數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)

1、重提數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)張興華不久前拜讀了鄭毓信教授一篇論述變式理論的文章，文中提出了“中國數(shù)學(xué)教育優(yōu)秀傳統(tǒng)的繼承和發(fā)展的問題”，并倡導(dǎo)“理論視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)”，給我許多啟示。由此想起了小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)實在也算得上是優(yōu)秀的傳統(tǒng)理論，因為多年來許多教師的教學(xué)之所以富有成效，多半是自覺與不自覺地運用心理學(xué)的原理、規(guī)律于實踐的結(jié)果。只是，近幾年在理論上我們比較關(guān)注新課程理念，而數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)卻漸漸淡出了我們的視線。也就是說，現(xiàn)在青年教師們已經(jīng)缺失了數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)，我們的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)課程還沒有置于科學(xué)理論的視角下。數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)：經(jīng)典課堂的永恒支柱我們不妨留意一下，近年來省級和省級以上教育報刊發(fā)表的數(shù)

2、學(xué)教學(xué)論文中已經(jīng)很少有“數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)”的核心詞。即使有，也是很成問題的。最近常見到“表象”這個詞，但多作表面現(xiàn)象講，如“從表象看，”列舉了一些表面現(xiàn)象后說“這些都是表象，透過表象，其實質(zhì)是”天哪！表象是感知過的事物留在腦中的形象，怎么能望文生義說成是表面現(xiàn)象呢？再一個就是“變式”。變式只是心理學(xué)理論滄海之一粟，不知什么時候引得大家的熱捧和關(guān)注，談得不少。有上升為“變式理論”的，有總結(jié)為“變式教學(xué)模式”的，也還有解釋為變化了的式子的，像45÷9=45×3÷（9×3）之類，只要式子變化了就是變式！學(xué)科教學(xué)心理學(xué)這塊剛被開墾的處女地，現(xiàn)在又是雜草叢生，滿目荒

3、蕪了。但是，耐人尋味的是，每每經(jīng)典的、引人注目的教學(xué)設(shè)計，在其背后都能找到數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)的內(nèi)核。我們不妨來看看張齊華老師“認識分數(shù)”的一個片段：一開始，通過分蛋糕和簡短的討論，讓學(xué)生知道：把一個蛋糕平均分成兩份，每份是它的1/2。接著，張老師給每位學(xué)生準備了同樣的長方形紙，讓學(xué)生“動手折一折”，并“涂出它的1/2”。學(xué)生折啊，涂啊。交流的時候，有的學(xué)生橫著對折，涂出了其中的1/2：，有的學(xué)生豎著對折，涂出它的1/2：，有的斜著平均折成兩份，涂出了它的1/2：，張老師指著這些不同形狀的陰影部分問學(xué)生：“這些陰影部分形狀不同，為什么都是這張紙的1/2？”學(xué)生一一回答：“我把這張紙橫著對折，就是把它

4、平均分成兩份，其中這一份當(dāng)然是它的1/2?！薄拔野堰@張紙豎著對折，就是把它平均分成兩份，每一份是它的1/2?！薄拔译m然是斜著折的，但是是把這張紙平均折成了兩份，這一份雖然形狀不同，但也是這張紙的1/2?！睆埨蠋熣f，不管把紙怎樣折，也不管折成的每一份是什么形狀，只要是把這張紙平均分成兩份，每一份就是它的1/2。后來，認識1/4時，張老師給學(xué)生準備了各種不同形狀的紙，要求學(xué)生折一折，并涂出其中的1/4，學(xué)生折啊，涂啊，出現(xiàn)了這些情況： 張老師又問學(xué)生：這里圖形的形狀也不相同了，陰影部分形狀和大小也都不同，為什么都是原來這個圖形的1/4。學(xué)生一一回答，都是說我把這張紙平均分成了4份，每一份

5、是這張紙的1/4。最后老師總結(jié)道：不管是什么形狀的紙，也不管涂色部分是什么形狀，只要把它平均分成4份，每份就是這張紙的1/4。這樣，學(xué)生對1/2、1/4分數(shù)的認識達到了概括化程度很高的理解。為什么呢？就是因為運用了心理學(xué)變式原理！然而，當(dāng)我私下里與老師們溝通時，卻發(fā)現(xiàn)大家對這一片段的認識多著眼于當(dāng)下時髦的學(xué)習(xí)方式的改善上。有的說這是讓學(xué)生動手實踐得好，折出那么多的1/2、1/4；有的說這是讓學(xué)生自主探索得好，這是算法多樣化，折法多樣化，涂法多樣化；有的說這是合作交流得充分。有老師甚至不理解張老師兩次運用變式的奧妙，覺得兩次操作后兩次發(fā)問幾乎一樣，是不是有重復(fù)和雷同感他們不知道，張老師在這里兩次

6、運用了變式原理，而兩次的著眼點不同，第一次用同一張紙，第二次用不同的紙。那什么是變式呢？心理學(xué)研究表明，抽象的概念需要熟悉廣泛、眾多的事物才得以形成。變式就是從不同角度組織感性材料，變換事物的非本質(zhì)特征，在各種表現(xiàn)形式中突出事物的本質(zhì)特征，從而使學(xué)生對概念的理解達到越來越高的概括化程度。張老師是深諳此理的，為了使學(xué)生能深刻認識1/2、1/4，變換非本質(zhì)屬性，讓學(xué)生用不同方法折出、涂出各種形狀的1/2、1/4，從而突出不管用什么紙折，不管怎樣折，只要把紙平均分成2份，每份就是它的1/2，只要把紙平均分成4份，每份就是它的1/4。理論的光芒是普照的。你真正掌握了變式原理，就可以普遍地運用于概念教學(xué)

7、中。比如學(xué)習(xí)垂直概念，教師開始往往出示標(biāo)準的垂直圖形，讓學(xué)生初步認識，相交成直角的兩條直線互相垂直，這概念是表征得不錯，但這一標(biāo)準圖形的提供，無形中就增加了概念的內(nèi)涵：相交成直角的豎直、水平方向的兩條直線，互相垂直。而看到就不認賬，這種錯誤的認識，常常影響到畫垂線和在三角形、平行四邊形、梯形中畫高，而張老師教學(xué)垂直，由于深諳變式原理，不僅提供垂直的標(biāo)準式，而且提供垂直的各種變式，過直線外或直線上一點畫垂線，不僅要畫水平方向直線的垂線，而且要畫出鉛直方向的、斜方向的直線的垂線。這樣學(xué)生對互相垂直就達到了概括化的理解：不管直線方向如何，只要兩條直線相交成直角就互相垂直。掌握教學(xué)心理的老師在概念教學(xué)

8、中就可以自如地普遍應(yīng)用變式，不懂得教學(xué)心理的老師只能是依樣學(xué)樣，機械克隆，如法拷貝。在概念教學(xué)中，說到變式，常常還要說到“反例”?，F(xiàn)在的教育心理學(xué)已把反例整合到變式中去了，請允許我在這里仍然沿用反例的說法。什么是反例呢？反例就是故意變換事物的本質(zhì)特征，使之質(zhì)變?yōu)榕c之形似的他事物，在比較與思辨中反襯和突出事物的本質(zhì)特征，從而更準確地認識概念，在教學(xué)中反例常常和變式一并提供。例如讓學(xué)生辨析：下面的圖形，哪些是角，哪些不是角？（略） 又如讓學(xué)生辨析，下面哪些圖形是梯形，在梯形下面的括號里打：（略） 如果說，變式是多方面地從正面強化概念的本質(zhì)屬性的話，那么，反例恰恰是從反面來反襯和

9、激生對概念的本質(zhì)屬性的認識。我們再來看一個教學(xué)片段：面積單位（平方分米）的教學(xué)。學(xué)生學(xué)過平方厘米，知道邊長是1厘米的正方形，面積是1平方厘米，而且已經(jīng)形成了平方厘米的空間表象，之后我讓學(xué)生用平方厘米度量相關(guān)圖形的面積、郵票的面積，然后不露聲色地讓學(xué)生度量課始出現(xiàn)的鏡框玻璃或凳面的面積，有的學(xué)生有點猶豫，有的學(xué)生還真的一平方厘米一平方厘米地度量，等到大家都覺得這樣量很麻煩時，我問大家有什么想法，學(xué)生說：最好有一個大一點的面積單位來度量，我趁勢讓學(xué)生創(chuàng)造一個大一點的面積單位。有學(xué)生創(chuàng)造出了平方分米，我就說：“好，就用平方分米?！蹦鞘裁词?平方分米呢？學(xué)生猜想（實際上是類比推理）：邊長1分米的正方形

10、，面積是1平方分米。我隨即出示一個平方分米的模型，橘紅色的（這里還有感知原理），指著比劃著說：“哎！邊長1分米的正方形，面積是1平方分米，現(xiàn)在我們來仔細觀察平方分米這個面積單位。這里，平方分米是什么形狀的？（生答：正方形。）它有多大？（生答：邊長1分米的正方形這么大！）看清了嗎？（生答：看清了。）看清了，就請大家把眼睛閉起來，在腦子里面想：剛才看到的平方分米是什么形狀的？有多大？”（全體學(xué)生閉眼回想。）一會兒，我說：大家在腦子里留下了平方分米了嗎？（學(xué)生仍閉著眼睛回想，答：留下了。）留下了就把眼睛睜開?，F(xiàn)在請把信封里的平面圖形拿出來（每個人的信封里預(yù)先都裝著三四個正方形，邊長1.2分米的、邊長

11、1分米的、邊長0.8分米的）我說：誰能很快地把平方分米挑出來。很多學(xué)生都很快地把平方分米挑了出來，相互交流。也有少數(shù)學(xué)生挑錯了，我再引導(dǎo)糾正。這個教學(xué)案例中實際上有五六個心理學(xué)原理：如何激發(fā)學(xué)習(xí)動機，如何引起聯(lián)想，如何激發(fā)再造想象，如何組織首次感知，如何建立表象。但是，課上下來，老師們卻較多地關(guān)注閉眼回想的環(huán)節(jié)，都覺得讓學(xué)生“先觀察，再閉眼睛回想，又在一堆圖形中挑出”特別好，說是把平方分米的意義教活了。至于平方分米的顏色為何是顯眼的橘紅色，為何要閉眼，為何要挑圖形，則不知底里！有的老師在后來自己的教學(xué)中竟也樂于讓學(xué)生閉眼。有一次在隨意聽課時，我就看到這種情況，老師教的是應(yīng)用題。通過例題教學(xué)，得

12、出了一個數(shù)量關(guān)系式：總數(shù)量÷相對應(yīng)的份數(shù)=平均數(shù)，課講得很好！但是接著就見老師講：請大家把這個數(shù)量關(guān)系式仔細觀察一下，然后把眼睛閉起來，在腦子里想一想，剛才我們觀察的數(shù)量關(guān)系式是怎樣的，在腦子里留下來了嗎？學(xué)生答：留下了。老師說：留下了就把眼睛睜開。天哪！我讓學(xué)生閉眼回想是為了讓學(xué)生把感知過的平方分米的樣子留在腦子里，形成表象。兒童認知概念是循著“形象表象抽象”的過程進行的。數(shù)量關(guān)系式已是抽象規(guī)則，怎能再拽回到形象、表象的階段，讓學(xué)生閉眼回想呢？以上兩個案例說明現(xiàn)在許多教師數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)的缺失。盡管許多優(yōu)秀教師在教學(xué)過程中也都注意了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，改進教學(xué)方法，研究并解決各種教學(xué)問

13、題，但是都是憑著教學(xué)經(jīng)驗而為。當(dāng)然，教學(xué)經(jīng)驗也能幫助我們解決問題，但這種經(jīng)驗沒有經(jīng)過理性思辨，并不能對學(xué)和教做出科學(xué)的解讀，也就常常不具備一般意義。正如上述認識分數(shù)教學(xué)，僅認識1/2、1/4可以如是拷貝，而不能普遍運用于概念教學(xué)中。認識平方分米中的“閉眼回想”，不是包治百病的靈丹妙藥，到處可用，而只是為了讓學(xué)生形成平方分米的表象，把它在腦子里留下來。顯然，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)確實要置于數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)理論的視角之下了。數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)關(guān)注什么說到這里，究竟什么是數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)呢？數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)有哪些內(nèi)容呢？今天又準備怎樣重提數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)呢？心理學(xué)獨立地成為一門科學(xué)，至今已有130年歷史。但是，從它誕生

14、之日起，就與教育密切地結(jié)合在一起，形成了教育心理學(xué)（教學(xué)心理學(xué)）的應(yīng)用性研究。把心理學(xué)原理應(yīng)用于學(xué)科教學(xué)，盡管只有五六十年歷史，但已成為學(xué)科教學(xué)的迫切需要。小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)與教，時刻反映著人的心理活動，亟需在心理學(xué)的理論指導(dǎo)下進行實踐。數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)作為一門科學(xué)，具有豐富的內(nèi)容，很難三言兩語說清楚。這里不妨從奧蘇伯爾的一段話說起，來略談一二吧！關(guān)于學(xué)習(xí)的過程，著名認知心理學(xué)家奧蘇伯爾說過：“假如讓我把全部教育心理學(xué)僅僅歸結(jié)為一條原理的話，那么，我將一言以蔽之曰：影響學(xué)生學(xué)習(xí)新知的唯一最重要的因素，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道些什么。要探明這一點，并據(jù)此進行教學(xué)。”現(xiàn)在，我們不妨把這高度濃縮的一條原理化解開來

15、，看看有哪些心理學(xué)原理，讓我選擇幾條來重提一下。第一，許多心理學(xué)原理關(guān)注“學(xué)生已經(jīng)知道了什么”。1傳統(tǒng)的認知心理學(xué)中的準備學(xué)習(xí)就關(guān)注“學(xué)生已經(jīng)知道了什么”。奧蘇伯爾的認知心理理論認為：“一切新的學(xué)習(xí)都是在原有學(xué)習(xí)的根基上產(chǎn)生的，新知總是通過與原有認知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)知識相互聯(lián)系、相互作用后獲得意義的。”這樣，探明新知賴以建立的相關(guān)舊知，使“新知之舟泊于其錨樁上”，就成為學(xué)生獲得新知的重要前提了。所以，教學(xué)某項新知前，教師應(yīng)在學(xué)生原有認知結(jié)構(gòu)中探明：新知需要哪些舊知支撐，并且組織重現(xiàn)、喚起、激活，使學(xué)生學(xué)習(xí)新知處于良好的準備狀態(tài)，這便是認知心理學(xué)的準備學(xué)習(xí)。例如，學(xué)生學(xué)習(xí)20以內(nèi)進位加法“9加幾”的

16、計算，教師組織了如下已知進行復(fù)習(xí)、激活。（1）學(xué)生逐題分解后，師說：唉，這些數(shù)都可以分成1和另外一個數(shù)。（2）9（  ）10生齊答：9（1）10師（強調(diào)）：唉，9加上了1，就正好湊成了10，9和1是一對好朋友。（3）把下面“”外的三個數(shù)連加起來。動腦筋，很快算出結(jié)果來。   師：（指名算得快的學(xué)生）你們?yōu)槭裁此愕眠@么快？生：因為9加上1可以湊成10，我先把9加1得10，再用10加上第三個數(shù)，10加幾一下就算出十幾。教師在親切的談話中復(fù)現(xiàn)、激活相關(guān)舊知，加上學(xué)生解答后的追問、強化，凸顯了9加幾轉(zhuǎn)化為10加幾的認知趨勢。作為“先行組織者”，相關(guān)舊知的復(fù)習(xí)緊緊

17、對準了新知，促進新舊知識充分地積極地相互作用，形成了固定新知的準備態(tài)勢和積極的學(xué)習(xí)心向，把學(xué)生的認知推進了新知的門檻。2. 建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論關(guān)注的是全體學(xué)生各自的建構(gòu)潛能。新一輪基礎(chǔ)教育課程改革，建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論是其重要的支撐理論。建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認為，學(xué)習(xí)者的知識不是由教師傳授而獲得的，而是學(xué)習(xí)者在一定的社會文化背景下，根據(jù)已有的知識、經(jīng)驗、方法（在同伴及教師的幫助下）主動地通過意義建構(gòu)的方式而獲得的。其間涉及情境、協(xié)作、會話和意義建構(gòu)四大要素。而所謂“意義建構(gòu)”，即是要使學(xué)習(xí)者將新的學(xué)習(xí)內(nèi)容與自身已有的知識、經(jīng)驗之間建立起實質(zhì)性的、非人為的聯(lián)系，借助自身“已經(jīng)知道了什么”賦予新知識以意義。

18、這里，學(xué)習(xí)者已有的知識、經(jīng)驗對于其能否實現(xiàn)對新知識的意義建構(gòu)具有至關(guān)重要的作用。有人會說，這與傳統(tǒng)的準備學(xué)習(xí)不是同一回事嗎？其實，這不是一回事！準備學(xué)習(xí)，是對那些支撐新知學(xué)習(xí)的已有知識進行復(fù)習(xí)、喚醒、激活，為新知學(xué)習(xí)作準備，是教師組織的；建構(gòu)主義學(xué)習(xí)不是教師統(tǒng)一組織相關(guān)知識復(fù)習(xí)，而是在一定的情境中由學(xué)生自主地調(diào)度各自已有的知識、經(jīng)驗、方法（我把它叫建構(gòu)潛能），與新知相互作用，建構(gòu)新知意義。因為學(xué)生家庭環(huán)境、文化背景和思維方式不同，他們已有的知識、經(jīng)驗、方法、思維方式等建構(gòu)潛能也有差異，基于各自已有經(jīng)驗的建構(gòu)過程和結(jié)果也有不同，這樣就出現(xiàn)了算法多樣化，但是他們都在主動地建構(gòu)、主動地發(fā)展。建構(gòu)主義

19、學(xué)習(xí)的一個重要意義就在于能使全體學(xué)生都能有差異地得到發(fā)展。仍以9加幾的教學(xué)為例，教師創(chuàng)設(shè)了一個問題情境，讓學(xué)生計算96。可怎樣計算呢？老師說：“小朋友們一定能自己設(shè)法計算出結(jié)果?！边@是調(diào)用學(xué)生各自的相關(guān)已知來建構(gòu)新知方法。此時，基于各自原有知識經(jīng)驗建構(gòu)起來的方法真是豐富極了！有學(xué)生說，96，我就從9起，一個一個往上數(shù)6個，數(shù)得15個；有學(xué)生說，我從6里拿出1來，加到9上去，得10，再加上剩下的5，得15；有學(xué)生說，我從9里拿出4來加到6上去，得10，再加上剩下的5，得15；有學(xué)生說，我把9看成10，就多看了1（多加了1），從6里去掉1，10加5得15；還有學(xué)生說，我把9和6都看成5，55得10

20、，再加上少加的4和1，得15有人說，這不是算法多樣化嗎？這是的！從教育心理學(xué)的角度說，這是建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，讓學(xué)生在一定的情境中主動地基于各自的已有知識建構(gòu)新知意義，才出現(xiàn)算法多樣化，全體學(xué)生都能有差異地得到發(fā)展。第一種是基于他數(shù)數(shù)的經(jīng)驗，第二、三、四種都基于湊10、連加等已有經(jīng)驗建構(gòu)的方法，第五種則基于樸素的假設(shè)思想而建構(gòu)的方法。3關(guān)注“學(xué)生已經(jīng)知道了什么”，我們可以借助“原型啟發(fā)”，解決問題。我們知道，學(xué)習(xí)者進行新的學(xué)習(xí)，比如認識新事物、學(xué)習(xí)新的概念或規(guī)則、解決新的問題等，常?？梢允艿揭郧罢J知的某些類似事物和知識的啟示，從而找到獲取新知或解決新問題的途徑。這種儲備在學(xué)習(xí)者認知結(jié)構(gòu)中的類似事

21、物就是“原型”，它對學(xué)習(xí)者認識新事物、解決新問題所起的作用，心理學(xué)上叫作原型啟發(fā)。比如，魯班發(fā)明鋸子，鳥與飛機，蝙蝠與雷達，簡算42/（43×42）等，當(dāng)然，學(xué)習(xí)者認知結(jié)構(gòu)中是否具有鮮明的“原型”以及學(xué)習(xí)者能否根據(jù)新的學(xué)習(xí)任務(wù)的特點，自覺地調(diào)動相應(yīng)的原型，以實現(xiàn)“原型”的啟發(fā)價值，對于個體的學(xué)習(xí)活動是至關(guān)重要的。第二，許多心理學(xué)原理還關(guān)注著學(xué)生對相關(guān)已知的掌握程度。1 遷移。遷移是一種學(xué)習(xí)對另一種學(xué)習(xí)的影響。就小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)而言，遷移主要指先前的知識、技能對后來學(xué)習(xí)新的知識、技能的影響，如果是積極影響，就稱為正遷移（或簡稱遷移）；如果是消極影響，就稱為負遷移（簡稱干擾）。由于數(shù)學(xué)知識

22、都是內(nèi)在聯(lián)系著的，所以，遷移現(xiàn)象普遍存在于學(xué)生的學(xué)習(xí)活動中。從教學(xué)任務(wù)看，我們所期望并努力實現(xiàn)的當(dāng)然是促進性的正遷移（并注意避免干擾性負遷移）。把握遷移原理的教師十分注意利用學(xué)生先前獲得的認知結(jié)構(gòu)對后繼學(xué)習(xí)施以積極影響，遷移為新的認知結(jié)構(gòu)，并使原有認知結(jié)構(gòu)得以擴展和壯大。從遷移的原理來看，學(xué)生原有的認知結(jié)構(gòu)（也就是已經(jīng)知道了什么）當(dāng)然是影響遷移的最關(guān)鍵因素。而直接影響遷移的原有認知結(jié)構(gòu)，有三個變量：可利用性，即在新的學(xué)習(xí)任務(wù)面前，學(xué)生原有認知結(jié)構(gòu)中是否有適當(dāng)?shù)钠鸸潭ㄗ饔玫挠^念可以利用；可辨別性，就是新的有潛在意義的學(xué)習(xí)任務(wù)與同化它的原有概念系統(tǒng)的可辨別程度如何？也就是說，學(xué)習(xí)者原有知識與要學(xué)習(xí)

23、的新知識之間的異同是否分辨清楚；穩(wěn)定性，就是在新的學(xué)習(xí)任務(wù)面前，原有的起固定作用的觀念的穩(wěn)定性和清晰性如何？原有觀念越穩(wěn)固越清晰，越有助于新的學(xué)習(xí)。知道了這一點，組織學(xué)生學(xué)習(xí)時就要注意：在學(xué)生原有認知結(jié)構(gòu)中尋找和確定可以固定新知的相關(guān)舊知，為新的學(xué)習(xí)提供最佳關(guān)系和固定點。如學(xué)習(xí)一個數(shù)乘以分數(shù)的意義，可以從一個數(shù)乘以整數(shù)、一個數(shù)乘以小數(shù)的意義中類推；學(xué)習(xí)比的基本性質(zhì)，可以根據(jù)比與除法、分數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，從除法的商不變規(guī)律、分數(shù)的基本性質(zhì)中遷移學(xué)習(xí)。學(xué)生掌握了三角形面積計算的推導(dǎo)方法，再學(xué)習(xí)梯形面積，可利用拼合圖形推導(dǎo)這一共同渠道，誘導(dǎo)學(xué)生自行遷移到梯形面積的推導(dǎo)中來。2. 同化和順應(yīng)。我們發(fā)現(xiàn)，建

24、構(gòu)主義理論只是籠統(tǒng)地說明學(xué)習(xí)者基于已有知識建構(gòu)新知意義，并沒有說明學(xué)習(xí)者是怎樣利用舊知建構(gòu)新知意義的。關(guān)于這一點，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)解釋得清清楚楚，那就是同化和順應(yīng)。所學(xué)的新知識由于符合原有的認知結(jié)構(gòu)，從而順利地為原有認知結(jié)構(gòu)所接納，即為知識同化。如學(xué)習(xí)長方形面積計算后，學(xué)習(xí)正方形的面積計算，由于“正方形是一種特殊的長方形”這一內(nèi)在聯(lián)系，很快感受到新舊知識間的相關(guān)契合，順利發(fā)生如下的同化過程：（1）感知新知問題情境：正方形面積計算（2）新舊知相互作用：正方形是一種特殊的長方形（長和寬相等的長方形）長方形的長正方形邊長長方形的寬正方形邊長（3）同化新知：長方形面積=長×寬正方形面積=

25、邊長×邊長正方形面積的計算就同化在長方形面積計算的方法中了。又如學(xué)生在學(xué)習(xí)正方形、長方形、等腰三角形時已形成了軸對稱圖形的概念，學(xué)習(xí)圓時，學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓具有軸對稱圖形的一切特征。因此圓也是軸對稱圖形。有些知識一時無法被個體原有認知結(jié)構(gòu)所直接接受，必須進行調(diào)整、重組乃至改造，重建新的認知結(jié)構(gòu)，這便是順應(yīng)。比如學(xué)習(xí)異分母分數(shù)加減法，教師先讓學(xué)生計算：56+36，3.45+33.8，+，然后逐題討論：（1）在豎式中整數(shù)加減法為什么要數(shù)位對齊？（突出：計數(shù)位相同才能相加）（2）在豎式中計算小數(shù)加減法為什么要把小數(shù)點對齊？（突出：小數(shù)點對齊數(shù)位就對齊，計數(shù)單位相同才能加。）（3）同分母分數(shù)加減法為什么分母相同分子可直接相加？（突出：分母相同，表示分數(shù)單位相同，分子可以直接相加。）此時，學(xué)生已然明白，所有的加減法計算，只有在計數(shù)單位相同時才能直接相加。接著，出示異分母分數(shù)加法+，問學(xué)生：分子能直接相加嗎？生答：不能。師問：為什么呢？生答：分母不同，分子