[理學]第二章行列式ppt課件

1、第二章第二章 行列式行列式2.1 行列式的概念行列式的概念2.2 n 階行列式的定義階行列式的定義 2.3 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì) 2.4 行列式按行列展開行列式按行列展開2.5 行列式的計算行列式的計算行行 列列 式式determinantdeterminant2.1 行列式的概念令11 112211212222(2.1)a xa xba xa xb212122211211,bbBxxXaaaaABAX 那么方程組(2.1)可表示為A為方程組(2.1)的系數(shù)矩陣。一、二階行列式的引入一、二階行列式的引入用消元法解二元線性方程組用消元法解二元線性方程組 .,22221211212111bxa

2、xabxaxa 1 2 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa ，得，得兩式相減消去兩式相減消去2x;212221121122211baabxaaaa ）（;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得類似地，消去類似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（時時，當當021122211 aaaa方程組有獨一解，為方程組有獨一解，為，211222112122211aaaabaabx ）（3.211222112112112aaaaabbax 由方程組的四個系數(shù)確定由方程組的四個

3、系數(shù)確定.由四個數(shù)排成二行二列橫排稱行、豎排由四個數(shù)排成二行二列橫排稱行、豎排稱列得系數(shù)矩陣稱列得系數(shù)矩陣11122122aaAaa1122122111122122a aa aaaaa表達式稱為系數(shù)矩陣的二階行列式，并記作即即.aaaaaaaa211222112221121111a12a22a21a主對角線主對角線副對角線副對角線2211aa .2112aa 二階行列式的計算二階行列式的計算假設記假設記,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa對于二元線性方程組對于二元線性方程組系數(shù)行列式系數(shù)行列式 .,22221211212111bxaxabxaxa,

4、2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa.2211112babaD 那么二元線性方程組的解為那么二元線性方程組的解為,2221121122212111aaaaababDDx 留意留意 分母都為原方程組的系數(shù)行列式分母都為原方程組的系數(shù)行列式.2221121122111122aaaababaDDx .12,12232121xxxx求求解解二二元元線線性性方方程程組組解解1223 D)4(3 , 07 112121 D,14 121232 D,21 DDx11 , 2714 DDx22 . 3721 二、三階行列式二、三階行列式1112132122233132

5、33933aaaAaaaaaa設有 個數(shù)排成 行 列的矩陣11 22 331223 3113 21 3211 23 321221 3313 22 31,a a aa a aa a aa a aa a aa a a333231232221131211aaaaaaaaa稱為矩陣稱為矩陣A A 的三階行列式的三階行列式. .列標列標行標行標333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 留意留意 紅線上三元素的乘積冠以正號，藍線上三紅線上三元素的乘積冠以正號，藍線上三元素的乘積冠以負號元素的乘積冠以負號闡明闡明1 對角線法那么只適用于二階與三階行列式對

6、角線法那么只適用于二階與三階行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa (2)(2)沙路沙路(Sarrus)(Sarrus)法法323122211211aaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaaD 112233a a a D112332a a a 312213aaa 122133a a a 122331a a a 132132a a a 三階行列式包括三階行列式包括3!3!項項, ,每一項都是位于不同行每一項都是位于不同行, ,不同列的三個元素的乘積不同列的三個元素的乘積, ,其中三項為正其中三項為正, ,三項為三項為負負.

7、. 假設三元線性方程組假設三元線性方程組 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式333231232221131211aaaaaaaaaD , 0 利用三階行列式求解三元線性方程組利用三階行列式求解三元線性方程組 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD 假設記假設記333231232221131211aaaaaaaaaD 或或 121bbb ;,33332321312323222121

8、1313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD 記記,3332323222131211aabaabaabD 即即 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxa

9、xaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa.3323122221112113baabaabaaD ,3333123221131112abaabaabaD .3323122221112113baabaabaaD 那么三元線性方程組的解為那么三元線性方程組的解為:,DDx11,22DDx .

10、33DDx 333231232221131211aaaaaaaaaD ,3332323222131211aabaabaabD 2-43-122-4-21D 計計算算三三階階行行列列式式按對角線法那么，按對角線法那么，有有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 . 094321112 xx求解方程求解方程方程左端方程左端1229184322 xxxxD, 652 xx解得由0652 xx3.2 xx或或例例4 4 解線性方程組解線性方程組12312312322,231,0.xxxxxxxxx 由于方程組的系數(shù)行列式由于方程組的系數(shù)行列

11、式111312121 D 111 132 121 111 122 131 5 , 0 同理可得同理可得1103111221 D, 5 1013121212 D,10 0111122213 D, 5 故方程組的解為故方程組的解為:, 111 DDx, 222 DDx. 133 DDx 二階和三階行列式是由解二元和三元線性方二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的程組引入的.對角線法那對角線法那么么二階與三階行列式的計算二階與三階行列式的計算.2112221122211211aaaaaaaa ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaa

12、aaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa三、小結(jié)三、小結(jié)一、陳列及其逆序數(shù)一、陳列及其逆序數(shù)引例引例用用1、2、3三個數(shù)字，可以組成多少個沒三個數(shù)字，可以組成多少個沒有反復數(shù)字的三位數(shù)？有反復數(shù)字的三位數(shù)？解解1 2 3123百位百位3種放法種放法十位十位1231個位個位12 32種放法種放法1種放法種放法種放法種放法.共有共有6123 第二節(jié)第二節(jié) n n階行列式的定義階行列式的定義同的排法？同的排法？，共有幾種不，共有幾種不個不同的元素排成一列個不同的元素排成一列把把 n問題問題定義定義1 由由 個不同的正整數(shù)組成的一個有序數(shù)組，個不同的正整數(shù)組成的一個有序數(shù)組

13、，稱為一個稱為一個n元陳列。元陳列。n 個不同的元素的一切陳列的種數(shù)，通常個不同的元素的一切陳列的種數(shù)，通常用用 表示表示.nnP由引例由引例1233 P. 6 nPn )1( n)2( n123 !.n 同理同理 在一個陳列在一個陳列 中，假設中，假設數(shù)數(shù) 那么稱這兩個數(shù)組成一個逆序那么稱這兩個數(shù)組成一個逆序. nstiiiii21stii 定義定義2 我們規(guī)定各元素之間有一個規(guī)范次序我們規(guī)定各元素之間有一個規(guī)范次序, n 個個不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為規(guī)范陳列或自然不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為規(guī)范陳列或自然陳列陳列.一個陳列中一切逆序的總數(shù)稱為此陳列的逆序數(shù)一個陳列中一切逆序的總數(shù)稱為此

14、陳列的逆序數(shù).例如例如 陳列陳列32514 中，逆序數(shù)為中，逆序數(shù)為3+1+0+1+0=5.計算陳列逆序數(shù)的方法計算陳列逆序數(shù)的方法方法方法1 1分別計算出排在分別計算出排在 前面比它大的數(shù)前面比它大的數(shù)碼之和即分別算出碼之和即分別算出 這這 個元素個元素的逆序數(shù)，這個元素的逆序數(shù)的總和即為所求的逆序數(shù)，這個元素的逆序數(shù)的總和即為所求陳列的逆序數(shù)陳列的逆序數(shù).n,n,121 n,n,121 n逆序數(shù)為奇數(shù)的陳列稱為奇陳列逆序數(shù)為奇數(shù)的陳列稱為奇陳列;逆序數(shù)為偶數(shù)的陳列稱為偶陳列逆序數(shù)為偶數(shù)的陳列稱為偶陳列.陳列的奇偶性陳列的奇偶性分別計算出陳列中每個元素前面比它大的數(shù)碼分別計算出陳列中每個元素

15、前面比它大的數(shù)碼個數(shù)之和，即算出陳列中每個元素的逆序數(shù)，個數(shù)之和，即算出陳列中每個元素的逆序數(shù)，這每個元素的逆序數(shù)之總和即為所求陳列的逆這每個元素的逆序數(shù)之總和即為所求陳列的逆序數(shù)序數(shù).方法方法2 2例例1 1 求陳列求陳列3251432514的逆序數(shù)的逆序數(shù). .解解在陳列在陳列32514中中,3排在首位排在首位,逆序數(shù)為逆序數(shù)為0;2的前面比的前面比2大的數(shù)只需一個大的數(shù)只需一個3,故逆序數(shù)為故逆序數(shù)為1;3 2 5 1 40 1 0 3 1于是陳列于是陳列32514的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為13010 t. 5 5的前面沒有比的前面沒有比5大的數(shù)大的數(shù),其逆序數(shù)為其逆序數(shù)為0;1的前面比的前面

16、比1大的數(shù)有大的數(shù)有3個個,故逆序數(shù)為故逆序數(shù)為3;4的前面比的前面比4大的數(shù)有大的數(shù)有1個個,故逆序數(shù)為故逆序數(shù)為1;定義定義3 3 將一個將一個n n元陳列中某兩個數(shù)的位置互換，而元陳列中某兩個數(shù)的位置互換，而其他數(shù)不動，就得到另一個陳列，這樣的變換稱為其他數(shù)不動，就得到另一個陳列，這樣的變換稱為對換。對換。412104213t110001243t對換會改動陳列的奇偶性？對換會改動陳列的奇偶性？定理定理1 1 一次對換改動陳列的奇偶性。一次對換改動陳列的奇偶性。證明：證明： 1 對換的兩數(shù)相鄰。設對換的兩數(shù)相鄰。設n元陳列為元陳列為其逆序數(shù)為其逆序數(shù)為 ，將相鄰兩數(shù)，將相鄰兩數(shù)i，j對換，

17、得到新陳對換，得到新陳列列其逆序數(shù)為其逆序數(shù)為 ，于是，于是 當當 ij 時，時， 當當 ij 時，時，mlbbijbaaa2121mlbbjibaaa212112112112所以，一次相鄰對換改動陳列的奇偶性。所以，一次相鄰對換改動陳列的奇偶性。 2 普通情況。設普通情況。設n元陳列為元陳列為將兩數(shù)將兩數(shù)i，j對換，得到新陳列對換，得到新陳列2可看作是由可看作是由1把把i依次和依次和 對換，對換，即作了即作了m次相鄰對換得到的陳列次相鄰對換得到的陳列pmlccjcbbibaaa212121pmlccicbbjbaaa212121mbbb,21后，再將后，再將3中的中的j依次和依次和 作作m1

18、次對換而得。這樣由次對換而得。這樣由1經(jīng)經(jīng)2m1次相鄰對換可次相鄰對換可得到陳列得到陳列2，由前面證明可知，陳列，由前面證明可知，陳列2和和1奇偶性不同。奇偶性不同。 證畢證畢mbbbi,21pmlccijcbbbaaa2121212 2 陳列具有奇偶性陳列具有奇偶性. .計算陳列逆序數(shù)常用的方法有計算陳列逆序數(shù)常用的方法有2 種種.1 1 個不同的元素的一切陳列種數(shù)為個不同的元素的一切陳列種數(shù)為n!.n陳列及其逆序數(shù)小結(jié)陳列及其逆序數(shù)小結(jié)4 一次對換改動陳列的奇偶性一次對換改動陳列的奇偶性二、二、 n n 階行列式的定義階行列式的定義三階行列式三階行列式333231232221131211a

19、aaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 闡明闡明1三階行列式共有三階行列式共有 項，即項，即 項項6!32每項都是位于不同行不同列的三個元素的每項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積乘積3每項的正負號都取決于位于不同行不同列每項的正負號都取決于位于不同行不同列 的三個元素的下標陳列的三個元素的下標陳列例如例如322113aaa列標陳列的逆序數(shù)為列標陳列的逆序數(shù)為3121 1 2, 322311aaa列標陳列的逆序數(shù)為列標陳列的逆序數(shù)為1321 0 1, 偶陳列偶陳列奇陳列奇陳列正號正號 ,負號負號 .)

20、1(321321333231232221131211 ppptaaaaaaaaaaaa定義定義4的的元元素素稱稱為為行行列列式式數(shù)數(shù))det(ijijaa).或或det(ija簡記作簡記作ijannnnnnnppptaaaaaaaaaDaaannnnMMM212222111211212.)1(21 記作記作的代數(shù)和的代數(shù)和個元素的乘積個元素的乘積取自不同行不同列的取自不同行不同列的階行列式等于一切階行列式等于一切個數(shù)組成的個數(shù)組成的由由為這個排列的逆序數(shù)為這個排列的逆序數(shù)的一個排列，的一個排列，為自然數(shù)為自然數(shù)其中其中tnpppn2121 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaa

21、aaaaaD212121212122221112111 闡明闡明1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)一樣的一次方程組的需求而程個數(shù)和未知量個數(shù)一樣的一次方程組的需求而定義的定義的;2、 階行列式是階行列式是 項的代數(shù)和項的代數(shù)和;n!n3、 階行列式的每項都是位于不同行、不同階行列式的每項都是位于不同行、不同列列 個元素的乘積個元素的乘積;nn4、 一階行列式一階行列式 不要與絕對值記號相混淆不要與絕對值記號相混淆;aa 5、 的符號為的符號為nnpppaaa21211 2()( 1)np pp例例2 2計算行列式計算行列式000

22、4003002001000分析分析展開式中項的普通方式是展開式中項的普通方式是43214321ppppaaaa41 p若若, 011 pa從而這個項為零，從而這個項為零，所以所以 只能等于只能等于 , 1p4同理可得同理可得1, 2, 3432 ppp解解0004003002001000432111 2 3 4 .24 即行列式中不為零的項為即行列式中不為零的項為.aaaa41322314例例3 3 計算上三角行列式計算上三角行列式nnnnaaaaaa00022211211分析分析展開式中項的普通方式是展開式中項的普通方式是.2121nnpppaaa,npn , 11 npn, 1, 2, 3

23、123 ppnpn所以不為零的項只需所以不為零的項只需.2211nnaaannnnaaaaaa000222112111211 221nnna aa .2211nnaaa 解解例例4?8000650012404321 D443322118000650012404321aaaaD .1608541 同理可得下三角行列式同理可得下三角行列式nnnnnaaaaaaa32122211100000.2211nnaaa n 21 .12121nnn ;21n n 21例例5 5 證明對角行列式主對角線以外全為證明對角行列式主對角線以外全為0 0的行列式的行列式和次對角行列式和次對角行列式n 21 11,21

24、2111nnnnntaaa .12121nnn 證明證明第一式是顯然的第一式是顯然的,下面證第二式下面證第二式.假設記假設記,1, iniia 那么依行列式定義那么依行列式定義11,21nnnaaa 證畢證畢定理定理2 n階行列式階行列式 的普通項可以記為的普通項可以記為ijaDnjijijinnjjjniiiaaa2121)21()21() 1(推論推論 n階行列式也可以定義為階行列式也可以定義為nnniiiiiiniiiaaa2121)21(21) 1(證明略證明略1 、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)一樣的一次方程組的需方程個

25、數(shù)和未知量個數(shù)一樣的一次方程組的需求而定義的求而定義的.2、 階行列式共有階行列式共有 項，每項都是位于不同項，每項都是位于不同行、不同列行、不同列 的的 個元素的乘積個元素的乘積,正負號由下標陳正負號由下標陳列的逆序數(shù)決議列的逆序數(shù)決議.nn!n三、小結(jié)三、小結(jié)定義：行列式定義：行列式 稱為行列式稱為行列式 的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置行列式. TDD設設nnaaa2211Mnnaaa2112M2121nnaaa Dnnaaa2211M2121nnaaaMnnaaa2112 TDDDT 一、行列式的性質(zhì)一、行列式的性質(zhì)證明證明的轉(zhuǎn)置行列式記令)det(,ijjiijaDabnnnnnnTbbbbbbb

26、bbD212222111211nnnppppppbbb212121)(11212()121nnp ppppp naaaDDT v行列式的行與列的位置是對稱的，即凡對行列式的行與列的位置是對稱的，即凡對行成立的的性質(zhì)對列也成立。行成立的的性質(zhì)對列也成立。v因此，我們下面著重以行來引見行列式的因此，我們下面著重以行來引見行列式的性質(zhì)。性質(zhì)。nijaD)det(列列,21212111211nnnnknkkiniinaaaaaaaaaaaa1D交換交換D的的i,k行，得行，得D1,21212111211nnnniniiknkknaaaaaaaaaaaankinkinjijkjjjjjjaaaa111)

27、(1niknkinjkjijjjjjjaaaa111)(1nikniknjkjijjjjjjaaaa1_111)(1)1()1()1()1(njijkjjnjkjijj根據(jù)定理一，對換一次改動行列式得奇偶性，即：根據(jù)定理一，對換一次改動行列式得奇偶性，即：niknnjkjijjjjjjaaaa1ik11)(1上式D即：即：D1D 。恣意互換行列式的兩行。恣意互換行列式的兩行列，行列式變號！證畢！列，行列式變號！證畢！niknkinjkjijjjjjjaaaa111)(1nkinkinjijkjjjjjjaaaa111)(1例如例如推論推論 假設行列式有兩行列完全一樣，假設行列式有兩行列完全一樣

28、，證明證明互換一樣的兩行，有互換一樣的兩行，有 ,DD 473212101. 0 D21cc 32rr ,212473101.437221110那么此行列式為零那么此行列式為零. .473212101. 212111211nnnniniinaaaaaaaaa ninpipptakaa)(111 左左 ninpipptaaak111 .右右 nnnniniinaaaaaaaaa 212111211kkkk證明證明290184317012826330 例：例：290184317064163302 1901823170641333022 130182117024131303422 r24 c33 c

29、證明證明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211. 02的推論，根據(jù)性質(zhì)krj 那么此行列式為零那么此行列式為零 nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaMMMM)()()(2122222211111211nnninniniaaaaaaaaa122211111.122211111nnninniniaaaaaaaaa nnnnininiiiinaaaaaaaaaaaaMMMMMM21221111211nnnniniinaaaaaaaaaMMMMMM212111211.

30、212111211nnnniniinaaaaaaaaaMMMMMM nnnjninnjinjiaaaaaaaaaaaaMMMM12222111111;)()()(1222221111111nnnjnjninnjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakccMMMM kjickc:(1) nnnnjnjjiniinaaaaaaaaaaaaMMMMMMMMM21212111211k+jikrr nnnnjnjjjninjijinaaaaaakaakaakaaaaaMMMMMMMMM2121221111211 jirkr:(2)闡明：運用行列式性質(zhì)時，為了使過程明晰醒目，闡明：運用行列式

31、性質(zhì)時，為了使過程明晰醒目，商定如下記號：商定如下記號：)(jijiccrr)(iikckr)(jijikcckrr例例2101044614753124025973313211 D計算計算計算行列式的根本方法計算行列式的根本方法:.jikrr 二、行列式性質(zhì)運用舉例二、行列式性質(zhì)運用舉例三角化三角化.計算行列式的主要手段計算行列式的主要手段:2101044614753124025973313211 D計算計算3 解解123rr 例例21010446147531240213211 D001 02 2 21010446147532010013211 2 3 132rr 解解123rr 210104

32、46147531240213211 D001 02 02041 143rr 4 21010446147532010013211 3 132rr 02041 2101044140202010013211 02 15 3143rr 4 2101044140202010013211 02 15 335120140202010013211 154rr 00222 42rr 2220020100140203512013211 35120140202010013211 154rr 00222 22200201003512013211 23rr 42rr 2220020100140203512013211

33、0011 234rr 2 22200201003512013211 23rr 0011 222200211003512013211 0001 001000211003512013211 352rr 4 34rr 2 22200211003512013211 0001 00 0046 01000211003512013211 612 454rr .12 01000211003512013211 352rr 4 0 0046 00006 例例2 計算計算 階行列式階行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D將第將第 列都加到第一列

34、得列都加到第一列得n, 3 , 2 abbbabbbabbbbna1111) 1( bababa)b(na,n,jbccj 0010110001121MM .)() 1(1 nbabna例例3 3,0111111111111nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaDMMMMMM 設設,11111kkkkaaaaDMM ,11112nnnnbbbbDMM .21DDD 證明證明問題：是不是一切的行列式都可以化為三角行列式？問題：是不是一切的行列式都可以化為三角行列式？證明證明kkkpppDM11110 設為設為化為下三角形行列式化為下三角形行列式把把作運算作運算對對11,DkrrDji

35、化化為為下下三三角角形形行行列列式式把把作作運運算算對對22,DkrrDji nnnqqqDM11120 設設為為;11kkpp .11nnqq ,01111111111nnnnknkkkkqqqddddpppDMMMM 化化為為下下三三角角形形行行列列式式把把算算列列作作運運，再再對對后后行行作作運運算算的的前前對對DkccnkrrkDjiji, nnkkqqppD1111 故故.21DD 例例4.14013072200002/100069 5 fedcbaD計算計算 5D解解: : 02/169140130722 314132 )7()2()3( .42 留意留意: 行列式中行與列具有同等

36、的位置行列式中行與列具有同等的位置, 行列式行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.計算行列式常用方法：計算行列式常用方法： (1) 利用定義利用定義; (2) 利用性質(zhì)利用性質(zhì).行列式的行列式的6個性質(zhì)個性質(zhì)3個推論個推論三、小結(jié)三、小結(jié)性質(zhì)性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。性質(zhì)性質(zhì)2 恣意互換行列式的兩行列，行列式變號。恣意互換行列式的兩行列，行列式變號。推論推論 假設行列式有兩行列完全一樣，行列式為假設行列式有兩行列完全一樣，行列式為0。性質(zhì)性質(zhì)3 行列式某行列的公因子可以提到行列式符號行列式某行列的公因子可以提到行列式符

37、號的外面。的外面。推論推論1 用數(shù)用數(shù)k乘以行列式乘以行列式D等于等于D中某一行列一切元中某一行列一切元素同乘以數(shù)素同乘以數(shù)k。推論推論2 假設行列式的恣意兩行列對應元成比例，那假設行列式的恣意兩行列對應元成比例，那么行列式為么行列式為0。性質(zhì)性質(zhì)4 假設行列式的第假設行列式的第i行列的每一個元都可表示行列的每一個元都可表示為兩數(shù)之和，那么該行列式可表示為兩個行列式之和。為兩數(shù)之和，那么該行列式可表示為兩個行列式之和。性質(zhì)性質(zhì)5 把行列式的第把行列式的第j行列元的行列元的k倍加到第倍加到第i行列行列的對應元上，行列式的值不變。的對應元上，行列式的值不變。,3122133321123223113

38、22113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa例如例如 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 3332232211aaaaa 一、余子式與代數(shù)余子式一、余子式與代數(shù)余子式.131312121111AaAaAa 3331232112aaaaa 3231222113aaaaa 在在 階行列式中，把元素階行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列劃去后，留下來的元按原來的次序構(gòu)成列劃去后，留下來的元按原來的次序構(gòu)成 階行列式叫做元素階行列式叫做元素 的余

39、子式，記作的余子式，記作nijaij1 nija.Mij ，記記ijjiijMA 1叫做元素叫做元素 的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M 定義定義5：引理引理 一個一個 階行列式，假設其中第階行列式，假設其中第 行一切行一切元素除元素除 外都為零，那末這行列式等于外都為零，那末這行列式等于 與它的與它的代數(shù)余子式的乘積，即代數(shù)余子式的乘積，即 ijijAaD niijaija44434241332423

40、222114131211000aaaaaaaaaaaaaD 3333Aa 例如例如 .14442412422211412113333aaaaaaaaaa 二、行列式按行二、行列式按行( (列列) )展開展開證證當當 位于第一行第一列時位于第一行第一列時,ijannnnnaaaaaaaDMMM21222211100 即有即有.1111MaD 又又 1111111MA ,11M 從而從而.1111AaD 對于普通情形對于普通情形,nnnnnnnnnnjjjjjjjnjjjjjjjnjjjjjjjjjaaaaaaaaa221222122121212)(11211)1(21)()1()1()1( ,1

41、,2,1行行對對調(diào)調(diào)第第行行第第行行行行依依次次與與第第的的第第把把 iiiD得得nnnjnijnjaaaaaaaDMMMMMM1111100 ija nnnjnnijiiijiaaaaaaaDMMMMMM1, 1, 11 , 11001 ija對于普通情形對于普通情形,設設,1,2,1對對調(diào)調(diào)列列第第列列第第列列列列依依次次與與第第的的第第再再把把 jjjD得得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaDMMMMMM1, 11, 1, 1110011 ija得得 nnnjnnijiiijiaaaaaaaDMMMMMM1, 1, 11 , 11001 ija nnjnnjnijijiij

42、jiaaaaaaaMMMMMM1, 11, 1, 12001 ija nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaDMMMMMM1, 11, 1, 1110011 ija nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaMMMMMM1, 11, 1, 12001 ija nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaMMMMMM1, 11, 1, 1001 ija nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaMMMMMM1, 11, 1, 1001 ija ji1 ijaijM.ijijAa 定理定理 n n階行列式等于它的任一行階行列式等于它的任一行( (列列) )的各元素的各元素與其對應

43、的代數(shù)余子式乘積之和，即與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即), 2 , 1( 22111niAaAaAaAaDininiiiinjijij 證證nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000 )., 2 , 1( 22111njAaAaAaAaDnjnjjjjjniijij nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 .2211ininiiiiAaAaAa ni, 2 , 1 闡明：闡明： 計算行列式時，直接利用定理計算行列式時，直接利用定理3展開行展開行列式，通常并不能減少

44、計算量，除非某一列式，通常并不能減少計算量，除非某一行列含有較多的零元，因此計算行列行列含有較多的零元，因此計算行列式時，應先運用行列式性質(zhì)，將某一行式時，應先運用行列式性質(zhì)，將某一行列盡能夠多得化為零，然后運用行列列盡能夠多得化為零，然后運用行列式的展開。式的展開。例例13351110243152113 D03550100131111115 312 cc 34cc 0551111115)1(33 055026115 5526)1(31 .40 12rr 定理定理4 n4 n階行列式任一行列的各元素與另一階行列式任一行列的各元素與另一行列的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于行列的對應元素的代數(shù)余

45、子式乘積之和等于零，即零，即;, 02211jiAaAaAajninjiji ,111111111nnnjnjininjnjnjjnkjkjkaaaaaaaaAaAaAaDMMMMMM 證證, 時時當當ji ., 02211jiAaAaAanjnijiji 有有行展開行展開按第按第把行列式把行列式,)det(jaDij nnnjninjiininijnnnjnjininaaaaaaaaaarraaaaaaaaMMMMMMMMMMMM1111111111111 按按 j 行展開：行展開： jknkjkikAaa 1)(jknkjkjknkikjknkjkikAaAaAaa 111)(01 jkn

46、kikAa所以：所以：另一條同理可證。證畢！另一條同理可證。證畢！ 關于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)關于代數(shù)余子式的重要性質(zhì): nkkjkiAa1ijnkjkikDAa 1 .,0,1jijiij當當，當當 ,ijD 證證用數(shù)學歸納法用數(shù)學歸納法21211xxD 12xx , )(12 jijixx）式式成成立立時時（當當12 n例例2證明范德蒙德證明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxDMMM)1()()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxx

47、xxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn MMMM，階范德蒙德行列式成立階范德蒙德行列式成立）對于）對于假設（假設（11 n)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn MMMM=223223211312111)()( nnnnnnxxxxxxxxxxxxMMM)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn MMMM= n-1階范德蒙德行列式階范德蒙德行列式)()()(211312jj

48、ininxxxxxxxx ).(1jjinixx 解解例例3計算計算.00002dcdcdcbababaDn 對行列式按第一行展開，得：對行列式按第一行展開，得： nD2 1aD 解解例例3計算計算.00002dcdcdcbababaDn 對行列式按第一行展開，得：對行列式按第一行展開，得： nD2 1aD21)1(Ddn 解解例例3計算計算.00002dcdcdcbababaDn 對行列式按第一行展開，得：對行列式按第一行展開，得： nD2 1aD21)1(Ddn 00)1(2 nadD .00002dcdcdcbababaDn 解解例例3計算計算對行列式按第一行展開，得：對行列式按第一行展

49、開，得： nD2 1aD21)1(Ddn 00)1(2 nadD )1(2111)1()1( nnnDdc.00002dcdcdcbababaDn 解解例例3計算計算對行列式按第一行展開，得：對行列式按第一行展開，得： nD2 1aD21)1(Ddn 00)1(2 nadD )1(2111)1()1( nnnDdc)1(2 ndcD)1(2)( nDdcad 解解對行列式按第一行展開，得：對行列式按第一行展開，得： nD2 1aD21)1(Ddn )1(2 nadD)1(2 ndcD)1(2)( nDdcad)2(22)( nDdcad21)(Ddcadn dcbadcadn 1)( .)(n

50、dcad 遞推法遞推法解解計算計算.00002dcdcdcbababaDn 例例3)1(222222)1()1( nnnnDdcbaD 最后一行和最后列逐次向上和向左換行和換列最后一行和最后列逐次向上和向左換行和換列, ,得得.)()1(2 nDbcad 行列式按行行列式按行(列列)展開是把高階行列式的計算展開是把高階行列式的計算化為低階行列式計算的重要工具化為低階行列式計算的重要工具. ,1ijnkkjkiDAa ,1ijnkjkikDAa .,0,1jijiij當當，當當其中其中 三、小結(jié)三、小結(jié)本次課的教學要求本次課的教學要求1、了解克拉默法那么，會運用克拉默法那么、了解克拉默法那么，會

51、運用克拉默法那么求解線性方程組。求解線性方程組。2、經(jīng)過練習穩(wěn)定行列式的性質(zhì)和運算。、經(jīng)過練習穩(wěn)定行列式的性質(zhì)和運算。第五節(jié)第五節(jié) 克拉默法那克拉默法那么么 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111設線性方程組設線性方程組,21不不全全為為零零若若常常數(shù)數(shù)項項nbbb那么稱此方程組為那么稱此方程組為 非齊次線性方程組非齊次線性方程組;,21全全為為零零若若常常數(shù)數(shù)項項nbbb此時稱方程組為齊次線性方程組此時稱方程組為齊次線性方程組.非齊次線性方組與齊次線性方程組的概念非齊次線性方組與齊次線性方程組的概念假設線性方程組假設線性方程組)

52、1(22112222212111212111 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系數(shù)行列式不等于零，即的系數(shù)行列式不等于零，即nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 0 一、定理一、定理5 5 克拉默克拉默(Cramer)(Cramer)法那么法那么.,332211DDxDDxDDxDDxnn nnjnnjjnnnjjjaaaaaaaaaaD1,1,111, 111, 111 那么線性方程組那么線性方程組 有解，并且解是獨一的，且有解，并且解是獨一的，且解可以表示為解可以表示為 1jnbb1其中：其中：證明證明 得得個個方方程程的的依依次次乘乘方

53、方程程組組列列元元素素的的代代數(shù)數(shù)余余子子式式中中第第用用,1,21nAAAjDnjjj證明證明 得得個個方方程程的的依依次次乘乘方方程程組組列列元元素素的的代代數(shù)數(shù)余余子子式式中中第第用用,1,21nAAAjDnjjj在把在把 個方程依次相加，得個方程依次相加，得n)1( 11222121111111 nnnnjnjnnnjjnnjjbxaxaxabxaxaxabxaxaxa()jA1jA1)2(111xAankkjk jnkkjkjxAa 1nnkkjknxAa 1,1 nkkjkAb()jA2jA2()njAnjA,111111 nkkjknnkkjknjnkkjkjnkkjkAbxAa

54、xAaxAa由上一節(jié)定理由上一節(jié)定理3和定理和定理4可知可知, ., 2 , 1njDDxjj DDxDDxDDxDDxnn,332211,Dxj的的系系數(shù)數(shù)等等于于上上式式中中 ; 0的的系系數(shù)數(shù)均均為為而而其其余余jixi .jD又又等等式式右右端端為為于是于是 3當當 時時, 方程組方程組 有獨一的一個解有獨一的一個解0 D 3DDxDDxDDxnnjj ,11也是方程組的也是方程組的 解解. 1另外，可以證明另外，可以證明有有 , 2 , 1ni nnnnniiniinbaaabaaabaaaMMMMMMMMM2121111211iiniibaaa21, 0 ininjijibDDaDDaDDa 11nnnnniiniinba