D98極值與最值學習教案

1、會計學1D98極值極值(j zh)與最值與最值第一頁，共29頁。提示提示(tsh): 由題設(shè)由題設(shè) (D) 根據(jù)條件無法判斷點(0, 0)是否(sh fu)為f (x,y) 的極值點.則( )的某個鄰域內(nèi)連續(xù), 且A(2003 考研)第1頁/共29頁第二頁，共29頁。說明說明: 使偏導數(shù)都為使偏導數(shù)都為 0 的點稱為的點稱為(chn wi)駐點駐點 . 例如(lr),函數(shù)偏導數(shù),證證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.取得極值 ,取得極值取得極值 但駐點不一定是極值點.有駐點( 0, 0 ), 但在該點不取極值.且在該點取得極值 ,則有存在故第2頁/共29頁第三頁，共29頁。時, 具有

2、(jyu)極值的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)(linx)偏導數(shù), 令則: 1) 當A0 時取極小值.2) 當3) 當證明見 第九節(jié)(P121) . 時, 沒有極值.時, 不能確定 , 需另行討論.若函數(shù)且第3頁/共29頁第四頁，共29頁。求函數(shù)解解: : 第一步第一步 求駐點求駐點(zh din).(zh din).得駐點(zh din): (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判別判別(pnbi).在點(1,0) 處為極小值;解方程組ABC的極值.求二階偏導數(shù)第4頁/共29頁第五頁，共29頁。在點(3,0) 處不是(b shi)極值;在點(3,2)

3、 處為極大值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,0B,6C在點(1,2) 處不是(b shi)極值;第5頁/共29頁第六頁，共29頁。及是否(sh fu)取得極值.解解: 顯然顯然(xinrn) (0,0) 都是它們的駐點都是它們的駐點 ,在(0,0)點鄰域內(nèi)的取值, 因此 z(0,0) 不是極值.因此為極小值.正正負負0222)(yxz在點(0,0)并且在 (0,0) 都有 02 BAC33yxz可能為Oxyz第6頁/共29頁第七頁，共29頁。函數(shù)(hnsh) f 在閉域上連續(xù)函數(shù)(hnsh) f 在閉域上可達到最值 最值可疑點 駐點邊界上的最值點特別特別

4、, 當區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個只有一個極值點P 時, )(Pf為極小值)(Pf為最小值( (大大) )( (大大) )依據(jù)第7頁/共29頁第八頁，共29頁。解解: 設(shè)水箱設(shè)水箱(shuxing)長長,寬分別為寬分別為 x , y m ,則高為則高為則水箱(shuxing)所用材料的面積為令得駐點(zh din)某廠要用鐵板做一個體積為2根據(jù)實際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水箱,問當長、寬、高各取怎樣的尺寸時, 才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點就是最小值點.即當長、寬均為高為時, 水箱所用材料最省.第8頁/共29頁第九頁，共29頁。把它折起來做成解解: 設(shè)折起來的邊長為

5、 x cm,則斷面(dun min)面積x24一個斷面(dun min)為等腰梯形的水槽,傾角為 ,x224積最大. 為問怎樣折法才能使斷面面第9頁/共29頁第十頁，共29頁。令解得:由題意(t y)知,最大值在定義域D 內(nèi)達到,而在域D 內(nèi)只有(zhyu)一個(y )駐點,故此點即為所求.)0,120:(2 xD第10頁/共29頁第十一頁，共29頁。極值(j zh)問題無條件極值:條 件 極 值 :條件極值的求法: 方法方法(fngf)1 代入法代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題(wnt)對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其他條件限制例如 ,轉(zhuǎn)化第11頁/共29頁第十二頁，共

6、29頁。,0),(下在條件yx分析分析(fnx)：如方法：如方法 1 所述所述,則問題(wnt)等價于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極故極值點必滿足記)(,(xxfz例如例如,值問題, 故有（*）第12頁/共29頁第十三頁，共29頁。引入輔助(fzh)函數(shù)輔助函數(shù)(hnsh)F 稱為拉格朗日( Lagrange )函數(shù)(hnsh).利用(lyng)拉格極值點必滿足則極值點滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.第13頁/共29頁第十四頁，共29頁。拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(du )自變量和多個(du )約束條件的情形. 設(shè)解方程組可得到(d do)條件極值的可能點 . 例如例如, 求函數(shù)下的極

7、值.在條件第14頁/共29頁第十五頁，共29頁。要設(shè)計一個(y )容量為則問題(wnt)為求x , y ,令解方程組解解: 設(shè)設(shè) x , y , z 分別分別(fnbi)表示長、寬、高表示長、寬、高,下水箱表面積最小.z 使在條件水箱長、寬、高等于多少時所用材料最?。康拈L方體開口水箱, 試問第15頁/共29頁第十六頁，共29頁。得唯一(wi y)駐點由題意(t y)可知合理的設(shè)計是存在的,長、寬為高的 2 倍時，所用(su yn)材料最省.因此 , 當高為xyz思考思考:1) 當水箱封閉時, 長、寬、高的尺寸如何?提示提示: 利用對稱性可知,2) 當開口水箱底部的造價為側(cè)面的二倍時, 欲使造價

8、 應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)? 長、寬、高尺寸如何? 提示提示:長、寬、高尺寸相等 .最省,第16頁/共29頁第十七頁，共29頁。例例8 求求 在條件在條件(tiojin)下的極小值下的極小值,并證明并證明(zhngmng)不等式不等式解解:1)求拉格朗日函數(shù)求拉格朗日函數(shù)(hnsh)的穩(wěn)定點的穩(wěn)定點設(shè)拉格朗日函數(shù)為設(shè)拉格朗日函數(shù)為令令第17頁/共29頁第十八頁，共29頁。2) 判斷判斷(pndun)設(shè)由方程設(shè)由方程(fngchng)確定確定(qudng)的隱函數(shù)為的隱函數(shù)為 是極大值點還是極小值點是極大值點還是極小值點.設(shè)設(shè)為函數(shù)為函數(shù)與與( , )zz x y的復合函數(shù)的復合函數(shù):問題轉(zhuǎn)化為判斷

9、問題轉(zhuǎn)化為判斷3xyzr是函數(shù)是函數(shù)的極大值點還是極小值點的極大值點還是極小值點.而而所以所以易得易得第18頁/共29頁第十九頁，共29頁。1. 函數(shù)函數(shù)(hnsh)的極值問題的極值問題第一步 利用必要條件(b yo tio jin)在定義域內(nèi)找駐點.即解方程組第二步 利用充分條件 判別駐點是否為極值點 .2. 函數(shù)的條件極值問題函數(shù)的條件極值問題(1) 簡單問題用代入法如對二元函數(shù)(2) 一般問題用拉格朗日乘數(shù)法第19頁/共29頁第二十頁，共29頁。設(shè)拉格朗日函數(shù)(hnsh)如求二元函數(shù)(hnsh)下的極值(j zh),解方程組第二步 判別 比較駐點及邊界點上函數(shù)值的大小 根據(jù)問題的實際意義

10、確定最值第一步 找目標函數(shù), 確定定義域 ( 及約束條件)在條件求駐點 . 0),(yx0 xxxfF0yyyfF0F第20頁/共29頁第二十一頁，共29頁。已知平面(pngmin)上兩定點 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),試在橢圓(tuyun)圓周(yunzhu)上求一點 C, 使ABC 面積 S最大.解答提示解答提示:設(shè) C 點坐標為 (x , y),則 ACABS21CBAyxEDO第21頁/共29頁第二十二頁，共29頁。設(shè)拉格朗日函數(shù)(hnsh)解方程組得駐點(zh din)對應(yīng)(duyng)面積而比較可知, 點 C 與 E 重合時, 三角形面積最大.點擊圖中任意點動畫開

11、始或暫停第22頁/共29頁第二十三頁，共29頁。 P108 4, 8 P118 3, 5習題課 第23頁/共29頁第二十四頁，共29頁。注 解解: 設(shè)內(nèi)接三角形各邊所對的圓心角為 x, y, z, zyx它們所對應(yīng)的三個三角形面積(min j)分別為設(shè)拉氏函數(shù)(hnsh)解方程組, 得故圓內(nèi)接正三角形面積最大 , 最大面積為 注則 第24頁/共29頁第二十五頁，共29頁。因此前者不可能(knng)為圓內(nèi)接三角形中面積最大者. BCA1A若ABC 位于(wiy)半圓內(nèi)(如圖) , 則其BC 邊上(bin shn)的高小于A1BC 同邊上的高,故前者的面積小于后者， 第25頁/共29頁第二十六頁，

12、共29頁。為邊的面積(min j)最大的四邊形 ,試列出其目標(mbio)函數(shù)和約束條件 ?提示提示(tsh): 目標函數(shù)目標函數(shù) :約束條件約束條件 :abcd答案答案:即四邊形內(nèi)接于圓時面積最大 .第26頁/共29頁第二十七頁，共29頁。電視機的銷售價格為p, 銷售量為x, 假設(shè)該廠的生產(chǎn)(shngchn)處于平衡狀態(tài)(zhungti), 即生產(chǎn)量等于銷售量.根據(jù)市場預測, x 與p 滿 足關(guān)系:其中M是最大市場需求量, a是價格系數(shù).又據(jù)對生產(chǎn)環(huán)節(jié)的分析, 預測每臺電視機的生產(chǎn)成本滿足:其中c0是生產(chǎn)一臺電視機的成本, k是規(guī)模系數(shù).問應(yīng)如何確定每臺電視機的售價 p , 才能使該廠獲得最大