測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理方法

1、南京理工大學(xué)南京理工大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中心物理實(shí)驗(yàn)中心測(cè)量是物理實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)。測(cè)量就是用一定的測(cè)量工具或儀器，通過一定的方法，直接或間接地得到所需要的量值。依照測(cè)量方法的不同可將測(cè)量分為兩大類：（1）直接測(cè)量（2）間接測(cè)量問題：我們接觸過哪些測(cè)量？哪些是直接測(cè)量？哪些是間接測(cè)量？ 1.1測(cè)量與誤差概念測(cè)量誤差=測(cè)量值-真值即N=N測(cè)N真這個(gè)誤差的定義反映了測(cè)量值偏離真實(shí)值的大小和方向。 1.1測(cè)量與誤差概念 1.1測(cè)量與誤差概念（1）儀器誤差（2）環(huán)境誤差（4）人員誤差（3）測(cè)量方法誤差（1）系統(tǒng)誤差a.定義：系統(tǒng)誤差是指在同一被測(cè)量的多次測(cè)量過程中，保持恒定或以可預(yù)知方式變化的測(cè)量誤差的分量。系統(tǒng)誤

2、差的特點(diǎn)是其確定性。b.產(chǎn)生原因：測(cè)量儀器、測(cè)量方法、環(huán)境因素 1.1測(cè)量與誤差概念c.減小系統(tǒng)誤差的方法：.對(duì)測(cè)量結(jié)果引入修正值；.選擇適當(dāng)?shù)臏y(cè)量方法，使系統(tǒng)誤差能夠抵消而不會(huì)帶入測(cè)量值中。已定系統(tǒng)誤差：必須修正例如電表、螺旋測(cè)微計(jì)的零位誤差；未定系統(tǒng)誤差：要估計(jì)出分布范圍如：螺旋測(cè)微計(jì)制造時(shí)的螺紋公差等。 1.1測(cè)量與誤差概念注意：多次測(cè)量求平均并不能消除系統(tǒng)誤差。因注意：多次測(cè)量求平均并不能消除系統(tǒng)誤差。因?yàn)樵跍y(cè)量條件不變時(shí)，其有確定的大小和符號(hào)。為在測(cè)量條件不變時(shí)，其有確定的大小和符號(hào)。 1.1測(cè)量與誤差概念（2）隨機(jī)誤差a.隨機(jī)誤差是指在同一量的多次測(cè)量過程中，其大小與符號(hào)以不可預(yù)知

3、方式變化的測(cè)量誤差的分量。隨機(jī)誤差的特征是隨機(jī)性。b.產(chǎn)生原因：實(shí)驗(yàn)條件和環(huán)境因素?zé)o規(guī)則的起伏變化，引起測(cè)量值圍繞真值發(fā)生漲落的變化。例如：實(shí)驗(yàn)時(shí)溫度的隨機(jī)波動(dòng)、螺旋測(cè)微計(jì)測(cè)力在一定范圍內(nèi)隨機(jī)變化、讀數(shù)時(shí)的視差影響。c.消除方法：使用統(tǒng)計(jì)方法隨機(jī)誤差的特點(diǎn)：大量的隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布。單峰性：絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的概率比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的概率大。對(duì)稱性：多次測(cè)量時(shí)分布對(duì)稱，即絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同。因此取多次測(cè)量的平均值有利于消減隨機(jī)誤差。有界性：在一定的測(cè)量條件下，誤差的絕對(duì)值不超過一定的界限。小小大大P0 1.1測(cè)量與誤差概念 1.1測(cè)量與誤差概念（3）粗大誤差a.定義：明顯超

4、出規(guī)定條件下預(yù)期的誤差。b.產(chǎn)生原因：錯(cuò)誤讀數(shù)、儀器有缺陷、環(huán)境干擾等。c.應(yīng)避免出現(xiàn)粗大誤差。如出現(xiàn)粗大誤差，應(yīng)分析粗大誤差產(chǎn)生的原因。處理數(shù)據(jù)時(shí)，剔除異常數(shù)據(jù)。l精密度、正確度與準(zhǔn)確度（又稱精確度）這三個(gè)名詞分別用來反映隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差和綜合誤差的大小。 1.1測(cè)量與誤差概念（1）絕對(duì)誤差：測(cè)量結(jié)果：(單位)（2）相對(duì)誤差：真測(cè)NNN真值絕對(duì)誤差相對(duì)誤差 NNN測(cè)%100真NNE 1.1測(cè)量與誤差概念 1.2測(cè)量結(jié)果誤差估算及評(píng)定方法對(duì)測(cè)量結(jié)果評(píng)定的三種方法：（1）算術(shù)平均偏差（2）標(biāo)準(zhǔn)偏差（均方根偏差）（3）不確定度根據(jù)統(tǒng)計(jì)理論，我們將多次測(cè)量的算術(shù)平均值作為真值的最佳近似。在對(duì)測(cè)量結(jié)

5、果進(jìn)行評(píng)定時(shí)，我們約定系統(tǒng)誤差和粗大誤差已經(jīng)消除、修正或可以忽略，只考慮隨機(jī)誤差，其服從正態(tài)分布。N 1.2測(cè)量結(jié)果誤差估算及評(píng)定方法對(duì)某一物理量N進(jìn)行K次測(cè)量，得N1，N2，Ni，Nk，則為kiikiNKNNNNKN12111為NNNNNNNNKki211KiiNNK11 1.2測(cè)量結(jié)果誤差估算及評(píng)定方法l標(biāo)準(zhǔn)偏差是一個(gè)描述測(cè)量結(jié)果離散程度的參量。用它來評(píng)定隨機(jī)誤差有以下優(yōu)點(diǎn)：1）穩(wěn)定性，值隨K(測(cè)量次數(shù))變化較小。2）它以平方計(jì)值，與個(gè)別誤差的符號(hào)無關(guān)，能反映數(shù)據(jù)的離散程度。3）與最小二乘法吻合。 1.2測(cè)量結(jié)果誤差估算及評(píng)定方法112KNNNKii 112KKNNKNNKii算術(shù)平均值的

6、標(biāo)準(zhǔn)偏差反映了算術(shù)平均值在真值附近漲落的大小。 1.2測(cè)量結(jié)果誤差估算及評(píng)定方法范范 圍圍 置信概率置信概率（真值落在確定范圍內(nèi)的概率）68.3%95.4%99.7%NN2N2N3N3N通常將稱為隨機(jī)誤差的極限誤差。3 1.2測(cè)量結(jié)果誤差估算及評(píng)定方法P03223：它是對(duì)測(cè)量結(jié)果可信賴程度的評(píng)定。它表示了被測(cè)量的真值以一定概率落在某個(gè)量值范圍內(nèi)（，）。NuNu 1.2測(cè)量結(jié)果誤差估算及評(píng)定方法不確定度小，表示誤差的可能值小，測(cè)量的可信賴程度就高；不確定度大，表示誤差的可能值大，測(cè)量的可信賴程度降低。不確定度分為兩類。不確定度分為兩類。A類分量：用統(tǒng)計(jì)方法求出，即類分量：用統(tǒng)計(jì)方法求出，即(N)

7、或(N)。B類分量：用其他方法得出。物理實(shí)驗(yàn)中通常類分量：用其他方法得出。物理實(shí)驗(yàn)中通常使用儀器的使用儀器的極限誤差極限誤差除以相應(yīng)的置信系數(shù)除以相應(yīng)的置信系數(shù)K。Kuinsj注意：在我們的實(shí)驗(yàn)中一般取注意：在我們的實(shí)驗(yàn)中一般取K1，即即insju 1.2測(cè)量結(jié)果誤差估算及評(píng)定方法22juNu22juNu不確定度的合成（方和根合成法）不確定度的合成（方和根合成法） 1.2測(cè)量結(jié)果誤差估算及評(píng)定方法請(qǐng)記住這一公式！請(qǐng)記住這一公式！相對(duì)不確定度測(cè)量結(jié)果100%uuuENN約定：在我們的實(shí)驗(yàn)中約定：在我們的實(shí)驗(yàn)中u取一位有效數(shù)字。取一位有效數(shù)字。AI5.00.10注意：注意： 的末位和的末位和u對(duì)齊

8、。對(duì)齊。N例：例： 1.2測(cè)量結(jié)果誤差估算及評(píng)定方法NNu真（單位）如果對(duì)某一物理量只測(cè)量一次，則常以測(cè)量儀器誤差來評(píng)定測(cè)量結(jié)果的誤差。例1：用直尺測(cè)桌子長度，L1200.00.5mm例2：用50分度游標(biāo)卡尺測(cè)工件長度，L10.000.02mm例3：用量程為10A，精度等級(jí)為0.5的電流表，單次測(cè)量某一電流3.10A，則jI10A0.50.05AAI05. 010. 3 1.3直接測(cè)量結(jié)果誤差估算及評(píng)定方法有以上例題可見，儀器誤差一般用如下方法確定：1）儀器已經(jīng)標(biāo)明了誤差，如千分尺。2）未標(biāo)明時(shí)，可取儀器及表盤上最小刻度的一半作為單次測(cè)量的允許誤差，如例1。3）電學(xué)儀器 1.3直接測(cè)量結(jié)果誤差

9、估算及評(píng)定方法%精度級(jí)別量程 ins處理步驟：1、求平均值。2、求和u。3、表示結(jié)果：（單位） 1.3直接測(cè)量結(jié)果誤差估算及評(píng)定方法NuNN 22insNu112KNNNKiizzfyyfxxfNzzfyyfxxfNNlnlnln若N=f(x,y,z)，則若對(duì)若對(duì)N=f(x,y,z)取對(duì)數(shù)，則可得到 1.4間接測(cè)量結(jié)果誤差估算及評(píng)定222222)()()(zyxNzfyfxf222222)ln()ln()ln(zyxNzfyfxfN 1.4間接測(cè)量結(jié)果誤差估算及評(píng)定 1.4間接測(cè)量結(jié)果誤差估算及評(píng)定222222)()()(zyxNuzfuyfuxfu222222)ln()ln()ln(zyxN

10、uuzfuyfuxfNuE以上兩公式應(yīng)牢記，并注意應(yīng)用技巧以上兩公式應(yīng)牢記，并注意應(yīng)用技巧（1）計(jì)算各直接測(cè)量物理量的值和它們的不確定度；即Nf(x,y,z)中的x,y,z和ux,uy,uz。（2）根據(jù)不確定度的傳遞公式計(jì)算間接測(cè)量量的不確定度。uN或uN/N，保留1位。（3）求出間接測(cè)量量Nf(x,y,z)，N的末位與不確定度所在位對(duì)齊；（4）寫出結(jié)果 1.4間接測(cè)量結(jié)果誤差估算及評(píng)定)(單位NuNN有效數(shù)字是由準(zhǔn)確數(shù)字（若干位）和可疑數(shù)字（一位）構(gòu)成，這樣就能夠正確而有效地表示測(cè)量結(jié)果。 1.5有效數(shù)字及其運(yùn)算l表示小數(shù)位數(shù)的“0”不是有效數(shù)字；數(shù)字中間和尾部的“0”是有效數(shù)字；l數(shù)字尾部

11、的“0”不能隨意舍棄或添加；l有效數(shù)字位數(shù)與十進(jìn)制單位的變換無關(guān)；l推薦用科學(xué)記數(shù)法：K10n，1K10。 1.5有效數(shù)字及其運(yùn)算、加減運(yùn)算尾數(shù)對(duì)齊：在小數(shù)點(diǎn)后所應(yīng)保留的位數(shù)與諸量中小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少的一個(gè)相同。 1.5有效數(shù)字及其運(yùn)算例：例： 33.2+3.22=36.4 12.567-1.23=11.341.2345+5.11-2.141=4.20、乘除運(yùn)算位數(shù)取齊：諸量相乘除，結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)，一般與各個(gè)量中有效數(shù)字位數(shù)最少的一個(gè)相同。 1.5有效數(shù)字及其運(yùn)算例：例： 1.112.0=2.2 3.248 1.61=2.023、某些常見函數(shù)運(yùn)算的有效位數(shù)（1）對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx,y=log

12、x計(jì)算結(jié)果尾數(shù)的位數(shù)取得與真數(shù)的位數(shù)相同；（2）指數(shù)函數(shù)y=ax 結(jié)果的有效數(shù)字，可與指數(shù)的小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù)相同；（3）三角函數(shù)按角度的有效位數(shù)來定；（4）常數(shù)的有效位數(shù)可以認(rèn)為是無限的，運(yùn)算中應(yīng)多取1位； 1.5有效數(shù)字及其運(yùn)算4、混合運(yùn)算規(guī)則當(dāng)進(jìn)行加減乘除混合運(yùn)算時(shí)，應(yīng)按加減規(guī)則、乘除規(guī)則和函數(shù)運(yùn)算規(guī)則逐步計(jì)算，最后得到計(jì)算結(jié)果。 1.5有效數(shù)字及其運(yùn)算（1）不確定度的有效位數(shù)12位本書約定不確定度只保留1位。相對(duì)不確定度12位。尾數(shù)采用四舍六入五湊偶（2）最佳值或測(cè)量值末位與不確定度對(duì)齊。 1.5有效數(shù)字及其運(yùn)算1.列表法2.作圖法3.數(shù)學(xué)方法（逐差法、最小二乘法等） 1.6數(shù)據(jù)處理方法數(shù)

13、據(jù)處理是一個(gè)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行加工的過程。常用的數(shù)據(jù)處理方法有以下三類： 1.6數(shù)據(jù)處理方法例：用讀書顯微鏡測(cè)量圓環(huán)直徑測(cè)量圓環(huán)直徑D儀器：讀數(shù)顯微鏡ins=0.004mm測(cè)量次序i左讀數(shù)/mm右讀數(shù)/mm直徑Di/mm112.76418.7625.998210.84316.8385.995311.98717.9785.996411.58817.5845.996512.34618.3385.992611.01517.0105.994712.34118.3355.994直徑平均值D/mm5.995 標(biāo)題：說明表標(biāo)題：說明表格內(nèi)容格內(nèi)容附加說明：實(shí)附加說明：實(shí)驗(yàn)儀器、條件驗(yàn)儀器、條件等等各個(gè)欄目標(biāo)明各個(gè)欄

14、目標(biāo)明名稱和單位名稱和單位原始數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù)注意數(shù)據(jù)紀(jì)錄注意數(shù)據(jù)紀(jì)錄的順序的順序計(jì)算的中間結(jié)計(jì)算的中間結(jié)果數(shù)據(jù)果數(shù)據(jù) 1.6數(shù)據(jù)處理方法U (V ) 0.74 1.52 2.33 3.08 3.66 4.49 5.24 5.98 6.76 7.50I (m A) 2.00 4.01 6.22 8.20 9.75 12.00 13.99 15.92 18.00 20.01優(yōu)點(diǎn)：能形象直觀地顯示物理量之間的函數(shù)關(guān)系優(yōu)點(diǎn)：能形象直觀地顯示物理量之間的函數(shù)關(guān)系 1.6數(shù)據(jù)處理方法8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.000 02.004.006.008.

15、0010.001.003.005.007.009.00I (mA)U (V)1.選擇合適的坐選擇合適的坐標(biāo)紙標(biāo)紙3.標(biāo)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)標(biāo)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)4.連成圖線連成圖線5.標(biāo)出圖名及注解標(biāo)出圖名及注解電阻伏安特性曲線電阻伏安特性曲線作圖法步驟：作圖法步驟：一般選用直角坐標(biāo)紙。選擇圖紙時(shí)以不損失實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的有效位數(shù)并能包括所有實(shí)驗(yàn)點(diǎn)為限度。2.確定坐標(biāo)軸，確定坐標(biāo)軸，選擇合適的坐標(biāo)選擇合適的坐標(biāo)分度值分度值注意：坐標(biāo)分度時(shí)，忌用3、7等進(jìn)行分度；坐標(biāo)分度可不從零開始；盡可能使圖線充滿圖紙。注意：連線時(shí)應(yīng)該使用相應(yīng)的工具；通常連線是平滑的；要注意剔除錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)點(diǎn)；直線盡量通過（x,y）這一點(diǎn)。利用已做好的圖線，我們

16、可以定量地求利用已做好的圖線，我們可以定量地求得待測(cè)量或得到經(jīng)驗(yàn)公式。得待測(cè)量或得到經(jīng)驗(yàn)公式。 1.6數(shù)據(jù)處理方法從圖中取兩點(diǎn)可以計(jì)算出直線的斜率和截距，從而也就可以得到經(jīng)驗(yàn)公式。如本例，由圖上如本例，由圖上A、B兩點(diǎn)可得被測(cè)電阻兩點(diǎn)可得被測(cè)電阻R為：為：)k(379. 076. 258.1800. 100. 7ABABIIUURI (mA)U (V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.000 02.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00電阻伏安特性曲線電阻伏安特性曲線A(1.00,2.76)B(7.0

17、0,18.58) 1.6數(shù)據(jù)處理方法由圖上由圖上A、B兩點(diǎn)可得被測(cè)電阻兩點(diǎn)可得被測(cè)電阻R為：為：)k(379. 076. 258.1800. 100. 7ABABIIUUR 1.6數(shù)據(jù)處理方法n(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲線圖玻璃材料色散曲線圖曲線太粗，不曲線太粗，不均勻，不光滑均勻，不光滑。應(yīng)該用直尺、曲應(yīng)該用直尺、曲線板等工具把實(shí)線板等工具把實(shí)驗(yàn)點(diǎn)連成光滑、驗(yàn)點(diǎn)連成光滑、均勻的細(xì)實(shí)線。均勻的細(xì)實(shí)線。 1.6數(shù)據(jù)處理方法n(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001

18、.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲線圖玻璃材料色散曲線圖改正為改正為： 1.6數(shù)據(jù)處理方法I (mA)U (V)0 02.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.001.003.00電學(xué)元件伏安特性曲線電學(xué)元件伏安特性曲線橫軸坐標(biāo)分度選取橫軸坐標(biāo)分度選取不當(dāng)。不當(dāng)。橫軸以橫軸以3 cm 代代表表1 V，使作圖和讀圖都使作圖和讀圖都很困難。實(shí)際在選擇坐標(biāo)很困難。實(shí)際在選擇坐標(biāo)分度值時(shí)，應(yīng)既滿足有效分度值時(shí)，應(yīng)既滿足有效數(shù)字的要求又便于作圖和數(shù)字的要求又便于作圖和讀圖，讀圖，一般以一般以1 mm 代代表的量值是表

19、的量值是10的整數(shù)的整數(shù)次冪或是其次冪或是其2倍或倍或5倍。倍。 1.6數(shù)據(jù)處理方法I (mA)U (V)o o1.002.003.004.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.00電學(xué)元件伏安特性曲線電學(xué)元件伏安特性曲線改正為：改正為： 1.6數(shù)據(jù)處理方法定容氣體壓強(qiáng)溫度曲線定容氣體壓強(qiáng)溫度曲線1.20001.60000.80000.4000圖圖3P(105Pa)t()60.00140.00100.00o120.0080.0040.0020.00圖紙使用不當(dāng)圖紙使用不當(dāng)。實(shí)際作圖時(shí)，實(shí)際作圖時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)的讀坐標(biāo)原點(diǎn)的讀數(shù)可以不從零數(shù)可以不

20、從零開始開始。 1.6數(shù)據(jù)處理方法定容氣體壓強(qiáng)溫度曲線定容氣體壓強(qiáng)溫度曲線1.00001.15001.20001.10001.0500 P(105Pa)50.0090.0070.0020.0080.0060.0040.0030.00t()改正為：改正為： 1.6數(shù)據(jù)處理方法 逐差法是逐差法是對(duì)等間距測(cè)量的有序數(shù)據(jù)對(duì)等間距測(cè)量的有序數(shù)據(jù)，進(jìn)行逐項(xiàng)或相等間隔相減得到，進(jìn)行逐項(xiàng)或相等間隔相減得到結(jié)果。它計(jì)算簡便，并可結(jié)果。它計(jì)算簡便，并可充分利用數(shù)據(jù)充分利用數(shù)據(jù)，及時(shí)發(fā)現(xiàn)差錯(cuò)，總結(jié)規(guī)律，及時(shí)發(fā)現(xiàn)差錯(cuò)，總結(jié)規(guī)律，是物理實(shí)驗(yàn)中常用的一種數(shù)據(jù)處理方法。是物理實(shí)驗(yàn)中常用的一種數(shù)據(jù)處理方法。使用條件：使用條件

21、：（1）自變量）自變量x是等間距變化是等間距變化（2）被測(cè)物理量之間函數(shù)形式可以寫成）被測(cè)物理量之間函數(shù)形式可以寫成x的多項(xiàng)式：的多項(xiàng)式： m0mmmxay分類：逐差法分類：逐差法逐項(xiàng)逐差（用于驗(yàn)證被測(cè)量之間是否存在多項(xiàng)式逐項(xiàng)逐差（用于驗(yàn)證被測(cè)量之間是否存在多項(xiàng)式函數(shù)關(guān)系）函數(shù)關(guān)系）分組逐差（用于求多項(xiàng)式的系數(shù)）分組逐差（用于求多項(xiàng)式的系數(shù)）應(yīng)用舉例（拉伸法測(cè)彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)）應(yīng)用舉例（拉伸法測(cè)彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)） 設(shè)實(shí)驗(yàn)中，等間隔的在彈簧下加砝碼（如每次加一克），共加設(shè)實(shí)驗(yàn)中，等間隔的在彈簧下加砝碼（如每次加一克），共加9次，分別記下對(duì)應(yīng)的彈簧下端點(diǎn)的位置次，分別記下對(duì)應(yīng)的彈簧下端點(diǎn)的位置L0 L

22、1 L2 L9 ，則則可用逐差法進(jìn)行以下處理可用逐差法進(jìn)行以下處理（1）驗(yàn)證函數(shù)形式是線性關(guān)系）驗(yàn)證函數(shù)形式是線性關(guān)系 看看L1L2 L9是否基本相等是否基本相等.當(dāng)當(dāng)Li基本相等時(shí)基本相等時(shí),就驗(yàn)就驗(yàn)證了外力與彈簧的伸長量之間的函數(shù)關(guān)系是線性的，即證了外力與彈簧的伸長量之間的函數(shù)關(guān)系是線性的，即F=k L用此法可檢查測(cè)量結(jié)果是否正確，但注意的是必須用逐項(xiàng)逐差用此法可檢查測(cè)量結(jié)果是否正確，但注意的是必須用逐項(xiàng)逐差899122011LLLLLLLLL （1.61）把所得的數(shù)據(jù)逐項(xiàng)相減把所得的數(shù)據(jù)逐項(xiàng)相減(2)求物理量數(shù)值求物理量數(shù)值現(xiàn)計(jì)算每加一克砝碼現(xiàn)計(jì)算每加一克砝碼 時(shí)彈簧的平均伸長量時(shí)彈簧的

23、平均伸長量從上式可看出用逐項(xiàng)逐差，中間的測(cè)量值全部抵消了，只有始末從上式可看出用逐項(xiàng)逐差，中間的測(cè)量值全部抵消了，只有始末二次測(cè)量起作用，與一次加九克砝碼的測(cè)量完全等價(jià)。二次測(cè)量起作用，與一次加九克砝碼的測(cè)量完全等價(jià)。若用逐項(xiàng)逐差（若用逐項(xiàng)逐差（1.61）得到：）得到：899122011LLLLLLLLL 9LL9LLLLLL9LLLL09891201921 再求平均再求平均 為了保證多次測(cè)量的優(yōu)點(diǎn)，只要在數(shù)據(jù)處理方法上作些組合，仍為了保證多次測(cè)量的優(yōu)點(diǎn)，只要在數(shù)據(jù)處理方法上作些組合，仍能達(dá)到多次測(cè)量減小誤差的目的。所以我們采用分組逐差。能達(dá)到多次測(cè)量減小誤差的目的。所以我們采用分組逐差。 通

24、?？蓪⒌乳g隔所測(cè)的值分成前后兩組，前一組為通常可將等間隔所測(cè)的值分成前后兩組，前一組為L0 L1 L2 L3 L4 后一組為后一組為L5 L6 L7 L8 L9 前前后后兩兩組組對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)項(xiàng)項(xiàng)相相減減495162051LLLLLLLLL 再再取取平平均均值值 40iii5491605521)LL(515LLLLLL5LLLL 由此可見，分組逐差和逐項(xiàng)逐差不同，這時(shí)每個(gè)數(shù)據(jù)都用上了，有利于由此可見，分組逐差和逐項(xiàng)逐差不同，這時(shí)每個(gè)數(shù)據(jù)都用上了，有利于減小誤差。但注意：這里的減小誤差。但注意：這里的 是增加五克時(shí)彈簧的平均伸長量。是增加五克時(shí)彈簧的平均伸長量。L 1.6數(shù)據(jù)處理方法用作圖法進(jìn)行擬合帶

25、有相當(dāng)大的主觀隨意性，用作圖法進(jìn)行擬合帶有相當(dāng)大的主觀隨意性，用最小二乘法進(jìn)行直線擬合優(yōu)于作圖法。用最小二乘法進(jìn)行直線擬合優(yōu)于作圖法。最小二乘法的原理：最小二乘法的原理： 如果能找到一條最佳的擬合直線，那么如果能找到一條最佳的擬合直線，那么這條擬合直線上各個(gè)相應(yīng)點(diǎn)的值與測(cè)量值之這條擬合直線上各個(gè)相應(yīng)點(diǎn)的值與測(cè)量值之差的平方和在所有擬合直線中是最小的。差的平方和在所有擬合直線中是最小的。 : 通過實(shí)驗(yàn)，通過實(shí)驗(yàn)，等精度等精度地測(cè)得一組互相獨(dú)立的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（地測(cè)得一組互相獨(dú)立的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（xi，yi，i =1，2k），設(shè)此兩物理量），設(shè)此兩物理量 x、y 滿足線性關(guān)系，且假定實(shí)驗(yàn)誤差主要滿足線性關(guān)系，

26、且假定實(shí)驗(yàn)誤差主要出現(xiàn)在出現(xiàn)在yi上，設(shè)擬合直線公式為上，設(shè)擬合直線公式為 y = f(x) =a0+ a1 x 。則測(cè)量值和最佳則測(cè)量值和最佳值（回歸直線上對(duì)應(yīng)坐標(biāo)）的偏差值（回歸直線上對(duì)應(yīng)坐標(biāo)）的偏差 1.6數(shù)據(jù)處理方法01()iiiivyyyaa x220111()kkiiiiiSvyaax按最小二乘法原理，應(yīng)使下式最小按最小二乘法原理，應(yīng)使下式最小010 ;0ssaaS取極小值必要的條件是取極小值必要的條件是0110112()02()0kiiikiiiiyaa xyaa x x即即:10210aayaxaxyxx整理后得整理后得:xaya;xxxyyxa10221 解得：解得：1122

27、1111;11;ikkiiiikkiiiixx yykkxxxyx ykk式中式中:01220222011,:0;0.,.ikissaaaava x110所 得 的 a滿 足故 得 到 的 a對(duì) 應(yīng) 取取 極 小 值這 樣 就 得 到 直 線 的 回 歸 方 程 :y=a 1.6數(shù)據(jù)處理方法 最小二乘法處理數(shù)據(jù)除給出最小二乘法處理數(shù)據(jù)除給出 a、b 外，還應(yīng)給出相關(guān)系數(shù)外，還應(yīng)給出相關(guān)系數(shù) r ， r 定義為定義為 r 表示兩變量之間的函數(shù)關(guān)系與線性的符合程度，表示兩變量之間的函數(shù)關(guān)系與線性的符合程度，r -1，1。|r|1，x、y 間線性關(guān)系好，間線性關(guān)系好， |r|0 ，x、y 間無線性關(guān)系，擬合間無線性關(guān)系，擬合無意義。無意義。 物理實(shí)驗(yàn)中一般要求物理實(shí)驗(yàn)中一般要求 r 絕對(duì)值達(dá)到絕對(duì)值達(dá)到(3個(gè)個(gè)9以上以上) 。22)()()( )(yyxxyyxxriiiinxxinyyi其中其中2-4數(shù)據(jù)的直線擬合(最小二乘法)a、b、r