材料力學課件-彎曲變形

1、1彎彎 曲曲 變變 形形第第 七七 章章2第七章第七章 彎曲變形彎曲變形7-1 7-1 概述概述7-2 7-2 撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程7-3 7-3 用積分法求梁的變形用積分法求梁的變形7-4 7-4 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形7-5 7-5 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施梁的剛度條件及提高梁剛度的措施7-6 7-6 用變形比較法解簡單超靜定梁用變形比較法解簡單超靜定梁目錄目錄37-1 7-1 概概 述述7-147-1 7-1 概概 述述57-1 7-1 概概 述述67-2 7-2 撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程1.1.基本概念基本概念撓曲線方程：撓曲線方

2、程：)(xyy 由于小變形，截面形心在由于小變形，截面形心在x x方向的位移忽略不計方向的位移忽略不計撓度轉(zhuǎn)角關系為：撓度轉(zhuǎn)角關系為：dxdy tan撓曲線撓曲線yxxy撓度撓度轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角撓度撓度y y：截面形心：截面形心在在y y方向的位移方向的位移y向上為正向上為正轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角：截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。：截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。逆鐘向為正逆鐘向為正7-272.2.撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程推導彎曲正應力時，得到：推導彎曲正應力時，得到：z zEIEIM M1 1忽略剪力對變形的影響忽略剪力對變形的影響zEIxMx)()(1 7-2 7-2 撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程8

3、由數(shù)學知識可知：由數(shù)學知識可知：3222)(1 1dxdydxyd 略去高階小量，得略去高階小量，得221dxyd 所以所以zEIxMdxyd)(22 2M(x) 0M(x) 0Od ydx2 0 xyM(x) 0Odxd y 022yxM(x) b。解解1 1）由梁整體平衡分析得：）由梁整體平衡分析得：lFaFlFbFFByAyAx ,02 2）彎矩方程）彎矩方程 axxlFbxFxMAy 11110 ,AC AC 段：段： lxaaxFxlFbaxFxFxMAy 222222),()(CB CB 段：段：7-3 7-3 用積分法求梁的變形用積分法求梁的變形maxyab1x2xACDFxAy

4、FByFAByB153 3）列撓曲線近似微分方程并積分）列撓曲線近似微分方程并積分112112)(xlFbxMdxydEI 1211112)(CxlFbxEIdxdyEI 1113116DxCxlFbEIy AC AC 段：段：ax 10)()(2222222axFxlFbxMdxydEI 2222222)(22)(2CaxFxlFbxEIdxdyEI 2223232)(662DxCaxFxlFbEIy CB CB 段：段：lxa27-3 7-3 用積分法求梁的變形用積分法求梁的變形maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB164 4）由邊界條件確定積分常數(shù)）由邊界條件確定積分常數(shù)0)

5、(,22 lylx0)0(, 011 yx代入求解，得代入求解，得位移邊界條件位移邊界條件光滑連續(xù)條件光滑連續(xù)條件)()(,2121aaaxx )()(,2121ayayaxx lFbFblCC661321 021 DD7-3 7-3 用積分法求梁的變形用積分法求梁的變形maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB175 5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程)(6222211bllFbxlFbEI 12231)(661xbllFbxlFbEIy AC AC 段：段：ax 10)(6)(222222222bllFbaxFxlFbEI22232322)(6)(66xbllFba

6、xFxlFbEIyCB CB 段：段：lxa27-3 7-3 用積分法求梁的變形用積分法求梁的變形maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB186 6）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度令令 得，得，0 dxd )(6,maxalEIlFablxB 令令 得，得，0 dxdy)(39)(,3322max22EIlblFbyblx 7-3 7-3 用積分法求梁的變形用積分法求梁的變形maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB19討討 論論積分法求變形有什么優(yōu)缺點？積分法求變形有什么優(yōu)缺點？7-3 7-3 用積分法求梁的變形用積分法求梁的變形207-4 7-4 用疊加法

7、求梁的變形用疊加法求梁的變形)(22xMEIydxydEI 設梁上有設梁上有n n 個載荷同時作用，任意截面上的彎矩個載荷同時作用，任意截面上的彎矩為為M(x)M(x)，轉(zhuǎn)角為，轉(zhuǎn)角為 ，撓度為，撓度為y y，則有：，則有： )(xMEIyii 若梁上只有第若梁上只有第i i個載荷單獨作用，截面上彎矩個載荷單獨作用，截面上彎矩為為 ，轉(zhuǎn)角為，轉(zhuǎn)角為 ，撓度為，撓度為 ，則有：，則有：i iy)(xMi由彎矩的疊加原理知：由彎矩的疊加原理知：)()(1xMxMnii 所以，所以，)( )( 11xMyEIyEIniinii 7-421故故 )( 1 niiyy由于梁的邊界條件不變，因此由于梁的邊

8、界條件不變，因此,1niiniiyy1重要結(jié)論：重要結(jié)論： 梁在若干個載荷共同作用時的撓度或轉(zhuǎn)角，等梁在若干個載荷共同作用時的撓度或轉(zhuǎn)角，等于在各個載荷單獨作用時的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。于在各個載荷單獨作用時的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。這就是這就是計算彎曲變形的疊加原理計算彎曲變形的疊加原理。7-4 7-4 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形22例例3 3 已知簡支梁受力如圖示，已知簡支梁受力如圖示，q q、l、EIEI均為已知。求均為已知。求C C 截面截面的撓度的撓度y yC C ；B B截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角 B B1 1）將梁上的載荷分解）將梁上的載荷分解321CCCCyyyy 321BBBB

9、yC1yC2yC32 2）查表得）查表得3 3種情形下種情形下C C截面的截面的撓度和撓度和B B截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角。EIqlB2431EIqlB1631EIqlB333EIqlyC384541EIqlyC4842EIqlyC1643解解7-4 7-4 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形23yC1yC2yC33 3） 應用疊加法，將簡單載荷應用疊加法，將簡單載荷作用時的結(jié)果求和作用時的結(jié)果求和 )(3841116483845444431EIqlEIqlEIqlEIqlyyiCiC)(481131624333331EIqlEIqlEIqlEIqliBiB7-4 7-4 用疊加法求梁的變形用疊

10、加法求梁的變形24例例4 4 已知：懸臂梁受力如圖已知：懸臂梁受力如圖示，示，q q、l、EIEI均為已知。求均為已知。求C C截面的撓度截面的撓度y yC C和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角 C C1 1）首先，將梁上的載荷變成）首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形有表可查的情形 為了利用梁全長承受均為了利用梁全長承受均布載荷的已知結(jié)果，先將均布載荷的已知結(jié)果，先將均布載荷延長至梁的全長，為布載荷延長至梁的全長，為了不改變原來載荷作用的效了不改變原來載荷作用的效果，在果，在AB AB 段還需再加上集段還需再加上集度相同、方向相反的均布載度相同、方向相反的均布載荷。荷。 Cy7-4 7-4 用疊加法求梁的變形用疊

11、加法求梁的變形25Cy2Cy1Cy2By,841EIqlyC ,248128234222lEIqlEIqllyyBBC EIqlC631EIqlC4832 EIqlyyiCiC384414213 3）將結(jié)果疊加）將結(jié)果疊加 EIqliCiC4873212 2）再將處理后的梁分解為簡單）再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計算各自載荷作用的情形，計算各自C C截截面的撓度和轉(zhuǎn)角。面的撓度和轉(zhuǎn)角。 7-4 7-4 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形26討討 論論疊加法求變形有什么優(yōu)缺點？疊加法求變形有什么優(yōu)缺點？7-4 7-4 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形277-5 7-5 梁的剛度

12、條件及提高梁剛度的措施梁的剛度條件及提高梁剛度的措施1.1.剛度條件剛度條件,maxmax yy建筑鋼梁的許可撓度：建筑鋼梁的許可撓度：1000250ll機械傳動軸的許可轉(zhuǎn)角：機械傳動軸的許可轉(zhuǎn)角：30001精密機床的許可轉(zhuǎn)角：精密機床的許可轉(zhuǎn)角：500017-528 根據(jù)要求，圓軸必須具有足夠的剛度，以保證軸承根據(jù)要求，圓軸必須具有足夠的剛度，以保證軸承B B 處轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值。處轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值。 B1 1）由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁）由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B B 處的轉(zhuǎn)角為：處的轉(zhuǎn)角為： EIFlaB3解解7-5 7-5 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施梁的剛度條

13、件及提高梁剛度的措施例例5 5 已知鋼制圓軸左端受力為已知鋼制圓軸左端受力為F F20 kN20 kN，al ml m，l2 m2 m，E E=206 GPa=206 GPa。軸承。軸承B B處的許可轉(zhuǎn)處的許可轉(zhuǎn)角角 =0.5 =0.5。根據(jù)剛度要求。根據(jù)剛度要求確定軸的直徑確定軸的直徑d d。29例例6 6 已知鋼制圓軸左端受力為已知鋼制圓軸左端受力為F F20 kN20 kN，al ml m，l2 m2 m，E E=206 GPa=206 GPa。軸承。軸承B B處的許可轉(zhuǎn)處的許可轉(zhuǎn)角角 =0.5 =0.5。根據(jù)剛度要求。根據(jù)剛度要求確定軸的直徑確定軸的直徑d d。B2 2）由剛度條件確定

14、軸的直徑：）由剛度條件確定軸的直徑： B 111mmm101115 . 010206318012102064318064342934EFlad7-5 7-5 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施梁的剛度條件及提高梁剛度的措施 1803EIFla EFlaI3180 EFlad3180644307-5 7-5 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施梁的剛度條件及提高梁剛度的措施2.2.提高梁剛度的措施提高梁剛度的措施1 1）選擇合理的截面形狀）選擇合理的截面形狀312 2）改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩數(shù)值）改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩數(shù)值改改變變支支座座形形式式7-5 7-5 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施梁的剛度條件及

15、提高梁剛度的措施322 2）改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩數(shù)值）改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩數(shù)值改改變變載載荷荷類類型型7-5 7-5 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施梁的剛度條件及提高梁剛度的措施%5 .6212CCww333 3）采用超靜定結(jié)構(gòu)）采用超靜定結(jié)構(gòu)7-5 7-5 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施梁的剛度條件及提高梁剛度的措施343 3）采用超靜定結(jié)構(gòu)）采用超靜定結(jié)構(gòu)7-5 7-5 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施梁的剛度條件及提高梁剛度的措施357-6 7-6 用變形比較法解簡單超靜定梁用變形比較法解簡單超靜定梁1.1.基本概念：基本概念：超靜定梁：超靜定梁：支反力數(shù)目大于有效平衡方程數(shù)目的梁支反

16、力數(shù)目大于有效平衡方程數(shù)目的梁多余約束：多余約束：從維持平衡角度而言從維持平衡角度而言, ,多余的約束多余的約束超靜定次數(shù)：超靜定次數(shù)：多余約束或多余支反力的數(shù)目。多余約束或多余支反力的數(shù)目。2.2.求解方法：求解方法：解除多余約束，建立相當系統(tǒng)解除多余約束，建立相當系統(tǒng)比較變形，列變比較變形，列變形協(xié)調(diào)條件形協(xié)調(diào)條件由物理關系建立補充方程由物理關系建立補充方程利用利用靜力平衡條件求其他約束反力。靜力平衡條件求其他約束反力。相當系統(tǒng)：相當系統(tǒng)：用多余約束力代替多余約束的靜定系統(tǒng)用多余約束力代替多余約束的靜定系統(tǒng)7-636 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFBy

17、FCBAA解解例例6 6 求梁的支反力，梁的抗彎求梁的支反力，梁的抗彎剛度為剛度為EIEI。 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA1 1）判定超靜定次數(shù)）判定超靜定次數(shù)2 2）解除多余約束，建立相當系統(tǒng)）解除多余約束，建立相當系統(tǒng)(d)ABCFByABFC0)()(ByFBFBByyy7-6 7-6 用變形比較法解簡單超靜定梁用變形比較法解簡單超靜定梁3 3）進行變形比較，列出變形協(xié)）進行變形比較，列出變形協(xié)調(diào)條件調(diào)條件374 4）由物理關系，列出補充方程）由物理關系，列出補充方程 EIFaaaEIaFyFB314)29(6)2()(32EIaFy

18、ByFBBy38)(303831433EIaFEIFaBy所以所以FFBy474 4）由整體平衡條件求其他約束反力）由整體平衡條件求其他約束反力 )(43),(2FFFaMAyA7-6 7-6 用變形比較法解簡單超靜定梁用變形比較法解簡單超靜定梁 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA(d)ABCFByABFCA AM MA Ay yF F38例例7 梁梁AB AB 和和BC BC 在在B B 處鉸接，處鉸接，A A、C C 兩端固定，梁的抗彎剛度兩端固定，梁的抗彎剛度均為均為EIEI，F(xiàn) F = 40kN= 40kN，q q = 20kN/m = 20kN/m。畫梁的剪力圖和彎矩圖。畫梁的剪力圖和彎矩圖。 從從B B 處拆開，使超靜定結(jié)構(gòu)變處拆開，使超靜定結(jié)構(gòu)變成兩個懸臂梁。成兩個懸臂梁。變形協(xié)調(diào)方程為：變形協(xié)調(diào)方程為：21BByyBBFFFByB1 FByB2物理關系物理關系EIFEIqyBB3484341 EIFEIFyBB3424362322 解解7-6 7-6 用變形比較法解簡單超靜定梁用變形比較法解簡單超靜定梁39FB FByB1yB2kN75. 84842046104023342BF代入得補充方程：代入得補充