第四章柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面

1、解析幾何授課教師 舒級第四章第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 1、柱面、柱面 2、錐面、錐面 3、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面 4、橢球面、橢球面 5、雙曲面、雙曲面 6、拋物面、拋物面 7、單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線、單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線第一節(jié)第一節(jié) 柱面柱面定義定義平行于定方向并與定曲線相交的一族平行平行于定方向并與定曲線相交的一族平行直線所形成的曲面稱為柱面直線所形成的曲面稱為柱面. .定曲線叫柱面的定曲線叫柱面的準線準線，定方向叫柱面的方向，定方向叫柱面的方向,平行直線中的每一條直線都叫柱面的平行直線中的每一條直線都叫柱面的母線

2、母線.設柱面的準線為設柱面的準線為) 1 (0),(0),(21zyxFzyxF母線的方向數(shù)為母線的方向數(shù)為X,Y,Z。如果。如果M1(x1,y1,z1)為準線為準線上一點，則過點上一點，則過點M1的母線方程為的母線方程為)2(111ZzzYyyXxx且有且有F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0 (3)從（從（2）（）（3）共四個式子中消去參數(shù)）共四個式子中消去參數(shù)x1,y1,z1得得F(x,y,z)=0這就是以這就是以（1 1）為準線，母線的方向數(shù)為為準線，母線的方向數(shù)為X，Y，Z的的柱面的方程。柱面的方程。M1(x1,y1,z1)滿足方程方向為v=X,Y,X0),(0

3、),(21zyxFzyxF準線L方程為L過M1的母線為M(x,y,z)為母線上任一點)2(111ZzzYyyXxx0),(0),(11121111zyxFzyxF柱面舉例柱面舉例xozyxozyxy22 拋物柱面拋物柱面xy 平面平面例例1、柱面的準線方程為、柱面的準線方程為2221222222zyxzyx而母線的方向數(shù)為而母線的方向數(shù)為-1-1，0 0，1 1，求這柱面的方程。，求這柱面的方程。解： 設M1(x1,y1,z1)是準線上的點，則過M1的母線為101111zzyyxx且有, 1212121zyx, 222212121zyx（4）（5）再設tzzyyxx101111則有x1=x+t

4、, y1=y, z1=z-t(6)(6)代入（4）,（5）得, 1)()(222tzytx, 2)(2)(2222tzytx(7)(8)由(7),(8)得, 0)(2tz所以t=z(9)(9)代入(7)或(8)即得所求柱面方程, 1)(22yzx即, 012222xzzyx例例2、已知圓柱面的軸為、已知圓柱面的軸為21211zyx點點（1,-2,1)1,-2,1)在此在此圓柱面上，求這個柱面的方程圓柱面上，求這個柱面的方程。解法一：因為圓柱面的母線平行于其軸，所以母線的方向數(shù)即為軸的方向數(shù)1，-2，-2. 現(xiàn)在還需要找出準線圓. 由于空間圓總可以看作是球面和平面的交線, 這里的準線圓可以看成是

5、以軸上的點(0,1,-1)為球心, 點(0,1,-1)到已知點(1,-2,1)的距離14d為半徑的球面 x2+(y-1)2+(z+1)2=14 與 過已知點(1,-2,1)且垂直于軸的平面 x-2y-2z-3=0 的交線, 即準線圓的方程為032214) 1() 1(222zyxzyx再設 (x1,y1,z1) 為準線圓(10)上的點, 則過(x1,y1,z1)的母線為(10)221111zzyyxx并且有0322,14) 1() 1(111212121zyxzyx由以上四式可以消去參數(shù) x1,y1,z1 , 即得所求圓柱面的方程0991818844558222zyyzxzxyzyx解法二:由

6、于圓柱面是一個特殊的柱面, 它可以看作是到動點到軸線等距離的點的軌跡.因為軸的方向向量為 v=1,-2,-2, 軸上的定點為 M0(0,1,-1), 而圓柱面上的點為 M1(1,-2,1), 所以 =1,-3,2, 因此點M1(1,-2,1) 到軸10MM的距離為1310vvMMd再設點 M(x,y,z) 為圓柱面上的任意點, 則有 130vvMM即13)2()2(1211121221122222yxxzzy化簡整理可得所求圓柱面方程0991818844558222zyyzxzxyzyxLM0(0,1,-1)M1(1,-2,1)下面給出一個用來判別柱面的定理定理4.1.1: 在空間直角坐標系中

7、, 只含兩個元(坐標)的三元方程表示 的曲面是一個柱面, 它的母線平行于所缺元(坐標)的同名坐標軸.例如:.2, 1, 1222222222pxybyaxbyax(4.1-1)(4.1-1)(4.1-3)分別表示橢圓柱面, 雙曲柱面, 拋物柱面, 其母線都平行于z軸.如圖所示zzzxyxxyyooo2. 空間曲線的射影柱面設空間曲線為. 0),(, 0),(:zyxGzyxFL(15)上述方程分別消去 x,y,x 可得三個方程 , 0),(, 0),(, 0),(321zyFzxFyxF顯然這是三個柱面方程, 而且它們兩兩構(gòu)成的方程組與(15)等價我們稱這三個拄面為空間曲線(15)分別對坐標面

8、xoy, xoz, yoz 的射影柱面. 而曲線. 0, 0),(1zyxF. 0, 0),(2yzxF. 0, 0),(1xzyF分別稱為空間曲線(15)分別對坐標面xoy, xoz, yoz 的射影曲線,也可以看作是前三個射影柱面的一條準線.注記: 要得到曲線的射影柱面只需消去相應的元(坐標), 而求射影曲線只需令相應的坐標為0, 與射影柱面方程聯(lián)立即可.例3: 求下列空間曲線對三個坐標面的射影柱面和射影曲線方程1022xzzyx解: 分別消去 x,y,z 得柱面方程0122xyx0) 1(22zyz1 xz而射影曲線為00122zxyx00) 1(22xzyz01yxz第二節(jié)第二節(jié) 錐面

9、錐面)1 (0),(0),(21zyxFzyxF一、錐面一、錐面1 1、定義、定義 在空間，通過一定點且與定曲線相交的一族在空間，通過一定點且與定曲線相交的一族直線所產(chǎn)生的曲面稱為錐面，這些直線都稱為錐面的直線所產(chǎn)生的曲面稱為錐面，這些直線都稱為錐面的母線，定點稱為錐面的頂點，定曲線稱為錐面的準線。母線，定點稱為錐面的頂點，定曲線稱為錐面的準線。2 2、錐面的方程、錐面的方程設錐面的準線為設錐面的準線為頂點為頂點為A(xA(x0 0,y,y0 0,z,z0 0) )，如果，如果M M1 1(x(x1 1,y,y1 1,z,z1 1) )為準線上任一點，為準線上任一點，則錐面過點則錐面過點M M

10、1 1的母線為：的母線為：)2(010010010zzzzyyyyxxxx且有且有F1(x1,y1,z1)=0F2(x1,y1,z1)=0 （3）從（從（2 2）（）（3 3）中消去參數(shù)）中消去參數(shù)x x1 1,y,y1 1,z,z1 1得三元方程得三元方程F(x,y,z)=0這就是以（這就是以（1 1）為準線，以）為準線，以A A為頂點的錐面方程。為頂點的錐面方程。A(x0,y0,z0)LM1(x1,y1,z1)例例1 1：錐面的頂點在原點錐面的頂點在原點, , 且準線為且準線為czbyax12222求錐面的方程求錐面的方程. .解解: :設設 M M1 1(x(x1 1,y,y1 1,z,

11、z1 1) ) 為準線上的點為準線上的點, , 則過則過M M1 1的母線為的母線為111zzyyxx并且有并且有(4)czbyax1221221, 1(5)(6)由由(4),(6)(4),(6)得得zycyzxcx11,(7)將將(7)(7)代入代入(5)(5)即得所求錐面方程即得所求錐面方程, 122222222zbyczaxc或改寫為或改寫為0222222czbyax這個錐面叫二次錐面這個錐面叫二次錐面. . 另外另外, , 錐面的準線不唯一錐面的準線不唯一. .例例2: 2: 已知圓錐面的頂點為已知圓錐面的頂點為(1,2,3), (1,2,3), 軸垂直于平面軸垂直于平面 2 2x+2

12、y-z+1=0,x+2y-z+1=0,母線于軸成母線于軸成 角角， 30 試求這圓錐面的方程。試求這圓錐面的方程。解解: : 設設M(x,y,z)M(x,y,z)為任意母線上的點為任意母線上的點, , 那么過那么過M M點的母線方向向量為點的母線方向向量為3, 2, 1zyxv而在直角坐標系下而在直角坐標系下, , 圓錐面的軸線的方向即為平面圓錐面的軸線的方向即為平面 2 2x+2y-z+1=0 x+2y-z+1=0的法方向的法方向 1, 2 , 2n根據(jù)題意有根據(jù)題意有30cosnvnv可得可得23144.)3()2() 1()3()2(2) 1(2222zyxzyx化簡得所求圓錐面方程化簡

13、得所求圓錐面方程0)3)(2(16)3)(1(16)2)(1(32)3(23)2(11) 1(11222zyzxyxzyx上述解法是特殊解法上述解法是特殊解法, , 對于一般解法留給大家課后去做對于一般解法留給大家課后去做. .定理定理 一個關(guān)于一個關(guān)于x,y,zx,y,z的齊次方程總表示頂點在坐標的齊次方程總表示頂點在坐標原點的錐面原點的錐面。齊次方程齊次方程：設設為實數(shù)，對于函數(shù)為實數(shù)，對于函數(shù)f(x,y,z)f(x,y,z)，如果有，如果有f(tx,ty,tz)=tf(x,y,z)則稱則稱f(x,y,z)f(x,y,z)為為的齊次函數(shù)，的齊次函數(shù)，f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0

14、稱為齊次稱為齊次方程。方程。例如，方程例如，方程 x2+y2- -z2=0圓錐面圓錐面又如，方程又如，方程 x2+y2+z2=0原點（虛錐面）原點（虛錐面）推論推論 一個關(guān)于一個關(guān)于x-xx-x0 0, y-y, y-y0 0, z-z, z-z0 0的齊次方程總表示頂點在的齊次方程總表示頂點在( (x x0 0,y,y0 0,z,z0 0) )的錐面的錐面。例如：例例如：例2 2中所得方程中所得方程0)3)(2(16)3)(1(16)2)(1(32)3(23)2(11) 1(11222zyzxyxzyx表示頂點在表示頂點在 (1,2,3) (1,2,3) 的錐面的錐面. .第三節(jié)第三節(jié) 旋轉(zhuǎn)

15、曲面旋轉(zhuǎn)曲面一、一、 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面1、 定義定義: : 空間曲線空間曲線C C繞一條定直線旋轉(zhuǎn)一周繞一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面, , 這條定這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸軸. .曲線曲線C C稱為稱為旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的母線母線oC緯線緯線經(jīng)線經(jīng)線二、旋轉(zhuǎn)曲面的方程二、旋轉(zhuǎn)曲面的方程在空間坐標系中，設旋轉(zhuǎn)曲面的母線為：在空間坐標系中，設旋轉(zhuǎn)曲面的母線為：)1 (0),(0),(:21zyxFzyxFC旋轉(zhuǎn)直線為：旋轉(zhuǎn)直線為：)2(:000ZzzYyyXxxL其中其中P P0 0(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0) )為軸為軸L L上一定

16、點，上一定點，X X，Y Y，Z Z為旋轉(zhuǎn)軸為旋轉(zhuǎn)軸L L的方向數(shù)。的方向數(shù)。設設M M1 1(x(x1 1,y,y1 1,z,z1 1) )為母線為母線C C上的任意點，則上的任意點，則M M1 1的緯圓總的緯圓總可以看成是過可以看成是過M M1 1且垂直于旋轉(zhuǎn)軸且垂直于旋轉(zhuǎn)軸L L的平面與以的平面與以P P0 0為中為中心，心，|P|P0 0M M1 1| |為半徑的球面的交線。為半徑的球面的交線。所以過所以過M M1 1的緯圓的方程為：的緯圓的方程為()()()()()() 3 (0)()()(zzyyxxzzyyxxzzZyyYxxX 當點當點M

17、 M1 1跑遍整個母線跑遍整個母線C C時，就得到所有的緯圓，時，就得到所有的緯圓，這些緯圓就生成旋轉(zhuǎn)曲面這些緯圓就生成旋轉(zhuǎn)曲面。又由于又由于M M1 1在母線上，所以又有：在母線上，所以又有：)4(0),(0),(:11121111zyxFzyxFC從（從（3 3）（）（4 4）的四個等式中消去參數(shù)）的四個等式中消去參數(shù)x x1 1,y,y1 1,z,z1 1, ,得到一得到一個三元方程：個三元方程：F(x,y,z)=0這就是以這就是以C C為母線，為母線，L L為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。例例1 1、求直線、求直線0112zyx繞直線繞直線x=y=zx=y=z旋轉(zhuǎn)所

18、得旋轉(zhuǎn)曲面的方程。旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程。解：設解：設M M1 1(x(x1 1,y,y1 1,z,z1 1) )是母線上的任意點，因為旋轉(zhuǎn)軸是母線上的任意點，因為旋轉(zhuǎn)軸通過原點，所以過通過原點，所以過M M1 1的緯圓方程是：的緯圓方程是：2121212221110)()()(zyxzyxzzyyxx又由于又由于M M1 1在母線上，所以又有：在母線上，所以又有：0112111zyx即即 x x1 1=2y=2y1 1,z,z1 1=1,=1,消去消去x x1 1,y,y1 1,z,z1 1得所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程：得所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程：2(x2+y2+z2)-5(xy+yz+zx)+5(x+y

19、+z)-7=0。三、母線在坐標面而旋轉(zhuǎn)軸為坐標軸的旋轉(zhuǎn)曲面：三、母線在坐標面而旋轉(zhuǎn)軸為坐標軸的旋轉(zhuǎn)曲面： 如圖，如圖， 設旋轉(zhuǎn)曲面的母線為設旋轉(zhuǎn)曲面的母線為xozy), 0(111zyM 00),(:xzyF旋轉(zhuǎn)軸為旋轉(zhuǎn)軸為z z軸軸100zyx如果如果M M1 1(0,y(0,y1 1,z,z1 1) )為母線為母線 上的上的任意點，則過任意點，則過M M1 1的緯圓為的緯圓為（10）（11）212122210zyzyxzz且有且有0),(11zyF（12）（13）（14）由由(12),(13),(14)(12),(13),(14)消去參數(shù)消去參數(shù)y y1 1, z, z1 1, , 得所求

20、旋轉(zhuǎn)曲面方程得所求旋轉(zhuǎn)曲面方程0) ,(22zyxFyoz坐坐標標面面上上的的曲曲線線繞繞 z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面方方程程. . 同理：同理：yoz坐標面上的曲線繞坐標面上的曲線繞 y軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周的的旋轉(zhuǎn)曲面方程旋轉(zhuǎn)曲面方程為為 . 0,22zxyF即即規(guī)律：規(guī)律： 當坐標平面上的曲線當坐標平面上的曲線C C繞此坐標平面的一個坐標繞此坐標平面的一個坐標旋轉(zhuǎn)時，要求該旋轉(zhuǎn)曲面的方程，只要將曲線旋轉(zhuǎn)時，要求該旋轉(zhuǎn)曲面的方程，只要將曲線C C在在坐標面里的方程保留和旋轉(zhuǎn)軸同名的坐標，而以其坐標面里的方程保留和旋轉(zhuǎn)軸同名的坐標，而以其它兩個坐標平方和的平方根來代替方程中的另

21、一坐它兩個坐標平方和的平方根來代替方程中的另一坐標。標。例例2 2 將下列各曲線繞對應的軸旋轉(zhuǎn)一周，將下列各曲線繞對應的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) 122222 czyax122222 czayx旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)雙曲面（單葉）（單葉）（雙葉）（雙葉）（1）雙曲線）雙曲線分別繞分別繞x軸和軸和z軸旋轉(zhuǎn)；軸旋轉(zhuǎn)；0, 12222yczax例例3 3、將圓、將圓0)0()(222xabazby繞繞Z Z軸旋轉(zhuǎn)，求所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程。軸旋轉(zhuǎn)，求所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程。解：所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程為：解：所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程為：22222)(azby

22、x即：即：(x2+y2+z2+b2-a2)2=4b2(x2+y2)該曲面稱為圓環(huán)面。該曲面稱為圓環(huán)面。（2）橢橢圓圓 012222xczay繞繞y軸軸和和z軸軸； 繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 繞繞z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 122222 czxay122222 czayx旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面（3）拋拋物物線線 022xpzy繞繞z軸軸； pzyx222 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面（長形）（長形）（短形）（短形）二次曲面的定義：二次曲面的定義：三元二次方程三元二次方程相應地平面被稱為相應地平面被稱為一次曲面一次曲面討論二次曲面性狀的討論二次曲面性狀的平行截割法平行截割法： 用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面用坐標面和平行

23、于坐標面的平面與曲面相截，考察其交線（即截口）的形狀，然后相截，考察其交線（即截口）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌加以綜合，從而了解曲面的全貌以下用截割法討論幾種特殊的二次曲面以下用截割法討論幾種特殊的二次曲面一、基本內(nèi)容、基本內(nèi)容所表示的曲面稱之為二次曲面所表示的曲面稱之為二次曲面ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0第四節(jié)第四節(jié) 幾類常見二次曲面幾類常見二次曲面zoxyO2 用平面用平面z z = = k k去截割去截割( (要求要求 | |k k | | c c), ), 得橢圓得橢圓kzckbyax2222

24、221當當 | |k k | | c c 時時, |, |k k | |越大越大, , 橢圓越小橢圓越小; ;當當 | |k k | = | = c c 時時, , 橢圓退縮成點橢圓退縮成點.二二. . 幾種常見二次曲面幾種常見二次曲面.（一）橢球面（一）橢球面1 用平面用平面z z = 0= 0去截割去截割, , 得橢圓得橢圓012222zbyax1222222czbyax這里這里 .0cba( (標準方程標準方程) )3 類似地類似地, , 依次用平面依次用平面x x = 0,= 0,平面平面y y = 0= 0截截割割, , 得橢圓得橢圓: :,012222xczby.012222ycz

25、ax特別特別: : 當當a=b=ca=b=c時時, , 方程方程x x2 2 + + y y2 2 + + z z2 2 = = a a2 2 , , 表示球心在原點表示球心在原點o o, , 半徑為半徑為a a的球面的球面. .（二）雙曲面（二）雙曲面單葉雙曲面單葉雙曲面1222222 czbyax（1 1）用坐標面）用坐標面 與曲面相截與曲面相截)0( zxoy截得中心在原點截得中心在原點 的橢圓的橢圓.)0 , 0 , 0(O 012222zbyax(a,b,c0)( (標準方程標準方程) )與平面與平面 的交線為橢圓的交線為橢圓. .1zz 當當 變動時，這種橢變動時，這種橢圓的圓的中

26、心中心都在都在 軸上軸上. .1zz 122122221zzczbyax（2）用坐標面用坐標面 與曲面相截與曲面相截)0( yxoz截得中心在原點的雙曲線截得中心在原點的雙曲線. . 012222yczax實軸與實軸與 軸相合，軸相合，虛軸與虛軸與 軸相合軸相合. .xz 122122221yybyczax雙曲線的雙曲線的中心中心都在都在 軸上軸上. .y與平面與平面 的交線為雙曲線的交線為雙曲線. .1yy )(1by ,)1(221by x實軸與實軸與 軸平行軸平行,z虛軸與虛軸與 軸平行軸平行. .,)2(221by z實軸與實軸與 軸平行軸平行,x虛軸與虛軸與 軸平行軸平行.,)3(1

27、by 截口為一對相交于點截口為一對相交于點 的直線的直線. .)0 , 0(b,0 byczax.0 byczax,)4(1by 截口為一對相交于點截口為一對相交于點 的直線的直線.)0 , 0(b ,0 byczax.0 byczax（3）用坐標面用坐標面 ， 與曲面相截與曲面相截)0( xyoz1xx 均可得雙曲線均可得雙曲線. .單葉雙曲面圖形單葉雙曲面圖形 xyoz平面平面 的截口是的截口是兩對相交直線兩對相交直線. .ax 雙葉雙曲面雙葉雙曲面1222222 czbyaxxyo( (標準方程標準方程) )（三）拋物面（三）拋物面zbyax22222橢圓拋物面橢圓拋物面用截割法討論：用

28、截割法討論：（1）用坐標面用坐標面 與曲面相截與曲面相截)0( zxoy截得一點，即坐標原點截得一點，即坐標原點)0 , 0 , 0(O原點也叫橢圓拋物面的原點也叫橢圓拋物面的頂點頂點. .( (標準方程標準方程) )(a, b 0)與平面與平面 的交線為橢圓的交線為橢圓. .1zz 1122122122zzzbyzax當當 變動時，這種橢變動時，這種橢圓的圓的中心中心都在都在 軸上軸上. .1zz)0(1 z與平面與平面 不相交不相交. .1zz )0(1 z（2）用坐標面用坐標面 與曲面相截與曲面相截)0( yxoz0222yzax截得拋物線截得拋物線與平面與平面 的交線為拋物線的交線為拋

29、物線. .1yy 12212222yybyzax它的軸平行于它的軸平行于 軸軸z頂點頂點22112, 0byy（3）用坐標面用坐標面 ， 與曲面相截與曲面相截)0( xyoz1xx 均可得拋物線均可得拋物線.橢圓拋物面的圖形如下橢圓拋物面的圖形如下：xyzo特殊地：當特殊地：當 時，方程變?yōu)闀r，方程變?yōu)閎a zayx2222旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面112222zzzayx與平面與平面 的交線為圓的交線為圓.1zz )0(1 z當當 變動時，這種變動時，這種圓的圓的中心中心都在都在 軸上軸上. .1zzzbyax22222雙曲拋物面（馬鞍面）雙曲拋物面（馬鞍面）用截割法討論用截割法討論：圖形如下圖形如下：xyzo第五節(jié)第五節(jié) 單葉雙曲面與雙曲拋物單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線面的直母線對于單葉雙曲面對于單葉雙曲面1222222c