計算方法_復(fù)習(xí)課

1、計算方法Computational Method School of Automation. Huazhong University of Science and Technology華中科技大學(xué) 自動化學(xué)院蔡超 誤差的誤差的定義定義誤差誤差限限有效數(shù)字有效數(shù)字舍 入 誤 差誤 差 的 產(chǎn) 生截 斷 誤 差絕 對 誤 差 （ 限 ）誤 差度 量相 對 誤 差 （ 限 ）有 效 數(shù) 字誤 差 與 算 法一 元 函 數(shù)傳 播多 元 函 數(shù)數(shù) 值 方 法 的 收 斂 性算 法數(shù) 值 方 法 的 穩(wěn) 定 性算 法 設(shè) 計 要 點例1 已知數(shù) x=2.718281828.,取近似值 x*=2.7182,

2、那麼x具有幾位有效數(shù)字解:*31 42.7182818282.71820.00008182110.0005101022exx故有四位有效數(shù) 點評：考查有效數(shù)字的概念。x*=2.7183?*1233.105,0.001,0.100 xxx *123xxx例2有效數(shù)試確定的相對誤差限。*123123*123333()()()()1111010102220.00049933.1050.001 0.100re xe xe xe xxxxxx解： 點評:此題考查相對誤差的傳播。例3sin1有2位有效數(shù)字的近似值0.84的相對誤差限是 .解法1：根據(jù)有效數(shù)字與相對誤差限的關(guān)系 2 111110100.00

3、6252 816r 解法2：相對誤差限的概念 21100.840.00595242rx點評:此題考查相對誤差與有效數(shù)字關(guān)系第二種按定義得到的結(jié)果更好1 1 問題的提出 2 2 拉格朗日插值公式3 3 插值余項4 4 埃特金插值方法5 5 牛頓插值公式6 6 埃爾米特插值7 7 分段插值法8 8 樣條函數(shù)9 9 曲線擬合的最小二乘法三次樣條插值插值型插值分段低次插值等距節(jié)點插值（差分）差商型余項型余項插值余項插值法插值法構(gòu)造方法型插值代數(shù)插值HermiteHermiteLangrangeNewtonLangrangeLangrange知識結(jié)構(gòu)圖33( )( ),( )( ),H af a H b

4、f b33, 2222ababababHfHf 243( )( )( )()() ( )4!2fabf xHxxaxxbaxb( )f x , a b1.若在上有連續(xù)的四階導(dǎo)數(shù)，試證明滿足以下插值條件)(3xH的插值多項式的截斷誤差為2323(4)( )( )( )( )()() ()2,2( )( )( )( )()() ()2( ),( )()( )0,()022Rolle,( )0abR xf xHxk x xa xxbabxababg tf tH tk x ta ttbg tababg agg bgxg證明：設(shè)余項當(dāng) 不同于 ， 和時 構(gòu)造如下關(guān)于的函數(shù)于是函數(shù)也是充分光滑的 并且有如

5、下零點多次使用定理知 至少存在一個依賴于 的點 ，使得有(4)(4)23.( )( ),4!( )( )( )( )()() ()4!2fk xfabR xf xHxxa xxb從而可得從而有截斷誤差( ) (0,1,)il xin 0niix分別是關(guān)于互異節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)，0( ) ( 0,1,)nkkj jjx l xxkn證明提示：利用插值的拉格朗日余項說明當(dāng)被插值函數(shù)為x的k次方時，誤差為零。例：求下列超定方程組的最小二乘解：1 1 機械求積2 2 牛頓-柯特斯公式3 3 龍貝格算法4 4 高斯求積公式5 5 數(shù)值微分知識結(jié)構(gòu)圖例1（10分）以 hh 2 , 0為插值節(jié)

6、點，用插值法建立計算積分dxxfIh30)(的數(shù)值求積公式. hh 2,0)(xf 解 以為插值節(jié)點，做的插值多項式)2()()()()0()()(2102hfxlhfxlfxlxL其中 )23(21)20)(0()2)()(2220hhxxhhhhxhxxl)2(1)2)(0()2)(0()(221hxxhhhhhxxxl)(21)2)(02()(0()(222hxxhhhhhxxxl將)(2xL積分，得所求的積分公式為 )2(3)0(43)(302hffhdxxLIh例2 確定下列求積公式中的待定系數(shù)，并證明確定后 的求積公式具有3次代數(shù)精確度。 )()0()()(101hfAfAhfAd

7、xxfhh證明：求積公式中含有三個待定系數(shù)，將 2, 1)(xxxf代入求積公式，并令其左右相等，得到 31121110132)(0)(2hAAhAAhhAAA解得 11014,33AAh Ah從所求方程組看出，該公式至少具有2次代數(shù)精確度。 又由于 )(3)(3)(3)(3444333hhhhdxxhhhhdxxhhhh求積公式 4( )()(0)( )333hhhhhf x dxfhff h具有3次代數(shù)精確度。 解 因為兩點Gauss型求積公式的代數(shù)精確度為3 021011131310301121210201111001110dxxxAxAxdxxxAxAxxdxxAxAxdxxAA解此非

8、線性方程組得 22,2210 xx2110 AA所求Gauss型求積公式為)22(21)22(21)(11ffdxxfx)()()(110011xfAxfAdxxfx例3 建立兩點Gauss型求積公式解21,12210 xgxgg在-1，1上關(guān)于權(quán)函數(shù) 正交 xx )(2122 xg的零點就是所求Gauss點 22,2210 xx10, AA求Gauss系數(shù) 111011102222xdxxAAdxxAA解得 2110 AA故所求Gauss型求積公式為)22(21)22(21)(11ffdxxfx例例 用復(fù)化用復(fù)化SimpsonSimpson公式計算公式計算積分積分 的的近似值，近似值，并估計

9、誤差。（并估計誤差。（n=5,n=5,共共1111個節(jié)點）個節(jié)點）101dxIx 解：解：n=5n=5，h=(1-0)/n=0.2h=(1-0)/n=0.2，節(jié)點列為，節(jié)點列為0 10 110., ,ixii 則復(fù)化則復(fù)化SimpsonSimpson公式為公式為11111121 0 1 11 02 1 04 1 06 1 080264444441 01 1 03 1 05 1 07 1 09.I 010.20.40.60.80.10.30.50.70.9121101 ( )4()2( )( ).6nnniiiihSf af xf xf b41(4)10(), ( ,),180 2nniiiii

10、hhRISfx x 截斷誤差估計：截斷誤差估計：44450 145454242412100 1241 3 10180180( )( ) , ( ),max( )()()( / )().xfxmfxxba hmR 1 052 083333 071429 062500 055560033334 090909 076923 066667 058824 052632(. )( .).( .) 0 03333 20 79450 69315.010.840.860.880.90.920.940.960.981xsin(x)/x00.510.840.860.880.90.920.940.960.981xsi

11、n(x)/x00.250.50.7510.840.860.880.90.920.940.960.981xsin(x)/x00.1250.250.3750.50.6250.750.87510.840.860.880.90.920.940.960.981xsin(x)/x30.9456909kT2k00.920735510.939793320.94451351 ( )( ).2baTf af b121201(). 22nnniihTTf x241 .33nnnSTT0.94614590.94608690.94608330.94008300.94608312161.1515nnnCSS2641.63

12、63nnnRCC0.9460831. dsin10的近似值利用龍貝格求積算法求xxxI 1 歐拉方法 2 改進(jìn)的歐拉方法 3 龍格-庫塔方法 4 亞當(dāng)姆斯方法 5 收斂性與穩(wěn)定性 6 方程組與高階方程的情形 7 邊值問題知識結(jié)構(gòu)圖TaylorEuler(Euler)RungeKuttaTaylor局部截斷誤差重要概念 收斂階穩(wěn)定性數(shù)值微分法單步法 構(gòu)造方法 數(shù)值積分法展開法常微分方程初值問題的數(shù)值解法公式 包括改進(jìn)的公式主要公式 梯形公式公式基本概念線性多步法數(shù)值積分法構(gòu)造方法展開法例1用歐拉法求初值問題000.912()10yyxy xx 當(dāng)h = 0.02時在區(qū)間0, 0.10上的數(shù)值解。

13、解 把 yxyxf219 . 0),(代入歐拉法計算公式。就得10.90.01810,1,51212nnnnnnyyhyynxx具體計算結(jié)果如下表：nxnyny(xn) n = y(xn) - yn001.00001.0000010.020.98200.98250.000520.040.96500.96600.000530.060.94890.95030.001440.080.93360.93540.001850.100.91920.9230.0021例2取h=0.1, 用改進(jìn)歐拉法預(yù)報校正公式求初值問題1)0(12yyxy在x=0.1, 0.2處的近似值. 計算過程保留3位小數(shù). 解 歐拉預(yù)

14、報校正公式為)2(2),(),(2)1 (),(211211121kkkkkkkkkkkkkkkxkkyxyxhyyxfyxfhyyyxhyyxhfyyh=0.1,x0=0，y0=1，x1=0.1，于是有227.1)2 .11 .0102(21 .012 .1)101 (1 .0122121yyh=0.1,x1=0.1，y1=1.227，x2=0.2，于是有528. 1)488. 12 . 0227. 11 . 02(21 . 0227. 1488. 1)227. 11 . 01 ( 1 . 0227. 122222yy例3 導(dǎo)出用三階泰勒級數(shù)法解方程22yxy的計算公式解:因 22),(yx

15、yxfy)(222222yxyxyyxfy 22222222 ()242 () (3)yfyyyxyxyxy)32)(8)53(4462422222222)4(yxyxyyxxyyyyyyyyyyyfy 故nnnnnfhfhhfyy 32161211)4(43)(! 4nnnxxfhR誤差為 例4例5例6例61 1 迭代過程的收斂性迭代過程的收斂性2 2 迭代過程的加速迭代過程的加速3 3 牛頓法牛頓法4 4 弦截法弦截法非線性方程數(shù)值解法基本概念（單根、重根、收斂階）求根方法二分法及其收斂性簡單迭代法簡單迭代法的加速Newton迭代法Newton迭代法的變形重根Newton迭代法Newton

16、下山法割線法迭代格式收斂性定理誤差估計迭代格式收斂性定理誤差估計知識結(jié)構(gòu)圖例1： 用牛頓迭代法建立求平方根 c（c 0）的迭代公式，并用以上公式求78265. 0解：設(shè) cxxf2)(（x 0）則c就是f (x) =0的正根。 由為f (x) = 2x，所以得迭代公式kkkkxcxxx221由于x 0時，f (x) 0，且f (x) 0，根據(jù)定理知：cx 0，所確定的迭代序列xk必收斂于取任意初值取初值x = 0.88，計算結(jié)果見表kxk00.8810.8846920.8846830.8846888468. 078265. 0故可取 )(xx*x13)( x)(x)(xg)(1kkxgx*x例

17、2 已知方程在a,b內(nèi)有根，且在a,b，利用構(gòu)造一個迭代函數(shù)，使得局部收斂于上滿足解： 由)(xx可得xxxx3)(3)()3)(21xgxxx由于 13)(21)3)(21)(xxxg故迭代公式)3)(21)(1kkkkxxxgx局部收斂。例3：已知迭代公式21132kkkxxx收斂于3*3x證明該迭代公式平方收斂。證明：迭代函數(shù)為2132)(xxx3232)(xx46)(xx 3*3x可知0232)(3*xx06)(4* xx 根據(jù)定理該迭代公式平方收斂。例41 1 消去法2 2 追趕法3 3 平方根法4 4 誤差分析 第三章 典型例題例2例2例3例4結(jié) 束.,3有效數(shù)字有效數(shù)字位有位，就

18、說的第一位非零數(shù)字共有到該位的半個單位的誤差限是某一位數(shù)字：若近似值定義nxnxx 1021 . 0 )1010(10 11)1(121nmnnmxxaaaax并且其中即數(shù)值運算的誤差估計數(shù)值運算的誤差估計為準(zhǔn)確值，則誤差限：為近似值四則運算，設(shè)*2*121,xxxx.|)(|)(|)/( ),(|)(|)( ),()()( 221221211221212121xxxxxxxxxxxxxxxxx*121212*1( ( ,.)( ,.)(,.)()nnnniiif x xxf x xxf x xxfxx)()()()()()(*xfxexfxfxfxf定理 設(shè)x* 的近似數(shù)x具有標(biāo)準(zhǔn)形式：12

19、1100.mnnpxa aa aa 若x具有n位有效數(shù)字，則相對誤差 若相對誤差 111102(1)na則x至少具有n位有效數(shù)字。112110.5 100.5 101100.0.2nnnna aaaa4 4 復(fù)化求積公式復(fù)化求積公式則得復(fù)化梯形公式梯形公式并在每個小區(qū)間上應(yīng)用其中個小區(qū)間等分為把區(qū)間 , ),1, 1 , 0,( , , 1ninabhihaxxxnnbaiii.問題的提出和解決辦法一、復(fù)化梯形公式一、復(fù)化梯形公式.)()(2)(2 )()(2d )(d )(I 11101101niiniiinixxbabfxfafhxfxfhxxfxxfii.)()(2)(2)()(2 10

20、101niiniiinbfxfafhxfxfhT記為, ,)(121 1103 iiiniinnxxfhTIRT的余項復(fù)化梯形公式., ),(12)(12 ,)(23bafhabfhnRbaxf 上連續(xù)，則在若.)(2階，是收斂的此時復(fù)化梯形公式為hO. ,)()(21 , 110nIxfnabxfnabTbaCfniiniin其實.正，它又是穩(wěn)定的復(fù)化梯形公式的系數(shù)為辛普森公式則得復(fù)化公式，在每個小區(qū)間上應(yīng)用的中點為記 ,辛普森,211iiixxx二、復(fù)化辛普森公式二、復(fù)化辛普森公式).()(2)(4)(6 101121bfxfxfafhSniniiin即),( , )(2180 110)4

21、(4iiiniinxxfhhSIR余項,4時當(dāng)baCf ,)()(4)(6d )( 10121niiiibaxfxfxfhxxfI).,( ),(8802)(2801 )4(4)4(4bafhabfhabSIRn.定性具有相應(yīng)的收斂性和穩(wěn).)(2.9) )( )( 0拉格朗日插值多項式拉格朗日插值多項式次次稱為稱為次插值多項式次插值多項式于是，所求于是，所求nxLxlyxLnnnkkkn (2.8) ), 1 , 0( )()()()()()()( ,0110110nkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxlnkjjjkjnkkkkkknkkk 也就是也就是(2.10) )()()( 10

22、1nnxxxxxxx 引入記號引入記號)()()()( 1101nkkkkkkknxxxxxxxxx 則得則得(2.11) )()()( )( 011 nkknknknxxxxyxL 于是于是例如，通過三點 的二次插值多項式 ，如果三點共線，則 就是一直線，而不是拋細(xì)線，這時 是一次式001122(,),( ,),(,)x yx yx y2( )L x2( )L x2( )L x( )nL x,)()()(1010nnnxxxxfxxxxxxxE,)()( ,)(,)()(10110210101000nnnxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxN).()()(xExNxfnn )

23、,()( ),()( ),0,1,()(xRxExLxNniyxNnnnniin .(4).,( ,)!1()(, ) 1(0再次得證性質(zhì)并有banfxxxfnn,)()(10001xxfxxxfxN,)()()(2101012xxxfxxxxxNxN,.,)()()()(10101kkkkxxxfxxxxxxxNxN牛頓插值公式牛頓插值公式011( ) ,( ) nnnR xf x x xxx( )(1)01(1)0 ( ) , , ( )( , ), ( )( )1(2.6), , ,( ) ( )( )( )(), (1)!( , ), .nnnnnnnnjjfxa bfxa bL xf

24、 xnaxxxbxa bfR xf xL xxxna bx設(shè)在上連續(xù) 設(shè)在內(nèi)存在是在個節(jié)點上的滿足條件的插值多項式則對于任何插值余項其中且依賴于定定理理(1)11n 1max |( )|, |( )|( )|, (1)!nna x bnnfxMMR xxn 若則數(shù)值分析簡明教程01111, , , ( )( ), (7.3) (), ( ,0,1, ), , (0), ( )nhj jjjkjkjjjjjjjja bIxf lxlxj knxxxxx jxxxxlxx若用插值基函數(shù)表示 則在整個區(qū)間上其中表示為略去111,(), (7.4)0, ,. jjjjjxxxjnxxxx略去例例1：構(gòu)

25、造三次埃爾米特插值多項式，要求：構(gòu)造三次埃爾米特插值多項式，要求:33(),()(0,1)iiiiHxy Hxy i 300110011( )( )( )( )( )Hxyxyxyxyx 條條 件件函函 數(shù)數(shù)函數(shù)值函數(shù)值導(dǎo)數(shù)值導(dǎo)數(shù)值x0 x1x0 x1 0(x)1000 1(x)0100 0(x)0010 1(x)0001解：采用基函數(shù)法，構(gòu)造三次埃米特插值多項式：由0)()(1010 xx 可將它寫成2100)()(xxxxbax 21000)(11)(xxax ，得，得由由 ，所以，所以）（，得，得再由再由3100020)(xxbx 21010100)(21)(xxxxxxxxx 2010

26、1011)(21)(xxxxxxxxx ）（將將同同理理10 xx ，可可令令同同樣樣由由0)()()(101000 xxx 2100)()(xxxxcx ，再再由由1)(00 x 210)(1xxc 得得,)()(210100 xxxxxxx 201011)()(xxxxxxx 數(shù)值分析簡明教程00.5100.20.40.60.81x(2 x + 1) (x - 1)200.5100.20.40.60.81x-x2 (2 x - 3)00.5100.050.10.15xx (x - 1)200.51-0.15-0.1-0.050 xx2 (x - 1)210100)()(xxxxxxx 20

27、1011)()(xxxxxxx ,)(21 )(21010100 xxxxxxxxx ,)(21 )(20101011xxxxxxxxx 條條 件件函函 數(shù)數(shù)函數(shù)值函數(shù)值導(dǎo)數(shù)值導(dǎo)數(shù)值x0 x1x0 x1 0(x)1000 1(x)0100 0(x)0010 1(x)0001210100)()(xxxxxxx 201011)()(xxxxxxx 2201000022101111( )12 ( ) ( )( )() ( )( )12 ( ) ( )( )() ( )xlx lxxxx lxxlx lxxxx lx,)(21 )(21010100 xxxxxxxxx ,)(21 )(20101011

28、xxxxxxxxx 即)(),(10 xlxl插值點的Lagrange),(),(1100yxyx為為以以一次基函數(shù). .)()( 2121)(12010102101012010101021010103fxxxxxxfxxxxxxfxxxxxxxxfxxxxxxxxxH可得滿足條件的三次埃爾米特插值多項式為 ).,( ,)()(! 4)( )()()( 102120)4(33xxxxxxfxHxfxR余項為.,)(, 2);3, ) 1:)( 10110三次樣條函數(shù)三次樣條函數(shù)定義定義上的是節(jié)點則稱直到二階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)在每一個內(nèi)節(jié)點上具有次的多項式是一個次數(shù)不超過在每個小區(qū)間滿足函數(shù)，若存在對于

29、給定節(jié)點njjnxxxxsxxxsbxxxa一、樣條插值的概念一、樣條插值的概念()(0, ),3) (),0, , 8.1( ).jjjjf xyjns xyjns x若在節(jié)點上給定函數(shù)值并滿足（）則稱是三三次次樣樣條條插插值值函函數(shù)數(shù):)(的確定三次樣條插值函數(shù)xs.),(,),()(1101nnnxxxxsxxxxsxs.44,1個參數(shù)個待定系數(shù)，共上要確定在每個nxxjj (0)(0), (0)(0), (0)(0). (1,1) 8.2jjjjjjjxs xs xs xs xs xs xjn因二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，故在內(nèi)節(jié)點 上滿足連續(xù)性條件（）.24個條件再加上插值條件，共n.2邊界條件邊

30、界條件點加上個條件，通常在兩個端還需注：注：三次樣條與分段埃爾米特插值的根本區(qū)別在于三次樣條與分段埃爾米特插值的根本區(qū)別在于S(x)自自身光滑身光滑，不需要知道，不需要知道 f 的導(dǎo)數(shù)值（除了在的導(dǎo)數(shù)值（除了在2個端點可能需個端點可能需要）；而埃爾米特插值依賴于要）；而埃爾米特插值依賴于f 在所有插值點的導(dǎo)數(shù)值。在所有插值點的導(dǎo)數(shù)值。:常見三種邊界條件.)(,)(:00nnyxsyxs第一種邊界條件.)(,)(:00nnyxsyxs 第二種邊界條件. 0)(, 0)(:,0 nxsxs自然邊界條件特別地.)0()0( ,).0()0( ),0()0( :0000已經(jīng)成立故注意：因邊界條件）第三

31、種邊界條件（周期 nnnnxsxsyyxsxsxsxs 若假設(shè)若假設(shè)S (xi)=mi ,i=0,1,n,利用分段利用分段Hermite插值多項式插值多項式,當(dāng)當(dāng)x xi-1,xi時時,有有 iiiiiiiiiiiiiiiimxxxxmxxxxhyxxxxxyxxxxxhxS)()()(123321)(211212211213 其中其中hi=xi-xi-1 .為了確定為了確定S(x),只需確定只需確定mi ,i=0,1,n.可利用可利用S (xi-0)=S (xi+0)來求出來求出mi . 當(dāng)當(dāng)x xi-1,xi時時, iiiiiiiiiiiiiiiiiiiimxxxxxxmxxxxxxhyx

32、xxxxxxyxxxxxxxhxS)(2)()(2)(1223322)(12111222111123 二、二、 樣條插值函數(shù)的建立樣條插值函數(shù)的建立三轉(zhuǎn)角插值法三轉(zhuǎn)角插值法 iiiiiiiiiiiimxxxmxxxhyyxxxhxS)23()23(2)(26)(1112113 于是有于是有)2(2)(6)0(112iiiiiiimmhyyhxS )2(2)(6)0(11121 iiiiiiimmhyyhxS由連續(xù)性條件由連續(xù)性條件S (xi-0)=S (xi+0)可得可得 212111111311121iiiiiiiiiiiiihyyhyymhmhhmh兩側(cè)同除以兩側(cè)同除以 ),11(1iih

33、h,1111iiiiiiiiihhhhhh ，并記并記3( i xi-1,xi+ i xi,xi+1)=gi,則有則有 imi-1+2mi+ imi+1=gi , i=1,2,n-1. 同理有同理有再結(jié)合不同的邊界條件再結(jié)合不同的邊界條件,可得關(guān)于可得關(guān)于mi的方程的方程. 若邊界條件為若邊界條件為:m0=y 0 ,mn=y n , 可得可得 2222122221nnn 1221nnmmmm nnnnygggyg1122011 若邊界條件為若邊界條件為:S (x0)=y 0 ,S (xn)=y n ,則有則有 001211010,32gyhxxfmm nnnnnnngyhxxfmm 2111,

34、32連同式上式一起連同式上式一起,可得可得 2122121111nnnnmmmm110nngggg110若邊界條件為周期性邊界條件，由若邊界條件為周期性邊界條件，由S (x0+0)=S (xn-0) ,和和S (x0+0)=S (xn-0),有有 m0=mn nmn-1+2mn+ nm1=gn 和和 其中其中 ,11nnhhh,3110nnnnnxxfxxfg,11nnnnhhh2222112211nnnnnnmmmm121nngggg121于是有于是有 對應(yīng)不同的邊界條件，只要求出相應(yīng)的線性方程組的解，便對應(yīng)不同的邊界條件，只要求出相應(yīng)的線性方程組的解，便得到三次樣條函數(shù)在各區(qū)間得到三次樣條

35、函數(shù)在各區(qū)間xi-1,xi上的表達(dá)式上的表達(dá)式. 由于三個方程組的系數(shù)矩陣都是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣由于三個方程組的系數(shù)矩陣都是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣,所以都有所以都有唯一解唯一解,前兩個方程組均可用追趕法求解前兩個方程組均可用追趕法求解,第三個方程組可用第三個方程組可用LU分解法或分解法或Gauss消元法求解消元法求解. 設(shè)已給 在節(jié)點 的函數(shù)值，作插值多項式 其中 由于多項式的求積是容易的，令 這樣得到的求積公式稱為插值型插值型的求積公式，其求積系數(shù)為 定理定理 機械求積公式至少有 次代數(shù)精度的充分必要條件是它是插值型的。 f x0,1,kxkn 0nnkkkpxf xlx 0njkjkjj kxxl

36、xxx bbnaaf x dxpx dx bkkaAlx dxn我們知道 , 對于任意次數(shù) n 的多項式 , 其插值多項式就是它自身, 因此插值型的求積公式至少有n 次代數(shù)精度 f x( )nP x故求積公式可寫為故求積公式可寫為banknkkhxfcabdxxf00)()()()()(nkc稱為柯特斯系數(shù)，上式稱稱為柯特斯系數(shù)，上式稱Newton-CotesNewton-Cotes公式。公式。bannndxxfnfR)()()!1(11)1(稱為稱為NewtonNewtonCotesCotes公式的截斷誤差。公式的截斷誤差。其中其中: :當(dāng)當(dāng)n n=1=1時，時， 212) 1() 1()

37、1(! 0! 11) 1(1010201)1(0tdttc1010211)1(12121! 0! 11) 1(ttdtcbabfafabdxxf)(21)(21)()(該公式稱為梯形公式。該公式稱為梯形公式。n n=2=2可計算可計算得到得到616461)2(2)2(1)2(0ccc)b(f)ba(f)a(f)ab(dx)x(fba6126461 它稱為辛浦生（它稱為辛浦生（SimpsonSimpson）公式或拋物線公式。公式或拋物線公式。故有：故有：n n=4 Newton=4 NewtonCotesCotes公式為公式為)(907)(9032)(9012)(9032)(90743210 x

38、fxfxfxfxfabdxxfba）（）（其中，其中， )4 , 1 , 0(0kkhaxk這個公式特別稱為柯特斯公式。這個公式特別稱為柯特斯公式。柯特斯系數(shù)表( )1112212126361331388887162167490451545901925252525195288961441449628841993499416840352801052803584075135771323298929891323357775171728017280172801728017280172801728017280989588892882835028350283nknC10496454010496928588

39、8989502835028350283502835022835028350例：用牛頓-科特斯公式計算積分：10sindxxxn 階的牛頓柯特斯公式至少有 n 次代數(shù)精度，事實上，二階的辛甫生公式與四階的柯特斯公式在精度方面會獲得 “額外” 的好處，它們分別有3次和5次代數(shù)精度。因此，在幾種低階的牛頓柯特斯公式中，人們更感興趣的是梯形公式（它最簡單、最基本），辛甫生公式和柯特斯公式。數(shù)值分析簡明教程 定理定理 當(dāng)階 為偶數(shù)時，牛頓-柯特斯公式至少有 次代數(shù)精度. n1n nkknknxfCabI0)()()( 利用線性插值的余項公式以及積分中值定理，我們可以得到梯形公式的余項： 利用埃爾米特插值

40、的余項公式以及積分中值定理我們可以得到辛甫生公式的余項： 另外，我們可以得到如下柯特斯公式的積分余項：數(shù)值分析簡明教程 3,12TbaRITfa b 44,1802Sba baRISfa b 662(),9454CbabaRICfa b bannndxxfnfR)()()!1(11)1(4 4 復(fù)化求積公式復(fù)化求積公式則得復(fù)化梯形公式梯形公式并在每個小區(qū)間上應(yīng)用其中個小區(qū)間等分為把區(qū)間 , ),1, 1 , 0,( , , 1ninabhihaxxxnnbaiii.問題的提出和解決辦法一、復(fù)化梯形公式一、復(fù)化梯形公式.)()(2)(2 )()(2d )(d )(I 11101101niinii

41、inixxbabfxfafhxfxfhxxfxxfii辛普森公式則得復(fù)化公式，在每個小區(qū)間上應(yīng)用的中點為記 ,辛普森,211iiixxx二、復(fù)化辛普森公式二、復(fù)化辛普森公式).()(2)(4)(6 101121bfxfxfafhSniniiin即),( , )(2180 110)4(4iiiniinxxfhhSIR余項,4時當(dāng)baCf ,)()(4)(6d )( 10121niiiibaxfxfxfhxxfI).,( ),(8802)(2801 )4(4)4(4bafhabfhabSIRn.定性具有相應(yīng)的收斂性和穩(wěn)3 3 龍貝格求積算法龍貝格求積算法一、梯形公式的遞推化一、梯形公式的遞推化( (