相等，設(shè)為）在光滑不相碰的情況下，兩棒最終速度必相等，設(shè)為vm對(duì)對(duì)ab棒有棒有 vmv0=a1t=F1t/m對(duì)對(duì)cd棒有棒有 vm0=a2t=F2t/m任一時(shí)刻有任一時(shí)刻有F1=F2，故得，故得vmv0=(vm0)， 即即 vm=v0/2設(shè)某時(shí)刻設(shè)某時(shí)刻ab的速度為的速度為v1，cd的速度為的

27、速度為v2，在時(shí)間微元內(nèi)，在時(shí)間微元內(nèi)，ab速度變化為速度變化為v1E= BL(v1v2) I= E/（R1+R2）由牛頓運(yùn)動(dòng)定律對(duì)由牛頓運(yùn)動(dòng)定律對(duì)ab有有F1= m1v1/t= B2L2(v1v2) /( R1+R2)得得 v1v2=( R1+R2) m1v/ B2L2t兩棒在水平導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)的相對(duì)位移，即為兩棒不相碰的最小距離，故有兩棒在水平導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)的相對(duì)位移，即為兩棒不相碰的最小距離，故有S0=(v1v2) t=( R1+R2)m1/B2L2 v1=(R1+R2)m1/B2L2 (v0v0/2)=1.6m牛頓定律微分形式與動(dòng)量定律、動(dòng)量守牛頓定律微分形式與動(dòng)量定律、動(dòng)量守恒定律的關(guān)系恒定律的

28、關(guān)系當(dāng)我們通過一定數(shù)量當(dāng)我們通過一定數(shù)量“微元求和法微元求和法”習(xí)習(xí)題的練習(xí)后，切忌逢電磁感應(yīng)綜合題就先題的練習(xí)后，切忌逢電磁感應(yīng)綜合題就先入為主的要采用入為主的要采用“微元求和法微元求和法” 解題。解題。請(qǐng)看練習(xí)請(qǐng)看練習(xí)3-3練習(xí)練習(xí)3-3、如圖、如圖7所示，光滑絕緣水平面上放置一均勻?qū)w制成的正方所示，光滑絕緣水平面上放置一均勻?qū)w制成的正方形線框形線框abcd，線框質(zhì)量為，線框質(zhì)量為m，電阻為，電阻為R，邊長(zhǎng)為，邊長(zhǎng)為L(zhǎng)有一方向豎直向有一方向豎直向下的有界磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為下的有界磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，磁場(chǎng)區(qū)寬度大于，磁場(chǎng)區(qū)寬度大于L，左邊界，左邊界與與ab邊平行線框在水平向

29、右的拉力作用下垂直于邊界線穿過磁場(chǎng)邊平行線框在水平向右的拉力作用下垂直于邊界線穿過磁場(chǎng)區(qū)區(qū)（1）若線框以速度）若線框以速度v勻速穿過磁場(chǎng)區(qū)，求線框在離開磁場(chǎng)時(shí)勻速穿過磁場(chǎng)區(qū)，求線框在離開磁場(chǎng)時(shí)ab兩點(diǎn)兩點(diǎn)間的電勢(shì)差；間的電勢(shì)差；（2）若線框從靜止開始以恒定的加速度）若線框從靜止開始以恒定的加速度a運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過t1時(shí)間時(shí)間ab邊開始邊開始進(jìn)入磁場(chǎng)，求進(jìn)入磁場(chǎng)，求cd邊將要進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)刻回路的電功率；邊將要進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)刻回路的電功率；（3）若線框以初速度）若線框以初速度v0進(jìn)入磁場(chǎng)，且拉力的功率恒為進(jìn)入磁場(chǎng)，且拉力的功率恒為P0經(jīng)過時(shí)間經(jīng)過時(shí)間T，cd邊進(jìn)入磁場(chǎng)，此過程中回路產(chǎn)生的電熱為邊進(jìn)入

30、磁場(chǎng)，此過程中回路產(chǎn)生的電熱為Q后來后來ab邊剛穿出磁場(chǎng)邊剛穿出磁場(chǎng)時(shí)，線框速度也為時(shí)，線框速度也為v0，求線框穿過磁場(chǎng)所用的時(shí)間，求線框穿過磁場(chǎng)所用的時(shí)間tabcdB圖7解析：（解析：（1）線框在離開磁場(chǎng)時(shí)，）線框在離開磁場(chǎng)時(shí)，cd邊產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)邊產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) E=BLv回路中的電流回路中的電流 I=E/R則則ab兩點(diǎn)間的電勢(shì)差兩點(diǎn)間的電勢(shì)差 U=IRab=BLv/4（2）t1時(shí)刻線框速度時(shí)刻線框速度 v1=at1 設(shè)設(shè)cd邊將要進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)刻速度為邊將要進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)刻速度為v2，則，則 v22v12=2aL 此時(shí)回路中電動(dòng)勢(shì)此時(shí)回路中電動(dòng)勢(shì) E2=BL v2回路的電功率回路的電功率 P

31、=E22/R解得解得 P=B2L2(a2t12+2aL)/R（3）設(shè)）設(shè)cd邊進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為邊進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v，進(jìn)入磁場(chǎng)過程中：，進(jìn)入磁場(chǎng)過程中： P0TWA=(mv2/2mv02/2)= P0TQ設(shè)線框從設(shè)線框從cd邊進(jìn)入到邊進(jìn)入到ab邊離開磁場(chǎng)的時(shí)間為邊離開磁場(chǎng)的時(shí)間為t，則，則P0t= mv02/2mv2/2解得解得 t=Q/P0T線框離開磁場(chǎng)時(shí)與進(jìn)入過程相同，時(shí)間還是線框離開磁場(chǎng)時(shí)與進(jìn)入過程相同，時(shí)間還是T，所以線框穿過磁場(chǎng)總時(shí)間，所以線框穿過磁場(chǎng)總時(shí)間t t=2T+t= Q/P0+T鞏固鞏固1、如圖、如圖8所示，兩平行的光滑金屬導(dǎo)軌安裝在一光滑絕緣斜面所示，兩平行的光滑金屬導(dǎo)

32、軌安裝在一光滑絕緣斜面上，導(dǎo)軌間距為上，導(dǎo)軌間距為l，導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)且電阻忽略不計(jì)，導(dǎo)軌平面的傾角為，導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)且電阻忽略不計(jì)，導(dǎo)軌平面的傾角為，條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)的寬度為條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)的寬度為d，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向與導(dǎo)軌平面垂、方向與導(dǎo)軌平面垂直。長(zhǎng)度為直。長(zhǎng)度為2d的絕緣桿將導(dǎo)體棒和正方形的單匝線框連接在一起組的絕緣桿將導(dǎo)體棒和正方形的單匝線框連接在一起組成成“”型裝置，總質(zhì)量為型裝置，總質(zhì)量為m，置于導(dǎo)軌上。導(dǎo)體棒中通以大小恒為，置于導(dǎo)軌上。導(dǎo)體棒中通以大小恒為I的電流（由外接恒流源產(chǎn)生，圖中未圖出）。線框的邊長(zhǎng)為的電流（由外接恒流源產(chǎn)生，圖中未圖出）。線框的邊長(zhǎng)為d（d 0

33、的的一側(cè)存在豎直向下的磁場(chǎng)，金屬棒質(zhì)量為一側(cè)存在豎直向下的磁場(chǎng)，金屬棒質(zhì)量為m，電阻為，電阻為r，與金屬導(dǎo)軌，與金屬導(dǎo)軌垂直放置，且接觸良好開始時(shí)，金屬棒位于垂直放置，且接觸良好開始時(shí)，金屬棒位于x=0處，現(xiàn)給金屬棒一處，現(xiàn)給金屬棒一大小為大小為v0、方向沿、方向沿x軸正方向的初速度，金屬棒沿導(dǎo)軌滑動(dòng)，金屬導(dǎo)軸正方向的初速度，金屬棒沿導(dǎo)軌滑動(dòng)，金屬導(dǎo)軌電阻可忽略不計(jì)問：軌電阻可忽略不計(jì)問： 金屬棒滑行過程中安培力對(duì)金屬棒做的功和電阻金屬棒滑行過程中安培力對(duì)金屬棒做的功和電阻R上產(chǎn)生的焦耳上產(chǎn)生的焦耳熱；熱； 若導(dǎo)軌間的磁場(chǎng)是勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為若導(dǎo)軌間的磁場(chǎng)是勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，導(dǎo)體棒最終在導(dǎo)，導(dǎo)體棒最終在導(dǎo)軌上靜止時(shí)的坐標(biāo)軌上靜止時(shí)的坐標(biāo) x1； 若導(dǎo)軌間的磁場(chǎng)是非勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度若導(dǎo)軌間的磁場(chǎng)是非勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B沿沿x軸正方向增加，軸正方向增加，且大小滿足，導(dǎo)體棒最終在導(dǎo)軌上靜止時(shí)的坐標(biāo)且大小滿足，導(dǎo)體棒最終在導(dǎo)軌上靜止時(shí)的坐標(biāo) x2圖9 解析解析 根據(jù)動(dòng)能定理根據(jù)動(dòng)能定理 w=0mv02/2 Q= mv02/2 QR=QR/(R+r)=Rm v02/2(R+r) E=Bdv F=BId=B2d2v/(R+r)=ma v=at mv=B2d