第四章正態(tài)分布與中心極限定理

1、1第四章第四章 正態(tài)分布與中心極限定理正態(tài)分布與中心極限定理v正態(tài)分布正態(tài)分布v中心極限定理中心極限定理24.1 正態(tài)分布正態(tài)分布3正態(tài)分布正態(tài)分布密度函數(shù)密度函數(shù)22()221( ),2(0).( ,).xXf xexXXN 若連續(xù)型隨機(jī)變量 的概率密度函數(shù)為其中 ，為常數(shù)則稱 服從參數(shù)為 ， 的正態(tài)分布，或高斯(Gauss)分布. 記為4正態(tài)分布正態(tài)分布密度函數(shù)圖密度函數(shù)圖)( xfx o性質(zhì)(1)曲線關(guān)于x=對稱. (2)當(dāng)x=時(shí)取到最大值. (3)固定,改變，曲線沿Ox軸平移；固定,改變,曲線變得越尖，因而X落在附近的概率越大.5正態(tài)分布正態(tài)分布分布函數(shù)分布函數(shù)分布函數(shù)分布函數(shù)22()

2、21( ),.2txF xedtxR )( xFx o15 .06標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1) 221,.2xxex 密密度度函函數(shù)數(shù) 221,.2xtxedtx 分分布布函函數(shù)數(shù) 1,.xxxR 性性質(zhì)質(zhì)7正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系2222()22( ,)(0,1).1,21( ),2(0,1).txuxXXNZNZXP ZxPXxP XxedttuP ZxeduxZXN 定理1若，則證的分布函數(shù)為令，得由此可知8標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布期望與方差期望與方差 22222222222220,1 ,0,1.110,2212111.22tttttXNE XD

3、XE Ztt dttedteD ZE Ztt dtt edtteedt設(shè)則因?yàn)?正態(tài)分布正態(tài)分布期望與方差期望與方差2222,.0,1 ,0,1.,.XNE XD XZXNE ZD ZXZE XEZD XDZD Z 設(shè)則事實(shí)上，隨機(jī)變量所以由得10標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上上分位點(diǎn)分位點(diǎn) 0,1 .01zXNP Xzx dxz 設(shè)設(shè)對對于于給給定定的的數(shù)數(shù) ( () ), ,稱稱滿滿足足條條件件的的點(diǎn)點(diǎn)為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布的的上上分分位位點(diǎn)點(diǎn). .常用的分位點(diǎn)常用的分位點(diǎn)1.2821.6451.9602.3262.5763.090 0.10 0.050.025 0.010.0050.0

4、01 z11標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上上 分位點(diǎn)分位點(diǎn)-2-1120.10.20.30.4z -2-1120.10.20.30.4z/2/2 /2 -z/212標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上上分位點(diǎn)的性質(zhì)分位點(diǎn)的性質(zhì)121211.(2),.（）zzzzz 11111,11.事實(shí)上，又因?yàn)椋傻膯握{(diào)性知：zP XzP XzzzP XzP Xzxzz 212.同理可證：zz13正態(tài)分布正態(tài)分布有關(guān)概率的計(jì)算問題有關(guān)概率的計(jì)算問題2,XN 若12,xx(3)對任意的區(qū)間(12xxXP12PxXx21xx ， (1).XxxF xP XxP 1(2).xfxFx則14例例1()50060.(1)560 ,

5、(2)500200 ,(3)0.1,.某種器件的壽命以小時(shí)計(jì) 服從，的正態(tài)分布求求若求XP XPXP Xxx(1)560156050056050016060560500160解P XP XXP 15 111 0.84130.1587. (2)500200150020012005002002005002001606060PXPXPXXP20020016060200101212 16032 10.99960.0008. 16(3)0.1,10.1,50010.1,605000.91.282 ,60要求即要求即需P XxP Xxxx 5001.282,60576.92.676.920.1.由的單調(diào)性

6、知，即即當(dāng)時(shí)，才能使xxxxP Xx17例例2 將一溫度調(diào)節(jié)器放置在存儲著某種液體的容將一溫度調(diào)節(jié)器放置在存儲著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器定在器內(nèi)，調(diào)節(jié)器定在d d，液體的溫度，液體的溫度X X（以（以計(jì)）計(jì)）是一個隨機(jī)變量，且是一個隨機(jī)變量，且X XN N( (d d,0.5,0.52 2).).(1)(1)若若d d=90=90，求，求X X8989的概率；的概率；(2)(2)若要求保持液體的溫度至少為若要求保持液體的溫度至少為8080的概率不低于的概率不低于0.990.99，問，問d d至少為多少？至少為多少？19089908990890.50.50.5解 （）所求概率為XP XP 18(

7、 2)1(2)10.97720.0228. (2)800.99800.50.58080110.50.50.58010.991(2.327)( 2.327)0.5802.3270.581.1635.dXddP XPXdddPddd 按題意需求 滿足即，亦即，故需19例例3設(shè)設(shè)X XN N( ( , , 2 2) )， 由(x)的函數(shù)表得到：P P- X+=(1)-(-1)=2(1)-1=68.26，P P-2 X+2=(2)-(-2)=2(2)-1=95.44，P P-3 X1.64533.6,NiiNNiiiiNNPXXNNPXPNNNNNNNNN 設(shè)能對 位顧客服務(wù)，求使得然而，又因，由得，

8、于是即最多只能為33位顧客服務(wù)，才能使總服務(wù)時(shí)間不超過1小時(shí)的概率大于0.95. 42例例4.24 加法器在進(jìn)行加法運(yùn)算時(shí)，根據(jù)“四舍五入”的原則對每個加數(shù)取整后進(jìn)行計(jì)算.(1)求500個數(shù)相加時(shí)誤差總和的絕對值不超過10的概率.(2)多少個數(shù)相加時(shí)，可使誤差總和的絕對值不超過10的概率大于0.95? (1,2, )0.5,0.5 ,解 以表示第 個加數(shù)的取整誤差，顯然有獨(dú)立同分布，服從iiXiX inU430,1 12.(1)500,由獨(dú)立同分布中心極限定理，有iiE XD Xn50050011500150011010101010500 1 12500 1 12500 1 121.550.1

9、551.551.551.5521.5510.8788.iiiiiiiiPXPXXPPX 441(2)100.95.個數(shù)相加時(shí)，由題意有niinPX11110101012121220 32 320 3由中心極限定理，有nniiiiniiXPXPnnnPnnXn20 320 3220 31. nnn 4520 310.95,20 30.975,20 31.96,312.nnnn 要使2即使也即使從而有故312個數(shù)相加時(shí)，可使誤差總和的絕對值不超過10的概率大于0.95. 46德莫佛德莫佛拉普拉斯定理拉普拉斯定理22(1,2,),(01)1lim,(1)20,1 .(1)ntxnnnnn ppxXn

10、pPxedtnppnXnpNnpp設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，則對于任意 ，有即，當(dāng) 充分大時(shí)，隨機(jī)變量47概率計(jì)算公式概率計(jì)算公式121221(1)(1)(1).(1)(1)nnnP mXmXnpmnpmnpPnppnppnppmnpmnpnppnpp充分大時(shí)，有48近似計(jì)算公式近似計(jì)算公式12211122.11nP mXmmnpmnpnppnpp 49近似計(jì)算公式近似計(jì)算公式221112.1121.1nnmnpP XmnppmnpP Xmnpp 50例例4.250.9,1008495 ,90 .某種難度很大的心臟手術(shù)的成功率為對個病人進(jìn)行這種手術(shù)，以 記手術(shù)成功的人數(shù). 求XPXP X(1)100,0.9 ,849595 1 2 100 0.984 1 2 100 0.9100 0.9 0.1100 0.9 0.1解則XBPX1.832.170.9514. 5190 1 2 100 0.9(2)901100 0.9 0.110.170.5675.P X 52例例4.26 某電視機(jī)廠每周生產(chǎn)10000臺電視機(jī).它的顯像管車間的正品率為0.8，為了能以0.997的概率保證出廠的電視機(jī)都裝上正品顯像管，該車間每周應(yīng)生產(chǎn)多少只顯像管？1,0,解 設(shè)隨機(jī)變量第 只顯像管是正品；第 只顯像管是次品.nnXn5310.8.且npP X1.,100