定積分概念、求解

1、定積分的概念abxyo? A原型原型 （求曲邊梯形的面積）求曲邊梯形的面積）一、抽象定積分概念現(xiàn)實(shí)原型)(xfy 曲曲邊邊梯梯形形由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線軸軸與與兩兩直直線線, ,所所圍圍成成. .( )( ( )0),yf xf xxxa xb 考考察察下下列列圖圖形形由由哪哪些些曲曲邊邊圍圍成成. .A2022xy 00y Asinyx 0 x 2x x 2y 0 x 利用元素法的思想求解曲邊梯形的面積時(shí)，利用元素法的思想求解曲邊梯形的面積時(shí)，可可概括概括“分割分割- -取近似取近似- -求和求和- -取極限取極限” ” 的步驟的步驟. .將曲邊梯形的底，即將曲邊梯形的底，即a ,b進(jìn)行分割進(jìn)

2、行分割( (用垂直于用垂直于x軸的直線軸的直線).).第一步第一步 分割；分割；曲邊梯形的面積的解決思路：曲邊梯形的面積的解決思路：a bxyo)(xfy ix1x1 ix1 nx2x記記1.iiixxx 取出典型小區(qū)域，用矩形面積近似曲邊梯形面積取出典型小區(qū)域，用矩形面積近似曲邊梯形面積. .第二步第二步 取近似；取近似；a bxyo)(xfy ()if 高高底底ix1x1 ix1 nx2xix 典型小區(qū)域面積典型小區(qū)域面積 iS i ().iiiSfx a bxyo)(xfy ix1x1 ix1 nx2x第三步第三步 求和；求和；i 矩形面積和與曲邊梯矩形面積和與曲邊梯形面積不相等形面積不

3、相等1 2 1n n 11().nniiiiiSfx 將每個(gè)小曲邊梯形的面積都用矩形近似，并將所將每個(gè)小曲邊梯形的面積都用矩形近似，并將所有的小矩形面積加起來(lái)有的小矩形面積加起來(lái). .第四步第四步 取極限取極限. .當(dāng)對(duì)曲邊梯形底的分割越來(lái)越細(xì)時(shí)，矩形面積之當(dāng)對(duì)曲邊梯形底的分割越來(lái)越細(xì)時(shí)，矩形面積之和越近似于曲邊梯形面積和越近似于曲邊梯形面積. .a bxyo)(xfy 0,1,2,ixin max0ix 設(shè)設(shè)是是定定義義在在區(qū)區(qū)間間上上的的有有界界函函數(shù)數(shù) 用用點(diǎn)點(diǎn)將將區(qū)區(qū)間間任任意意分分割割成成 個(gè)個(gè)子子區(qū)區(qū)間間這這些些子子區(qū)區(qū)間間及及其其長(zhǎng)長(zhǎng)度度均均記記作作在在每每一一子子區(qū)區(qū)間間上上任

4、任取取一一點(diǎn)點(diǎn)作作 個(gè)個(gè)乘乘積積的的和和式式012111( ) , ,. , ,(1,2,.),(1,2,., ).,()nniiiiiiiiif xa baxxxxxba bnxxixxxinxnfx 二、 定積分的定義1().niiifx 定義定義以直代曲以直代曲求和求和被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達(dá)式被積表達(dá)式 , a b 為為積積分分區(qū)區(qū)間間積分上限積分上限積分下限積分下限 如如果果當(dāng)當(dāng)同同時(shí)時(shí)最最大大子子區(qū)區(qū)間間的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度時(shí)時(shí) 和和式式并并且且其其極極限限值值與與的的分分割割法法以以及及 的的取取法法無(wú)無(wú)關(guān)關(guān) 則則該該極極限限值值稱稱為為函函數(shù)數(shù)區(qū)區(qū)間間在在上上的的定定積積分分 記記作作

5、的的極極限限存存在在1,max0, , , , ()(,:)niiiiifxf xnxa ba b 1(0)( )lim()nbiianif xxfx d d積分變量積分變量積分和積分和( )f xx取極限取極限即即注意：注意：( )baxfx d d( )baf t t d d( )baf u u d d(2).i 在在定定義義中中區(qū)區(qū)間間的的分分法法和和的的取取法法是是任任意意的的(1),.積積分分值值僅僅與與被被積積函函數(shù)數(shù)及及積積分分區(qū)區(qū)間間有有關(guān)關(guān) 而而與與積積分分變變量量的的字字母母無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)(3)( ) , ,( ) , f xa bf xa b當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上上的的定定

6、積積分分存存在在時(shí)時(shí)稱稱在在區(qū)區(qū)間間上上可可積積. .xtuxtu幾何意義( ),;xf xxa xbxx 它它是是介介于于軸軸、函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形及及兩兩條條直直線線之之間間的的各各部部分分面面積積的的代代數(shù)數(shù)和和在在軸軸上上方方的的面面積積取取正正號(hào)號(hào) 在在軸軸下下方方的的面面積積取取負(fù)負(fù)號(hào)號(hào) _ _abyxO, 0)( xf( )baf x xA d d曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xfd d( )baf x xA 曲邊梯形的面積的負(fù)值曲邊梯形的面積的負(fù)值1234( )baf xxAAAA d d 定積分的幾何意義3A4A2A1A abyxO例例1利利用用定定積積分分的的幾幾

7、何何意意義義計(jì)計(jì)算算下下列列積積分分d dd d11200.(1);(2)1.x xxx 解解d d，10(1)x x 表表示示由由及及 軸軸圍圍成成的的三三角角形形面面積積. .0,1,xxyxx 100 x 1x 0y Ayx d d10 x x 11 12 1.2d d120(2)1,xx 表表示示由由及及 軸軸圍圍成成的的圓圓面面積積. .20,1,114xxyxx 100 x 1x 0y d d1201xx 1.4 yx A2114 定理定理( ) , ,( ) ,( )( ).,bbaaf xa bkkf xkffaxbxxkx 若若在在上上可可積積 為為常常數(shù)數(shù) 則則在在上上d

8、dd d也也可可積積 且且定理定理( ) , ,( )( ) , ,( ( )( )( )( ).bbbaaaf xg xxf xa bf xgfbx xg x xxa 若若在在上上可可積積 則則在在上上也也可可積積 且且 d dd dd d補(bǔ)充：不論補(bǔ)充：不論 的相對(duì)位置如何的相對(duì)位置如何, 上式總成立上式總成立.cba,定理定理 （積分區(qū)間的可加性）（積分區(qū)間的可加性）d dd dd d323002( )( )( ),f xxf xxf xx d dd dd d363006( )( )( ),f xxf xxf xx 有有界界函函數(shù)數(shù)在在上上都都可可積積的的充充要要條條件件是是在在上上也也

9、可可積積 且且 d dd dd d ( ) , , , ( ) , ( )( )( ),.bcbaacf xxf xxff xa cc bf xaxxb 266032 063 2abcSacScbS定理定理（保序性保序性）推論（保號(hào)性）推論（保號(hào)性）( )( )( )( ) , ,( ), , ,( ).bbaaf xg xa bg xf xg xxf xxbxa 設(shè)設(shè)與與為為定定義義在在上上d dd d的的兩兩個(gè)個(gè)可可積積函函數(shù)數(shù)若若則則( )0, , (,)0 .baf xxf xxa b d d若若則則ab( )g x( )f x定積分計(jì)算定積分計(jì)算 定義很復(fù)雜，直接計(jì)算很困定義很復(fù)雜，

10、直接計(jì)算很困難難. .需要轉(zhuǎn)換新的思路需要轉(zhuǎn)換新的思路. .d d( )baf t t 01lim()niiifx 根據(jù)幾何意義，圖不好畫根據(jù)幾何意義，圖不好畫定理定理牛頓牛頓- -萊布尼茨公式萊布尼茨公式( ) , ,( )( ) ,( )(.),baf xa bF xf xa bf x xF bF a 設(shè)設(shè)在在上上連連續(xù)續(xù) 若若是是在在上上的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù) 則則 d d 微積分基本定理( )baf x x d d微積分基本公式表明：微積分基本公式表明：()baF x 求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題 , , .a ba b 一一個(gè)個(gè)連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在

11、在區(qū)區(qū)間間上上的的定定積積分分等等于于它它的的任任意意一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上上的的增增量量( )( ) .F bF a ( )( )( ).baabf xxFFba 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，d d仍仍成成立立提示：提示：相等相等2一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是唯一的，反過來(lái)導(dǎo)函數(shù)的原函一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是唯一的，反過來(lái)導(dǎo)函數(shù)的原函 數(shù)唯一嗎？數(shù)唯一嗎？ 提示：提示：一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是唯一的，而導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是唯一的，而導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)則有無(wú)窮多個(gè)，這些原函數(shù)之間都相差一個(gè)常數(shù)，在則有無(wú)窮多個(gè)，這些原函數(shù)之間都相差一個(gè)常數(shù)，在利用微積分基本定理求定積分時(shí)，只要找到被積函數(shù)利用微積分基本定理求定積分時(shí)，只要找到被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)即可，并且一般使用不含常數(shù)的原函數(shù)