數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)《復變函數(shù)》教學大綱

1、數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)復變函數(shù)教學大綱課程編碼( ) 課程總學時：54  學分：3一、課程說明1課程性質(zhì)復變函數(shù)是數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)的一門專業(yè)主干課程，是數(shù)學分析的后續(xù)課程。本課程的主要內(nèi)容是討論單復變量的復值可微函數(shù)的性質(zhì)，其主要研究對象是全純函數(shù)，即復解析函數(shù)。復變函數(shù)論又稱復分析，是數(shù)學分析的推廣和發(fā)展。因此它不僅在內(nèi)容上與數(shù)學分析有許多類似之處，而且在邏輯結(jié)構(gòu)方面也非常類似。復變函數(shù)論是一門古老而富有生命力的學科。早在19世紀，Cauchy、Weierstrass及Riemann等數(shù)學巨匠就已經(jīng)給這門學科奠定了堅實的基礎(chǔ)。復變函數(shù)論作為一種強有力的工具，已經(jīng)被廣泛應用于自然科學的

2、眾多領(lǐng)域，如理論物理、空氣動力學、流體力學、彈性力學以及自動控制學等，目前也被廣泛應用于信號處理、電子工程等領(lǐng)域。復變函數(shù)論作為一門學科，有其自身的特點，有其特有的研究方法。在學習過程中，應注意將所學的知識融匯貫通，并通過與微積分理論的比較加深理解，掌握它自身所固有的理論和方法。2課程教學目標與要求（1）通過本課程的教學，使學生掌握復變函數(shù)論的基本理論和方法，獲得獨立地分析和解決某些相關(guān)理論和實際問題的能力。為進一步學習其他課程，并為將來從事教學，科研及其他實際工作打好基礎(chǔ)。（2）通過基本概念的正確講解，基本理論的系統(tǒng)闡述，基本運算能力的嚴格訓練，逐步提高學生的數(shù)學修養(yǎng)。同時注意擴展學生的學習

3、思路，使他們了解更多的和現(xiàn)代生活息息相關(guān)的數(shù)學應用知識。（3）作為師范專業(yè)，在有關(guān)內(nèi)容方面注重高等數(shù)學對初等數(shù)學的提高和指導意義，使學生在今后的工作中有較高的起點。3選用教材與參考書目選用教材：復變函數(shù)論（第三版），鐘玉泉，高等教育出版社，2003年。參考書目：復變函數(shù)（第二版），余家榮，高等教育出版社，1992年。多復變函數(shù)美那托西姆漢著，科學出版社。解析函數(shù)邊值問題路見可著，上海科技出版社。解析函數(shù)的邊界性質(zhì)蘇N.普里瓦洛夫著，科學出版社。函數(shù)論習題集遠木幸成日 湖南科技出版社 1979年4課程教學重點與難點復變函數(shù)主要研究解析函數(shù)。復變函數(shù)論的基本理論由柯西的積分理論、Weierstra

4、ss的級數(shù)理論、Riemann的幾何理論三大部分組成。留數(shù)定理為柯西定理的推廣，羅朗級數(shù)是泰勒級數(shù)的推廣，保形變換是復變函數(shù)幾何理論的基本概念。留數(shù)理論、級數(shù)理論和保形變換為實際應用提供了特有的復變函數(shù)論方法。因此課程的教學重點是：（1）解析函數(shù)，柯西積分定理和積分公式（2）級數(shù)，泰勒展開式和羅朗展開式，解析函數(shù)的唯一性定理（3）留數(shù)定理及應用（4）線性變換，保形映射（5）解析開拓和黎曼面介紹課程教學的難點是：（1）多值函數(shù)（2）保形映射5課程教學方法與手段1）學與思的結(jié)合：既要了解相關(guān)內(nèi)容，又要對此進行深入的思考與分析；2）聽與說的結(jié)合：要求學生既要認真聽老師的講解，又要勇于發(fā)表自己的見解；

5、3）知與做的結(jié)合：通過對數(shù)學方法的掌握，解決與之相關(guān)的其他數(shù)學問題；4）理論與實踐的結(jié)合：通過本課程理論學習形成的數(shù)學思想方法，應用于實際之中，同時加深對其他數(shù)學專業(yè)課的理解。6課程考核方法與要求本課程考核以筆試為主，是一門考試課程，主要考核學生對基礎(chǔ)理論，基本概念的掌握程度，以及學生邏輯推理能力和計算能力。平時作業(yè)成績占10%，期中考試成績占20%，期末考試成績占70%。7先修課程與后續(xù)課程先修課程：數(shù)學分析，解析幾何，高等代數(shù)，普通物理， 后續(xù)課程：數(shù)學建模，常微分方程，概率論與數(shù)理統(tǒng)計，實變函數(shù)，泛函分析8其他有關(guān)說明課時期中考試。二、教學內(nèi)容第一章 復數(shù)與復變函數(shù)一、復數(shù)與復變函數(shù)是研

6、究復變函數(shù)的基礎(chǔ)。二、主要內(nèi)容：（6 學時）1.復數(shù)：復數(shù)的定義，代數(shù)表達，四則運算，共軛；復數(shù)與平面上點一一對應關(guān)系，復平面在幾何中的應用；復平面與平面向量的關(guān)系，復數(shù)的模與輻角、三角表達式。 2.復平面上的點集初步概念：內(nèi)點、外點、邊界點、聚點、圓盤、連通性、開集、閉集等，約當曲線、區(qū)域的概念3 復變函數(shù)復變函數(shù)的概念，復變函數(shù)的的極限與連續(xù)4 復球面與無窮遠點復球面，擴充復球面上的幾個概念三、要求：1.復數(shù)的運算，復數(shù)與平面點、平面向量的對應關(guān)系、模，輻角的概念、性質(zhì)；2.區(qū)域（單、復連通）光滑曲線、無窮遠點復平面，擴充復平面3 復變函數(shù)的極限、連續(xù)與其實、虛部這一對二元函數(shù)的極限連續(xù)性

7、的等價性。4 有界閉集上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。四、難點：輻角   無窮遠點 第二章 解析函數(shù)一、 復變函數(shù)及其理論與微分學的相應內(nèi)容有相似亦有不同，并有一定的聯(lián)系。解析函數(shù)是本課程主要研究對象，解析函數(shù)的實、虛部之間深刻的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)在CauchyRiemann方程中。二、  主要內(nèi)容（8學時）1.    解析函數(shù)的概念與柯西黎曼條件復變函數(shù)的導數(shù)與微分、解析函數(shù)極其簡單性質(zhì)、柯西黎曼條件2.   初等解析函數(shù)：指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與雙曲函數(shù) 3.   

8、; 初等多值函數(shù)：根式函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、具有多個有限支點的情形、一般冪函數(shù)與一般指數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)。三、 要求：1.  解析的概念、復變函數(shù)的可導性與其實虛部的可導性的關(guān)系、CauchyRiemann方程。2   基本初等函數(shù)的定義、性質(zhì)、與相應實函數(shù)的同與不同之處3   多值函數(shù)的概念、分支、分支點的概念。四、重點：CauchyRiemann方程和基本初等函數(shù)的定義和性質(zhì)難點：輻角函數(shù)、多值函數(shù)的分支點 第三章 復變函數(shù)的積分一、  本章研究復積分。它從柯西積分定理出發(fā)得出柯西積分

9、公式，從而得到解析函數(shù)的積分表達及其導數(shù)的存在性和積分表達，這是實分析中所沒有的性質(zhì)。二、 主要內(nèi)容：（8學時）1. 復積分的概念與簡單性質(zhì)：復積分的定義、復變函數(shù)積分的計算問題、積分的基本性質(zhì)。2. 柯西積分定理：柯西積分定理、柯西積分定理的證明、不定積分、柯西積分定理的推廣等3 柯西積分公式及其推論：柯西積分公式、解析函數(shù)的無窮可微性、柯西積分不等式與Liouville定理、Morera定理4 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系三、  要求：1. 積分的定義、性質(zhì)、將光滑曲線上的連續(xù)函數(shù)的積分化成定積分計算2. 柯西積分定理、積分公式、導數(shù)公式的內(nèi)容、推廣及應用它們求積

10、分3. 掌握柯西不等式、Liouville定理；Morera定理是柯西積分定理的逆定理。四、重點：柯西積分定理和柯西積分公式。難點：掌握柯西不等式、Liouville定理第四章 解析函數(shù)的冪級數(shù)表示法一、級數(shù)是研究解析函數(shù)的一個重要工具。泰勒定理肯定了解析函數(shù)在解析點展成冪級數(shù)的可能性。它在理論上的應用使我們得到了體現(xiàn)解析函數(shù)重要特性和內(nèi)在聯(lián)系的定理：解析函數(shù)的唯一性定理。二、主要內(nèi)容：（6學時）1. 復級數(shù)的基本性質(zhì)：復數(shù)項級數(shù)、一致收斂的復數(shù)項級數(shù)、解析函數(shù)項級數(shù)。2. 冪級數(shù)：冪級數(shù)的斂散性、收斂半徑的求法、柯西阿達瑪公式、冪級數(shù)和的解析性3 解析函數(shù)的泰勒展開式：泰勒定理、冪級數(shù)的和函

11、數(shù)在其收斂圓周上的狀況、一些初等函數(shù)的泰勒級數(shù)4. 解析函數(shù)零點的孤立性及唯一性定理：解析函數(shù)零點的孤立性，唯一性定理、最大模原理、三、 要求：1.    泰勒定理及將函數(shù)泰勒展開2.    解析函數(shù)唯一性定理的內(nèi)容，意義，證明思路3.    冪級數(shù)的收斂范圍及性質(zhì)四、 重點：泰勒展開  解析函數(shù)唯一性定理  難點：唯一性定理、最大模原理的理解第五章 解析函數(shù)的洛朗展式與孤立奇點一、級數(shù)是研究解析函數(shù)的一個重要工具。羅朗定理肯定了解析函數(shù)在解析環(huán)中展成羅朗級數(shù)的可能

12、性。它們在理論上的應用使我們得到了體現(xiàn)解析函數(shù)的重要特性：孤立奇點的性質(zhì)。二、主要內(nèi)容：（8學時）1. 解析函數(shù)的羅朗展式：雙邊冪級數(shù)、解析函數(shù)的羅朗展式、羅朗級數(shù)與泰勒級數(shù)的關(guān)系、解析函數(shù)在孤立奇點鄰域內(nèi)的羅朗展式、2. 解析函數(shù)的孤立奇點：解析函數(shù)的孤立奇點的分類、可去奇點、席瓦爾茲引理、極點、本性奇點、畢卡（Picard）定理。3. 解析函數(shù)在無窮遠點的性質(zhì)4. 整函數(shù)和亞純函數(shù)的概念：整函數(shù)、亞純函數(shù)。三、 要求：1.  羅朗定理及將函數(shù)羅朗展開2.   孤立奇點的分類判別3.  本性奇點的Weierstrass定理

13、和Picard定理四、難點：無窮遠點的性質(zhì)重點： 孤立奇點  羅朗展開式 第六章       留數(shù)理論及其應用一、 留數(shù)在復變函數(shù)論本身及應用中較為主要，留數(shù)定理的應用在本章中包含兩個方面：一是計算積分，二是考察區(qū)域內(nèi)函數(shù)的零點分布情況二、  主要內(nèi)容：（10學時）1. 留數(shù) 、定義、求法、留數(shù)定理2. 利用留數(shù)定理求積分（I）3.輻角原理及應用（Rouche定理）三、  要求：1. 留數(shù)的定義、求留數(shù)、留數(shù)定理2. 利用留數(shù)定理求積分的方法3. 幅角原理及其應用：對數(shù)留數(shù)、

14、幅角原理、Rouche定理，四、 難點：幅角原則及Rouche定理重點：留數(shù)定理 第七章      保形映射一、保形映射是復變函數(shù)理論的基本概念。線性變換及其他基本初等函數(shù)的變換有某些重要的特性，在實際問題中有重要的應用。二、主要內(nèi)容（8學時）1.  解析變換特性：保域性、保角性，保形性。2.  線性變換：線性變換及其分解、線性變換的保形性，保交比性、保圓性，保對稱性及應用3. 某些初等函數(shù)線性變換所構(gòu)成的保性變換：冪函數(shù)與根式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)由圓弧構(gòu)成兩角形區(qū)域的保

15、形變換。4 關(guān)于保形變換的黎曼存在定理和邊界對應定理三、要求：1. 導數(shù)的幾何意義及保形變換，線性變換的概念，性質(zhì)，單葉解析函數(shù)的概念2. 利用兩個特殊的分式線性函數(shù)求保形變換四、 難點： 單葉解析函數(shù)重點： 保形變換 三、授  課  進  度  表周次課次授課內(nèi)容授課時數(shù)課外作業(yè)備  注11§1.1 復數(shù)23  2§1.2復平面上的點集22 23§1.3復變函數(shù)22 4§1.4 復球面與無窮遠點23  35§2.1

16、解析函數(shù), C-R條件2 6§2.2初等解析函數(shù)（1）23 47§2.2初等解析函數(shù)（2）23  8§2.3 初等多值函數(shù)22 59§3.1 復積分的概念23 10§3.2 Cauchy積分定理23  6 11§3.3 Cauchy積分公式及推論22 12§3.4解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系24 713§4.1 復級數(shù)的基本性質(zhì)24  14§4.2冪級數(shù) §4.3Taylor展開式

17、25 815§4.4零點的孤立性及唯一性定理 24  16§5.1羅朗展開式 22 1017§5.2孤立奇點(1)21 18§5.2孤立奇點(2)22  11 19§5.3無窮遠點的性質(zhì)23 20§5.3整函數(shù)與亞純函數(shù)2  第 2頁授  課  進  度  表周次課次授課內(nèi)容授課時數(shù)課外作業(yè)備  注1321§6.1殘數(shù)23  22§6.2用殘數(shù)定理

18、計算積分(1)23 1423§6.2用殘數(shù)定理計算積分(2)22 24§6.3 輻角原理及其應用 23  1525§7.1解析變換的特性21選講 26§7.2線性變換22選講 1627§7.3某些初等函數(shù)的保形變換22選講 28§7.4（1）黎曼定理22選講 1729§7.4（2）邊界對應定理22選講  復習 2   18   考試         附注1參照校歷制訂授課進度。進度表中的“課次”指第幾次課。2課外作業(yè)（填習題號或作業(yè)量），實驗、教學