第一章波函數(shù)與Schr

1、第一章第一章 波函數(shù)與波函數(shù)與SchrdingerSchrdinger方程方程1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋 2 力學(xué)量的平均值和算符的引進(jìn)力學(xué)量的平均值和算符的引進(jìn) 3 Schrdinger 方程方程4 量子態(tài)疊加原理量子態(tài)疊加原理1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋 一一. . 實(shí)物粒子的波粒二象性（實(shí)物粒子的波粒二象性（Wave-particle dualityWave-particle duality） 19231923年，在愛因斯坦光子理論的啟發(fā)下，德布年，在愛因斯坦光子理論的啟發(fā)下，德布羅意提出一切實(shí)物粒子（如電子等）均具有波粒二羅意提出一切實(shí)物粒子（如電子等）均具有波粒二象

2、性，即實(shí)物粒子都伴隨著一種波，稱為象性，即實(shí)物粒子都伴隨著一種波，稱為德布羅意德布羅意波波或或物質(zhì)波物質(zhì)波（matter wavematter wave）：）：; hEph; pkE等等 價(jià)價(jià)（ 德布羅意德布羅意- -愛因斯坦公式愛因斯坦公式） 粒子的物質(zhì)波波長粒子的物質(zhì)波波長p、E 粒子的動(dòng)量和能量粒子的動(dòng)量和能量50 (18050 )/265 0.091nm d 0.165 nm 2 sindk 布拉格公式：布拉格公式： 微粒波動(dòng)性的實(shí)驗(yàn)證實(shí)微粒波動(dòng)性的實(shí)驗(yàn)證實(shí)1 1 戴維孫戴維孫- -革末實(shí)驗(yàn)（革末實(shí)驗(yàn)（19271927）54VU 當(dāng)自由粒子速度較小時(shí)當(dāng)自由粒子速度較小時(shí) Ek E0 ，

3、按牛頓力學(xué)處理，按牛頓力學(xué)處理hp 02khm E如果電子經(jīng)過加速電場獲得動(dòng)能如果電子經(jīng)過加速電場獲得動(dòng)能kEeU2hmeU 1.23nmU當(dāng)當(dāng)U54V時(shí)時(shí)1.2354 0.167nm 可見，由德布羅意關(guān)系給出的電子波波長的理論可見，由德布羅意關(guān)系給出的電子波波長的理論值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合。值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合。 微粒波動(dòng)性的實(shí)驗(yàn)證實(shí)微粒波動(dòng)性的實(shí)驗(yàn)證實(shí)2 C2 C6060分子束光柵衍射實(shí)驗(yàn)（分子束光柵衍射實(shí)驗(yàn)（19991999）（a） C60分子束光柵衍射實(shí)驗(yàn)裝置分子束光柵衍射實(shí)驗(yàn)裝置(M. Arndt, et al., Nature,Vol.401, P680,1999)每每 秒秒 計(jì)計(jì) 數(shù)數(shù)每每

4、 50 秒秒 計(jì)計(jì) 數(shù)數(shù)(b) 實(shí)驗(yàn)結(jié)果實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖，圓圈代表圖，圓圈代表C60 分子的計(jì)分子的計(jì)數(shù)，其中數(shù)，其中b 圖圖是無光柵時(shí)的是無光柵時(shí)的結(jié)果。結(jié)果。（c）簡化分析：）簡化分析：C60分子的雙縫衍射示意圖分子的雙縫衍射示意圖 粒子性和波動(dòng)性是一對矛盾的屬性，微觀粒子的性質(zhì)由這對彼此對立，但又相互補(bǔ)充的矛盾屬性完全描述互補(bǔ)原理（Complementarity principleComplementarity principle）“波粒二象性是輻射（波粒二象性是輻射（radiationradiation）和實(shí)物粒子）和實(shí)物粒子（material particlematerial partic

5、le）都具有的內(nèi)稟的和不可避免）都具有的內(nèi)稟的和不可避免的性質(zhì)。波動(dòng)和粒子描述是兩個(gè)理想的經(jīng)典概念，各的性質(zhì)。波動(dòng)和粒子描述是兩個(gè)理想的經(jīng)典概念，各自有其適用范圍。在特定的物理現(xiàn)象中，輻射和實(shí)物自有其適用范圍。在特定的物理現(xiàn)象中，輻射和實(shí)物粒子均可展現(xiàn)其波動(dòng)性或粒子性。但這兩種理想的描粒子均可展現(xiàn)其波動(dòng)性或粒子性。但這兩種理想的描繪中的任何單獨(dú)一方，都不能對所研究的現(xiàn)象給出完繪中的任何單獨(dú)一方，都不能對所研究的現(xiàn)象給出完整的說明。整的說明?！?* * * N.N.玻爾玻爾19271927直線運(yùn)動(dòng)的自由粒子波包直線運(yùn)動(dòng)的自由粒子波包二二. . 粒子波動(dòng)性的兩種錯(cuò)誤看法粒子波動(dòng)性的兩種錯(cuò)誤看法l觀

6、點(diǎn)：觀點(diǎn)：波包即粒子波包即粒子 薛定諤將德布羅意的位相波理解為像電磁場E和B那樣的“物質(zhì)波物質(zhì)波”，代表一種真實(shí)的物理波動(dòng)。波動(dòng)就是一切，粒子不過是波的聚集，稱之為“波群”，也即后來所說的“波包波包”，波包的大小即粒子大小，群速度即粒波包的大小即粒子大小，群速度即粒子速度子速度。 l什么是波包？什么是波包？單色平面波通常不存在，而實(shí)際的單色平面波通常不存在，而實(shí)際的波可則展開為各種波長平面波的迭加，稱為波包。波可則展開為各種波長平面波的迭加，稱為波包。(1) (1) 粒子由波組成粒子由波組成“波包論波包論”( (薛定諤薛定諤) )l 困難之處困難之處 理論分析表明，隨傳播時(shí)間的推移，自由粒子的

7、理論分析表明，隨傳播時(shí)間的推移，自由粒子的物質(zhì)波波包會不斷的擴(kuò)散，粒子將變得越來越物質(zhì)波波包會不斷的擴(kuò)散，粒子將變得越來越“胖胖”，因此粒子的結(jié)構(gòu)是不穩(wěn)定的。因此粒子的結(jié)構(gòu)是不穩(wěn)定的。 實(shí)驗(yàn)上觀測到的電子，總是處于一個(gè)小區(qū)域內(nèi)。實(shí)驗(yàn)上觀測到的電子，總是處于一個(gè)小區(qū)域內(nèi)。例如在一個(gè)原子內(nèi)，其廣延不會超過原子大小例如在一個(gè)原子內(nèi)，其廣延不會超過原子大小1 1 與實(shí)驗(yàn)事實(shí)相矛盾！與實(shí)驗(yàn)事實(shí)相矛盾！物質(zhì)波包的觀點(diǎn)夸大了波動(dòng)性，抹殺了粒子性，物質(zhì)波包的觀點(diǎn)夸大了波動(dòng)性，抹殺了粒子性，帶有片面性。其核心是將量子的波看成經(jīng)典的波帶有片面性。其核心是將量子的波看成經(jīng)典的波(2) (2) 波由粒子組成波由粒子組

8、成如如聲波聲波，是介質(zhì)分子（粒子）密度疏密變化而形，是介質(zhì)分子（粒子）密度疏密變化而形成的一種分布。成的一種分布。觀點(diǎn)：電子的波動(dòng)性是由于大量的電子分布于空觀點(diǎn)：電子的波動(dòng)性是由于大量的電子分布于空間而形成的疏密波。間而形成的疏密波。 波由粒子組成的看法夸大了粒子性的一面，而波由粒子組成的看法夸大了粒子性的一面，而抹殺了粒子的波動(dòng)性的一面，具有片面性。抹殺了粒子的波動(dòng)性的一面，具有片面性。其核其核心仍是將量子的粒子看成經(jīng)典的粒子。心仍是將量子的粒子看成經(jīng)典的粒子。這種看法是這種看法是與實(shí)驗(yàn)矛盾與實(shí)驗(yàn)矛盾的，它不能解釋長時(shí)間的，它不能解釋長時(shí)間單個(gè)電子衍射實(shí)驗(yàn)。單個(gè)電子衍射實(shí)驗(yàn)。電子雙縫實(shí)驗(yàn)電子

9、雙縫實(shí)驗(yàn)單個(gè)電子多次重復(fù)性行為單個(gè)電子多次重復(fù)性行為單個(gè)電子顯示出波動(dòng)性！單個(gè)電子顯示出波動(dòng)性！電子究竟是什么東西呢？是粒子？電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？還是波？“ 電子既不是粒子也不是波 ”，既不是 經(jīng)典的粒子也不是經(jīng)典的波.我們也可以說，“ 電子既是粒子也是波，它是粒子和波動(dòng)二重性矛盾的統(tǒng)一。” 這個(gè)波不再是經(jīng)典概念的波，粒子也不是經(jīng)典概念中的粒子。經(jīng)典粒子和量子論中的粒子的差別？經(jīng)典粒子和量子論中的粒子的差別？經(jīng)典的波和量子的波經(jīng)典的波和量子的波( (物質(zhì)波物質(zhì)波) )的區(qū)別？的區(qū)別？核心問題核心問題：經(jīng)典概念中粒子意味著經(jīng)典概念中粒子意味著：1. 1. 有一定質(zhì)量、電荷等有一

10、定質(zhì)量、電荷等“顆粒性顆粒性”或或“原子性原子性”的的屬性屬性; ; 2 2有確定的運(yùn)動(dòng)有確定的運(yùn)動(dòng)軌道軌道，可以準(zhǔn)確預(yù)言每一時(shí)刻的位，可以準(zhǔn)確預(yù)言每一時(shí)刻的位置和速度（動(dòng)量），是置和速度（動(dòng)量），是決定性的描述決定性的描述。經(jīng)典概念中波意味著經(jīng)典概念中波意味著：1.1.實(shí)在物理量的空間分布作周期性的變化實(shí)在物理量的空間分布作周期性的變化; ; 2.2.干涉、衍射現(xiàn)象，其本質(zhì)在于干涉、衍射現(xiàn)象，其本質(zhì)在于相干疊加性相干疊加性。量子世界中的粒子量子世界中的粒子：1. 1. 有一定質(zhì)量、電荷等有一定質(zhì)量、電荷等“顆粒性顆粒性”或或“原子性原子性”的的屬性屬性; ; 2 2有確定的運(yùn)動(dòng)有確定的運(yùn)動(dòng)軌

11、道軌道，可以準(zhǔn)確預(yù)言每一時(shí)刻的位，可以準(zhǔn)確預(yù)言每一時(shí)刻的位置和速度（動(dòng)量），是置和速度（動(dòng)量），是決定性的描述決定性的描述。（。（ ）量子世界中的波（物質(zhì)波）量子世界中的波（物質(zhì)波）：1.1.實(shí)在物理量的空間分布作周期性的變化實(shí)在物理量的空間分布作周期性的變化; ( ); ( )2.2.干涉、衍射現(xiàn)象，其本質(zhì)在于干涉、衍射現(xiàn)象，其本質(zhì)在于相干疊加性相干疊加性。（微粒的“軌道”是不可觀測量，因而應(yīng)摒棄；微粒的位置和動(dòng)量亦不能同時(shí)確定* ）（波做概率解釋，是幾率波，其絕對值平方代表粒子出現(xiàn)幾率）三三. . 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋（1 1） 波函數(shù)波函數(shù) 為了方便對物質(zhì)波進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，薛定

12、諤引入了為了方便對物質(zhì)波進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，薛定諤引入了函數(shù)函數(shù) ，稱為波函數(shù)（，稱為波函數(shù)（復(fù)函數(shù)復(fù)函數(shù)），來表示物質(zhì)波，），來表示物質(zhì)波，并建立了波函數(shù)的偏微分方程并建立了波函數(shù)的偏微分方程薛定諤方程。薛定諤方程。n 自由粒子的波函數(shù)自由粒子的波函數(shù)單色平面波單色平面波,exp() exp()r tAi k rtiAp rEt （利用了德布羅（利用了德布羅意公式）意公式）k 波矢量；波矢量；p、E 自由粒子的動(dòng)量和能量自由粒子的動(dòng)量和能量n 力場中的粒子波函數(shù)力場中的粒子波函數(shù)kdetkctrrk i),()2(1),(23 實(shí)際的粒子通常受力場的作用（例如原子中的實(shí)際的粒子通常受力場的作用（例

13、如原子中的電子），其物質(zhì)波波函數(shù)電子），其物質(zhì)波波函數(shù) (r,t)不能再用單色平面不能再用單色平面波描寫，波描寫，具體形式視情況而定，但是都可展開為具體形式視情況而定，但是都可展開為不同波長（波數(shù)）的單色平面波的疊加：不同波長（波數(shù)）的單色平面波的疊加：321( , )( , )(2)ip rr tc p t edp 或或單色平面波（自單色平面波（自由粒子波函數(shù)）由粒子波函數(shù)）自由粒子波函數(shù)自由粒子波函數(shù)的歸一化因子的歸一化因子xyzdpdp dp dp其中其中從數(shù)學(xué)上看，這從數(shù)學(xué)上看，這相當(dāng)于將波函數(shù)相當(dāng)于將波函數(shù) (r,t)(r,t)做傅里葉做傅里葉展開，展開，C C是展開系數(shù)，且有明確的

14、物理意義。是展開系數(shù)，且有明確的物理意義。傅里葉逆變換傅里葉逆變換321( , )( , )(2)ip rc p tr t edr 3drd rdxdydz其中其中問題： c(p，t)的物理意義是什么呢？波函數(shù) 的物理含義？ 如果說粒子的波函數(shù)如果說粒子的波函數(shù) 代表粒子的空間分布，那代表粒子的空間分布，那么自由粒子的波函數(shù)在空間上是無限展延的，而作么自由粒子的波函數(shù)在空間上是無限展延的，而作為一個(gè)實(shí)物粒子，因其為一個(gè)實(shí)物粒子，因其“原子性原子性”，占有的空間體，占有的空間體積是十分有限的，顯然彼此矛盾！積是十分有限的，顯然彼此矛盾！ 玻爾曾經(jīng)說：玻爾曾經(jīng)說：“量子理論詮釋的關(guān)鍵在于，必量子理

15、論詮釋的關(guān)鍵在于，必須把彼此矛盾的波動(dòng)和粒子這兩種描述協(xié)調(diào)起須把彼此矛盾的波動(dòng)和粒子這兩種描述協(xié)調(diào)起來來”。因此上述對波函數(shù)的解釋行不通！。因此上述對波函數(shù)的解釋行不通！ 因此因此對波函數(shù)的物理詮釋必須要求把波動(dòng)和粒子對波函數(shù)的物理詮釋必須要求把波動(dòng)和粒子性融合在一起性融合在一起。1926年，玻恩對波函數(shù)的物理解釋年，玻恩對波函數(shù)的物理解釋做到了這一點(diǎn)！做到了這一點(diǎn)?。? 2） 概率波（概率波（Probability waveProbability wave） 波函數(shù)波函數(shù) 在空間某點(diǎn)的強(qiáng)度（在空間某點(diǎn)的強(qiáng)度（i.e.振幅絕對值的平振幅絕對值的平方方|(r,t)|2 ）和在這點(diǎn)找到粒子的概率成

16、正比。）和在這點(diǎn)找到粒子的概率成正比。 該點(diǎn)附近感光點(diǎn)的數(shù)目該點(diǎn)附近感光點(diǎn)的數(shù)目 該點(diǎn)附近出現(xiàn)的電子數(shù)目該點(diǎn)附近出現(xiàn)的電子數(shù)目 電子出現(xiàn)在電子出現(xiàn)在r r點(diǎn)附近的點(diǎn)附近的概率概率在電子衍射實(shí)驗(yàn)中，照相底片上在電子衍射實(shí)驗(yàn)中，照相底片上r r點(diǎn)附近衍射花樣的強(qiáng)度（點(diǎn)附近衍射花樣的強(qiáng)度（ |2 ）以電子的單縫衍射為例。以電子的單縫衍射為例。因此，量子力學(xué)中的波函數(shù)所描述的，并不像經(jīng)典量子力學(xué)中的波函數(shù)所描述的，并不像經(jīng)典波那樣代表什么實(shí)在物理量的空間波動(dòng)，只不過是波那樣代表什么實(shí)在物理量的空間波動(dòng)，只不過是刻畫粒子在空間的概率分布的刻畫粒子在空間的概率分布的概率波概率波而已而已?？紤]自由粒子的波函

17、數(shù),exp()ir tAp rEt 2,.r tconst 即自由粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的概率均等，符合自由粒子的物理描述，前面所述的矛盾也不存在了！ 由于由于|(r,t)|(r,t)|2 2 代表粒子出現(xiàn)的概率，因此玻代表粒子出現(xiàn)的概率，因此玻恩對恩對波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，把彼此矛盾的波和粒子波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，把彼此矛盾的波和粒子性統(tǒng)一在了一起性統(tǒng)一在了一起。換言之，波函數(shù)的概率解釋，。換言之，波函數(shù)的概率解釋，是實(shí)物粒子波粒二象性的內(nèi)在要求。是實(shí)物粒子波粒二象性的內(nèi)在要求。 另一方面，微觀粒子的性質(zhì)由彼此對立，但又相另一方面，微觀粒子的性質(zhì)由彼此對立，但又相互補(bǔ)充的矛盾屬性，即波動(dòng)性和粒子性，完全

18、描述互補(bǔ)充的矛盾屬性，即波動(dòng)性和粒子性，完全描述（互補(bǔ)原理互補(bǔ)原理）。）。微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（量子態(tài)）由波函數(shù)完全描述，只要給出了波函數(shù)就可得到體系所有性質(zhì)（如位置、動(dòng)量、角動(dòng)量、動(dòng)能、勢能、電場、磁場等） 量子力學(xué)的基本假定之一量子力學(xué)的基本假定之一 量子力學(xué)中這種狀態(tài)的描寫方式與經(jīng)典力學(xué)中量子力學(xué)中這種狀態(tài)的描寫方式與經(jīng)典力學(xué)中描寫質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的方式完全不同。在經(jīng)典力學(xué)中，描寫質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的方式完全不同。在經(jīng)典力學(xué)中，質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)用質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)用（r，p）完全描述，只要給出質(zhì)點(diǎn)的完全描述，只要給出質(zhì)點(diǎn)的位置和動(dòng)量，其他力學(xué)量（如能量等）均可表示為位置和動(dòng)量，其他力學(xué)量（如能量等）均可表示為r

19、r和和p p的函數(shù)，因而也隨之確定。但在量子力學(xué)中，的函數(shù)，因而也隨之確定。但在量子力學(xué)中，由于波粒二象性，由于波粒二象性，r r和和p p不能同時(shí)有確定值（海森堡不能同時(shí)有確定值（海森堡的不確定原理），而波粒二象性現(xiàn)在被統(tǒng)一到波函的不確定原理），而波粒二象性現(xiàn)在被統(tǒng)一到波函數(shù)數(shù)中，所以量子力學(xué)中用波函數(shù)中，所以量子力學(xué)中用波函數(shù)描述量子態(tài)。描述量子態(tài)。顯然，正是顯然，正是波粒二象性決定了量子的和經(jīng)典的描述波粒二象性決定了量子的和經(jīng)典的描述方式本質(zhì)的差別方式本質(zhì)的差別。 總之，由于波粒二象性，微觀粒子服從統(tǒng)計(jì)性規(guī)總之，由于波粒二象性，微觀粒子服從統(tǒng)計(jì)性規(guī)律，用不確定的語言（如概率）描述；經(jīng)典粒

20、子服律，用不確定的語言（如概率）描述；經(jīng)典粒子服從決定性規(guī)律，用確定性語言（如軌道）描述。從決定性規(guī)律，用確定性語言（如軌道）描述。n 概率解釋對波函數(shù)的要求概率解釋對波函數(shù)的要求 根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，在空間根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，在空間r r點(diǎn)附近的體積元點(diǎn)附近的體積元xyz中找到粒子的概率是中找到粒子的概率是|2 2xyz 。 概率密度概率密度2, r t 概率波幅概率波幅, r t則在任意體積空間則在任意體積空間 中，找到粒子的概率：中，找到粒子的概率：223,r td rr tdxdydz 真實(shí)真實(shí)的波函數(shù)應(yīng)滿足歸一化條件（平方可積）的波函數(shù)應(yīng)滿足歸一化條件（平方可積）在全體積空間中，

21、找到粒子的概率應(yīng)等于在全體積空間中，找到粒子的概率應(yīng)等于1 1：223,1r td rr tdxdydz問題問題： 自由粒子的波函數(shù)滿足歸一化條件嗎？自由粒子的波函數(shù)滿足歸一化條件嗎？ 標(biāo)準(zhǔn)化條件標(biāo)準(zhǔn)化條件 粒子在某時(shí)刻在空間某點(diǎn)出現(xiàn)的概率應(yīng)該單值、粒子在某時(shí)刻在空間某點(diǎn)出現(xiàn)的概率應(yīng)該單值、有限，因此波函數(shù)應(yīng)該是坐標(biāo)有限，因此波函數(shù)應(yīng)該是坐標(biāo)r的單值、有限函數(shù)，的單值、有限函數(shù)，且且波函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)波函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)也要連續(xù)。波函數(shù)滿足也要連續(xù)。波函數(shù)滿足單單值、有限、連續(xù)性值、有限、連續(xù)性要求，稱為要求，稱為標(biāo)準(zhǔn)化條件標(biāo)準(zhǔn)化條件。 統(tǒng)計(jì)解釋中只涉及波函數(shù)的振幅，因此波函數(shù)還統(tǒng)計(jì)解釋中只涉及

22、波函數(shù)的振幅，因此波函數(shù)還存在下述不確定性：存在下述不確定性： 常數(shù)因子的不確定性常數(shù)因子的不確定性 若(r,t) 歸一，C為常數(shù)，則(r,t)和C(r,t) 描述同一個(gè)物理狀態(tài)，因?yàn)樗鼈兊南鄬Ω怕氏嗤?2112222,r tCr tr tCr t即，和C表示同一個(gè)概率波，因此對于概率分布對于概率分布來說，重要的是相對概率來說，重要的是相對概率。 相位的不確定性相位的不確定性(r,t)和(r,t)ei（為實(shí)常數(shù)）代表同一個(gè)概率波，因兩者的模從而概率密度相同。（3 3） 多粒子體系的波函數(shù)多粒子體系的波函數(shù)設(shè)體系由設(shè)體系由N N個(gè)粒子組成，則個(gè)粒子組成，則NNrdrdrdtrrr.),.,(21

23、221粒子粒子1 1出現(xiàn)在出現(xiàn)在( )( )中中同時(shí)同時(shí)粒子粒子2 2出現(xiàn)在出現(xiàn)在( )( )中中同時(shí)同時(shí)粒子粒子N N出現(xiàn)在出現(xiàn)在( )( )中的幾率中的幾率111,rdrr222,rdrrNNNrdrr,),.,(21trrrN體系的波函數(shù)體系的波函數(shù)(態(tài)函數(shù)態(tài)函數(shù))21212( , ,., ).1NNr rr tdrdrdr 歸一化條件歸一化條件本節(jié)例題本節(jié)例題例例1 1 設(shè)粒子波函數(shù)為設(shè)粒子波函數(shù)為 ，求在，求在( (x, x+dx) )范范圍中找到粒子的幾率。圍中找到粒子的幾率。),(zyx 解：解： 根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，在空間根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，在空間r r點(diǎn)附近的體點(diǎn)附近的體

24、積元積元dxdydz中找到粒子的概率是中找到粒子的概率是|2 2dxdydz 。則在則在(x, x+dx)范圍內(nèi)范圍內(nèi)，找到粒子的概率：，找到粒子的概率：22, , ,x dxxdydzx y zdxdxx y zdydz 例例2 2 設(shè)二粒子體系的波函數(shù)為設(shè)二粒子體系的波函數(shù)為 ，求測得粒，求測得粒子子1 1在在 中的幾率中的幾率。12( , )r r 111,r rdr 解：由于解：由于 21212( , )r rdrdr 代表粒子代表粒子1 1出現(xiàn)在出現(xiàn)在( )( )中，中，同時(shí)同時(shí)粒子粒子2 2出現(xiàn)出現(xiàn)在在( )( )中的幾率，故所求為中的幾率，故所求為111,rdrr222,rdrr

25、21122,drr rdr 例例3 3 設(shè)設(shè) ， 為常數(shù)，為常數(shù)，求歸一化常求歸一化常數(shù)數(shù)A A。 222xxAe解：由波函數(shù)歸一化條件知道：解：由波函數(shù)歸一化條件知道： 22221xxdxA edx2xedx利用積分公式利用積分公式12A四四. . 動(dòng)量空間（表象）的波函數(shù)動(dòng)量空間（表象）的波函數(shù) 描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的波函數(shù)不僅可以是坐標(biāo)描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的波函數(shù)不僅可以是坐標(biāo)r r和時(shí)間和時(shí)間t t的函數(shù)，即的函數(shù)，即(r,t)(r,t)；也可以是動(dòng)量；也可以是動(dòng)量p p和時(shí)間和時(shí)間t t的函數(shù)，即的函數(shù)，即 (p(p，t)t)。（。（那么可以是那么可以是r r和和p p的函數(shù)？的函數(shù)

26、？）(r,t) 以坐標(biāo)為自變量以坐標(biāo)為自變量坐標(biāo)表象坐標(biāo)表象(re- presentation)中的波函數(shù)表示中的波函數(shù)表示 (p,t) 以動(dòng)量為自變量以動(dòng)量為自變量動(dòng)量表象動(dòng)量表象中中 的波函數(shù)表示的波函數(shù)表示同一個(gè)狀態(tài)不同一個(gè)狀態(tài)不同的描述方式同的描述方式表象表象 與與 “坐標(biāo)坐標(biāo)系系”問題：問題： 波函數(shù)波函數(shù)(r,t)和和 (p，t)之間的聯(lián)系？之間的聯(lián)系？ 波函數(shù)(r,t)可以展開為各種波長（波數(shù)）的平面波的疊加，按照德布羅意關(guān)系，也可展開為具有不同動(dòng)量的單色平面波的疊加，即321( , )( , )(2)ip rr tc p t edpv vhvvvh將付氏展開系數(shù)C(p,t) (

27、p,t)321( , )( , )(2)ip rr tp t edpv vhvvvh付氏分波付氏分波（1） 按按(1)式，任意粒子波函數(shù)式，任意粒子波函數(shù)(r,t)包含包含各種動(dòng)量成各種動(dòng)量成分分的傅里葉分波，故在波函數(shù)的傅里葉分波，故在波函數(shù)所描寫的狀態(tài)下測所描寫的狀態(tài)下測量粒子的動(dòng)量，不會有確定值，展開式中的每一種量粒子的動(dòng)量，不會有確定值，展開式中的每一種動(dòng)量值都有可能出現(xiàn)，換言之，動(dòng)量值都有可能出現(xiàn)，換言之，每一個(gè)傅里葉分波每一個(gè)傅里葉分波所對應(yīng)的動(dòng)量值是以某一概率出現(xiàn)在測量中！所對應(yīng)的動(dòng)量值是以某一概率出現(xiàn)在測量中！問題：問題： 測到粒子動(dòng)量為測到粒子動(dòng)量為p的概率是多少？的概率是多

28、少？傅里葉逆變換傅里葉逆變換321( , )( , )(2)ip rp tr t edr （2）321( , )( , ) (1)(2)ip rr tp t edp 將波函數(shù)將波函數(shù)歸一化：歸一化：*3( , )( , )11( , ) ( , )(2)ip prr tr t drp tp t edrdp dp *( , ) ( , )ip prp tp tedr 3*( , ) ( , )2p tp tpp 2i xedx其中使用了積分其中使用了積分*( , )( , ) ( , ) ( , )r tr t drp tp tppdp dp22( , )( , )1p tdpr tdr2*(

29、, ) ( , )( , )p tp t dpp tdp若若 已歸一化，則已歸一化，則 也是歸一化的也是歸一化的( , )p t),(tr 所以，粒子波函數(shù)所以，粒子波函數(shù)(r,t)(r,t)的傅里葉展開系數(shù)的傅里葉展開系數(shù) (p,t)(p,t)也做概率波解釋，描述的是每一個(gè)可能的動(dòng)也做概率波解釋，描述的是每一個(gè)可能的動(dòng)量值出現(xiàn)的概率量值出現(xiàn)的概率 。 動(dòng)量表象下的波函數(shù)動(dòng)量表象下的波函數(shù)( , )( , )p tr tvv故與具有類似的物理含義:| (p,t)|2 dp 測得測得粒子動(dòng)量在粒子動(dòng)量在p p附近，即附近，即 pp+dp內(nèi)的概率；內(nèi)的概率；| (p,t)|2 粒子動(dòng)量分布的概率密

30、度粒子動(dòng)量分布的概率密度 很明顯，很明顯，波函數(shù)波函數(shù)(r,t)(r,t)和和 (p,t)(p,t)不過是在不同不過是在不同的表象空間描述同一個(gè)量子態(tài)而已的表象空間描述同一個(gè)量子態(tài)而已！只是前者刻畫！只是前者刻畫的是粒子的位置分布概率，而后者刻畫的是粒子的的是粒子的位置分布概率，而后者刻畫的是粒子的動(dòng)量分布概率。數(shù)動(dòng)量分布概率。數(shù)學(xué)上，學(xué)上，和和 互為傅里葉變換互為傅里葉變換。 若給出粒子狀態(tài)的波函數(shù)若給出粒子狀態(tài)的波函數(shù)(r,t) (r,t) 解薛定諤方程解薛定諤方程相應(yīng)的測量概率相應(yīng)的測量概率123,t,t,t .rrrvvv222，123 .rrrvvv， ， ， 在此態(tài)下測量粒子的位置

31、，結(jié)果是一系列可能值：在此態(tài)下測量粒子的位置，結(jié)果是一系列可能值： 在此態(tài)下測量粒子動(dòng)量，結(jié)果也是一系列可能值：在此態(tài)下測量粒子動(dòng)量，結(jié)果也是一系列可能值：123 .pppvvv，相應(yīng)的測量概率相應(yīng)的測量概率123,t,t,t .pppvvv222， 由由(2)式計(jì)算式計(jì)算 實(shí)際上，不僅位置和動(dòng)量，粒子的其它力學(xué)實(shí)際上，不僅位置和動(dòng)量，粒子的其它力學(xué)量如角動(dòng)量、能量等也都可以根據(jù)波函數(shù)計(jì)算量如角動(dòng)量、能量等也都可以根據(jù)波函數(shù)計(jì)算出各自的測量概率。因此，出各自的測量概率。因此，只要給出了粒子的只要給出了粒子的波函數(shù)，粒子的所有力學(xué)量的測量概率都可以波函數(shù)，粒子的所有力學(xué)量的測量概率都可以知道知道

32、，也就是粒子的所有物理性質(zhì)統(tǒng)統(tǒng)可以知，也就是粒子的所有物理性質(zhì)統(tǒng)統(tǒng)可以知道。因此，道。因此，量子力學(xué)中粒子的狀態(tài)由一個(gè)波函量子力學(xué)中粒子的狀態(tài)由一個(gè)波函數(shù)完全描述！數(shù)完全描述！坐標(biāo)表象：坐標(biāo)表象： 位置概率密度位置概率密度（分布）（分布）2, r tv2, r tdrvv粒子粒子位置位置在在r r+dr內(nèi)的內(nèi)的概率概率2,1r tdrvv歸一化條件歸一化條件動(dòng)量表象：動(dòng)量表象： 動(dòng)量概率密度動(dòng)量概率密度（分布）（分布）2, p tv2, p tdpvv粒子粒子動(dòng)量動(dòng)量在在p p+dp內(nèi)的內(nèi)的概率概率2,1p tdpvv歸一化條件歸一化條件同一個(gè)量子態(tài)在不同表象中的描述！同一個(gè)量子態(tài)在不同表象中

33、的描述！2 力學(xué)量的平均值和算符的引進(jìn)力學(xué)量的平均值和算符的引進(jìn) 一般來說，當(dāng)微觀粒子處于某種狀態(tài)時(shí)，它的一般來說，當(dāng)微觀粒子處于某種狀態(tài)時(shí)，它的力學(xué)量，如坐標(biāo)、動(dòng)量、角動(dòng)量、能量等，具有一力學(xué)量，如坐標(biāo)、動(dòng)量、角動(dòng)量、能量等，具有一系列的可能值，每一可能值均以一定的概率出現(xiàn)，系列的可能值，每一可能值均以一定的概率出現(xiàn)，當(dāng)給定描述該狀態(tài)的波函數(shù)當(dāng)給定描述該狀態(tài)的波函數(shù)后，力學(xué)量各種可能后，力學(xué)量各種可能值的相應(yīng)概率就完全確定，利用值的相應(yīng)概率就完全確定，利用統(tǒng)計(jì)平均統(tǒng)計(jì)平均的方法，的方法，就可以算出該力學(xué)量的平均值，進(jìn)而與實(shí)驗(yàn)的觀測就可以算出該力學(xué)量的平均值，進(jìn)而與實(shí)驗(yàn)的觀測值相比較。換言之，

34、力學(xué)量平均值就是在值相比較。換言之，力學(xué)量平均值就是在所描述所描述的量子態(tài)下，相應(yīng)力學(xué)量的觀測結(jié)果。的量子態(tài)下，相應(yīng)力學(xué)量的觀測結(jié)果。一一. . 力學(xué)量的平均值力學(xué)量的平均值在統(tǒng)計(jì)物理中知道在統(tǒng)計(jì)物理中知道u 當(dāng)可能值為離散值時(shí)當(dāng)可能值為離散值時(shí): : 一個(gè)物理量的統(tǒng)計(jì)平均一個(gè)物理量的統(tǒng)計(jì)平均值等于物理量的各種可能值乘上相應(yīng)的值等于物理量的各種可能值乘上相應(yīng)的概率求和；概率求和；（加權(quán)平均加權(quán)平均） u 當(dāng)可能值為連續(xù)取值時(shí)：當(dāng)可能值為連續(xù)取值時(shí)： 一個(gè)物理量出現(xiàn)的各一個(gè)物理量出現(xiàn)的各種可能值乘上相應(yīng)的種可能值乘上相應(yīng)的概率密度求積分。概率密度求積分。 如，氣體分子速率在（0，+）內(nèi)取值，則氣

35、體分子速率的算術(shù)平均： 0vvf v dvf(v) 速率分布函數(shù)，亦做概率解釋（概率密度）給定粒子的波函數(shù)給定粒子的波函數(shù)(r,t)：u 若波函數(shù)已歸一化，則力學(xué)量若波函數(shù)已歸一化，則力學(xué)量F的平均值的平均值 2*F rF rrdrr F rr drvvvvvvvvu 若波函數(shù)未歸一化，則力學(xué)量若波函數(shù)未歸一化，則力學(xué)量F的平均值的平均值 *r F rr drF rrr drvvvvvvvv( (相對概率密度相對概率密度) )力學(xué)量平均值的計(jì)算公式力學(xué)量平均值的計(jì)算公式注：注：這實(shí)際上是在坐標(biāo)表象中計(jì)算這實(shí)際上是在坐標(biāo)表象中計(jì)算F F的平均值，故要求的平均值，故要求F F要要 能表示成能表示成

36、r r的函數(shù)的函數(shù)（1 1）坐標(biāo)平均值）坐標(biāo)平均值2|() |xxxxdx 一維情況一維情況 設(shè)設(shè)(x)是歸一化波函數(shù)，是歸一化波函數(shù)，|(x)|2 是是粒子出現(xiàn)在粒子出現(xiàn)在x點(diǎn)的概率密度，則點(diǎn)的概率密度，則 三維情況三維情況 設(shè)設(shè)(r)(r)是歸一化，是歸一化，|(r)|(r)|2 2 是粒是粒子出現(xiàn)在子出現(xiàn)在r點(diǎn)的概率密度，則點(diǎn)的概率密度，則2|() |rrrrdr vvvvv注注: : 為了方便，這里暫不考慮時(shí)間為了方便，這里暫不考慮時(shí)間t t 給定歸一化波函數(shù)給定歸一化波函數(shù)(r)，此量子態(tài)下粒子動(dòng)量，此量子態(tài)下粒子動(dòng)量平均值為平均值為（2 2）動(dòng)量平均值）動(dòng)量平均值 *prpr dr

37、 vv vvv要計(jì)算右邊積分，必須給出動(dòng)量要計(jì)算右邊積分，必須給出動(dòng)量p p與坐標(biāo)與坐標(biāo)r r的函數(shù)的函數(shù)關(guān)系。但是關(guān)系。但是由于波粒二象性，粒子的坐標(biāo)由于波粒二象性，粒子的坐標(biāo)r r和動(dòng)量和動(dòng)量p p不同時(shí)確定，因此不同時(shí)確定，因此“粒子在空間某點(diǎn)粒子在空間某點(diǎn)r r處的動(dòng)量處的動(dòng)量”是無意義的，即動(dòng)量是無意義的，即動(dòng)量p p不能表示成坐標(biāo)不能表示成坐標(biāo)r r的函數(shù)，的函數(shù)，p p p(r)p(r)。故。故上式積分在坐標(biāo)表象中無法計(jì)算！上式積分在坐標(biāo)表象中無法計(jì)算！如何計(jì)算粒子動(dòng)量的平均值呢？如何計(jì)算粒子動(dòng)量的平均值呢？二二. . 力學(xué)量用算符表示力學(xué)量用算符表示 何為算符？何為算符？ 量子

38、力學(xué)中的力學(xué)量為何要用算符表示？量子力學(xué)中的力學(xué)量為何要用算符表示？ 如何得到力學(xué)量算符表達(dá)式？如何得到力學(xué)量算符表達(dá)式？ 算符的運(yùn)算規(guī)則？算符的運(yùn)算規(guī)則？（見第三章）（見第三章）（1 1） 什么是算符什么是算符 數(shù)學(xué)上的算符（數(shù)學(xué)上的算符（OperatorOperator）代表一種運(yùn)算，如）代表一種運(yùn)算，如 加、減、乘、除、微分、積分等；在量子力學(xué)中，加、減、乘、除、微分、積分等；在量子力學(xué)中，算符代表算符代表對波函數(shù)（量子態(tài)）的一種運(yùn)算對波函數(shù)（量子態(tài)）的一種運(yùn)算，例如，例如2* .ddx 、經(jīng)典力學(xué)經(jīng)典力學(xué) 力學(xué)量是一個(gè)數(shù)力學(xué)量是一個(gè)數(shù)，如坐標(biāo)，如坐標(biāo)r、動(dòng)量、動(dòng)量p、 能量能量E、角動(dòng)

39、量、角動(dòng)量l等；等；量子力學(xué)量子力學(xué) 力學(xué)量是一個(gè)算符力學(xué)量是一個(gè)算符，用其經(jīng)典力學(xué)量，用其經(jīng)典力學(xué)量 符號上方加符號上方加“ ”表示，如：表示，如：rrvv坐標(biāo)算符坐標(biāo)算符ppvv動(dòng)量算符動(dòng)量算符返回返回（2 2）力學(xué)量為何要用算符表示力學(xué)量為何要用算符表示 先回到上一個(gè)問題：先回到上一個(gè)問題：“如何計(jì)算動(dòng)量平均值如何計(jì)算動(dòng)量平均值”？在在坐標(biāo)表象坐標(biāo)表象中，動(dòng)量平均值中，動(dòng)量平均值 * (3)prpr dr vv vvv該式無法計(jì)算?，F(xiàn)改用該式無法計(jì)算?，F(xiàn)改用動(dòng)量表象動(dòng)量表象，動(dòng)量平均值，動(dòng)量平均值*： *pp pp dp vv vvv代入波函數(shù)代入波函數(shù) (p)(p)的傅里葉變換式：的傅

40、里葉變換式：321( )( )(2)ip rpr edrv vhvvvh*3 21( )( ) (2)ip rpr epp drdp v vhvvvvv vhip repv vhv得到得到iip rp repie v vv vhhvh3 21*( )(2)( )ip reppprdidr v vhvhhvvvv3 21= *)( )(2( ip rer drp dpiv vhvvhvvh *( )( )prir dr vvvvh *( )( )prir dr vvvvh結(jié)果又回到了坐標(biāo)表象！結(jié)果又回到了坐標(biāo)表象！對比對比(3)式：式： * (3)prpr dr vv vvv原來在坐標(biāo)表象中由于

41、動(dòng)量原來在坐標(biāo)表象中由于動(dòng)量p p不能寫成不能寫成r r的函數(shù)形式，的函數(shù)形式，導(dǎo)致導(dǎo)致(3(3）式不能計(jì)算。現(xiàn)在只要將動(dòng)量）式不能計(jì)算?，F(xiàn)在只要將動(dòng)量p p改造成算改造成算符符ppi vvh形式，就能形式，就能直接使用坐標(biāo)表象中的波函數(shù)直接使用坐標(biāo)表象中的波函數(shù)(r)(r)計(jì)計(jì)算平均值！算平均值！ 力學(xué)量改造成與經(jīng)典力學(xué)不同的算符形式稱為力學(xué)量改造成與經(jīng)典力學(xué)不同的算符形式稱為第第一次量子化一次量子化，其，其根源在于根源在于微觀粒子的微觀粒子的波粒二象性波粒二象性。波粒二象性波粒二象性波函數(shù)做波函數(shù)做幾率解釋幾率解釋測量力學(xué)量測量力學(xué)量出現(xiàn)一系列出現(xiàn)一系列可能值可能值計(jì)算力學(xué)量計(jì)算力學(xué)量平均

42、值須引平均值須引入算符入算符 *, (4)Fr Fr drF vv v一般地一般地返回返回（3 3）力學(xué)量算符力學(xué)量算符 表達(dá)式表達(dá)式F那么，如何得到那么，如何得到(4)(4)式中算符式中算符 的具體形式？的具體形式？Fl 坐標(biāo)算符坐標(biāo)算符l 動(dòng)量算符動(dòng)量算符pi vh (); 1 xxrr）維維（3vv* ()()rrrrdr vv vvv坐標(biāo)表象坐標(biāo)表象對比對比(4)式即得式即得動(dòng)量算符在直角坐標(biāo)動(dòng)量算符在直角坐標(biāo)系的分量形式？系的分量形式？其它其它力學(xué)量算符可按下述規(guī)則寫出：力學(xué)量算符可按下述規(guī)則寫出：如果量子力學(xué)中的力學(xué)量如果量子力學(xué)中的力學(xué)量F 在經(jīng)典力學(xué)中有對在經(jīng)典力學(xué)中有對應(yīng)的力

43、學(xué)量，則表示這個(gè)力學(xué)量的算符應(yīng)的力學(xué)量，則表示這個(gè)力學(xué)量的算符 由經(jīng)由經(jīng)典表示式典表示式F(r,p)中將中將p換成算符換成算符 而得出，即而得出，即Fpv ,FF r pFF r pF ri v vv vvhl 角動(dòng)量算符角動(dòng)量算符lrpi r vvvvh經(jīng)典式經(jīng)典式lrpvvv()()()xzyyxzzyxlypzpiyzzylzpxpizxxzlxpypixyyx 三個(gè)直角分量三個(gè)直角分量l 勢能算符勢能算符 V rV rvv即勢能算符等于勢能自身！即勢能算符等于勢能自身！為什么？為什么？你能寫出動(dòng)能算符？你能寫出動(dòng)能算符？l 動(dòng)能算符動(dòng)能算符2222p pTmm v vhl 能量算符（哈

44、密頓算符）能量算符（哈密頓算符）粒子的能量粒子的能量 22pEV rmv在經(jīng)典力學(xué)中稱之為哈密頓（在經(jīng)典力學(xué)中稱之為哈密頓（HamiltonHamilton）函數(shù)，）函數(shù)，故相應(yīng)的算符又稱哈密頓算符，用故相應(yīng)的算符又稱哈密頓算符，用 表示表示H 222HTV rV rm hvv注：注：以上給出的都是以上給出的都是坐標(biāo)表象坐標(biāo)表象中算符的具體形式中算符的具體形式在不同的表象中，算符的表示式會不同！在不同的表象中，算符的表示式會不同！ 在在自身表象中，算符的形式最簡單自身表象中，算符的形式最簡單(等于自身等于自身)！例如例如pipp vhvv坐標(biāo)表象坐標(biāo)表象動(dòng)量表象動(dòng)量表象( (自身表象自身表象)

45、 )rrripvvvhv坐標(biāo)表象坐標(biāo)表象(自身表象自身表象)動(dòng)量表象動(dòng)量表象(見教程見教程p14思考題思考題)為什么？為什么？本節(jié)例題本節(jié)例題例題例題1 1：一維諧振子處在基態(tài)（一維諧振子處在基態(tài)（ 為諧振子折合質(zhì)量為諧振子折合質(zhì)量） 求：求：(1)(1)勢能的平均值；勢能的平均值； (2)(2)動(dòng)能的平均值；動(dòng)能的平均值； (3)(3)動(dòng)量的概率分布函數(shù)。動(dòng)量的概率分布函數(shù)。 2222; xitxe解：（解：（1）一維諧振子的勢能一維諧振子的勢能 2212Vxx 2222*1 2xVx Vxxdedxx 勢能的平均值勢能的平均值2222211112222V 221 3 5212naxnnnx

46、 edxaa L利用積分公式利用積分公式（I I）14V h（2） 動(dòng)能平均值動(dòng)能平均值 *Tx Tx dx 力學(xué)量算符須夾力學(xué)量算符須夾在在* *和和之間之間222222222pdTdx hh2222222222()xxdTeedxdx h22232212xTxedx h2222222222()xxdTeedxdx h222222322xxedxx edxh2xedx利用積分公式利用積分公式及及(I)(I)式式14T h（3） 動(dòng)量的概率分布函數(shù)（概率密度）動(dòng)量的概率分布函數(shù)（概率密度）1( , )( )2ipxp tx edxhvh222212xipitxeedxhh22222222212

47、ippxiteedxehhh222221ipteehh22222122ipteehh 動(dòng)量的概率分布函數(shù)動(dòng)量的概率分布函數(shù): :22221,pp tehh例題例題2 2：證明在一維情況下，動(dòng)量表象中的坐標(biāo)算符證明在一維情況下，動(dòng)量表象中的坐標(biāo)算符本節(jié)例題本節(jié)例題 xip h證明：在動(dòng)量表象下，坐標(biāo)證明：在動(dòng)量表象下，坐標(biāo)x的平均值的平均值 *xpp dxp 而在坐標(biāo)表象下，坐標(biāo)而在坐標(biāo)表象下，坐標(biāo)x的平均值的平均值 *xxxxx d 使用波函數(shù)使用波函數(shù) (x)(x)的傅里葉變換式：的傅里葉變換式：121( )( )(2)ip xxp edphh 1*2iip xpxxxp ep edp dp

48、dx hhh代人上面第二式，得到代人上面第二式，得到 1*2iip xpxpp dp dpexedx hhhiipxpxxeiep hhh其中其中 1*2iip xpxxpp dp dpeiedxp ippxiedxp 22ippp 利用了利用了 2ikxedxk *xippppdpdpp ppp dpppp *xpipdpppip dpp 附錄附錄A2（23）式）式因此坐標(biāo)表象下，因此坐標(biāo)表象下，x平均值平均值應(yīng)該和動(dòng)量表象下，坐標(biāo)應(yīng)該和動(dòng)量表象下，坐標(biāo)x的平均值相等的平均值相等: *xp xp dp 對比兩式，得到動(dòng)量表象下，坐標(biāo)對比兩式，得到動(dòng)量表象下，坐標(biāo)x的算符形式：的算符形式： x

49、ip 推廣到三維情況：推廣到三維情況：= priip 得證！得證！ *()xpip dpp 3 Schrdinger Schrdinger 方程方程 （一）（一） 引言引言 （二）（二） 自由粒子滿足的方程自由粒子滿足的方程 （三）（三） 勢場勢場 V(r) 中運(yùn)動(dòng)的粒子中運(yùn)動(dòng)的粒子 （四）（四） 定域的幾率守恒定域的幾率守恒（五）（五） 定態(tài)和非定態(tài)定態(tài)和非定態(tài)（六）（六） 多粒子體系的多粒子體系的Schrdinger方程方程(1)(1) 在各種具體情況下，在各種具體情況下，找出找出描述體系狀描述體系狀 態(tài)的各種可能的態(tài)的各種可能的波函數(shù)；波函數(shù)； (2) (2) 波函數(shù)如何隨時(shí)間演化波函數(shù)

50、如何隨時(shí)間演化。( (據(jù)此可知據(jù)此可知 體系任意時(shí)刻的狀態(tài)體系任意時(shí)刻的狀態(tài)) ) 微觀粒子量子狀態(tài)用波函數(shù)完全描述微觀粒子量子狀態(tài)用波函數(shù)完全描述，波函數(shù)確，波函數(shù)確定之后，粒子的任何一個(gè)力學(xué)量的定之后，粒子的任何一個(gè)力學(xué)量的平均值平均值及其測量及其測量的的可能值可能值和相應(yīng)的和相應(yīng)的幾率幾率分布也都被完全確定。因此分布也都被完全確定。因此量子力學(xué)最核心的問題就是要解決以下兩個(gè)問題：量子力學(xué)最核心的問題就是要解決以下兩個(gè)問題：（一）（一） 引言引言目標(biāo)：目標(biāo)： 建立一個(gè)關(guān)于波函數(shù)的建立一個(gè)關(guān)于波函數(shù)的含時(shí)含時(shí)的微分的微分 方程方程 薛定諤方程薛定諤方程(1926)(1926)。 下面從最簡單

51、的情況下面從最簡單的情況自由粒子自由粒子著手，建立上著手，建立上述方程，然后再推廣到一般的情況，即述方程，然后再推廣到一般的情況，即力場中的力場中的粒子粒子情形。情形。（二）（二）自由粒子滿足的方程自由粒子滿足的方程 )(EtrPiAe 描寫自由粒子的波函數(shù)應(yīng)是所要建立的方程的解。 將上式對時(shí)間微商，得 iEtiEt (5)這不是所要尋找的方程，因?yàn)樗瑺顟B(tài)參量E，方方程程(5)(5)只能被粒子特定的狀態(tài)所滿足，而不能為各種只能被粒子特定的狀態(tài)所滿足，而不能為各種可能的狀態(tài)所滿足可能的狀態(tài)所滿足。將對坐標(biāo)二次微商，得222222222222 , yxzpppxyz ， 12222222222

52、zyxpppzyx222222(61 )22hpmmp - -(5) (6) 式222()()22piEtmm 22pEm自由粒子故自由粒子滿足的波動(dòng)方程：222itm （7）討論：討論： 根據(jù)根據(jù)(5)(5)式，粒子能量式，粒子能量E E和作用在波函數(shù)上的算符和作用在波函數(shù)上的算符 相當(dāng)，即相當(dāng)，即 （能量算符的另一種表示式）。（能量算符的另一種表示式）。 it Eit 根據(jù)經(jīng)典的能量關(guān)系根據(jù)經(jīng)典的能量關(guān)系E = p2/2m， 將其寫成如下方程形式：將其寫成如下方程形式：2=2pEm2222; Eitpp （8）做下列算符替換，即可得方程做下列算符替換，即可得方程(7)式。這意味著，在量子論

53、中式。這意味著，在量子論中物理量物理量E 和和p2應(yīng)該看成算符：應(yīng)該看成算符：（三）勢場中運(yùn)動(dòng)的粒子（自由粒子的推廣）（三）勢場中運(yùn)動(dòng)的粒子（自由粒子的推廣）若粒子處于勢場若粒子處于勢場V(r)中運(yùn)動(dòng)，則能量關(guān)系變?yōu)椋褐羞\(yùn)動(dòng)，則能量關(guān)系變?yōu)椋?( )2pEV rHm對其做（對其做（8 8）式的算符替換，并作用于波函數(shù)后有）式的算符替換，并作用于波函數(shù)后有22( , )( ) ( , )( , )2ir tV rr tHr ttm （9 9）式中，體系的兩個(gè)能量算符式中，體系的兩個(gè)能量算符 和和 完全相當(dāng)，因其對波函數(shù)作用結(jié)果相同。完全相當(dāng)，因其對波函數(shù)作用結(jié)果相同。it 222( )mV r

54、方程方程(9)(9)稱為稱為含時(shí)含時(shí)SchrSchrdingerdinger方程，方程，也稱也稱波動(dòng)方程波動(dòng)方程。（V = 0即自由粒子）即自由粒子）薛定諤方程的幾點(diǎn)說明：薛定諤方程的幾點(diǎn)說明：（1 1） 薛定諤方程是薛定諤方程是量子力學(xué)的一個(gè)基本假定量子力學(xué)的一個(gè)基本假定，它，它不能從其他更基本的理論來獲得證明（不能從其他更基本的理論來獲得證明（前面只是通過前面只是通過導(dǎo)引來建立方程的導(dǎo)引來建立方程的），其正確性只能通過在具體情況下），其正確性只能通過在具體情況下由方程得出的結(jié)論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比較來驗(yàn)證。由方程得出的結(jié)論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比較來驗(yàn)證。（2 2） 求解薛定諤方程，可以得到任何情況下體系

55、求解薛定諤方程，可以得到任何情況下體系的波函數(shù)，以及波函數(shù)隨時(shí)間的演化規(guī)律。只要給的波函數(shù)，以及波函數(shù)隨時(shí)間的演化規(guī)律。只要給定初值條件定初值條件 (r(r0 0,t,t0 0) )，即初態(tài)，就可以得到體系在，即初態(tài)，就可以得到體系在任意時(shí)刻的狀態(tài)。所以，任意時(shí)刻的狀態(tài)。所以，薛定諤方程反映了微觀粒薛定諤方程反映了微觀粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律，是量子力學(xué)中最基本的方程，其地位子運(yùn)動(dòng)規(guī)律，是量子力學(xué)中最基本的方程，其地位和經(jīng)典力學(xué)中的牛頓方程相當(dāng)和經(jīng)典力學(xué)中的牛頓方程相當(dāng)。（3 3） 薛定諤方程是復(fù)數(shù)方程，其解薛定諤方程是復(fù)數(shù)方程，其解 (r,t)(r,t)顯然是顯然是復(fù)數(shù)。因此在復(fù)數(shù)。因此在量子力學(xué)中體系

56、的波函數(shù)只能是復(fù)數(shù)量子力學(xué)中體系的波函數(shù)只能是復(fù)數(shù)表示表示。而且波函數(shù)本身不是可觀測量，從這個(gè)角度。而且波函數(shù)本身不是可觀測量，從這個(gè)角度說波函數(shù)也不能是實(shí)數(shù)，因?yàn)槲锢砩系目捎^測量一說波函數(shù)也不能是實(shí)數(shù)，因?yàn)槲锢砩系目捎^測量一定是實(shí)數(shù)。定是實(shí)數(shù)。（5 5） 薛定諤方程是薛定諤方程是非相對論的非相對論的，在相對論情況下，在相對論情況下由狄拉克方程取代。由狄拉克方程取代。（6 6） 在極限的情況下，薛定諤方程滿足對應(yīng)原理：在極限的情況下，薛定諤方程滿足對應(yīng)原理：當(dāng)當(dāng) 時(shí)，它能過渡到經(jīng)典力學(xué)的運(yùn)動(dòng)方程。時(shí)，它能過渡到經(jīng)典力學(xué)的運(yùn)動(dòng)方程。（ 進(jìn)入運(yùn)動(dòng)方程是量子化的基本特征進(jìn)入運(yùn)動(dòng)方程是量子化的基本特征

57、）0（4 4） 薛定諤薛定諤方程的解方程的解（波函數(shù)）要（波函數(shù)）要滿足歸一化和滿足歸一化和標(biāo)準(zhǔn)化條件標(biāo)準(zhǔn)化條件。返回返回方程的解方程的解 (r,t)代表代表坐標(biāo)表象下的波函數(shù)下的波函數(shù)（四）（四）定域的幾率守恒定域的幾率守恒 在討論了狀態(tài)或波函數(shù)隨時(shí)間變化的規(guī)律后，我們在討論了狀態(tài)或波函數(shù)隨時(shí)間變化的規(guī)律后，我們進(jìn)一步進(jìn)一步討論粒子在一定空間區(qū)域（討論粒子在一定空間區(qū)域（定域定域）內(nèi)出現(xiàn)的幾）內(nèi)出現(xiàn)的幾率將怎樣隨時(shí)間變化率將怎樣隨時(shí)間變化。 粒子在粒子在 t 時(shí)刻時(shí)刻 r 點(diǎn)周圍單點(diǎn)周圍單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率即幾率密度是：位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率即幾率密度是：2|),(|),(),(),(t

58、rtrtrtr 在非相對論情況下，因沒有粒子的產(chǎn)生和湮滅問題，在非相對論情況下，因沒有粒子的產(chǎn)生和湮滅問題，粒子數(shù)保持不變。對粒子數(shù)保持不變。對一個(gè)粒子而言，在全空間找到它一個(gè)粒子而言，在全空間找到它的幾率總和應(yīng)不隨時(shí)間改變的幾率總和應(yīng)不隨時(shí)間改變，即，即 ,0 dr t drdt (10)(10)總幾率守恒總幾率守恒 證明：考慮考慮 SchrSchrdinger dinger 方程及其共軛形式：方程及其共軛形式： ()iVtm 22112()iVtm 22122VV *將將 * *（1111） （1212）式得）式得2222 iittm 22（） itm 2222 iittm 22（） di

59、dddtm 在空間閉區(qū)域在空間閉區(qū)域中將上式積分，則有：中將上式積分，則有： 2（） didddtm 2 iJm *( , ) r t 令令概率密度概率密度J是什么呢？是什么呢？( , ) dr t dJddt dS S 使用使用 Gauss 定理定理(散度定理散度定理) ( , )Sdr t dJdSdt r rr rr r （1313） ( , )Sdr t dJdSdt r rr rr r （1313）閉區(qū)域閉區(qū)域上找到粒子上找到粒子的幾率的幾率( (粒子數(shù)粒子數(shù)) )在單在單位時(shí)間內(nèi)的增量位時(shí)間內(nèi)的增量單位時(shí)間內(nèi)通過單位時(shí)間內(nèi)通過的封閉的封閉表面表面S S流入（積分前的負(fù)號）流入（積分

60、前的負(fù)號）內(nèi)的幾率內(nèi)的幾率( (粒子數(shù)粒子數(shù)) )所以所以(13)(13)式是式是定域定域的的幾率幾率( (粒子數(shù)粒子數(shù)) )守恒守恒的積分表示式。的積分表示式。J是是幾率流幾率流( (粒子流粒子流) )密度密度，是一矢量。，是一矢量。0Jt 量子力學(xué)的連續(xù)性方程量子力學(xué)的連續(xù)性方程幾率幾率( (粒子數(shù)粒子數(shù)) )守恒守恒的微分表示式：的微分表示式： 令令Eq.(13)Eq.(13)趨于趨于，即讓積分對全空間進(jìn)行，即讓積分對全空間進(jìn)行，考慮到任何真實(shí)的波函數(shù)應(yīng)該是平方可積的，波函考慮到任何真實(shí)的波函數(shù)應(yīng)該是平方可積的，波函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處為零，則式右面積分趨于零，于是數(shù)在無窮遠(yuǎn)處為零，則式右面積分