【獲獎(jiǎng)公開課課件】人教版高中數(shù)學(xué)選修2-2：22-直接證明與間接證明

1、2.22.2直接證明與間接證明直接證明與間接證明2.2.1 2.2.1 綜合法和分析法綜合法和分析法Office組件之word2007回顧基本不等式：回顧基本不等式： (a0,b0)(a0,b0)的證明過程：的證明過程：a a + + b ba a b b2 2證明證明: :因?yàn)橐驗(yàn)? ; 所以所以所以所以所以所以 成立成立()b 20a a 20a a + + b ba ab b 2a a + + b ba ab b a a + + b ba ab b2 2證明證明: :要證要證; ;只需證只需證; ;只需證只需證; ;只需證只需證; ;因?yàn)橐驗(yàn)? ; 成立成立所以所以 成立成立 a a+

2、+b ba ab b2 2 2a a+ +b ba ab b 20a a+ +b ba ab b()b 20a a()b 20a aa a + + b ba ab b2 2Office組件之word2007利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等定理等, ,經(jīng)過一系列的推理論證經(jīng)過一系列的推理論證, ,最后推最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立, ,這種證明方這種證明方法叫做法叫做綜合法綜合法用用P P表示已知條件、已有的定義、公理、表示已知條件、已有的定義、公理、定理等定理等,Q,Q表示所要證明的結(jié)論表示所要證明的結(jié)論. .則綜合法用框圖表示為

3、則綜合法用框圖表示為: :1 1P PQ Q1 12 2Q QQ Q2 23 3Q QQ Qn nQ QQ Q特點(diǎn):“執(zhí)因索果”綜合法又叫由因?qū)Чɑ蝽樛谱C法綜合法又叫由因?qū)Чɑ蝽樛谱C法. .Office組件之word2007 一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求推證過程中，使每一步結(jié)論成立的充分條件，推證過程中，使每一步結(jié)論成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種證明的方法叫做等）為止，這種證明的方法叫做分

4、析法分析法 特點(diǎn)：特點(diǎn)：執(zhí)果索因執(zhí)果索因. .用框圖表示分析法的思考過程、特點(diǎn)用框圖表示分析法的思考過程、特點(diǎn). .1 1QPQP2323PPPP1212PPPP得到一個(gè)明顯得到一個(gè)明顯成立的結(jié)論成立的結(jié)論分析法又叫執(zhí)果索因法或叫逆推證法分析法又叫執(zhí)果索因法或叫逆推證法例例1 1：已知：已知a0,b0,a0,b0,求證求證a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2) )4abc4abc因?yàn)橐驗(yàn)閎 b2 2+c+c2 2 2bc,a02bc,a0所以所以a(ba(b2 2+c+c2 2) )2abc.2abc.又因?yàn)橛忠驗(yàn)閏 c2 2+b+b2 2 2bc,b02b

5、c,b0所以所以b(cb(c2 2+a+a2 2) ) 2abc.2abc.因此因此a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2) )4abc.4abc.證明證明: :例例2 2：在：在中，三個(gè)內(nèi)角、對(duì)應(yīng)的邊分中，三個(gè)內(nèi)角、對(duì)應(yīng)的邊分別為別為a a、b b、c c，且、成等差數(shù)列，且、成等差數(shù)列，a a、b b、c c成成等比數(shù)列，求證等比數(shù)列，求證為等邊三角形為等邊三角形證明：由證明：由A,B,C成等差數(shù)列，有成等差數(shù)列，有2B=A+C，- 因?yàn)橐驗(yàn)锳,B,C是三角形的內(nèi)角，所以是三角形的內(nèi)角，所以A+B+C=180o，- 所以所以B=60o。- 由由a,b,c成

6、等比數(shù)列，有成等比數(shù)列，有b2=ac, - 則則b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac, 再有得再有得a2+c2-ac=ac，即，即(a-c)2=0 因此因此a=c。從而有。從而有A=C- 則由則由 得得A=B=C=60o。 所以三角形所以三角形ABC是等邊三角形。是等邊三角形。.1.PABCOABPAPBPCPOABC已知點(diǎn) 是直角三角形所在平面外的一點(diǎn)，是斜邊的中點(diǎn)，并且，求證：平面例.1809090 .OC OPABRt ABCOABOA OB OCPA PB PCPOAPOBPOCPOAPOBPOCPOAPOBPOAPOBPOCPOOAPOOCAOOC OPOABC連接，如

7、圖所示，因?yàn)槭堑男边叄?是的中點(diǎn)，所以又因?yàn)?，所以，所以因?yàn)?，所以，所以即，?，所以平面證明：2221.131.abcabcabc 已知 ， ， 為正實(shí)數(shù)， 求證： 素材 ：222222222222222222222211(3331)331333() 31(333222)31()()() 0.31.13abcabcabcabcabcabcabacbcabbccaabc 方法 ：所 證以明：22222222222222222222()2223()()11.23abcabcabacbcabcabacbcabcabcabc因?yàn)?，所以 ，所以 方法 ：222222222222222111.1333

8、0.111()()()3331211().3333.313abcabcabcabc設(shè) ， ， 因?yàn)?，所以 所以 所以 方法 ：例例3:求證求證372 5證明：因?yàn)樽C明：因?yàn)?都是正數(shù)，都是正數(shù)， 372 5和所以為了證明所以為了證明 372 5只需證明只需證明 22( 37)(2 5)展開得展開得102 2120即即215只需證明只需證明2125，因?yàn)椋驗(yàn)?125成立，成立，所以不等式所以不等式 成立。成立。372 52。分析法。分析法22.03abcabcbaca已知，且 ，求證：例題型二題型二 用分析法證明用分析法證明 本例可從結(jié)果入手，執(zhí)果索因，逐步推證出恒成分析：立的條件22222

9、223 ,3()320()(2)0()()0.00()()0bacabacaba abaaabbababab acabcabacab ac要證只需證 只需證 ，只需證，只需證 ，只需證 因?yàn)?，所?， ，所以 ，顯然成立，故原不等證明：式成立lglglglglglg .2222.abcabbccaabc若 、 、 是不全相等的正數(shù)，請(qǐng)用分析法證明：素材 lglglglglglg.222lg()lg2222220002220 *222*abbccaabcab bc caabcab bc caabcabbccaabbccaab bc caabcabc要證成立即證成立，只需證明成立因?yàn)椋猿闪⒂忠?/p>

10、為 、 、 是不全相等的正數(shù)所以式等號(hào)不成立，所以原不等證明：式成立.(201011)3ABCABCabcabbcabcABC在中，三個(gè)內(nèi)角、 、 的對(duì)邊分別為 、，試問： ， ， 是否成等差數(shù)列，若不成等差數(shù)列，請(qǐng)說明理由；若成等差數(shù)列備選例題淮南，請(qǐng)給模擬出證明22222211331()()()().1cos.0180222602120ABCabcabcabbcabcabbccac bca abab bcabbcbacacABCacbacBBacacBACBAB ， ， 成等差數(shù)列，下面用綜合法給出證明因?yàn)?，所以，所以，所?，所以 在中，由余弦定理，得因?yàn)?，所?，所以 ，所：以明、證C

11、、 成等差數(shù)列Office組件之word20072.2.2 2.2.2 Office組件之word2007思考？思考？將將9 9個(gè)球分別染成紅色或白色個(gè)球分別染成紅色或白色. .那么無論怎那么無論怎樣染樣染, ,至少有至少有5 5個(gè)球是同色的個(gè)球是同色的, ,你能證明這個(gè)你能證明這個(gè)結(jié)論嗎結(jié)論嗎? ?分析分析:假設(shè)有某種染法使紅色球和白假設(shè)有某種染法使紅色球和白色球的個(gè)數(shù)都不超過色球的個(gè)數(shù)都不超過4,則球的總數(shù)應(yīng)不超過則球的總數(shù)應(yīng)不超過4+4=8,這與球的總數(shù)是這與球的總數(shù)是9矛盾矛盾.因此因此,無論怎無論怎樣染樣染,至少有至少有5個(gè)球是同色的個(gè)球是同色的.Office組件之word2007反

12、證法的證明過程：反證法的證明過程：否定結(jié)論否定結(jié)論推出矛盾推出矛盾肯定結(jié)論，肯定結(jié)論，即分三個(gè)步驟：即分三個(gè)步驟：反設(shè)反設(shè)歸謬歸謬存真存真反設(shè)反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立；假設(shè)命題的結(jié)論不成立；存真存真由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不成立，從而由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不成立，從而 肯定原結(jié)論成立?？隙ㄔY(jié)論成立。歸謬歸謬從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的推理，從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的推理， 得出得出矛盾矛盾；用反證法證明命題的過程用框圖表示為：用反證法證明命題的過程用框圖表示為： 肯定條件肯定條件否定結(jié)論否定結(jié)論導(dǎo)導(dǎo) 致致邏輯矛盾邏輯矛盾反設(shè)反設(shè) 不成立不成立結(jié)論結(jié)論成立成立反證法的思維方法：反證法的思維方法：正

13、難則反正難則反例例5: 已知直線已知直線a,b和平面和平面 ,如果如果 且且ab,求證求證:a ba, abP看課本第看課本第9090頁(yè)，例題頁(yè)，例題4 4。 把這種不是直接從原命題的條件逐步把這種不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立的證明方法稱為推得命題成立的證明方法稱為間接證明間接證明注：反證法注：反證法是最常見的是最常見的間接證法間接證法， 一般地，假設(shè)原命題不成立（即在原命題的條件一般地，假設(shè)原命題不成立（即在原命題的條件下，結(jié)論不成立），下，結(jié)論不成立）， 經(jīng)過正確的推理，經(jīng)過正確的推理， 最后得出矛盾。最后得出矛盾。因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證

14、明了原命題成立， 這樣的這樣的證明方法叫做證明方法叫做反證法反證法（歸謬法）。（歸謬法）。理論理論歸納總結(jié)：歸納總結(jié)：三個(gè)步驟：三個(gè)步驟：反設(shè)反設(shè)歸謬歸謬存真存真歸繆矛盾：歸繆矛盾：（1 1）與已知條件矛盾；）與已知條件矛盾；（2 2）與已有公理、定理、定義矛盾；）與已有公理、定理、定義矛盾； （3 3）自相矛盾。）自相矛盾。 一般地，假設(shè)原命題不成立（即在原命題的條件一般地，假設(shè)原命題不成立（即在原命題的條件下，結(jié)論不成立），下，結(jié)論不成立）， 經(jīng)過正確的推理，經(jīng)過正確的推理， 最后得出矛盾。最后得出矛盾。因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立， 這樣

15、的這樣的證明方法叫做證明方法叫做反證法反證法。練習(xí)練習(xí) 已知已知a0a0，證明，證明x x的方程的方程ax=bax=b有且只有且只有一個(gè)根。有一個(gè)根。1212則ax = b，ax = b則ax = b，ax = b1212ax = axax = ax1 12 2 a ax x - -a ax x = = 0 01 12 2 a a（x x - -x x ） = = 0 0 a a 0 012120,即 x -xx = xx -xx = x12與與xx 矛xx 矛盾盾故假設(shè)不成立，結(jié)論成立。故假設(shè)不成立，結(jié)論成立。證：由于證：由于a 0a 0，因此方程至少有一個(gè)根，因此方程至少有一個(gè)根x=b/ax=b/a，注注:結(jié)論中的有且只有結(jié)論中的有且只有(有且僅有有且僅有)形式出現(xiàn)形式出現(xiàn), 是是唯一性問題唯一性問題,常用反證法常用反證法 如果方程不只一個(gè)根，不妨設(shè)如果方程不只一個(gè)根，不妨設(shè)x x1 1,x,x2 2 （x x1 1 x x2 2 ) )是是方程的兩個(gè)根方程的兩個(gè)根. .（1）直接證明有困難）直