分析力學(xué)教學(xué)課件

1、分析力學(xué)分析力學(xué)主講教師：王飛主講教師：王飛學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)24學(xué)分學(xué)分1.5性質(zhì)性質(zhì)必修必修致童鞋們之學(xué)生虐我千百遍，我待學(xué)生如初戀 教書是一場(chǎng)盛大的暗戀，你費(fèi)勁心思去愛一群人，最后卻只感動(dòng)了自己。 曾經(jīng)怕自己一個(gè)人考不好，現(xiàn)在怕一群人考不好。 你若不離不棄 我必生死相依 你若自我放棄 我也無(wú)能無(wú)力緒論緒論一一 什么是分析力學(xué)？什么是分析力學(xué)？ 分析力學(xué)是理論力學(xué)的一個(gè)分支，是對(duì)經(jīng)典力學(xué)的高度數(shù)學(xué)化的表達(dá)。 經(jīng)典力學(xué)最初的表達(dá)形式由牛頓給出，大量運(yùn)用幾何方法和矢量作為研究工具，因此它又被稱為矢量力學(xué)（有時(shí)也叫“牛頓力學(xué)”）。 拉格朗日、哈密頓、雅可比等人使用廣義坐標(biāo)和變分法建立了一套同矢量力學(xué)等效的

2、力學(xué)表述方法。 同矢量力學(xué)相比，分析力學(xué)的表述方法具有更大的普遍性。很多在矢量力學(xué)中極為復(fù)雜的問(wèn)題，運(yùn)用分析力學(xué)可以較為簡(jiǎn)便的解決。二二 研究對(duì)象研究對(duì)象 它的研究對(duì)象是質(zhì)點(diǎn)系。質(zhì)點(diǎn)系可視為宏觀物體組成的力學(xué)系統(tǒng)的理想模型，例如剛體、彈性體、流體以及它們的綜合體都可看作質(zhì)點(diǎn)系。 工程上的力學(xué)問(wèn)題大多數(shù)是約束的質(zhì)點(diǎn)系，由于約束方程類型的不同，就形成了不同的力學(xué)系統(tǒng)。例如，完整系統(tǒng)、非完整系統(tǒng)、定常系統(tǒng)、非定常系統(tǒng)等。三三 發(fā)展歷史發(fā)展歷史 1788年 拉格朗日 分析力學(xué) 世界上最早的一本分析力學(xué)的著作。虛功原理和達(dá)朗貝爾原理兩者結(jié)合，可得到動(dòng)力學(xué)普遍方程，從而導(dǎo)出分析力學(xué)各種系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。

3、1834年，哈密頓 正則方程 用廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量聯(lián)合表示的動(dòng)力學(xué)方程。哈密頓體系在多維空間中，可用代表一個(gè)系統(tǒng)的點(diǎn)的路徑積分的變分原理研究完整系統(tǒng)的力學(xué)問(wèn)題。 1894年 赫茲 首次將系統(tǒng)按約束類型分為完整約束和非完整約束兩大類。 20世紀(jì)至今 分析力學(xué)對(duì)非線性、不定常、變質(zhì)量等力學(xué)系統(tǒng)作了進(jìn)一步研究，對(duì)于運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性問(wèn)題作了廣泛的研究。四四 應(yīng)用應(yīng)用 分析力學(xué)的方法可以推廣到量子力學(xué)系統(tǒng)和復(fù)雜動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中，在量子力學(xué)和非線性動(dòng)力學(xué)中都有重要應(yīng)用。 近20年來(lái)，又發(fā)展出用近代微分幾何的觀點(diǎn)來(lái)研究分析力學(xué)的原理和方法。它廣泛用于結(jié)構(gòu)分析、機(jī)器動(dòng)力學(xué)與振動(dòng)、航天力學(xué)、多剛體系統(tǒng)和機(jī)器人動(dòng)力學(xué)以及

4、各種工程技術(shù)領(lǐng)域，也可推廣應(yīng)用于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)和相對(duì)論力學(xué)。五五 研究意義研究意義 分析力學(xué)是經(jīng)典物理學(xué)的基礎(chǔ)之一，也是整個(gè)力學(xué)的基礎(chǔ)之一。六六 分析力學(xué)與理論力學(xué)比較分析力學(xué)與理論力學(xué)比較理論力學(xué)理論力學(xué)分析力學(xué)分析力學(xué)相同點(diǎn)相同點(diǎn)同屬經(jīng)典力學(xué)同屬經(jīng)典力學(xué)不不同同點(diǎn)點(diǎn)對(duì)象對(duì)象力力能量能量方法方法幾何法幾何法分析法分析法基礎(chǔ)基礎(chǔ)牛頓定律牛頓定律變分原理變分原理分析力學(xué)分析力學(xué)分析靜力學(xué)分析靜力學(xué)分析動(dòng)力學(xué)分析動(dòng)力學(xué)分析靜力學(xué)分析靜力學(xué) 以一般質(zhì)點(diǎn)系為力學(xué)模型，應(yīng)用達(dá)朗伯原理和虛位移原理方法得出平衡的普遍規(guī)律。 在達(dá)朗伯原理和虛位移原理的基礎(chǔ)上，運(yùn)用動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程，解決非自由質(zhì)點(diǎn)系的

5、動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。分析動(dòng)力學(xué)分析動(dòng)力學(xué)內(nèi)容內(nèi)容第一章第一章虛位移原理虛位移原理第二章第二章動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程普遍方程和拉格朗日方程第三章第三章哈密頓正則方程哈密頓正則方程第四章第四章力學(xué)的變分原理力學(xué)的變分原理第五章第五章一個(gè)自由度系統(tǒng)的振動(dòng)一個(gè)自由度系統(tǒng)的振動(dòng)第六章第六章兩個(gè)自由度系統(tǒng)的振動(dòng)兩個(gè)自由度系統(tǒng)的振動(dòng)第七章第七章狹義相對(duì)論的拉格朗日方法和狹義相對(duì)論的拉格朗日方法和 第一章第一章 虛位移原理虛位移原理1.約束及約束方程約束及約束方程2.自由度和廣義坐標(biāo)自由度和廣義坐標(biāo)3.虛位移虛位移4.虛位移原理虛位移原理5.虛位移原理的應(yīng)用舉例虛位移原理的應(yīng)用舉例6.用廣義力表示的質(zhì)點(diǎn)系

6、平衡條件用廣義力表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件7.在勢(shì)力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件及平衡的穩(wěn)定性在勢(shì)力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件及平衡的穩(wěn)定性1.約束及約束方程約束及約束方程1-1 約束的定義約束的定義 質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系分為自由質(zhì)點(diǎn)系和非自由質(zhì)點(diǎn)系。分為自由質(zhì)點(diǎn)系和非自由質(zhì)點(diǎn)系。 若質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（軌跡、速度等）只取決若質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（軌跡、速度等）只取決于作用力和運(yùn)動(dòng)的初始條件，則這種質(zhì)點(diǎn)系于作用力和運(yùn)動(dòng)的初始條件，則這種質(zhì)點(diǎn)系稱為稱為自由質(zhì)點(diǎn)系自由質(zhì)點(diǎn)系；它的運(yùn)動(dòng)稱為自由運(yùn)動(dòng)。；它的運(yùn)動(dòng)稱為自由運(yùn)動(dòng)。 若質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)受到某些預(yù)先給定的限若質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)受到某些預(yù)先給定的限制（運(yùn)動(dòng)的初始條件也要滿足這些限制條制

7、（運(yùn)動(dòng)的初始條件也要滿足這些限制條件），則這種質(zhì)點(diǎn)系稱為件），則這種質(zhì)點(diǎn)系稱為非自由質(zhì)點(diǎn)系非自由質(zhì)點(diǎn)系；它；它的運(yùn)動(dòng)稱為非自由運(yùn)動(dòng)。的運(yùn)動(dòng)稱為非自由運(yùn)動(dòng)。 實(shí)現(xiàn)這些約束條件的物體稱為約束體。 受到約束條件限制的物體叫做被約束體。習(xí)慣上，把約束體簡(jiǎn)稱為約束,將被約束體簡(jiǎn)稱為物體。 注意：這里的約束是名詞，而非動(dòng)詞的約束。非自由質(zhì)點(diǎn)系受到的預(yù)先給定的限制稱為約束非自由質(zhì)點(diǎn)系受到的預(yù)先給定的限制稱為約束 約束力（或約束反力）把約束對(duì)物體的作用力稱為約束力。 主動(dòng)力和約束力（或約束反力主動(dòng)力和約束力（或約束反力） 主動(dòng)力作用于被約束物體上的除了約束以外的力統(tǒng)稱為主動(dòng)力，如重力，結(jié)構(gòu)承受的風(fēng)力和水壓力、

8、機(jī)械結(jié)構(gòu)中的彈簧力以及電磁力等等。 約束反力是主動(dòng)力引起的，故它是一種被動(dòng)力。1.約束反力取決于約束本身的性質(zhì)、主動(dòng)力和物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。約束反力的特點(diǎn)：約束反力的特點(diǎn)：2.大小常常是未知的，往往由平衡方程求得。3.作用點(diǎn)在物體與約束相接觸的那一點(diǎn)。4.方向總是與約束限制物體的位移方向相反。 例如，光滑接觸面約束：約束力沿接觸面公法線方向指向物體。 在支座約束中，固定鉸支座，約束反力過(guò)銷中心，方向不能確定，通常用正交的兩個(gè)分力表示。 解除約束原理解除約束原理 當(dāng)受約束的物體在某些主動(dòng)力的作用下處于平衡，若將其部分或全部約束解除，代之以相應(yīng)的約束反力，則物體的平衡不受影響。1-2 約束方程約束方程

9、 用數(shù)學(xué)方程來(lái)表示的限制條件稱為約束方用數(shù)學(xué)方程來(lái)表示的限制條件稱為約束方程。程。0),(tzyxzyxf1-3 約束的分類約束的分類幾何約束和運(yùn)動(dòng)約束幾何約束和運(yùn)動(dòng)約束雙面約束和單面約束雙面約束和單面約束定常約束和非定常約束定常約束和非定常約束幾何約束和運(yùn)動(dòng)約束幾何約束和運(yùn)動(dòng)約束 幾何約束：幾何約束：只限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在空間的位置，只限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在空間的位置， 這種約束稱為這種約束稱為幾何約束幾何約束( (完整約束完整約束) )。xyolMlABxoyr222AAxyr0By 222()()ABABxxyyl222xyl運(yùn)動(dòng)約束運(yùn)動(dòng)約束：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的某些運(yùn)動(dòng)：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的

10、某些運(yùn)動(dòng) 條件條件的限制稱為運(yùn)動(dòng)約束的限制稱為運(yùn)動(dòng)約束(非完整約束非完整約束)。 即：這種約束對(duì)質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系不僅有位移方面的限制，即：這種約束對(duì)質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系不僅有位移方面的限制，而且有速度或角速度方面的限制。而且有速度或角速度方面的限制。 如：車輪在直線軌道上作如：車輪在直線軌道上作純滾動(dòng)（純滾動(dòng)（軌道限制輪心作直線軌道限制輪心作直線運(yùn)動(dòng)，且滾過(guò)的弧長(zhǎng)等于輪心走過(guò)的距離。運(yùn)動(dòng)，且滾過(guò)的弧長(zhǎng)等于輪心走過(guò)的距離。）Cxoy瞬心CMMxCPvCrMMPvCMMPvCMPvC M輪輪C C在水平軌道上在水平軌道上純滾動(dòng)純滾動(dòng)的條件表達(dá)的條件表達(dá)為為yC = r運(yùn)動(dòng)約束方程運(yùn)動(dòng)約束方程vCr=0或yC

11、= r0Cxr雙面約束和單面約束雙面約束和單面約束 雙面約束雙面約束：如果約束不僅限制質(zhì)點(diǎn)在某一方向的如果約束不僅限制質(zhì)點(diǎn)在某一方向的運(yùn)動(dòng)，而且能限制其在相反方向的運(yùn)動(dòng)，稱之為運(yùn)動(dòng)，而且能限制其在相反方向的運(yùn)動(dòng)，稱之為雙面約束雙面約束。 單面約束：?jiǎn)蚊婕s束：如果約束僅限制質(zhì)點(diǎn)在某一方向的運(yùn)如果約束僅限制質(zhì)點(diǎn)在某一方向的運(yùn)動(dòng)，稱之為動(dòng)，稱之為單面約束單面約束。約束：?jiǎn)螖[約束：?jiǎn)螖[約束分類約束分類約束方程約束方程剛性擺桿剛性擺桿雙面約束雙面約束不可伸長(zhǎng)的繩不可伸長(zhǎng)的繩單面約束單面約束222xyl222xyl定常約束和非定常約束定常約束和非定常約束 定常約束：定常約束：約束方程中不顯含時(shí)間約束方程中

12、不顯含時(shí)間 t的約束的約束 。f (x , y , z ) = 0 非定常約束非定常約束：約束方程中顯含時(shí)間約束方程中顯含時(shí)間 t的約束的約束。f (x , y , z ，t )=0舉例：舉例：定常約束定常約束：前面所列的單擺、曲柄連桿機(jī)構(gòu)及車輪的約束；前面所列的單擺、曲柄連桿機(jī)構(gòu)及車輪的約束；非定常約束非定常約束：變擺長(zhǎng)的單擺變擺長(zhǎng)的單擺。xyolMv其中擺錘其中擺錘M可簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)，軟線是擺錘可簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)，軟線是擺錘的約束，初始長(zhǎng)度為的約束，初始長(zhǎng)度為 ，穿過(guò)固定的小穿過(guò)固定的小圓環(huán)，圓環(huán)，在在拉拽拉拽過(guò)程中過(guò)程中,以速度以速度v伸長(zhǎng)伸長(zhǎng)。在。在任意瞬時(shí)任意瞬時(shí)t，其約束方程為其約束方程為:

13、2220()xylvtl本章只討論：本章只討論：完整的（幾何的）、雙面的、定常的約束完整的（幾何的）、雙面的、定常的約束！0),.,(111nnnzyxzyxf2.自由度和廣義坐標(biāo)自由度和廣義坐標(biāo)2-1 自由度自由度 定義：在完整約束的條件下，確定質(zhì)點(diǎn)系位置的定義：在完整約束的條件下，確定質(zhì)點(diǎn)系位置的獨(dú)立參數(shù)的個(gè)數(shù)等于該質(zhì)點(diǎn)系的自由度數(shù)。獨(dú)立參數(shù)的個(gè)數(shù)等于該質(zhì)點(diǎn)系的自由度數(shù)。質(zhì)點(diǎn)系由質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)、個(gè)質(zhì)點(diǎn)、s個(gè)完整約束組成，個(gè)完整約束組成，則其自由度則其自由度 N = 3n s對(duì)平面問(wèn)題，如對(duì)平面問(wèn)題，如Oxy平面內(nèi)，平面內(nèi)，zi0，則則 N = 2n s情形一：以情形一：以質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)作為質(zhì)點(diǎn)

14、系基本單元作為質(zhì)點(diǎn)系基本單元xyolM例：圖示的平面擺例：圖示的平面擺，其中：其中：n = 1，s = 1。則則 N = 211=1222xyl情形二：情形二：以以剛體剛體作為質(zhì)點(diǎn)系基本單元作為質(zhì)點(diǎn)系基本單元質(zhì)點(diǎn)系由質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)剛體、個(gè)剛體、s個(gè)完整約束組成，則其自由度個(gè)完整約束組成，則其自由度 N = 6n s對(duì)平面問(wèn)題，如對(duì)平面問(wèn)題，如Oxy平面內(nèi)，兩個(gè)平動(dòng)一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)，則平面內(nèi)，兩個(gè)平動(dòng)一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)，則 N = 3n s例例1 1：圖示的：圖示的輪輪C C在水在水平軌道上純滾動(dòng)平軌道上純滾動(dòng)，其中：其中：n = 1，s = 2。則則 N = 312=1Cx oyxCPvCyC = rvCr=0例

15、例2 2：圖示的：圖示的平面雙擺由剛體平面雙擺由剛體OA、AB及鉸鏈及鉸鏈O、A組成組成 ，其中：其中：n = 2，s = 4，則則 N = 324=2xyoAB12l1l22221222200()()ooAABABAxyxylxxyyl2-2 廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo) 定義：定義：確定質(zhì)點(diǎn)系位置的獨(dú)立參數(shù)稱為廣義坐標(biāo)。確定質(zhì)點(diǎn)系位置的獨(dú)立參數(shù)稱為廣義坐標(biāo)。 在完整約束的質(zhì)點(diǎn)系中，廣義坐標(biāo)的數(shù)目等于該在完整約束的質(zhì)點(diǎn)系中，廣義坐標(biāo)的數(shù)目等于該系統(tǒng)的自由度數(shù)。系統(tǒng)的自由度數(shù)。例一：如曲柄連桿機(jī)構(gòu)有一個(gè)自由度，可任選例一：如曲柄連桿機(jī)構(gòu)有一個(gè)自由度，可任選xA、 yA 、 xB之一為廣義坐標(biāo)，而選之一為廣

16、義坐標(biāo)，而選 更方便。更方便。xoylrAB0sincossincos222BBAAyrlrxryrx例二：例二：再如平面雙擺有兩個(gè)自由度，選再如平面雙擺有兩個(gè)自由度，選 1 、 2為廣義坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)比較合適。比較合適。 xyoAB 1 2l1l2221122111111sinsincoscossincosllyllxlylxBBAA對(duì)于有對(duì)于有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)系，若有個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)系，若有s個(gè)完整約束組成，則其自由個(gè)完整約束組成，則其自由度度N = 3n s，可選可選N個(gè)廣義坐標(biāo)個(gè)廣義坐標(biāo) q1， q2 ，qN。),(),(),(212121NiiNiiNiiqqqzzqqqyyqqqxx),

17、2, 1(ni則各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)可由廣義坐標(biāo)表示為：則各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)可由廣義坐標(biāo)表示為：矢量形式為：矢量形式為：),(21Niiqqqrr注：用廣義坐標(biāo)表示各質(zhì)點(diǎn)位置的一般表達(dá)式，隱含了約束注：用廣義坐標(biāo)表示各質(zhì)點(diǎn)位置的一般表達(dá)式，隱含了約束條件，這是采用廣義坐標(biāo)的方便之處。條件，這是采用廣義坐標(biāo)的方便之處。3.虛位移虛位移1.定義：在某瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系在約束所允許的條件下，定義：在某瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系在約束所允許的條件下，可能實(shí)現(xiàn)的、任何無(wú)限小的位移稱為可能實(shí)現(xiàn)的、任何無(wú)限小的位移稱為虛位移虛位移。2.虛位移的特點(diǎn)：虛位移的特點(diǎn)： 虛位移僅與約束條件有關(guān)，是純粹的幾何量；虛位移僅與約束條件有關(guān)，是純粹的幾何

18、量； 與實(shí)位移相比：與實(shí)位移相比： 虛位移是無(wú)限小的位移；虛位移是無(wú)限小的位移； 實(shí)位移可為無(wú)限小，也可為有限值；實(shí)位移可為無(wú)限小，也可為有限值； 虛位移是假想的位移，與時(shí)間、力、質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)情虛位移是假想的位移，與時(shí)間、力、質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)情況無(wú)關(guān)；況無(wú)關(guān)； 在定常幾何約束下，質(zhì)點(diǎn)系無(wú)限小的實(shí)位移是其虛位在定常幾何約束下，質(zhì)點(diǎn)系無(wú)限小的實(shí)位移是其虛位移之一。移之一。3.說(shuō)明說(shuō)明 虛位移常用虛位移常用 r、 x、 s、等表示；等表示； 關(guān)于符號(hào)關(guān)于符號(hào)： -等時(shí)變分算子符號(hào)（變分符號(hào)）；等時(shí)變分算子符號(hào)（變分符號(hào)）； -表示無(wú)限小的變更；表示無(wú)限小的變更； 的運(yùn)算規(guī)則與微分算子的運(yùn)算規(guī)則與微分算子

19、“ “d ”的的 運(yùn)算規(guī)則相同。運(yùn)算規(guī)則相同。4.實(shí)位移（力學(xué)現(xiàn)象）和虛位移（幾何概念）的差別實(shí)位移（力學(xué)現(xiàn)象）和虛位移（幾何概念）的差別4-1.在在定常定常幾何約束下，質(zhì)點(diǎn)系無(wú)限小的實(shí)位移是其虛位移之一。幾何約束下，質(zhì)點(diǎn)系無(wú)限小的實(shí)位移是其虛位移之一。MMMMM 在圖示瞬時(shí)，物塊在圖示瞬時(shí)，物塊M在在dt內(nèi)發(fā)內(nèi)發(fā)生的無(wú)限小的實(shí)位移生的無(wú)限小的實(shí)位移dr沿斜面向下。沿斜面向下。 物塊物塊M的虛位移可以是沿斜面的虛位移可以是沿斜面向下的向下的r1，也可以是沿斜面向上，也可以是沿斜面向上的的r2，因?yàn)橐驗(yàn)閞1，r2都是約束所容都是約束所容許的。許的。drdrdrdrr1r1r1r2r1物塊物塊M置

20、于固定的斜面上，斜面對(duì)于物塊置于固定的斜面上，斜面對(duì)于物塊M的約束是的約束是定常約束定常約束。r2r2r24-2.非定常非定常約束下，無(wú)限小的實(shí)位移不是虛位移之一！約束下，無(wú)限小的實(shí)位移不是虛位移之一！物塊物塊M置于以速度置于以速度vo移動(dòng)的斜面上，移動(dòng)的斜面上，斜面對(duì)于物塊斜面對(duì)于物塊M的約束是的約束是非非定常約束定常約束。MdrdredrrMv0 在在dt內(nèi)，斜面位移為內(nèi)，斜面位移為dre，物塊的實(shí)物塊的實(shí)位移為位移為dr 。根據(jù)合成運(yùn)動(dòng)理論，有。根據(jù)合成運(yùn)動(dòng)理論，有dr = dre + drr = MM dre = v0dt -牽連位移牽連位移 drr -物塊相對(duì)斜面的物塊相對(duì)斜面的位移

21、位移drdredrrdrdredrrdrdredrrdredredredreM 物塊物塊M的虛位移可以是沿斜面向下的的虛位移可以是沿斜面向下的r1，也可以是沿斜面向上的，也可以是沿斜面向上的r2，因?yàn)椋驗(yàn)閞1，r2都是約束所容許的。都是約束所容許的。r1r2r1r2r1r2r1r25. 虛位移的幾何意義虛位移的幾何意義0),(zyxf0),(),(zzfyyfxxfzyxfzzyyxxf0zzfyyfxxf0),(zzyyxxf約束方程約束方程rxiyjzkfffijknxyz為曲面上該點(diǎn)為曲面上該點(diǎn)的法向矢量的法向矢量!0nr其中：其中：所以所以 非自由質(zhì)點(diǎn)非自由質(zhì)點(diǎn) M 的虛位移的虛位移

22、垂直于垂直于曲面上該點(diǎn)處的法線，曲面上該點(diǎn)處的法線，也就是說(shuō)也就是說(shuō)虛位移必在通過(guò)該點(diǎn)的曲面的切平面上虛位移必在通過(guò)該點(diǎn)的曲面的切平面上。補(bǔ)充知識(shí)補(bǔ)充知識(shí)：剛體的平面運(yùn)動(dòng)剛體的平面運(yùn)動(dòng) -平面圖形上各點(diǎn)的速度平面圖形上各點(diǎn)的速度 n 剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果體內(nèi)任意一點(diǎn)到某一固定平面的距離始終保持不變，則這種運(yùn)動(dòng)成為剛體的平面運(yùn)動(dòng)。n 即：剛體作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，體內(nèi)任意一點(diǎn)都在與某固定平面平行的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。一剛體平面運(yùn)動(dòng)的定義一剛體平面運(yùn)動(dòng)的定義1速度基點(diǎn)法速度基點(diǎn)法平面圖形的運(yùn)動(dòng)可以看成是平面圖形的運(yùn)動(dòng)可以看成是: 牽連運(yùn)動(dòng)（隨同基點(diǎn)牽連運(yùn)動(dòng)（隨同基點(diǎn)A的平動(dòng)）與的平動(dòng)）與 相對(duì)運(yùn)動(dòng)（繞基點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)（繞

23、基點(diǎn)A 的轉(zhuǎn)動(dòng)）的合成的轉(zhuǎn)動(dòng)）的合成因此因此: 平面圖形上任意一點(diǎn)平面圖形上任意一點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)可用合成運(yùn)動(dòng)的概念進(jìn)行分的運(yùn)動(dòng)可用合成運(yùn)動(dòng)的概念進(jìn)行分析，其速度可用速度合成定理求解。析，其速度可用速度合成定理求解。二剛體平面運(yùn)動(dòng)的特征二剛體平面運(yùn)動(dòng)的特征2. 速度投影定理速度投影定理定理定理: 同一瞬時(shí)，平面圖形上任意兩點(diǎn)的同一瞬時(shí)，平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度在這兩點(diǎn)連線上的投影相等。速度在這兩點(diǎn)連線上的投影相等。反映了反映了剛體不變形的特性剛體不變形的特性： 因剛體上任意兩點(diǎn)間的距離應(yīng)保持不變，所以剛體上任意兩點(diǎn)的速度在因剛體上任意兩點(diǎn)間的距離應(yīng)保持不變，所以剛體上任意兩點(diǎn)的速度在這兩點(diǎn)連線上的投

24、影應(yīng)該相等，否則，這兩點(diǎn)間的距離不是伸長(zhǎng)，就要縮短，這兩點(diǎn)連線上的投影應(yīng)該相等，否則，這兩點(diǎn)間的距離不是伸長(zhǎng)，就要縮短，這將與剛體的性質(zhì)相矛盾。因此，速度投影定理不僅適用于剛體作平面運(yùn)動(dòng)，這將與剛體的性質(zhì)相矛盾。因此，速度投影定理不僅適用于剛體作平面運(yùn)動(dòng)，而且也適用于剛體的一般運(yùn)動(dòng)。而且也適用于剛體的一般運(yùn)動(dòng)。 問(wèn)題的提出？ 若選取速度為零的點(diǎn)作為基點(diǎn)，求解速度問(wèn)題的計(jì)算會(huì)大大簡(jiǎn)化。 于是，自然會(huì)提出，在某一瞬時(shí)，平面上是否有速度等于零的點(diǎn)？如果有，該點(diǎn)如何確定？3.速度瞬心法速度瞬心法 定理定理:一般情況下，每一瞬時(shí)，平面圖形一般情況下，每一瞬時(shí)，平面圖形上都唯一地存在一個(gè)速度為零的點(diǎn)。上都

25、唯一地存在一個(gè)速度為零的點(diǎn)。在某瞬時(shí)，平面圖形上速度為零的點(diǎn)稱為平面圖形在該瞬時(shí)的在某瞬時(shí)，平面圖形上速度為零的點(diǎn)稱為平面圖形在該瞬時(shí)的瞬時(shí)速度中心，簡(jiǎn)稱為瞬時(shí)速度中心，簡(jiǎn)稱為速度瞬心速度瞬心或或瞬心瞬心。AN上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn)M：證明：證明：總有一點(diǎn)總有一點(diǎn)I滿足：滿足：則則I點(diǎn)的（絕對(duì)）速度：點(diǎn)的（絕對(duì)）速度：4.平面圖形上各點(diǎn)速度的分布平面圖形上各點(diǎn)速度的分布 其中，其中，I為瞬心為瞬心剛體上任意一點(diǎn)剛體上任意一點(diǎn)M的速度的速度:總結(jié)：平面圖形的運(yùn)動(dòng)可以看成總結(jié)：平面圖形的運(yùn)動(dòng)可以看成是繞它的速度瞬心作瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)。是繞它的速度瞬心作瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)。注意：速度瞬心的速度為零，但是加速度不為零。注

26、意：速度瞬心的速度為零，但是加速度不為零。5.速度瞬心位置的確定（速度瞬心位置的確定（1）若平面圖形沿一若平面圖形沿一固定面固定面滾動(dòng)而無(wú)滑動(dòng)，則圖形與固定面的接觸滾動(dòng)而無(wú)滑動(dòng)，則圖形與固定面的接觸點(diǎn)點(diǎn)I就是該瞬時(shí)圖形的速度瞬心。就是該瞬時(shí)圖形的速度瞬心。 注意：注意：是在固定面上的純滾動(dòng)，如果不是固定面，接觸點(diǎn)并非瞬心。是在固定面上的純滾動(dòng)，如果不是固定面，接觸點(diǎn)并非瞬心。5.速度瞬心位置的確定（速度瞬心位置的確定（2）已知某瞬時(shí)平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度方向，且兩者不相平行，已知某瞬時(shí)平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度方向，且兩者不相平行，則速度瞬心必在過(guò)每一點(diǎn)且與該點(diǎn)速度垂直的直線上。則速度瞬心必在

27、過(guò)每一點(diǎn)且與該點(diǎn)速度垂直的直線上。 5.速度瞬心位置的確定（速度瞬心位置的確定（3）已知某瞬時(shí)平面圖形上兩點(diǎn)的速度相互平行，并且速度的方向已知某瞬時(shí)平面圖形上兩點(diǎn)的速度相互平行，并且速度的方向垂直于這兩點(diǎn)的連線，但兩速度的大小不等，則圖形的速度瞬垂直于這兩點(diǎn)的連線，但兩速度的大小不等，則圖形的速度瞬心必在這兩點(diǎn)的連線與兩速度矢端的連線的交點(diǎn)。心必在這兩點(diǎn)的連線與兩速度矢端的連線的交點(diǎn)。 6.瞬時(shí)平動(dòng)瞬時(shí)平動(dòng)已知某瞬時(shí)平面圖形上兩點(diǎn)的速度相互平行，但速度方向與這已知某瞬時(shí)平面圖形上兩點(diǎn)的速度相互平行，但速度方向與這兩點(diǎn)的連線不相垂直；或雖然速度方向與這兩點(diǎn)的連線垂直，兩點(diǎn)的連線不相垂直；或雖然速

28、度方向與這兩點(diǎn)的連線垂直，但兩速度的大小相等，則該瞬時(shí)圖形的速度瞬心在無(wú)限遠(yuǎn)處，但兩速度的大小相等，則該瞬時(shí)圖形的速度瞬心在無(wú)限遠(yuǎn)處，圖形的這種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)稱為圖形的這種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)稱為瞬時(shí)平動(dòng)瞬時(shí)平動(dòng)。 此時(shí)，圖形的角速度等于零，圖形上各點(diǎn)的速度大小相等，方此時(shí)，圖形的角速度等于零，圖形上各點(diǎn)的速度大小相等，方向相同，速度分布與平動(dòng)時(shí)相似。向相同，速度分布與平動(dòng)時(shí)相似。 注意：注意：瞬時(shí)平動(dòng)只是剛體平面運(yùn)動(dòng)的一個(gè)瞬態(tài)，與剛體的平動(dòng)瞬時(shí)平動(dòng)只是剛體平面運(yùn)動(dòng)的一個(gè)瞬態(tài)，與剛體的平動(dòng)是兩個(gè)不同的概念，瞬時(shí)平動(dòng)時(shí)，雖然圖形的角速度為零，圖是兩個(gè)不同的概念，瞬時(shí)平動(dòng)時(shí)，雖然圖形的角速度為零，圖形上各點(diǎn)的速度相

29、等，但圖形的角加速度一般不等于零，圖形形上各點(diǎn)的速度相等，但圖形的角加速度一般不等于零，圖形上各點(diǎn)的加速度也不相同。上各點(diǎn)的加速度也不相同。 例如：曲柄連桿機(jī)構(gòu)裝置示意圖，連桿例如：曲柄連桿機(jī)構(gòu)裝置示意圖，連桿BC作瞬時(shí)平動(dòng)。作瞬時(shí)平動(dòng)。補(bǔ)充內(nèi)容結(jié)束！補(bǔ)充內(nèi)容結(jié)束！6.分析質(zhì)點(diǎn)系虛位移的兩種方法分析質(zhì)點(diǎn)系虛位移的兩種方法6-1. 幾何法幾何法l用求實(shí)位移的方法來(lái)求各質(zhì)點(diǎn)虛位移之間的關(guān)系；用求實(shí)位移的方法來(lái)求各質(zhì)點(diǎn)虛位移之間的關(guān)系；l質(zhì)點(diǎn)的實(shí)位移與其速度成正比質(zhì)點(diǎn)的實(shí)位移與其速度成正比dr=vdt，所以實(shí)位移之間的關(guān)系可以用速度，所以實(shí)位移之間的關(guān)系可以用速度之間的關(guān)系代替，如速度合成法、瞬心法

30、、速度投影法等。之間的關(guān)系代替，如速度合成法、瞬心法、速度投影法等。6-2. 解析法解析法解析法的一般推廣解析法的一般推廣選廣義坐標(biāo)選廣義坐標(biāo)q1， q2 ，qN ，則各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，則各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)),(),(),(212121NiiNiiNiiqqqzzqqqyyqqqxx),2, 1(ni對(duì)上式中第一式求變分，則對(duì)上式中第一式求變分，則NNiiiiqqxqqxqqxx2211Nkkkiqqx1得到：得到：質(zhì)點(diǎn)在直角坐標(biāo)質(zhì)點(diǎn)在直角坐標(biāo)中的虛位移與廣中的虛位移與廣義坐標(biāo)中的虛位義坐標(biāo)中的虛位移之間的關(guān)系為移之間的關(guān)系為Nkkkiiqqxx1Nkkkiiqqyy1Nkkkiiqqzz1),2, 1

31、(niqk 稱為廣義虛位移。稱為廣義虛位移。4.虛位移原理虛位移原理4-1.虛功虛功：質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系所受的力在虛位移上所作：質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系所受的力在虛位移上所作的功稱為虛功的功稱為虛功，用，用W表示。表示。注：注：虛位移是虛設(shè)的，虛功也是虛設(shè)的元功。虛位移是虛設(shè)的，虛功也是虛設(shè)的元功。設(shè)質(zhì)點(diǎn)設(shè)質(zhì)點(diǎn)m的虛位移為的虛位移為r，力力F 在虛位移上所作的虛功為在虛位移上所作的虛功為 W = F r = Fr cos滑塊的虛位移為滑塊的虛位移為rB，設(shè)曲柄的虛位移設(shè)曲柄的虛位移為為，力偶力偶 M 的虛功：的虛功：力力 F 的虛功：的虛功：如曲柄滑塊機(jī)構(gòu)在力偶如曲柄滑塊機(jī)構(gòu)在力偶M和力和力F的作用下處于平衡的

32、作用下處于平衡，ABMMMMxoyF F F FrBrBrBrB4-2.理想約束理想約束：在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移中，如果約束在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移中，如果約束反力所作的虛功之和等于零，這種約束稱為理想約束。反力所作的虛功之和等于零，這種約束稱為理想約束。若質(zhì)點(diǎn)系中任意質(zhì)點(diǎn)若質(zhì)點(diǎn)系中任意質(zhì)點(diǎn)Mi ，受約束反力，受約束反力Ni ，虛位移，虛位移ri，則理想約束的條件為：則理想約束的條件為：niiiniiW110rNN如光滑的接觸面如光滑的接觸面 W = N r= 0M N rN rN rN 對(duì)于作純滾動(dòng)剛體的固定面約束對(duì)于作純滾動(dòng)剛體的固定面約束C F T N DG F N F N 理想約束舉例：理想

33、約束舉例：光滑鉸鏈連接光滑鉸鏈連接N N rA N N rN N r光滑鉸支座或光滑軸承光滑鉸支座或光滑軸承N rN rN r理想剛體理想剛體rBrAABrBrArBrANANANANBNBNBB A rB柔性體約束柔性體約束TB TA TB TA TB TA rBrBrA4-3.虛位移原理虛位移原理：具有：具有完整、雙面、定常、理想約束完整、雙面、定常、理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，在給定位置保持平衡的必要和充分條件的質(zhì)點(diǎn)系，在給定位置保持平衡的必要和充分條件是：是：所有作用于該質(zhì)點(diǎn)系上的主動(dòng)力在任何虛位移所有作用于該質(zhì)點(diǎn)系上的主動(dòng)力在任何虛位移中所作的虛功之和等于零，又稱中所作的虛功之和等于零，又稱虛

34、功原理虛功原理。011niiiniiFWrF0)(1niiiiiiizZyYxX矢量表達(dá)式為矢量表達(dá)式為坐標(biāo)分解式為坐標(biāo)分解式為虛功方程虛功方程虛功方程又稱為又稱為靜力學(xué)普遍方程！靜力學(xué)普遍方程！必要性必要性：如果：如果 質(zhì)點(diǎn)系平衡質(zhì)點(diǎn)系平衡 則則虛功原理的證明虛功原理的證明niii10rF設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，第個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)個(gè)質(zhì)點(diǎn)Mi平衡，受力有平衡，受力有Fi -主動(dòng)力的合力主動(dòng)力的合力Ni -約束反力的合力約束反力的合力則則Fi + Ni = 0 WFi+ WNi =n個(gè)方程求和得個(gè)方程求和得011niiiniiirNrF系統(tǒng)的約束為理想約束，系統(tǒng)的約束為理想約束，

35、 Ni r i=0011niiiniiFWrF( Fi + Ni ) ri= 0（i = 1, 2 , ，n）0得證！得證！充分性充分性：如果：如果 則則 質(zhì)點(diǎn)系平衡質(zhì)點(diǎn)系平衡 niii10rF反證法反證法：設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由：設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，作用于該質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，作用于該質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力在給定的位置的任意虛位移中所作的虛功之和等于零，但該在給定的位置的任意虛位移中所作的虛功之和等于零，但該質(zhì)點(diǎn)系不平衡。質(zhì)點(diǎn)系不平衡。即至少有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)即至少有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)Mj不平衡，不平衡，則則 Fj+Nj Rj 0質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)Mj由靜止開始運(yùn)動(dòng)，其由靜止開始運(yùn)動(dòng)，其實(shí)位移實(shí)位移 drj 應(yīng)沿著應(yīng)沿著 Rj

36、的方向的方向該質(zhì)點(diǎn)的合力在實(shí)位移中的元功為該質(zhì)點(diǎn)的合力在實(shí)位移中的元功為 Rj dr j = （Fj+Nj） dr j 0質(zhì)點(diǎn)系受定常約束，質(zhì)點(diǎn)系受定常約束， dr j r j ， （Fj+Nj） r j 0 Fi r i 0這與假設(shè)矛盾！這與假設(shè)矛盾！質(zhì)點(diǎn)系必然平衡。質(zhì)點(diǎn)系必然平衡。得證！得證?。‵j+Nj） r j 0又又 Ni r i=05.虛功原理的應(yīng)用虛功原理的應(yīng)用已知質(zhì)點(diǎn)系處于平衡狀態(tài)，已知質(zhì)點(diǎn)系處于平衡狀態(tài)， 求主動(dòng)力之間的關(guān)系或平衡位置。求主動(dòng)力之間的關(guān)系或平衡位置。已知質(zhì)點(diǎn)系處于平衡狀態(tài)，已知質(zhì)點(diǎn)系處于平衡狀態(tài)， 求其內(nèi)力或約束反力。求其內(nèi)力或約束反力。WAolP P P PB例例1：螺旋千斤頂中，旋轉(zhuǎn)手柄：螺旋千斤頂中，旋轉(zhuǎn)手柄OA=l=0.6m，螺距，螺距h=12mm。今在。今在OA的水平面內(nèi)作用一垂直手柄的力的