數(shù)學(xué)物理方法第7章

1、第七章第七章 數(shù)學(xué)物理方程定解問(wèn)題數(shù)學(xué)物理方程定解問(wèn)題7.2 7.2 定解條件定解條件7.3 7.3 數(shù)學(xué)物理方程的分類數(shù)學(xué)物理方程的分類7.1 7.1 數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出第二篇第二篇 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程7.4 7.4 達(dá)朗貝公式、定解問(wèn)題達(dá)朗貝公式、定解問(wèn)題數(shù)學(xué)物理方程：數(shù)學(xué)物理方程： 通常是指從物理問(wèn)題導(dǎo)出的函數(shù)方程，主要指通常是指從物理問(wèn)題導(dǎo)出的函數(shù)方程，主要指偏微分方程和積分方程，本課程僅限于討論二階線偏微分方程和積分方程，本課程僅限于討論二階線性偏微分方程。性偏微分方程。普遍性普遍性 共性共性特殊性特殊性 個(gè)性個(gè)性邊界條件邊界條件初始條件初始條件泛定方程泛定方

2、程定解問(wèn)題定解問(wèn)題1 1、均勻弦的微小橫振動(dòng)、均勻弦的微小橫振動(dòng)xx+ x1T2T1M2M12)t , x(uxudsdm0coscos1122TT1122sinsinTTttdsuTT1122sinsin弦的橫向位移為弦的橫向位移為 u(x,t)ttdmu7.1 7.1 數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出考慮小振動(dòng)考慮小振動(dòng)22)()(dudxds0coscos1122TTttdsuTT1122sinsin012TTdx22sintgxxxu11sintgxxuttxxdxxxdxuuTuT)()(12xx+ x1T2T1M2M12xudxxu2)/(11cos11cos2ttxxdxxx

3、dxuuuT)(dxudxxuTttxttxxuTu0 xxttTuuTa 202xxttuau記記 若受到外加橫向力的作用，每單位長(zhǎng)度弦所受橫向力若受到外加橫向力的作用，每單位長(zhǎng)度弦所受橫向力為為F(x,t),則：則：ttdxudxtxFTT),(sinsin1122/ ),(),(txFtxf),(2txfuauxxtt稱為受迫振動(dòng)方程稱為受迫振動(dòng)方程2 2、均勻桿的縱振動(dòng)、均勻桿的縱振動(dòng)將細(xì)桿分成許多段將細(xì)桿分成許多段t時(shí)刻，時(shí)刻，B段兩端的段兩端的位移分別為：位移分別為：),(),(,tdxxtxu),(),(txutdxxutduF)(xuxxdxx )(dxxuABCB段伸長(zhǎng)段伸長(zhǎng)

4、相對(duì)伸長(zhǎng)相對(duì)伸長(zhǎng)dxtxutdxxu),(),(xu相對(duì)伸長(zhǎng)是位置的相對(duì)伸長(zhǎng)是位置的函數(shù)，函數(shù)，x和和x+dx的相的相對(duì)伸長(zhǎng)分別為：對(duì)伸長(zhǎng)分別為：xxudxxxu相對(duì)伸長(zhǎng)相對(duì)伸長(zhǎng)由胡克定律，由胡克定律，B兩端的兩端的張應(yīng)力（單位橫截面張應(yīng)力（單位橫截面的力）分別為的力）分別為xxudxxxuxxuYdxxxuYB段運(yùn)動(dòng)方程為段運(yùn)動(dòng)方程為22)(tuSdxxuYSxuYSxdxxdxudxxuYttxF)(xuxxdxx )(dxxuABCttxxuYuttxxuYu/2Ya 02xxttuau記記桿的縱振動(dòng)方程桿的縱振動(dòng)方程 若受到外加縱向力的作用，每單位長(zhǎng)度單位截面所受若受到外加縱向力的作用

5、，每單位長(zhǎng)度單位截面所受縱向力為縱向力為F(x,t),則：則：),(2txfuauxxtt/ ),(),(txFtxf桿的受迫縱振動(dòng)方程桿的受迫縱振動(dòng)方程f(x,t)為為每單位桿的質(zhì)量所每單位桿的質(zhì)量所受縱向力受縱向力22)(),()(tuSdxtxFSdxxuYSxuYSxdxx3 3、傳輸線方程（電報(bào)方程）、傳輸線方程（電報(bào)方程） 設(shè)單位長(zhǎng)度傳輸線的導(dǎo)線電阻、線間電漏、電容、設(shè)單位長(zhǎng)度傳輸線的導(dǎo)線電阻、線間電漏、電容、電感分別記作電感分別記作R、G、C和和L。 對(duì)此回對(duì)此回路，應(yīng)用路，應(yīng)用基爾霍夫基爾霍夫第二定律第二定律tjdxLRdxjtdxxvtjdxLRdxj) 2/() 2/(),

6、() 2/() 2/(0),(txv同除同除dx，得：，得：) 1 (0 xvRjtjL 對(duì)對(duì)A點(diǎn)，點(diǎn)，應(yīng)用基爾應(yīng)用基爾霍夫第一霍夫第一定律定律0),(),()()(txjtdxxjvCdxtGdxv同除同除dx，得：，得：) 2(0tvCGvxj) 4(0)(vxjRtL) 3(0)(vtCGjx(1)、(2)兩兩式改寫成：式改寫成：相減后消去相減后消去v，得到：，得到：0)(RGjjRCLGjLCjtxxtt相減后消去相減后消去j，得到：，得到：0)(RGvvRCLGvLCvtxxtt以以x作用于作用于(3)式，式，tCG作用于作用于(4)式式同理以同理以tLR作用于作用于(3)式，式，x

7、作用于作用于(4)式式)4(0)(vxjRtL) 3(0)(vtCGjx0)(RGjjRCLGjLCjtxxtt0)(RGvvRCLGvLCvtxxtt若若R、G很小，稱理想傳輸線，上兩式可簡(jiǎn)化為：很小，稱理想傳輸線，上兩式可簡(jiǎn)化為：LCa1202xxttjaj02xxttvav稱為傳輸線方程（電報(bào)方程）稱為傳輸線方程（電報(bào)方程）4 4、擴(kuò)散方程、擴(kuò)散方程 擴(kuò)散是由于濃度不同引起的分子運(yùn)動(dòng)擴(kuò)散是由于濃度不同引起的分子運(yùn)動(dòng)uDq)(kzujyuixuDqxuDqxyuDqyzuDqzD 為擴(kuò)散系數(shù)，負(fù)號(hào)表示擴(kuò)為擴(kuò)散系數(shù)，負(fù)號(hào)表示擴(kuò)散方向與濃度梯度相反散方向與濃度梯度相反 擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)的強(qiáng)弱用擴(kuò)散流強(qiáng)

8、度擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)的強(qiáng)弱用擴(kuò)散流強(qiáng)度q ，即單位，即單位 時(shí)間內(nèi)流過(guò)時(shí)間內(nèi)流過(guò)單位面積的分子數(shù)或質(zhì)量單位面積的分子數(shù)或質(zhì)量 濃度濃度 u(單位體積內(nèi)的粒子數(shù)）單位體積內(nèi)的粒子數(shù)） 不均勻的程度用不均勻的程度用 表示表示udydzdtqxxxuDqxyuDqyzuDqzdt 時(shí)間流入六面時(shí)間流入六面體體x方向左表面方向左表面的流量為的流量為流出流出x方向右表面方向右表面的流量為的流量為dydzdtqdxxxxyzdxdydzo凈流入凈流入量為量為dydzdtqdydzqdxxxxxdydzdtqqxxdxxx)(dxdydzdtxqxdxdydzdtxuDx)(y 方向凈流入量為方向凈流入量為dxdyd

9、zdtyuDy)(z 方向凈流入量為方向凈流入量為dxdydzdtzuDz)(立方體凈流入量為立方體凈流入量為dxdydzdtzuDzdxdydzdtyuDydxdydzdtxuDx)()()(如立方體內(nèi)無(wú)源、無(wú)匯，如立方體內(nèi)無(wú)源、無(wú)匯，dt時(shí)間內(nèi)粒子增加數(shù)為時(shí)間內(nèi)粒子增加數(shù)為dxdydzuutdtt)(dxdydzduzyx,dxdydzdttudxdydztudxdydzzuDzdxdydzyuDydxdydzxuDx)()()(0)()()(zuDzyuDyxuDxtuD=恒量，恒量， 令令 a2=D0)(2zzyyxxtuuuau02uaut02xxtuau 一維一維 (1)擴(kuò)散源強(qiáng)度

10、（單位時(shí)間內(nèi)單位體積中產(chǎn)生的粒子數(shù)或擴(kuò)散源強(qiáng)度（單位時(shí)間內(nèi)單位體積中產(chǎn)生的粒子數(shù)或單位時(shí)間內(nèi)濃度的增量）為單位時(shí)間內(nèi)濃度的增量）為 F=(x,y,z,t) 與與 u 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)),(2tzyxFuaut),(2tzyxFuaut 原子核的鏈?zhǔn)椒磻?yīng)，單位時(shí)間內(nèi)單位體積中產(chǎn)生原子核的鏈?zhǔn)椒磻?yīng)，單位時(shí)間內(nèi)單位體積中產(chǎn)生的粒子數(shù)為的粒子數(shù)為 b2u ubuaut22022ubuaut 有源或匯的情況：有源或匯的情況： (2)擴(kuò)散源強(qiáng)度與擴(kuò)散源強(qiáng)度與 u 成正比成正比 放射性衰變，原有粒子的濃度按指數(shù)減少放射性衰變，原有粒子的濃度按指數(shù)減少teuu0 為半衰變常數(shù)，經(jīng)過(guò)為半衰變常數(shù)，經(jīng)過(guò)（半衰期）時(shí)間后（

11、半衰期）時(shí)間后euu002/ )2(ln/)2(ln0teuuueudtdut)/2ln()/2ln(/)2(ln0 單位時(shí)間內(nèi)單純由蛻變所導(dǎo)致的濃度變化為：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)單純由蛻變所導(dǎo)致的濃度變化為：即放射源強(qiáng)度：即放射源強(qiáng)度：utzyxF)/2ln(),(代入擴(kuò)散方程：代入擴(kuò)散方程：02ln2uuaut5、熱傳導(dǎo)方程、熱傳導(dǎo)方程),(),()(txuttxuAdxcQ0t 設(shè)有一根橫截面為設(shè)有一根橫截面為A的均勻細(xì)桿，沿桿長(zhǎng)有溫度差，的均勻細(xì)桿，沿桿長(zhǎng)有溫度差，其側(cè)面絕熱其側(cè)面絕熱u(x,t) 為為 x 處處 t 時(shí)刻溫度時(shí)刻溫度， 為桿密度為桿密度 (1)、t 時(shí)間內(nèi)時(shí)間內(nèi)引起小段引起小段d

12、x溫度溫度升高所需熱量為升高所需熱量為dxdtAucQtx+dxxxxxx+dx (2)Furiers實(shí)驗(yàn)定實(shí)驗(yàn)定理：?jiǎn)挝焕恚簡(jiǎn)挝?時(shí)間內(nèi)流時(shí)間內(nèi)流過(guò)單位面積的熱量過(guò)單位面積的熱量 q (熱流強(qiáng)度量）熱流強(qiáng)度量）與與溫度的下降成正比溫度的下降成正比nnukq k 為熱傳導(dǎo)系數(shù)為熱傳導(dǎo)系數(shù) 一維情況下如圖有一維情況下如圖有xukqxnukq大小大小Adtqx x方向左表面方向左表面，dt 時(shí)間時(shí)間流入流入圓圓柱體的熱量為柱體的熱量為dt 時(shí)間時(shí)間流出流出圓柱體的熱量為圓柱體的熱量為AdtqdxxAdtqAdtqdxxxdt 時(shí)間凈流時(shí)間凈流入的熱量為入的熱量為AdxdtxqxdxdtAucQtA

13、dxdtkuxxAdxdtkuxx02xxtuaucka2對(duì)于三維情況對(duì)于三維情況02uautx+dxxx 如果物體中存在熱源，熱源強(qiáng)度如果物體中存在熱源，熱源強(qiáng)度(單位時(shí)間單位體單位時(shí)間單位體積中產(chǎn)生的熱量為積中產(chǎn)生的熱量為),(txF),(tzyxF或：或：則：則：dxdtAucQtAdxdttxFAdxdtkuxx),(ctxFuauxxt/ ),(2),(2txfuauxxtctxFtxf/ ),(),(令：令：則：則：對(duì)于三維情況對(duì)于三維情況),(2tzyxfuaut其中其中f(x,y,z,t)為按單位熱容量計(jì)算的熱源強(qiáng)度。為按單位熱容量計(jì)算的熱源強(qiáng)度。6、穩(wěn)定濃度分布、穩(wěn)定濃度分布

14、 如果擴(kuò)散源強(qiáng)度如果擴(kuò)散源強(qiáng)度F(x,y,z,t) 不隨時(shí)間變化，擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)不隨時(shí)間變化，擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)持續(xù)下去，最終達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，持續(xù)下去，最終達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，ut=0，由擴(kuò)散方程：，由擴(kuò)散方程：Fua2),(2tzyxFuaut得：得：這就是泊松方程這就是泊松方程若沒(méi)有源若沒(méi)有源0u這就是拉普拉斯方程這就是拉普拉斯方程7、穩(wěn)定溫度分布、穩(wěn)定溫度分布 如果熱源強(qiáng)度如果熱源強(qiáng)度F(x,y,z,t) 不隨時(shí)間變化，熱擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)持不隨時(shí)間變化，熱擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)持續(xù)下去，最終達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，續(xù)下去，最終達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，ut=0，由熱擴(kuò)散方程，得：，由熱擴(kuò)散方程，得：Fua2若沒(méi)有熱源若沒(méi)有熱源0u電通量的高斯定理電通量的

15、高斯定理0qSdEdV01SdEdVE0/ Errl dErVrV0)()(0VE02/V泊松方程泊松方程8、靜電場(chǎng)方程、靜電場(chǎng)方程若若002V拉普拉斯方程拉普拉斯方程7.2 7.2 定解條件定解條件（一）、初始條件（一）、初始條件),(),(0zyxtzyxutt對(duì)于波方程，還應(yīng)給出：對(duì)于波方程，還應(yīng)給出：初始條件為已知函數(shù)初始條件為已知函數(shù)),(),(0zyxtzyxuttt稱為初始稱為初始“位移位移” ),(zyx),(zyx稱為初始稱為初始“速度速度”x=l / 2xyx=lhx00),(tttxu0),(0ttttzyxu位移滿足位移滿足速度滿足速度滿足2/, 0)/2(lxlh,

16、2/)(2llxllhhtxutt0),(不能寫成：不能寫成：沒(méi)有初始條件的問(wèn)題沒(méi)有初始條件的問(wèn)題例：長(zhǎng)為例：長(zhǎng)為l的桿，兩端受壓從而長(zhǎng)度縮為的桿，兩端受壓從而長(zhǎng)度縮為l(1-2(1-2),),寫出寫出初始條件。初始條件。)21 (l0 0lx 解：如圖所示，解：如圖所示，根據(jù)對(duì)稱性，根據(jù)對(duì)稱性，桿的兩端壓縮的長(zhǎng)度桿的兩端壓縮的長(zhǎng)度為為l，桿的中點(diǎn)（桿的中點(diǎn)（x=l/2)的位移為零。的位移為零。即左端的位移為即左端的位移為l，右端的位移為，右端的位移為-l)2/(2),(0 xltxut所以：所以：（二）、邊界條件（二）、邊界條件),(),(000000tzyxftzyxuzyx第一類邊第一類

17、邊界條件界條件),(),(000000tzyxfntzyxuzyx第二類邊第二類邊界條件界條件第三類邊第三類邊界條件界條件),(),(000000tzyxfntzyxuHuzyx),(),(000000tzyxftzyxuzyx弦的兩端固定弦的兩端固定, ,端點(diǎn)的位移為：端點(diǎn)的位移為：x=l / 2xyx=lhx00),(0 xtxu0),(lxtxu（1 1）、第一類邊界條件）、第一類邊界條件 細(xì)桿熱傳導(dǎo)（擴(kuò)散）問(wèn)題，端點(diǎn)溫度細(xì)桿熱傳導(dǎo)（擴(kuò)散）問(wèn)題，端點(diǎn)溫度（濃度）恒定（濃度）恒定00),(utxuxllxutxu),(l0 x 細(xì)桿熱傳導(dǎo)（擴(kuò)散）問(wèn)題，端點(diǎn)溫度（濃度）按已細(xì)桿熱傳導(dǎo)（擴(kuò)散）

18、問(wèn)題，端點(diǎn)溫度（濃度）按已知規(guī)律變化。知規(guī)律變化。)(),(tftxuaxA）如細(xì)桿的）如細(xì)桿的縱振動(dòng)，縱振動(dòng)，x=a 處受力處受力 f(t)()(tfSYuaxn（2 2）、第二類邊界條件）、第二類邊界條件如桿端自由如桿端自由 f(t)=0),(000000tzyxfuzyxn0 x)(tfl)(tf在右端在右端 x=l)()(tfSYulxx在左端在左端 x=0)()(0tfSYuxx0axxu0)(tf 如細(xì)桿熱傳如細(xì)桿熱傳導(dǎo)端點(diǎn)有熱量導(dǎo)端點(diǎn)有熱量流出流出)(tfaxnaxxkuq如熱量流入如熱量流入B B）熱傳導(dǎo)）熱傳導(dǎo)0 x)(tfl)(tf在右端在右端 x=l)(tfkulxx在左

19、端在左端 x=0)()(0tfukxx0 x)(tfl)(tf在右端在右端 ：)(tfkulxx在左端在左端 ：)()(0tfukxx)(0tfkuxx)(tfkulxx)(0tfkuxx如細(xì)桿熱傳導(dǎo)，如細(xì)桿熱傳導(dǎo)，一端自由冷卻一端自由冷卻)(axaxnuhku 按牛頓冷卻定律，端點(diǎn)熱流強(qiáng)度與桿端和周圍介質(zhì)按牛頓冷卻定律，端點(diǎn)熱流強(qiáng)度與桿端和周圍介質(zhì)溫度溫度之之差成正比差成正比（3 3）、第三類邊界條件）、第三類邊界條件lxxHuu)(),()(000000tzyxfHuuzyxn0 xl即即 ：在右端在右端 ：)/()(hkHHuuaxn在左端在左端 ：lxxHuu)(0 xlkutf)(

20、若端點(diǎn)與若端點(diǎn)與彈簧連接彈簧連接 axuktf)(則：則： axaxnuktfSYu)()(即：即： 0)(SkYuuaxn在右端在右端 ：0)(SkYuulxx在左端在左端 ：0)(0SkYuuxx 上述所有邊上述所有邊界條件中，當(dāng)界條件中，當(dāng)f(t)=0時(shí)，稱為時(shí)，稱為齊次邊界條件。齊次邊界條件。（4 4）、其它類型邊界條件）、其它類型邊界條件 如右圖所示，桿的一端掛有重物如右圖所示，桿的一端掛有重物而作縱振動(dòng)，邊界條件為：而作縱振動(dòng)，邊界條件為：l o M x lxttaxxMuMgYSu熱輻射熱輻射)(404TTQ端點(diǎn)通過(guò)熱輻射與外界交換熱量，邊界條件為：端點(diǎn)通過(guò)熱輻射與外界交換熱量，

21、邊界條件為：)(44axaxnuku注意：注意：正確區(qū)分邊界條件與泛定方程中的外力或外源正確區(qū)分邊界條件與泛定方程中的外力或外源如：端點(diǎn)有熱流流如：端點(diǎn)有熱流流入，是邊界條件入，是邊界條件)(0tfkuxx)(2tfuauxxt（三）、銜接條件（三）、銜接條件0sinsin)(21TTtF)(tFx0 xy012), 0(), 0(00txutxu11sintg), 0(0txux22sintg), 0(0txux)(), 0(), 0(00tFtxTutxTuxx), 0(), 0(00txutxu沒(méi)有邊界條件的問(wèn)題沒(méi)有邊界條件的問(wèn)題例：一根導(dǎo)熱桿由兩段構(gòu)成，兩段例：一根導(dǎo)熱桿由兩段構(gòu)成，兩

22、段熱傳導(dǎo)系數(shù)、比熱、密熱傳導(dǎo)系數(shù)、比熱、密度分別為度分別為kI, cI, I, kII, cII, II, 初始溫度為初始溫度為u0, 然后保持兩端然后保持兩端溫度為零，寫出熱傳導(dǎo)問(wèn)題的定解方程。溫度為零，寫出熱傳導(dǎo)問(wèn)題的定解方程。解：解：第一段第一段0IxxIItuckuII00uutI01xxIu第二段第二段0IIxxIIIItuckuIII00uutII03xxIIu22xxIIxxIuu22xxIIxIIxxIxIukuk銜接條件：銜接條件：溫度相等溫度相等熱流相等熱流相等1x3x2xx7.4 7.4 達(dá)朗貝爾公式、定解問(wèn)題達(dá)朗貝爾公式、定解問(wèn)題（一）、（一）、 達(dá)朗貝達(dá)朗貝爾爾公式公

23、式02xxttuau考慮弦的振動(dòng)方程考慮弦的振動(dòng)方程表示為：表示為：022222xuatu或：或：0)(uxatxat令：令：0)(uxatxat)(axtxxttxatxxtt)(xat02u)(21x)(21at令：令：)(axtatxatx02u對(duì)對(duì) 積分積分)(fu)()(2fdfu再積分再積分)()(21ff)()(21atxfatxf表示以速度表示以速度a沿沿x正負(fù)方向的行波正負(fù)方向的行波函數(shù)函數(shù) f1 和和 f2 的確定的確定)()()(21xxfxf考慮定解問(wèn)題考慮定解問(wèn)題02xxttuau)()(),(0 xxtxut)()(),(0 xxtxutt)()(21atxfatx

24、fu)( )( 21atxafatxafut)()( )( 21xxafxaf求導(dǎo)有求導(dǎo)有)()()(21xxfxf積分有積分有2)(21)(21)(01Cdaxxfxx)()( )( 21xxafxafCdaxfxfxx0)(1)()(21)()(0201xfxfC2)(21)(21)(02Cdaxxfxx2)(21)(21)(01Cdaxxfxx2)(21)(21)(02Cdaxxfxx)()(21atxfatxfuatxatxdaatxatxu)(21)()(21稱為稱為達(dá)朗貝爾公式達(dá)朗貝爾公式atxatxdaatxatxu)(21)()(2102xxttuau2),(cos),(00t

25、tttxuxtxu例例1 1：求定：求定解問(wèn)題解問(wèn)題atxatxdaatxatxtxu221)cos()cos(21),(tatx2coscos1x2x221xx 0u)(x02xxttuau0),(0tttxu例例2 2：求定解問(wèn)題：求定解問(wèn)題)(),(0 xtxut12102xxxxu2211xxxx12202xxxxu2212xxxx021,xxxx)()(21),(atxatxtxu)()(21),(atxatxtxu0t1tt 2tt 1x2x0u3tt 例例3 3：設(shè)初始位移為零，：設(shè)初始位移為零，初速為：初速為：)(x)(210 xxx),(021xxxxatxatxdatxu)

26、(21),(由達(dá)朗貝爾公式：由達(dá)朗貝爾公式：atxatxdada)(21)(21)()(atxatxxdax)(21)()(01xx)()(212101xxxxxa)()(212012xxxxa 的圖像如的圖像如右圖所示右圖所示)(xx1 1xx2)(x振動(dòng)傳播情況振動(dòng)傳播情況如下圖所示：如下圖所示：)()(),(atxatxtxut3 3t1 1t2 2t0 0 x1 1x1 1xxxxx2u( (x, ,t) )0(02xuauxxtt研究端點(diǎn)固定的半無(wú)限長(zhǎng)弦的振動(dòng)情況研究端點(diǎn)固定的半無(wú)限長(zhǎng)弦的振動(dòng)情況)0(0),(0ttxux（二）、端點(diǎn)的反射（二）、端點(diǎn)的反射)(),(0 xtxutt

27、)(),(0 xtxut)0( x 因?yàn)樵谝驗(yàn)樵趚0 x/ /a) )，達(dá)朗貝爾公式里的，達(dá)朗貝爾公式里的 失去意義，不能用。失去意義，不能用。atxdatx)(),(進(jìn)行延拓，由于端點(diǎn)始終不動(dòng)，故奇延拓進(jìn)行延拓，由于端點(diǎn)始終不動(dòng)，故奇延拓 )(x) 0()(xx ) 0()(xx )(x) 0()(xx ) 0()(xx 達(dá)朗貝爾公式：達(dá)朗貝爾公式：atxatxdaatxatxtxu)(21)()(21),(當(dāng)當(dāng)t x/ /a時(shí)時(shí): :0)(21)()(21),(atxdaxatatxtxuatxda0)(210)(21)()(21),(xatdaxatatxtxu對(duì)第一個(gè)積分式，令對(duì)第一個(gè)

28、積分式，令: :atxda0)(21atxxatdaxatatxtxu)(21)()(21),( 考慮只有初考慮只有初始位移而沒(méi)有始位移而沒(méi)有初始速度的情初始速度的情況，振動(dòng)傳播況，振動(dòng)傳播情況如右圖所情況如右圖所示示半波損失半波損失xt6 6t0 0t5 5t4 4t3 3t2 2t1 1u(x,t)t7 7)0(02xuauxxtt研究端點(diǎn)自由的半無(wú)限長(zhǎng)桿的振動(dòng)情況研究端點(diǎn)自由的半無(wú)限長(zhǎng)桿的振動(dòng)情況)0(0),(0ttxuxx)(),(0 xtxutt)(),(0 xtxut)0( x 把這根半無(wú)限長(zhǎng)桿看作是無(wú)限長(zhǎng)桿的把這根半無(wú)限長(zhǎng)桿看作是無(wú)限長(zhǎng)桿的x0的部分，端的部分，端點(diǎn)自由，相對(duì)伸長(zhǎng)

29、點(diǎn)自由，相對(duì)伸長(zhǎng)ux=0，應(yīng)進(jìn)行偶延拓，應(yīng)進(jìn)行偶延拓 )(x) 0()(xx ) 0()(xx )(x) 0()(xx ) 0()(xx taxtaxdaatxatxtxu)(21)()(21),(當(dāng)當(dāng)t x/ /a時(shí)時(shí): :00)(21)(21)()(21),(taxtaxdadaxatatxtxutaxdaxatatx0)(21)()(21xtada0)(2102xxttuau)0(0),(0 xtxutt)0(0),(0 xtxut)0(sin),(0ttAtxux例：求定解例：求定解問(wèn)題問(wèn)題考慮初始條件與半無(wú)限考慮初始條件與半無(wú)限長(zhǎng)，這一擾動(dòng)產(chǎn)生的波長(zhǎng)，這一擾動(dòng)產(chǎn)生的波沿沿x正向正向)

30、(),(atxftxu解：解：由邊界條件由邊界條件tAatftusin)(), 0(令令atz)sin()(azAzf)(),(atxftxu其中其中atx 若若axt/)sin()(azAzf)sin(azA)sin(aatxA)(sinaxtA0),(txu)/()(sinaxtaxtA),(txu)/(0axt 邊界的振動(dòng)已邊界的振動(dòng)已經(jīng)傳到該點(diǎn)經(jīng)傳到該點(diǎn)axt/振動(dòng)還未傳到振動(dòng)還未傳到（四）、達(dá)朗貝爾解的適定性（四）、達(dá)朗貝爾解的適定性)(1x0),(ttxu考慮初始條件有兩組，差別微小考慮初始條件有兩組，差別微小 (x)有二階導(dǎo)數(shù)有二階導(dǎo)數(shù)， (x)有一階有一階導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)，達(dá)朗貝爾解存在達(dá)朗貝爾解存在(1)(1)、存在性、存在性: :(2)(2)、穩(wěn)定性、穩(wěn)定性: :)(2x0tt)t , x(u)()(21xx)()(21xx)(1x)(2x（三）、定解問(wèn)題的整體性（三）、定解問(wèn)題的整體性(1)(1)有解，有解，(2)(2)解是唯一的，解是唯一的，(3)(3)解是穩(wěn)定的。解是穩(wěn)定的。)(