概率論第三章第四章習題及答案

1、9.以X記某醫(yī)院一天出生的嬰兒的個數(shù)，以Y記其中男嬰的個數(shù),設X和Y的聯(lián)合分布律為(1)求邊緣分布律(2)求條件分布律(3)寫出X=20時,Y的條件分布律返回主目錄第三章 多維隨機變量及其分布., 2 , 1 , 0;, 2 , 1 , 0,)!( !)86. 6()14. 7(,14nnmmnmemYnXPmnm解:返回主目錄第三章 多維隨機變量及其分布nmmYnXPnXP0,) 1 (nmmnmmnme014)!( !)86. 6()14. 7(nmmnmmnmnne014)86. 6()14. 7()!( !nne)86. 614. 7(!14, 2 , 1 , 0,!1414nnen.

2、, 2 , 1 , 0;, 2 , 1 , 0,)!( !)86. 6()14. 7(,14nnmmnmemYnXPmnm返回主目錄第三章 多維隨機變量及其分布mnmYnXPmYP,mnmnmmnme)!( !)86. 6()14. 7(14mnmnmmnme)!()86. 6()14. 7(!14., 2 , 1 , 0;, 2 , 1 , 0,)!( !)86. 6()14. 7(,14nnmmnmemYnXPmnm014!)86. 6()14. 7(!kkmkme86. 614)14. 7(!emem, 2 , 1 , 0,!)14. 7(14. 7mmem返回主目錄第三章 多維隨機變量

3、及其分布,|, 2 , 1 , 0)2(mYPmYnXPmYnXPm時當!)14. 7()!( !)86. 6()14. 7(14. 714memnmemmnm., 2 , 1 , 0;, 2 , 1 , 0,)!( !)86. 6()14. 7(,14nnmmnmemYnXPmnm, 1,)!()86. 6(86. 6mmnmnemn返回主目錄第三章 多維隨機變量及其分布,|, 2 , 1 , 0nYPmYnXPnXmYPn時當!14)!( !)86. 6()14. 7(1414nemnmenmnm., 2 , 1 , 0;, 2 , 1 , 0,)!( !)86. 6()14. 7(,14

4、nnmmnmemYnXPmnmmnmmnC1486. 61414. 7nmCmnmmn, 2 , 1 , 0,49. 051. 0返回主目錄第三章 多維隨機變量及其分布|nXmYPnmCmnmmn, 2 , 1 , 0,49. 051. 020|)3(XmYP.20, 2 , 1 , 0,49. 051. 02020mCmmm11.設隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為(1)求常數(shù)c(5)求(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù).返回主目錄第三章 多維隨機變量及其分布., 0,0 ,),(其他yxcxeyxfy. 11),() 1 ( cdxdyyxf可解得由返回主目錄第三章 多維隨機變量及其分布.00其他,

5、),(yxxeyxfydudvvufyxFxy ),(),()5(0;),(,00i)yxFyx時或當.21) 1(1),(,0ii)2000yxyuxyuvxxyuvexexdueeudveduududvueyxFxy 時當返回主目錄第三章 多維隨機變量及其分布.00其他,),(yxxeyxfy.121121) 1(1lim),(lim),(22yyxyxyxeyyexexyxFyyF則.1211),(),(,0iii)2yeyyyyFyxFyx時當返回主目錄第三章 多維隨機變量及其分布.0,21) 1(1,0,1211, 00, 0),(22yxexexxyeyyyxyxFyxy或則25.

6、設隨機變量(X,Y)服從區(qū)域上的均勻分布,試求:返回主目錄第三章 多維隨機變量及其分布ayaxyxD0 ,0: ),(.,max)2(的概率密度YXM ).()(:(2)zfzFM和為分別的分布函數(shù)和概率密度設解返回主目錄第三章 多維隨機變量及其分布., 0,0 ,0 ,1),(),(2其它的聯(lián)合密度函數(shù)為由題意知ayaxayxfYX0;)(,0i)zFz時當,0iii)時當az zZPzF)(zYzXP,zYXP,max zzdxdyyxf),(1;)(,ii)zFaz時當.1)(22002azdxdyazFzz 返回主目錄第三章 多維隨機變量及其分布., 1,0, 0, 0)(22azaz

7、azzzF即., 0,0,2)()(2其它因此azazzFzf26.設隨機變量X與Y相互獨立,X的分布律為Y的概率密度為返回主目錄第三章 多維隨機變量及其分布., 0, 10, 1)(其他yyfY,1 , 0 , 131iiXP記Z=X+Y,試求:(2)Z的概率密度.).()(:(2)zfzFZ和分別為的分布函數(shù)和概率密度設解返回主目錄第三章 多維隨機變量及其分布0;)(,1i)zFz時當,01iii)時當zzZPzF)(XzYPzYXP1;)(,2ii)zFz時當 11)(zYPXPzF,10iv)時當 z zYPXPzYPXPzF011)(,3131310zdyz,313110zdyz返回

8、主目錄第三章 多維隨機變量及其分布XzYPzF)(,21v)時當 z 11011)(zYPXPzYPXPzYPXPzF,3131313110zdyz. 2, 1, 21,3) 1(, 1, 0)(zzzzzF即返回主目錄第三章 多維隨機變量及其分布., 0, 21,31)()(其它因此zzFzf28.設隨機變量(X,Y)服從區(qū)域上的均勻分布,定義隨機變量U,V如下:求返回主目錄第三章 多維隨機變量及其分布1, 0: ),(22yxyyxD.0,),(UVPVU并計算的聯(lián)合概率密度.3, 1,3, 0, 2,0 , 1, 0, 0YXYXVYXYXXU解:隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為返回主

9、目錄第三章 多維隨機變量及其分布., 0, 1, 0,2),(22其他yxyyxf, 0YXXPVUP3, 01, 0, 03,00, 1YXYXPVUP,413,01, 1YXYXPVUPYXXPVUP3, 00, 0,21返回主目錄第三章 多維隨機變量及其分布., 0, 1, 0,2),(22其他yxyyxfYXYXPVUP3,0, 2dxdyxx 10112332方法方法二YXP3)sin(3312102txdxxx令則令事件,3,1, 02YXXYYA)6( ,6120, 2扇形角度為的面積AVUP返回主目錄第三章 多維隨機變量及其分布.12121614111, 2VUP0UVP1,

10、21, 1VUPVUP.31121412 設隨機變量 服從幾何分布,其分布律為X,11112xxxxxn111kkpkpXE)(,2111kppkXPk解:由于第四章 隨機變量的數(shù)字特征).(),(XDXEp求為常數(shù)其中,10111kkpkp兩邊對x求導得 1132111122,xnxxxxn返回主目錄.)(ppppkpXEkk11111211因此(1)式兩邊對x求導得 21132211223,)(xnxnxxn.)(231111211211111ppppkkppkkpXXEkkkk則第四章 隨機變量的數(shù)字特征返回主目錄.)()()()()()()(2222222111211pppppXEEX

11、XXEXEXXXEXEXEXD因此第四章 隨機變量的數(shù)字特征8（2）設隨機變量 相互獨立且都服從0,1上的均勻分布.返回主目錄nXXX,21.0, 1 , 0, 1)(否則xxf., 2 , 1nk.,min,max2121的數(shù)學期望和求nnXXXVXXXU解:由題意知 ( )的密度函數(shù)為kX則第四章 隨機變量的數(shù)字特征返回主目錄. 1, 1, 10, 0, 0)(xxxxxF), 2 , 1(nk的分布函數(shù)為故相互獨立因UXXXn,21第四章 隨機變量的數(shù)字特征的分布函數(shù)為kX . 1, 1, 10, 0, 0)(uuuuuFnU返回主目錄的分布函數(shù)為VduuufUEU)()(第四章 隨機變

12、量的數(shù)字特征的密度函數(shù)為U . 1, 1, 10,)1 (1, 0, 0)(vvvvvFnV.0, ) 1 , 0(,)(1其他xnuufnU101dunuun10duunn.1nn. 1, 1, 10, 0, 0)(uuuuuFnU返回主目錄dvvvfVEV)()(第四章 隨機變量的數(shù)字特征的密度函數(shù)為V .0, ) 1 , 0(,)1 ()(1其他vvnvfnV101)1 (dvvnvn1010)1 ()1 (dvvvvnn.11n1111)1 (nnv. 1, 1, 10,)1 (1, 0, 0)(vvvvvFnV第四章 隨機變量的數(shù)字特征返回主目錄9.將n個球隨機地放入N個盒子,并且每

13、個球放入各個盒子是等可能的,求有球的盒子數(shù)的數(shù)學期望.解解： .,個盒子中有球第個盒子中沒有球第iiXi10.,Ni21易見 .NXXX1.NiiEXEX1.,Ni1,)(niNNXP10以X表示有球的盒子數(shù)。設,)(niNNXP11110.若有n把看上去形狀相同的鑰匙，其中只有一把能打開門上的鎖，用它們?nèi)ピ囬_門上的鎖，設取到每只鑰匙是等可能的。若每把鑰匙試開一次后除去，試用下面兩種方法求試開次數(shù)X的數(shù)學期望。（2）不寫出X的分布律。返回主目錄第四章 隨機變量的數(shù)字特征（2）令返回主目錄, 11X次試開有一次成功前次試開都不成功前10,1, 1kkXk., 2nk.21nXXXX則令 表示事件

14、“第k次試開成功”。kA則第四章 隨機變量的數(shù)字特征返回主目錄, 1)(1XE) 1(1)(kkXPXE., 2nk)2() 1(121knknnnnn.21)(1)(2nXEXEnkk因此第四章 隨機變量的數(shù)字特征)(121kAAAP)|()|()(2211121kkAAAAPAAPAP,1nkn第四章 隨機變量的數(shù)字特征24.;,(1) ,00.22的相關系數(shù)求均為常數(shù)又相互獨立，設隨機變量VU,YXV,YXU) ,(NY), ,(NXY ,X解：解：.VU相互獨立與為何值時當,)2(返回主目錄),(Cov),(Cov),(Cov),(Cov22YYXYYXXX),Cov(),Cov( (

15、1) YXYXVU)()(22YDXD.)(222第四章 隨機變量的數(shù)字特征.)()(),(Cov2222222222DVDUVUUV所以返回主目錄故相互獨立與時當,0VUUV.)(,)(,2222222222DYDXDVDYDXDUYX則相互獨立與由于,),(正態(tài)分布服從二維知由二維正態(tài)分布的性質YX所以也服從二維正態(tài)分布,),(VU.相互獨立與時當VU第五章 大數(shù)定律及中心極限定理7. 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理,29. 15 . 05 . 12 . 02 . 13 . 01kXE.713. 15 . 05 . 12 . 02 . 13 . 012222kXE所以所以 .0489. 0

16、29. 1713. 1222kkkXEXEXD 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理故量是獨立同分布的隨機變而,30021XXX3001300130013001300130014001400kkkkkkkkkkkkXDXEXDXEXPXP0489. 030029. 030029. 130013001kkXP.0003. 09997. 0139. 31xtnkkndtexnnXP21221lim2 中心極限定理 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理8(1)設一個系統(tǒng)由設一個系統(tǒng)由100個相互獨立起作用的部件組成，個相互獨立起作用的部件組成，每個部件的損壞率為每個部件的損壞率為0.1

17、。為了使整個系統(tǒng)正常。為了使整個系統(tǒng)正常工作，至少必須有工作，至少必須有85個部件正常工作，求整個系個部件正常工作，求整個系統(tǒng)正常工作的概率。統(tǒng)正常工作的概率。解：解：設設X是損壞的部件數(shù)，則是損壞的部件數(shù)，則 XB(100,0.1)。則整個。則整個系統(tǒng)能正常工作當且僅當系統(tǒng)能正常工作當且僅當 X 15. 由德莫佛由德莫佛-拉普拉斯定理有拉普拉斯定理有15XP返回主目錄 9 . 01 . 01001 . 0100159 . 01 . 01001 . 0100XP.952. 0359 . 01 . 01001 . 010015 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理8(2)設一個系統(tǒng)由設一個系統(tǒng)由n個相互獨立起作用的部件組成，個相互獨立起作用的部件組成，每個部件的可靠性為每個部件的可靠性為0.90，且必須至少有，且必須至少有80 %的的部件工作才能使整個系統(tǒng)正常工作，問部件工作才能使整個系統(tǒng)正常工作，問n至少為至少為多大才能使系統(tǒng)的可靠性不低于多大才能使系統(tǒng)的可靠性不低于0.95？解：解：設設X是能正常工