第四章_151216

1、Time-Varying Electromagnetic Field第四章第四章 時(shí)變電磁場時(shí)變電磁場電磁感應(yīng)定律和全電流定律電磁感應(yīng)定律和全電流定律正弦電磁場正弦電磁場引言引言電磁輻射電磁輻射電磁場基本方程、分界面上的銜接條件電磁場基本方程、分界面上的銜接條件動(dòng)態(tài)位及其積分解動(dòng)態(tài)位及其積分解坡印廷定理和坡印廷矢量坡印廷定理和坡印廷矢量4.0 4.0 引引 言言Introduction恒定場與時(shí)變場的比較恒定場與時(shí)變場的比較1. 1. 恒定場的特點(diǎn)恒定場的特點(diǎn) 涉及的所有物理量僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)涉及的所有物理量僅是空間坐標(biāo)的函數(shù) 遵循的定理和定律是麥克斯韋以前的電磁學(xué)說，如遵循的定理和定律是麥

2、克斯韋以前的電磁學(xué)說，如庫侖定律庫侖定律高斯定律高斯定律電荷守恒定律電荷守恒定律電流連續(xù)性原理電流連續(xù)性原理rerqqF2214 DqdSD0 Jt J ),(),(zyxB zyxE安培環(huán)路定律安培環(huán)路定律磁通連續(xù)性原理磁通連續(xù)性原理 IdlH0B dSB0電場和磁場相互聯(lián)系成為不可分割的整體。電場和磁場相互聯(lián)系成為不可分割的整體。2. 2. 時(shí)變場的特點(diǎn)時(shí)變場的特點(diǎn)涉及的所有物理量不僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)，而且是涉及的所有物理量不僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)，而且是時(shí)間的函數(shù)；時(shí)間的函數(shù)；遵循麥克斯韋方程；遵循麥克斯韋方程；電場和磁場可以共處于一個(gè)空間，但彼此獨(dú)立，服電場和磁場可以共處于一個(gè)空間，但彼此

3、獨(dú)立，服從各自的基本方程。從各自的基本方程。),(),(tz,yxB tz,yxE1831 年 11 月 13日生于蘇格蘭的愛丁堡。10歲時(shí)進(jìn)入愛丁堡中學(xué)學(xué)習(xí)。14歲在愛丁堡皇家學(xué)會(huì)會(huì)刊上發(fā)表了一篇關(guān)于二次曲線作圖問題的論文。1847年進(jìn)入愛丁堡大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和物理。1850年轉(zhuǎn)入劍橋大學(xué)三一學(xué)院數(shù)學(xué)系學(xué)習(xí)。1854年畢業(yè)留校任職兩年。1856年在蘇格蘭阿伯丁的馬里沙耳任自然哲學(xué)教授。1860年到倫敦國王學(xué)院任自然哲學(xué)和天文學(xué)教授。1861年選為倫敦皇家學(xué)會(huì)會(huì)員。1865年春辭去教職回到家鄉(xiāng)系統(tǒng)地總結(jié)他的關(guān)于電磁學(xué)的研究成果，完成了電磁場理論的經(jīng)典巨著論電和磁，并于1873年出版。1871年受聘

4、為劍橋大學(xué)新設(shè)立的卡文迪什試驗(yàn)物理學(xué)教授，負(fù)責(zé)籌建著名的卡文迪什實(shí)驗(yàn)室。1874年建成后擔(dān)任這個(gè)實(shí)驗(yàn)室的第一任主任，直到1879年11月5日因病在劍橋逝世。詹姆斯克拉克麥克斯韋19世紀(jì)偉大的英國物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家。時(shí)變場的知識結(jié)構(gòu)框圖：時(shí)變場的知識結(jié)構(gòu)框圖：磁通磁通連續(xù)性原理連續(xù)性原理高斯定律高斯定律電磁感應(yīng)定律電磁感應(yīng)定律全電流定律全電流定律MaxwellMaxwell方程組方程組坡印廷定理與坡印廷矢量坡印廷定理與坡印廷矢量正弦電磁場正弦電磁場動(dòng)態(tài)位動(dòng)態(tài)位A A , ,分界面上銜接條件分界面上銜接條件達(dá)朗貝爾方程達(dá)朗貝爾方程電磁輻射、傳輸線及波導(dǎo)電磁輻射、傳輸線及波導(dǎo)1.1.電磁感應(yīng)定律電磁感

5、應(yīng)定律（Faradays Law） 1831年法拉弟在實(shí)驗(yàn)中觀測到電磁感應(yīng)現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)僅當(dāng)年法拉弟在實(shí)驗(yàn)中觀測到電磁感應(yīng)現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)僅當(dāng)與回路交鏈的磁通發(fā)生變化時(shí)產(chǎn)生磁的電效應(yīng)，如與回路交鏈的磁通發(fā)生變化時(shí)產(chǎn)生磁的電效應(yīng)，如Faradays Law and Amperes Circuital Law4.1 4.1 電磁感應(yīng)定律和全電流定律電磁感應(yīng)定律和全電流定律I電磁感應(yīng)現(xiàn)象的產(chǎn)生分為兩類：電磁感應(yīng)現(xiàn)象的產(chǎn)生分為兩類：i（t） 磁場不變，導(dǎo)體回路運(yùn)動(dòng)磁場不變，導(dǎo)體回路運(yùn)動(dòng) 導(dǎo)體回路不動(dòng)，磁場變化導(dǎo)體回路不動(dòng)，磁場變化兩類現(xiàn)象的共同點(diǎn)兩類現(xiàn)象的共同點(diǎn) 導(dǎo)導(dǎo)體回路的磁感應(yīng)通量發(fā)生了變體回路的磁感應(yīng)通量

6、發(fā)生了變化產(chǎn)生感應(yīng)電勢化產(chǎn)生感應(yīng)電勢ddt E 感生電動(dòng)勢的參考方向 注意注意 負(fù)號表示感應(yīng)電流產(chǎn)生的負(fù)號表示感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場總是阻礙原磁場的變化。磁場總是阻礙原磁場的變化。B1 1）回路不動(dòng)，磁場隨時(shí)間變化）回路不動(dòng)，磁場隨時(shí)間變化dddSttBSE稱為感生電動(dòng)勢，為變壓器工作原理，亦稱變壓器電勢。稱為感生電動(dòng)勢，為變壓器工作原理，亦稱變壓器電勢。 感生電動(dòng)勢由電磁感應(yīng)的類型得感應(yīng)電勢產(chǎn)生的方法由電磁感應(yīng)的類型得感應(yīng)電勢產(chǎn)生的方法2 2）磁場不變，回路運(yùn)動(dòng)切割磁力線）磁場不變，回路運(yùn)動(dòng)切割磁力線d() ddlt BlE稱動(dòng)生電動(dòng)勢，是發(fā)電機(jī)工稱動(dòng)生電動(dòng)勢，是發(fā)電機(jī)工作原理，亦稱發(fā)電機(jī)電勢。

7、作原理，亦稱發(fā)電機(jī)電勢。 動(dòng)生電動(dòng)勢若若B均勻，且均勻，且l、B、V三三者垂直，則者垂直，則vBlEBqvfifEvBq3 3）磁場隨時(shí)間變化，回路切割磁力線）磁場隨時(shí)間變化，回路切割磁力線d() dddlStt BBlSE兩種電磁感應(yīng)現(xiàn)象是兩種物理性質(zhì)不同的現(xiàn)象，但都服兩種電磁感應(yīng)現(xiàn)象是兩種物理性質(zhì)不同的現(xiàn)象，但都服從統(tǒng)一的法拉第電磁感應(yīng)定律。從統(tǒng)一的法拉第電磁感應(yīng)定律。結(jié)論產(chǎn)生電場的源不僅有電荷，變化的磁場也產(chǎn)生電場，電產(chǎn)生電場的源不僅有電荷，變化的磁場也產(chǎn)生電場，電場與磁場緊密相連。場與磁場緊密相連。電磁感應(yīng)定律表明：感應(yīng)電動(dòng)勢與構(gòu)成回路的材料性質(zhì)無電磁感應(yīng)定律表明：感應(yīng)電動(dòng)勢與構(gòu)成回路

8、的材料性質(zhì)無關(guān)（甚至可以是關(guān)（甚至可以是假想回路假想回路），只要與回路交鏈的磁通發(fā)生），只要與回路交鏈的磁通發(fā)生變化，回路中就有感應(yīng)電動(dòng)勢。當(dāng)回路是導(dǎo)體時(shí)，才有感變化，回路中就有感應(yīng)電動(dòng)勢。當(dāng)回路是導(dǎo)體時(shí)，才有感應(yīng)電流產(chǎn)生。應(yīng)電流產(chǎn)生。感應(yīng)電動(dòng)勢與感應(yīng)電場的關(guān)系為感應(yīng)電動(dòng)勢與感應(yīng)電場的關(guān)系為：感應(yīng)電場也叫做感應(yīng)電場也叫做渦旋電場渦旋電場，是非保守場是非保守場，電力線呈閉合曲，電力線呈閉合曲線，變化的磁場是產(chǎn)生線，變化的磁場是產(chǎn)生Ei的渦旋源。的渦旋源。() ()iilslBE dlEdSVB dldSdtEE()iBEVBt在靜止媒質(zhì)中在靜止媒質(zhì)中 2. 全電流定律全電流定律（Amperes

9、Law）問題的提出問題的提出 法拉第根據(jù)電磁之間的對偶關(guān)系，提出變化的磁場產(chǎn)法拉第根據(jù)電磁之間的對偶關(guān)系，提出變化的磁場產(chǎn)生電場，那么變化的電場是否會(huì)產(chǎn)生磁場呢？生電場，那么變化的電場是否會(huì)產(chǎn)生磁場呢？ 麥克斯韋從安培環(huán)路定律與電荷守恒定律的矛盾出發(fā)麥克斯韋從安培環(huán)路定律與電荷守恒定律的矛盾出發(fā)提出隨時(shí)間變化的電通量與傳導(dǎo)電流一樣可以產(chǎn)生磁場。提出隨時(shí)間變化的電通量與傳導(dǎo)電流一樣可以產(chǎn)生磁場。dSJIl dHlJH 0 J電流連續(xù)電流連續(xù) 恒定磁場恒定磁場 0dd2SlSJlH交變電路用安培環(huán)路定律電荷與電流連續(xù)性定律電荷與電流連續(xù)性定律iSl1ddSJlH取取S1面有面有illH d線積分結(jié)

10、果不同！線積分結(jié)果不同！取取S2面有面有dtdqdSJItJ安培環(huán)路定律安培環(huán)路定律時(shí)變場時(shí)變場安培環(huán)路定律和電荷與電流連續(xù)性定理只有在恒定情況安培環(huán)路定律和電荷與電流連續(xù)性定理只有在恒定情況下是一致的，在時(shí)變情況下是矛盾的。下是一致的，在時(shí)變情況下是矛盾的。麥克斯韋認(rèn)為電荷與電流連續(xù)性定理符合電荷守恒定律是無可懷疑的，電荷與電流連續(xù)性定理符合電荷守恒定律是無可懷疑的，而安培環(huán)路定律是在恒定情況下得出的需加以修正。而安培環(huán)路定律是在恒定情況下得出的需加以修正。麥克斯韋的兩個(gè)假設(shè)麥克斯韋的兩個(gè)假設(shè) 靜電場中的高斯定理在時(shí)變情況下仍然是正確的；靜電場中的高斯定理在時(shí)變情況下仍然是正確的；0)(tD

11、JdtdqSJlddSDtSdDt0)(SdDJtt DJHSdJJlHd)(dSl0)(tDJ全電流連續(xù)全電流連續(xù) 位移電流與傳導(dǎo)電流一樣具有磁的效應(yīng)；位移電流與傳導(dǎo)電流一樣具有磁的效應(yīng)；tDJd位移電流的密度位移電流的密度SdDdSEStS在時(shí)變場中，單純的傳導(dǎo)電流是不連續(xù)的，傳在時(shí)變場中，單純的傳導(dǎo)電流是不連續(xù)的，傳導(dǎo)電流加位移電流才是連續(xù)的，這就是麥克斯導(dǎo)電流加位移電流才是連續(xù)的，這就是麥克斯韋位移電流假說；韋位移電流假說；結(jié)論全電流定律全電流定律SDJlHd)(dSlt傳導(dǎo)電傳導(dǎo)電流中斷處位移電流接上流中斷處位移電流接上22ddSSitqSttSDiSSJ d1=iq0tDdJ當(dāng)當(dāng)當(dāng)

12、當(dāng)iq0tD不僅傳導(dǎo)電流引起磁場，位移電流（變化的電場）也引起不僅傳導(dǎo)電流引起磁場，位移電流（變化的電場）也引起磁場；磁場；dJSDJlHd)(dSlt真空中的位移電流僅對應(yīng)于電場的變化，不伴有電荷的任真空中的位移電流僅對應(yīng)于電場的變化，不伴有電荷的任何運(yùn)動(dòng)，不產(chǎn)生焦耳熱，只是在產(chǎn)生磁的效應(yīng)方面與傳導(dǎo)何運(yùn)動(dòng)，不產(chǎn)生焦耳熱，只是在產(chǎn)生磁的效應(yīng)方面與傳導(dǎo)電流等效；電流等效；全電流定律適用于時(shí)變場也適用于恒定場。全電流定律適用于時(shí)變場也適用于恒定場。 全電流定律反映了電場和磁場作為一個(gè)統(tǒng)一體相互制全電流定律反映了電場和磁場作為一個(gè)統(tǒng)一體相互制約、相互依賴的另一個(gè)方面，它和法拉第電磁感應(yīng)定律處約、相互

13、依賴的另一個(gè)方面，它和法拉第電磁感應(yīng)定律處于同一地位。于同一地位。位移電流位移電流cSituCtudSidSdJddd)dd()(tudtDJddd已知平板電容器的面積已知平板電容器的面積 S , ,相距相距d , ,介質(zhì)的介電常數(shù)介質(zhì)的介電常數(shù) ，板間，板間電壓電壓u( t )。試求位移電流試求位移電流 id及傳導(dǎo)電流及傳導(dǎo)電流 iC與與 id 的關(guān)系。的關(guān)系。例例解 忽略邊緣效應(yīng)和感應(yīng)電場忽略邊緣效應(yīng)和感應(yīng)電場dtuEDduE)(,電場電場sqSD d0dsSBSBlEdd lStSDJlHd)(dlst1. 電磁場基本方程組電磁場基本方程組 (Maxwell Equations) 綜上所

14、述綜上所述, ,電磁場基本方程組電磁場基本方程組t DJHt BE0 B D全電流定律全電流定律 電磁感應(yīng)定律電磁感應(yīng)定律磁通連續(xù)性原理磁通連續(xù)性原理高斯定律高斯定律Maxwell Eguations and Boundary Conditions全電流定律：麥克斯韋第一方程，表明傳導(dǎo)電流和變化 的電場都能產(chǎn)生磁場。電磁感應(yīng)定律：麥克斯韋第二方程，表明電荷和變化的磁場都能產(chǎn)生電場。磁通連續(xù)性原理：表明磁場是無源場 , 磁力線總是閉合曲線。高斯定律：表明電荷以發(fā)散的方式產(chǎn)生電場 (變化的磁場以渦旋的形式產(chǎn)生電場)。4.2 4.2 電磁場基本方程組電磁場基本方程組分界面上的銜接條件分界面上的銜接條

15、件在各向同性的媒質(zhì)中在各向同性的媒質(zhì)中EDEJHB麥克斯韋方程組適用于時(shí)變場也適用于恒定場，它全面表達(dá)麥克斯韋方程組適用于時(shí)變場也適用于恒定場，它全面表達(dá)了電磁場的基本規(guī)律，是分析和研究電磁場問題的依據(jù)。了電磁場的基本規(guī)律，是分析和研究電磁場問題的依據(jù)。結(jié)論t DJHt BE D0 B恒定磁場恒定磁場靜電場靜電場麥克斯韋第一、二方程是獨(dú)立方程，三、四方程可以從一、麥克斯韋第一、二方程是獨(dú)立方程，三、四方程可以從一、二方程中推得。二方程中推得。t DJH0)(tDJHtJDt D同理同理t BE0BEt0 B麥克斯韋第一、二方程的核心是變化的電場可以產(chǎn)生磁場，麥克斯韋第一、二方程的核心是變化的電

16、場可以產(chǎn)生磁場，變化的磁場可以產(chǎn)生電場，說明電磁場可以脫離電荷和電變化的磁場可以產(chǎn)生電場，說明電磁場可以脫離電荷和電流而獨(dú)立存在，且相互作用相互推動(dòng)，由此麥克斯韋在理流而獨(dú)立存在，且相互作用相互推動(dòng)，由此麥克斯韋在理論上預(yù)言了電磁波的存在。論上預(yù)言了電磁波的存在。 時(shí)變電磁場中媒質(zhì)分界面上的銜接條件的推導(dǎo)方式與前時(shí)變電磁場中媒質(zhì)分界面上的銜接條件的推導(dǎo)方式與前三章類同，應(yīng)用積分形式的基本方程：三章類同，應(yīng)用積分形式的基本方程：2. 分界面上的銜接條件分界面上的銜接條件 ( Boundary Conditions )lqdSDnnDD12l0dSBnnBB21法向分量法向分量電場的切向分量電場的

17、切向分量SBlEdd SltStBlElElEttddSl12112根據(jù)根據(jù)02l 令令ttEE12磁場的切向分量磁場的切向分量SDlHdtiSl ddStDdlHSl211211lKlHlHtt根據(jù)根據(jù)02l 令令12ttHHK12nnBB磁場磁場：21ttEE21nnDD電場電場：折射定律折射定律2121tantan2121tantan推導(dǎo)時(shí)變場中理想導(dǎo)體與理想介質(zhì)分界面上的銜接條件。推導(dǎo)時(shí)變場中理想導(dǎo)體與理想介質(zhì)分界面上的銜接條件。例例分析在理想導(dǎo)體中在理想導(dǎo)體中為有限值為有限值EJ,;0E0)( 常數(shù)CB0tBE若若0CB由由0C的建立過程中的建立過程中0tB0E0, BEJ只有所以結(jié)

18、論結(jié)論: : 理想導(dǎo)體內(nèi)部無電磁場，電磁波發(fā)生全反射。理想導(dǎo)體內(nèi)部無電磁場，電磁波發(fā)生全反射。根據(jù)銜接條件根據(jù)銜接條件012 EEttDDnn1221ttHHK012BBnn分界面介質(zhì)側(cè)的場量分界面介質(zhì)側(cè)的場量0tEnDtH K0nB導(dǎo)體表面有感應(yīng)的面電荷和面電流，磁力線平導(dǎo)體表面有感應(yīng)的面電荷和面電流，磁力線平行于導(dǎo)體表面，電力線垂直于導(dǎo)體表面。行于導(dǎo)體表面，電力線垂直于導(dǎo)體表面。3.3.時(shí)變場中的唯一性定理時(shí)變場中的唯一性定理 時(shí)變場中的唯一性定理說明在時(shí)變場中求解麥克時(shí)變場中的唯一性定理說明在時(shí)變場中求解麥克斯韋方程組獲得唯一解答所需滿足的充分必要條件。斯韋方程組獲得唯一解答所需滿足的充

19、分必要條件。),()zyxEtz,y,E(x,00唯一性定理：唯一性定理：凡滿足下列條件的解凡滿足下列條件的解E(x, y, z,t) B(x, y, z,t)是唯一正確的解。是唯一正確的解。 在所求區(qū)域在所求區(qū)域V中滿足麥克斯韋方程組中滿足麥克斯韋方程組 在所求區(qū)域個(gè)各點(diǎn)在所求區(qū)域個(gè)各點(diǎn)E、H 滿足已知的初始條件；滿足已知的初始條件；),()zyxHtz,y,H(x,00 在所求區(qū)域邊界在所求區(qū)域邊界E、H 的切線分量的切線分量等于已知值。等于已知值。例例 4-1 4-1 在無源的自由空間中，已知磁場強(qiáng)度為在無源的自由空間中，已知磁場強(qiáng)度為A/m)10103cos(1063. 295yezt

20、H 求位移電流密度。求位移電流密度。 解解: :0J麥克斯韋第一方程變?yōu)辂溈怂鬼f第一方程變?yōu)閠DH請注意計(jì)算公式的形式請注意計(jì)算公式的形式 xydezHHtDJ zxyyzxxyze )yAxA(e )xAzA(e )zAyA(AArot 注意注意:已知變化的磁場用第一方程可求電場，而已知變化的電已知變化的磁場用第一方程可求電場，而已知變化的電場用第二方程可求磁場。場用第二方程可求磁場。例例 4-2 4-2 在無源區(qū)域中在無源區(qū)域中, ,已知調(diào)頻廣播電臺(tái)輻射的電磁波的電場已知調(diào)頻廣播電臺(tái)輻射的電磁波的電場強(qiáng)度強(qiáng)度 V/m , , 求空間任意一點(diǎn)的求空間任意一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。磁感應(yīng)強(qiáng)度。解解:

21、: 由麥克斯韋第二方程，由麥克斯韋第二方程，將上式對時(shí)間將上式對時(shí)間t t積分，則積分，則這里，不考慮這里，不考慮靜態(tài)場靜態(tài)場, , 所以積分常數(shù)取零所以積分常數(shù)取零. .yeztE)9 .201028. 6sin(1092xxyeztezEEtB)9 .201028. 6cos(109 .2092TeztdtezEBxxy)9 .201028. 6sin(1033. 3911例例 4-34-3 比較傳導(dǎo)電流和位移電流的大小比較傳導(dǎo)電流和位移電流的大小. . 設(shè)導(dǎo)體中存在電場設(shè)導(dǎo)體中存在電場, ,電場強(qiáng)度為電場強(qiáng)度為 , , 導(dǎo)體的電導(dǎo)率導(dǎo)體的電導(dǎo)率: : 介電常數(shù)為介電常數(shù)為 。解解: :

22、傳導(dǎo)電流密度為傳導(dǎo)電流密度為 , , 這里這里 。該題說明。該題說明, , 在良導(dǎo)體中位移電流很小在良導(dǎo)體中位移電流很小. .例例 4-44-4 兩塊導(dǎo)電平板兩塊導(dǎo)電平板z=z=0 0和和z=dz=d之間的空氣中傳播的電磁波的之間的空氣中傳播的電磁波的電流強(qiáng)度為電流強(qiáng)度為 , ,其中其中 為常數(shù)，試求為常數(shù)，試求: : (1) (1) 磁場強(qiáng)度磁場強(qiáng)度; (2) ; (2) 兩塊導(dǎo)電平板表面上的電流線密度兩塊導(dǎo)電平板表面上的電流線密度. . tEmsin710/S m0EJtEtEtDJmdcos)(0fJJd17010|yextzdEE)cos(sin0f2 解解：(1) (1) 由麥克斯韋

23、第二方程由麥克斯韋第二方程: : 得得 所以所以 (2) (2) 導(dǎo)體表面線電流存在于兩塊導(dǎo)體相對的一側(cè)導(dǎo)體表面線電流存在于兩塊導(dǎo)體相對的一側(cè), , 在在z z=0=0的表面上的表面上, , 在在z z=d=d的表面上，的表面上，tBEyyzextdEeHK)sin(|0001yydzextdEeHK)sin()(|002zyxyexEezEtH0)cos(sin)sin(cos)(1000zxzyxyextdzextdzdEdtexEezEH1. 1. 時(shí)變場中的動(dòng)態(tài)位時(shí)變場中的動(dòng)態(tài)位Kinetic Potentials and Integral Solutions4.3 4.3 動(dòng)態(tài)位及其

24、積分解動(dòng)態(tài)位及其積分解1 1） 引入位函數(shù)的依據(jù)是什么；引入位函數(shù)的依據(jù)是什么；2 2） 位函數(shù)和場量滿足怎樣的關(guān)系；位函數(shù)和場量滿足怎樣的關(guān)系；3 3） 位函數(shù)滿足怎樣的微分方程。位函數(shù)滿足怎樣的微分方程。從從Maxwell方程組出發(fā)方程組出發(fā)tttAABE)(由0 B由AB矢量位矢量位提出問題提出問題在時(shí)變場中是否在時(shí)變場中是否可以像恒定可以像恒定場那樣引入位函數(shù)？場那樣引入位函數(shù)？0)(tAEtAE標(biāo)量位標(biāo)量位動(dòng)態(tài)位動(dòng)態(tài)位引入的依據(jù)引入的依據(jù)0()0t BAE動(dòng)態(tài)位動(dòng)態(tài)位與場量的關(guān)系與場量的關(guān)系 BAAEt注意A、 相互聯(lián)系，結(jié)合在一起才能確定電磁場，它們不相互聯(lián)系，結(jié)合在一起才能確定電

25、磁場，它們不僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)，同時(shí)又都隨時(shí)間變化，故稱為動(dòng)僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)，同時(shí)又都隨時(shí)間變化，故稱為動(dòng)態(tài)位。態(tài)位。在時(shí)變場中如求得在時(shí)變場中如求得 A、，就，就可以通過位函數(shù)求得場量可以通過位函數(shù)求得場量B、E。AAAA2 2）洛侖茲規(guī)范）洛侖茲規(guī)范0 A1 1）庫侖規(guī)范）庫侖規(guī)范0tA 當(dāng)一個(gè)矢量場的旋度和散度確定以后，這個(gè)矢量場當(dāng)一個(gè)矢量場的旋度和散度確定以后，這個(gè)矢量場才是唯一確定的。才是唯一確定的。給動(dòng)態(tài)矢位給動(dòng)態(tài)矢位A加一散度條件（稱為規(guī)范）加一散度條件（稱為規(guī)范）2. 2. 庫侖規(guī)范和洛侖茲規(guī)范庫侖規(guī)范和洛侖茲規(guī)范如如恒定場情況恒定場情況規(guī)范規(guī)范唯一確定動(dòng)唯一確定動(dòng)態(tài)位態(tài)位A

26、、 )(1ttAJA()tA帶入洛侖茲規(guī)范帶入洛侖茲規(guī)范tDHJ由由D由由tA3. 3. 動(dòng)態(tài)位的微分方程動(dòng)態(tài)位的微分方程把動(dòng)態(tài)位的定義帶入把動(dòng)態(tài)位的定義帶入麥克斯韋方程中麥克斯韋方程中)()(tAJAA222t2t A222222tt AAJ注意JA2/2達(dá)朗貝爾方程達(dá)朗貝爾方程或波動(dòng)方程或波動(dòng)方程洛侖茲規(guī)范的特殊性質(zhì)是使洛侖茲規(guī)范的特殊性質(zhì)是使A、 具有相同形式的微分方程，具有相同形式的微分方程， A、 完全分開，簡化了動(dòng)態(tài)位與場源之間的關(guān)系完全分開，簡化了動(dòng)態(tài)位與場源之間的關(guān)系; ; 若場量不隨時(shí)間變化，達(dá)朗貝爾方程蛻變?yōu)椴此煞匠?；若場量不隨時(shí)間變化，達(dá)朗貝爾方程蛻變?yōu)椴此煞匠?；達(dá)朗貝爾

27、方程適用于各向同性線性的媒質(zhì)；達(dá)朗貝爾方程適用于各向同性線性的媒質(zhì)；4. 達(dá)朗貝爾方程的解達(dá)朗貝爾方程的解以時(shí)變點(diǎn)電荷為例，以時(shí)變點(diǎn)電荷為例，除坐標(biāo)原點(diǎn)外場中各點(diǎn)滿足除坐標(biāo)原點(diǎn)外場中各點(diǎn)滿足0222t222)(1)(trvrr22)(1)(1),(21vrtfrvrtfrtr f 1，f2 是具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的任意函數(shù)，其具體是具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的任意函數(shù)，其具體形式與點(diǎn)電荷的變化情況及空間媒質(zhì)情況有關(guān)。形式與點(diǎn)電荷的變化情況及空間媒質(zhì)情況有關(guān)。取球坐標(biāo)取球坐標(biāo)通解通解1v一維波動(dòng)方程一維波動(dòng)方程ttt)()(11vrtfvtvrttf有有通解的物理意義通解的物理意義1211( , )()(

28、)rrr tf tf trvrv的物理意義)(1vrtf討論當(dāng)當(dāng)tv rr 這種在一給定時(shí)間和位置發(fā)生的某一物理現(xiàn)象，在下一這種在一給定時(shí)間和位置發(fā)生的某一物理現(xiàn)象，在下一時(shí)間和位置重復(fù)發(fā)生且延遲的時(shí)間與離開前一位置的距離成時(shí)間和位置重復(fù)發(fā)生且延遲的時(shí)間與離開前一位置的距離成比例的一組現(xiàn)象稱為波。比例的一組現(xiàn)象稱為波。vt tv說明說明 f1 以有限速度以有限速度 向向 方向傳播，稱之為方向傳播，稱之為入射波入射波。r 入射波 的物理意義)(2vrtfttt當(dāng)當(dāng)tv rr)()(22vrtfvtvrttf在無限大均勻媒質(zhì)中沒有反射波，即在無限大均勻媒質(zhì)中沒有反射波，即 f2 = 0。說明：說明

29、： f2 在在 時(shí)間內(nèi)時(shí)間內(nèi), ,以速度以速度 向向(- )(- )方向前進(jìn)方向前進(jìn) 了了tvtr距離，故稱之為距離，故稱之為反射波反射波。 波的入射、反射與透射 把波動(dòng)方程和泊松方程的解結(jié)合，由此推論，時(shí)變點(diǎn)電把波動(dòng)方程和泊松方程的解結(jié)合，由此推論，時(shí)變點(diǎn)電荷的動(dòng)態(tài)標(biāo)量位為荷的動(dòng)態(tài)標(biāo)量位為動(dòng)態(tài)位的積分的表達(dá)式動(dòng)態(tài)位的積分的表達(dá)式根據(jù)疊加原理，根據(jù)疊加原理，連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的位函數(shù)為連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的位函數(shù)為( , ,)( , , , )d4 Vrx y z tvx y z tVr 無反射無反射的特解為的特解為20靜電場中，靜電場中，()( )4rq tvtr無反射無反射4qr （無限大均勻媒

30、質(zhì)）（無限大均勻媒質(zhì)）討論若激勵(lì)源是時(shí)變電流源時(shí)若激勵(lì)源是時(shí)變電流源時(shí)VrvrtzyxtzyxVd),(4),(JA（無反射）（無反射） 達(dá)朗貝爾方程解的形式表明：達(dá)朗貝爾方程解的形式表明：t 時(shí)刻的響應(yīng)取時(shí)刻的響應(yīng)取 決于決于 時(shí)刻的激勵(lì)源。又稱時(shí)刻的激勵(lì)源。又稱 為為滯后滯后位位，即動(dòng)態(tài)位隨時(shí)間的變化落后于源的變化。即動(dòng)態(tài)位隨時(shí)間的變化落后于源的變化。(/)trvA方程的解說明電磁場的特性場的滯后性場的滯后性 1v場的波動(dòng)性場的波動(dòng)性 達(dá)朗貝爾方程解的形式表明：場量變化比場源達(dá)朗貝爾方程解的形式表明：場量變化比場源變化滯后的時(shí)間正是波以速度變化滯后的時(shí)間正是波以速度v 推進(jìn)距離推進(jìn)距離r

31、所需要所需要的時(shí)間，電磁波是以有限速度以波的形式傳播的，的時(shí)間，電磁波是以有限速度以波的形式傳播的， 光也是一種電磁波。光也是一種電磁波。 在真空中，在真空中，v=c=3108m/s, ,同光速。同光速。例題例題 4-54-5 在時(shí)變電磁場中，已知矢量位函數(shù)在時(shí)變電磁場中，已知矢量位函數(shù) 其中其中 和和 均為常數(shù)均為常數(shù). 求電場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度求電場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度.解解： 由由洛侖茲條件，得洛侖茲條件，得sin()zmxAA etz e,mAAB0At sin()cos()zmyA etztz e),(zyxCcos() zmxEAetz e在時(shí)變電磁場中，感應(yīng)電場通常比靜電場大得多，所在

32、時(shí)變電磁場中，感應(yīng)電場通常比靜電場大得多，所以忽略靜電場后，得以忽略靜電場后，得 恒定場中，電場能量儲(chǔ)存在電場中，磁場能量儲(chǔ)恒定場中，電場能量儲(chǔ)存在電場中，磁場能量儲(chǔ)存在磁場中，能量密度分別為存在磁場中，能量密度分別為1122emw w w D EB HPoynting Theorem and Poynting Vector 4.4 4.4 坡坡印亭定理和坡印亭矢量印亭定理和坡印亭矢量問題的問題的提出：提出：時(shí)變場中，電場磁場同時(shí)存在，電磁能量密度為多少？時(shí)變場中，電場磁場同時(shí)存在，電磁能量密度為多少？11 22emwwD E B H 麥克斯韋假設(shè)時(shí)麥克斯韋假設(shè)時(shí)變場中任何時(shí)刻空間任一點(diǎn)的電磁

33、變場中任何時(shí)刻空間任一點(diǎn)的電磁能量密度為能量密度為4.4.1 坡坡印亭定理印亭定理（Poynting Theorem）221111()=(2222wEHtttD EB H）ttDBEH兩邊對兩邊對 t 求導(dǎo)，求導(dǎo)，dVWwttV（3）（2）EHEHtt（）（）()() EHJHE電磁場中任一體積電磁場中任一體積V內(nèi)儲(chǔ)存的總電磁能量為內(nèi)儲(chǔ)存的總電磁能量為()wtEHE J() ddSV EHSE J V則有則有由矢量由矢量恒等式恒等式()()wt EHJHE()() EHE JHE() d =dSVWtEHSE J V()() HEEHE Jd() ddVVVWwtt VEHVE J V若考慮體

34、積內(nèi)含有電源若考慮體積內(nèi)含有電源)(eEEJeEJE 體積體積V內(nèi)電源提供內(nèi)電源提供的能量，減去的能量，減去電阻電阻消耗消耗的的熱熱能，能，減去電磁能量減去電磁能量的增量，的增量，等于穿等于穿出包圍體積出包圍體積V的的閉合面閉合面 S 向外輸送向外輸送的電磁的電磁能量能量。tWVJVVVeSddJESdHE2)(坡印亭定理坡印亭定理坡印亭定理的物理意義() d =dSVWtEHSE J VVJVsVVeddd)(2JESHE在恒定場中在恒定場中坡印亭定理是電磁場的能量守恒表達(dá)式是宏觀電磁現(xiàn)坡印亭定理是電磁場的能量守恒表達(dá)式是宏觀電磁現(xiàn)象的一個(gè)普遍定理；象的一個(gè)普遍定理；注意坡印亭定理適用于時(shí)變

35、場也適用于恒定場；坡印亭定理適用于時(shí)變場也適用于恒定場；若不存在外電源若不存在外電源VJsVdSdHE2)(若不存在導(dǎo)電媒質(zhì)若不存在導(dǎo)電媒質(zhì)s0)(SdHE磁鐵與靜電荷產(chǎn)生的磁場、電場不構(gòu)成能量的流動(dòng)。磁鐵與靜電荷產(chǎn)生的磁場、電場不構(gòu)成能量的流動(dòng)。 表示單位時(shí)間內(nèi)流過與電磁波傳播方向相垂直單表示單位時(shí)間內(nèi)流過與電磁波傳播方向相垂直單位面積上的電磁能量，亦稱為位面積上的電磁能量，亦稱為功率流密度功率流密度，S 的方向的方向代表波傳播的方向，也是電磁能量流動(dòng)的方向。代表波傳播的方向，也是電磁能量流動(dòng)的方向。4.4.24.4.2. .坡印亭矢量坡印亭矢量 (Poynting Vector)HESW/

36、m2 定義坡印亭矢量定義坡印亭矢量電磁波的傳播用坡印亭矢量分析直流電源沿同軸電纜向負(fù)載傳送能量用坡印亭矢量分析直流電源沿同軸電纜向負(fù)載傳送能量的過程。設(shè)電纜為理想導(dǎo)體，內(nèi)外半徑分別為的過程。設(shè)電纜為理想導(dǎo)體，內(nèi)外半徑分別為a 和和b。 理想導(dǎo)體內(nèi)部電磁場為零，理想導(dǎo)體內(nèi)部電磁場為零，S內(nèi)內(nèi)=0。坡印亭矢量存在于內(nèi)外導(dǎo)體間的介質(zhì)中。坡印亭矢量存在于內(nèi)外導(dǎo)體間的介質(zhì)中。4.4.34.4.3. .坡印亭定理的應(yīng)用坡印亭定理的應(yīng)用例例解電纜外部電磁場為零，電纜外部電磁場為零，S外外=0。設(shè)介質(zhì)設(shè)介質(zhì)無損耗無損耗電場強(qiáng)度電場強(qiáng)度eE)a/bln(UeH2Iz2I)a/bln(UeHES磁場強(qiáng)度磁場強(qiáng)度坡

37、印亭矢量坡印亭矢量側(cè)面?zhèn)让鍭dSAdSAdSdASBAP流入內(nèi)外導(dǎo)體間任意封閉面的功率為流入內(nèi)外導(dǎo)體間任意封閉面的功率為ABbaUIabUIPdA2/ln22UIBP0當(dāng)導(dǎo)體和介質(zhì)無損耗時(shí)，電源提供的能量全部當(dāng)導(dǎo)體和介質(zhì)無損耗時(shí)，電源提供的能量全部輸送到負(fù)載，能量是通過坡印亭矢量傳遞的；輸送到負(fù)載，能量是通過坡印亭矢量傳遞的；結(jié)論 S在在導(dǎo)體之間的介質(zhì)中傳輸，說明電磁能量是通導(dǎo)體之間的介質(zhì)中傳輸，說明電磁能量是通過導(dǎo)體周圍的電磁場傳播的，導(dǎo)線只起導(dǎo)引電過導(dǎo)體周圍的電磁場傳播的，導(dǎo)線只起導(dǎo)引電磁能流走向的作用。磁能流走向的作用。例例解電纜長為電纜長為 l，內(nèi)導(dǎo)體半徑為內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，電導(dǎo)率為，電

38、導(dǎo)率為 ，試分析內(nèi)導(dǎo)，試分析內(nèi)導(dǎo)體損耗的能量。體損耗的能量。HEStnHESnt,IEHSP設(shè)122ttzIaJEEe電場電場zRIe0eHaI2 磁場磁場計(jì)算導(dǎo)體吸收的功率計(jì)算導(dǎo)體吸收的功率ntSE H201)2I Rae(內(nèi)導(dǎo)體內(nèi)導(dǎo)體表面表面dAS SP2001() 22 LI ReadleaRIRI202L結(jié)論 對于有損耗的傳輸線電磁能量仍通過導(dǎo)體之間的坡印對于有損耗的傳輸線電磁能量仍通過導(dǎo)體之間的坡印亭矢量（導(dǎo)體周圍的電磁場）傳輸，在傳輸?shù)倪^程中部亭矢量（導(dǎo)體周圍的電磁場）傳輸，在傳輸?shù)倪^程中部分能量被導(dǎo)體電阻消耗，部分能量傳遞到負(fù)載。分能量被導(dǎo)體電阻消耗，部分能量傳遞到負(fù)載。電路中正

39、弦量有三要素：電路中正弦量有三要素：振幅振幅、頻率頻率和和相位相位。( )2 cos()i ttIjjjeIIjeII正弦電磁場也有三要素：正弦電磁場也有三要素：振幅振幅, , 頻率頻率和和相位相位。1.1.正弦電磁場的復(fù)數(shù)形式正弦電磁場的復(fù)數(shù)形式( , , , )2 ( , , )cos()x y z tx y ztFFj( , , )x y z e F F2( , , ) sin()x y ztt FF4.5 4.5 正弦電磁場正弦電磁場d ( )2sin()2cos(90 )di ttttII-jjjeFF正弦電磁場基本方程組的復(fù)數(shù)形式正弦電磁場基本方程組的復(fù)數(shù)形式場量與動(dòng)態(tài)位的關(guān)系場量

40、與動(dòng)態(tài)位的關(guān)系j AAB)(j1jjAAAEd(j) dlSH lJDSd0SBSdjdlSE lB SdSqD Sj H JDj EB D0 B在正弦電磁場中，坡印亭矢量的瞬時(shí)形式為在正弦電磁場中，坡印亭矢量的瞬時(shí)形式為)cos()(2)cos()(2),(HEtrHtrEtrS)2cos()cos()(HEHEtHE THEavttT0)cos()(d),(1)(HErSrS稱之為稱之為平均功率流密度平均功率流密度。S 在一個(gè)周期內(nèi)的平均值為在一個(gè)周期內(nèi)的平均值為2. 2. 坡印亭定理的復(fù)數(shù)形式坡印亭定理的復(fù)數(shù)形式)cos()()(R)(eHEav HEHErS)( jjj)()()(HEHEeeeHErHrEHE avHESHEHE )cos()(Re rErE)cos()(2),(Ettj)H( eH H r同理同理實(shí)部為平均功率流密度，虛部為無功功率流密度。實(shí)部為平均功率流密度，虛部為無功功率流密度。HES定義定