第5章圖形變換1

1、2022-6-23計算機圖形學演示稿 紀玉波制作(C)1第五章第五章 圖形變換圖形變換( (Geometric Transformations) 在計算機繪圖應用中，經(jīng)常要進行從一個幾何圖形到另一個幾何圖形的變換，例如，將圖形向某一方向平移一段距離；將圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度；或?qū)D形放大或縮小等等，這種變換過程稱為幾何變幾何變換換。圖形的幾何變換是計算機繪圖中極為重要的一個組成部分，利用圖形變換還可以實現(xiàn)二維圖形和利用圖形變換還可以實現(xiàn)二維圖形和三維圖形之間轉(zhuǎn)換，甚至還可以把靜態(tài)圖形變?yōu)閯尤S圖形之間轉(zhuǎn)換，甚至還可以把靜態(tài)圖形變?yōu)閯討B(tài)圖形，從而實現(xiàn)景物畫面的動態(tài)顯示態(tài)圖形，從而實現(xiàn)景物畫面的動態(tài)顯

2、示。2022-6-23計算機圖形學演示稿 紀玉波制作(C)2 5.1 5.1 二維圖形變換二維圖形變換( (Two-Dimensional Transformations) )5.1.15.1.1二維圖形幾何變換的基本原理二維圖形幾何變換的基本原理 (The basic principle of 2D graphics geometry transform) 二維平面圖形的幾何變換是指在不改變圖形連線次序幾何變換是指在不改變圖形連線次序的情況下，對一個平面點集進行的線性變換的情況下，對一個平面點集進行的線性變換。實際上，由于一個二維圖形可以分解成點、直線、曲線。把曲線離散化，它可以用一串短直線

3、段來逼近，而每一條直線段均由兩點所決定，這樣，二維平面圖形不論是由直線段組成，還是由曲線段組成，都可以用它的輪廓線上順序排列的平面點集來描述。因此可以說，對圖形作幾何變換，其實質(zhì)對圖形作幾何變換，其實質(zhì)是對點的幾何變換是對點的幾何變換，通過討論點的幾何變換，就可以理解圖形幾何變換的原理。2022-6-23計算機圖形學演示稿 紀玉波制作(C)3例如，如果要對下圖中的四邊形ABCD進行平移變換，只需要對四個頂點A、B、C、D做平移變換，連接平移后的四個頂點即可得到四邊形平移變換的結(jié)果。2022-6-23計算機圖形學演示稿 紀玉波制作(C)4 對二維圖形進行幾何變換有五種基本變換形式，它們是：平移、

4、旋轉(zhuǎn)、比例、對稱和錯切平移、旋轉(zhuǎn)、比例、對稱和錯切，這些圖形變換的規(guī)則可以用函數(shù)來表示。有兩種不同的變換形式：一種是圖形不動，而坐標系變動一種是圖形不動，而坐標系變動，即變換前與變換后的圖形是針對不同坐標而言的，稱之為坐標模式變換；另一種是坐標系不動，而圖形改變另一種是坐標系不動，而圖形改變，即變換前與變換后的坐標值是針對同一坐標系而言的，稱之為圖形模式變換。實際應用中，后一種圖形變換更有實際意義，下面討論的圖形變換是屬于后一種變換。2022-6-23計算機圖形學演示稿 紀玉波制作(C)55.1.25.1.2平移變換平移變換( (Translation) ) 平移變換是指將圖形從一個坐標位置移

5、到另一個坐標位置的重定位變換。已知一點的原始坐標是P(x,y），加上一個沿X，Y方向的平移量tx 和ty ，平移此點到新坐標（xtx,yty）,則新坐標的表達式為：yxtyytxx 如果對一圖形的每個點都進行上述變換，即可得到該圖形的平移變換。實際上，線段是通過對其兩端點進行平移變換，多邊形的平移是平移每個頂點的坐標位置，曲線可以通過平移定義曲線的坐標點位置，用平移過的坐標點重構(gòu)曲線路徑來實現(xiàn)。2022-6-23計算機圖形學演示稿 紀玉波制作(C)6 平移變換只改變圖形的位置，不改變圖形的大小平移變換只改變圖形的位置，不改變圖形的大小和形狀和形狀。下圖是一平移變換的例子。2022-6-23計算

6、機圖形學演示稿 紀玉波制作(C)7 可以用矩陣形式來表示二維平移變換方程。圖形變換通常使用齊次坐標矩陣齊次坐標矩陣來表示。平移變換方程的齊次坐標矩陣表示式為： 101000111yxttyxyx其中1010001yxttT稱為變換矩陣變換矩陣。2022-6-23計算機圖形學演示稿 紀玉波制作(C)8 有了上面的矩陣表示，連續(xù)的平移變換可以通過連續(xù)的矩陣乘法來實現(xiàn)。例如, 點經(jīng)平移變換T1（tx1,ty1）后，再經(jīng)平移變換T2（tx2,ty2），那么，最終的平移變換矩陣。二維圖形平移變換示例二維圖形平移變換示例2022-6-23計算機圖形學演示稿 紀玉波制作(C)95.1.3 5.1.3 比例變

7、換比例變換( (Scaling) ) 一個圖形中的坐標點P(x,y）若在X軸方向變化一個比例系數(shù)sx，在Y軸方向變化一個比例系數(shù)sy，則新坐標點P(x,y）的表達式為：yxsyysxx2022-6-23計算機圖形學演示稿 紀玉波制作(C)10 這一變換稱為相對于坐標原點的比例變換相對于坐標原點的比例變換, sx 和sy分別表示點P(x,y）沿X軸方向和Y軸方向相對坐標原點的比例變換系數(shù)。比例變換改變圖形的大小。變換方程寫成齊次坐標矩陣形式為： 100000011yxssyxyx其中變換矩陣：1000000yxssT2022-6-23計算機圖形學演示稿 紀玉波制作(C)11 比例變換系數(shù)比例變換

8、系數(shù)s sx x和和s sy y可賦予任何正數(shù)值。當可賦予任何正數(shù)值。當值小于值小于1 1時縮小圖形時縮小圖形，值大于值大于1 1則放大圖形則放大圖形。當當s sx x和和s sy y被賦予相同值時，就產(chǎn)生保持圖形相對比例被賦予相同值時，就產(chǎn)生保持圖形相對比例一致的變換一致的變換, s, sx x和和s sy y值不等時產(chǎn)生值不等時產(chǎn)生X X軸方向和軸方向和Y Y軸軸方向大小不等的比例變換方向大小不等的比例變換。sx和sy都指定為1時，圖形大小不改變。 實際上，相對于坐標原點圖形的比例變換，相當于每一點相對于坐標原點的變換，因此，它不但改變圖形的大小，而且改變圖形的位置不但改變圖形的大小，而且

9、改變圖形的位置。2022-6-23計算機圖形學演示稿 紀玉波制作(C)12下圖是一圖形比例變換的例子：中心在原點的放大變換中心不在原點的放大變換2022-6-23計算機圖形學演示稿 紀玉波制作(C)13 可以通過選擇一個在變換后不改變位置的固定點Pc(xc,yc),來控制圖形變換的位置。例對于多邊形圖形，固定點的坐標(xc,yc)可以選擇圖形的某個頂點、圖形幾何中心點或任何其它位置，這樣變換后固定點坐標不改變，多邊形每個頂點相對于固定點縮放。對于坐標為P(x,y)的頂點，相對于固定點Pc(xc,yc)變換后的坐標P(x,y)可計算為：)1 ()()1 ()(ycycycxcxcxcsysyys

10、yyysxsxxsxxx寫成齊次坐標矩陣形式為： 1)1 ()1 (000011ycxcyxsysxssyxyx2022-6-23計算機圖形學演示稿 紀玉波制作(C)141)1 ()1 (0000ycxcyxsysxssT其中變換矩陣： 計算公式的推導可以這樣考慮，先平移坐標原點（0,0）到（xc,yc），然后進行比例變換，變換后再將坐標原點移回到（0,0）。三個過程的結(jié)果就是相對于點（xc,yc）的比例變換。三個過程的變換矩陣分別是：2022-6-23計算機圖形學演示稿 紀玉波制作(C)1510100011ccyxT10000002yxssT10100013ccyxT101000110000

11、001010001ccyxcc321yxssyxTTTT1)1 ()1 (0000ycxcyxsysxss2022-6-23計算機圖形學演示稿 紀玉波制作(C)16二維圖形比例變換示例二維圖形比例變換示例2022-6-23計算機圖形學演示稿 紀玉波制作(C)175.1.4 5.1.4 旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換( (Rotation) ) 若圖形中的坐標點P(x,y)繞坐標原點逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度, 則新坐標點P(x,y）的表達式為：cossinsincosyxyyxx 公式的推導可參考右圖cossin)cossinsin(cos)sin(sincos)sinsincos(cos)cos(yxRRyyxR

12、Rx2022-6-23計算機圖形學演示稿 紀玉波制作(C)18變換方程寫成齊次坐標矩陣形式為： 1000cossin0sincos11yxyx其中變換矩陣1000cossin0sincosT上面是點P(x,y)以坐標原點為中心的旋轉(zhuǎn)變換，還可以任意點Pc(xc,yc）為中心做旋轉(zhuǎn)變換。其變換公式為：2022-6-23計算機圖形學演示稿 紀玉波制作(C)19ccccccyyyxxyxyyxxxcos)(sin)(sin)(cos)( 此公式的推導過程可以這樣考慮，先平移坐標原點（0,0）到（xc,yc），然后進行旋轉(zhuǎn)變換，變換后再將坐標原點移回到（0,0）。三個過程的矩陣相乘結(jié)果就是以點（xc,

13、yc）為中心的旋轉(zhuǎn)變換矩陣。 1sin)cos1 (sin)cos1 (0cossin0sincos11ccccxyyxyxyx10100011000cossin0sincos1010001TTTT321ccccyxyx公式寫成齊次坐標矩陣形式即為：2022-6-23計算機圖形學演示稿 紀玉波制作(C)20其中變換矩陣:1sin)cos1 (sin)cos1 (0cossin0sincosccccxyyxT 旋轉(zhuǎn)變換只能改變圖形的方位，而圖形的大小和形狀不變。旋轉(zhuǎn)變換的幾何表示見下圖。2022-6-23計算機圖形學演示稿 紀玉波制作(C)21二維圖形旋轉(zhuǎn)變換示例二維圖形旋轉(zhuǎn)變換示例2022-6

14、-23計算機圖形學演示稿 紀玉波制作(C)22 5.1.5 5.1.5 對稱變換對稱變換(Reflection)(Reflection) 對稱變換是產(chǎn)生圖形鏡象的一種變換，也稱鏡象變換或反射變換。將圖形繞對稱軸旋轉(zhuǎn)就可以生成鏡象圖形。下面是實際拍照具有鏡象效果的圖片。2022-6-23計算機圖形學演示稿 紀玉波制作(C)232022-6-23計算機圖形學演示稿 紀玉波制作(C)241. 1. 對稱于對稱于X X軸軸（Symmetry about the X axisSymmetry about the X axis） 當變換對稱于X軸時，則坐標點P(x,y)經(jīng)對稱變換后，新坐標點P(x,y）的

15、表達式為：yyxx變換方程寫成齊次坐標矩陣形式為： 10001000111yxyx2022-6-23計算機圖形學演示稿 紀玉波制作(C)25其中變換矩陣：100010001T對稱X軸變換的幾何表示見下圖2022-6-23計算機圖形學演示稿 紀玉波制作(C)262. 2. 對稱于對稱于Y Y軸軸（Symmetry about the Y axisSymmetry about the Y axis） 當變換對稱于Y軸時，則坐標點P(x,y)經(jīng)對稱變換后，新坐標點P(x,y）的表達式為：yyxx變換方程寫成齊次坐標矩陣形式為： 10001000111yxyx其中變換矩陣：100010001T2022

16、-6-23計算機圖形學演示稿 紀玉波制作(C)27對稱Y軸變換的幾何表示見下圖2022-6-23計算機圖形學演示稿 紀玉波制作(C)283. 3. 對稱于原點對稱于原點(Symmetrical to the origin) (Symmetrical to the origin) 當圖形對X軸和Y軸都進行對稱變換時，即得相對于坐標原點的對稱變換。這一變換前后點坐標之間的關(guān)系為：yyxx寫成齊次坐標矩陣形式為： 10001000111yxyx其中變換矩陣：100010001T2022-6-23計算機圖形學演示稿 紀玉波制作(C)29對稱原點變換的幾何表示見下圖2022-6-23計算機圖形學演示稿

17、紀玉波制作(C)304. 4. 對稱平行于對稱平行于X X軸的直線軸的直線(Symmetry straight line parallel to the x axis) 當對稱軸是平行于X軸的直線yyc時，變換前后點的坐標之間的關(guān)系為：cccyyyyyyxx2)(變換方程寫成齊次坐標矩陣形式為： 12001000111cyyxyx其中變換矩陣：120010001cyT2022-6-23計算機圖形學演示稿 紀玉波制作(C)315. 5. 對稱平行于對稱平行于Y Y軸的直線軸的直線(Symmetry straight line parallel to the Y axis) 當對稱軸是平行于Y軸的

18、直線xxc時，變換前后點的坐標之間的關(guān)系為：yyxxxxxxccc2)(變換方程寫成齊次坐標矩陣形式為： 10201000111cxyxyx其中變換矩陣： 102010001cxT2022-6-23計算機圖形學演示稿 紀玉波制作(C)326. 6. 對稱于任一點對稱于任一點( (x xc c,y,yc c) )的變換的變換(Symmetry to point(xc,yc) 對稱于任一點(xc,yc)的變換，實際上可以看做分別相對于直線軸xxc和直線軸 yyc的兩次對稱變換，因此其變換公式是兩者的綜合：ccyyyxxx22變換方程寫成齊次坐標矩陣形式為： 12201000111ccyxyxyx其

19、中變換矩陣：122010001ccyxT2022-6-23計算機圖形學演示稿 紀玉波制作(C)337 7對稱于任一軸的變換對稱于任一軸的變換(Symmetry to any line) 關(guān)于XY平面內(nèi)任一直線ymxb為對稱軸的變換，可以分解為平移、旋轉(zhuǎn)、對稱于坐標軸等變換的組合。首先平移直線經(jīng)過坐標原點，而后將直線繞坐標原點旋轉(zhuǎn)至同某一坐標軸重合，做對稱于坐標軸的變換，最后反向旋轉(zhuǎn)和反向平移將直線置回原處。 如下圖所示，平移直線經(jīng)過坐標原點需要在Y軸方向上移動距離b，然后將直線繞坐標原點旋轉(zhuǎn)至同Y軸重合，設(shè)旋轉(zhuǎn)角度為 ，兩步的變換矩陣分別為：2022-6-23計算機圖形學演示稿 紀玉波制作(C

20、)34100100011bT1000cossin0sincos2T做對稱于Y軸的對稱變換，其變換矩陣為：1000100013T最后反向旋轉(zhuǎn)和反向平移將直線置回原處，其變換矩陣分別為：1000cossin0sincos1000)cos()sin(0)sin()cos(4T100100015bT2022-6-23計算機圖形學演示稿 紀玉波制作(C)35所以，對稱于任一軸ymxb的變換矩陣為：1)sin(coscossin20sincoscossin20cossin2cossin22222254321bbbTTTTTT變換矩陣中的和需要用已知量表示出來。當m為直線斜率，b為截距時有：sinsin90

21、sincos90cos11)90cos(2mcossin90coscos90sin1)90sin(2mm所以222211sincosmm21cossinmm2022-6-23計算機圖形學演示稿 紀玉波制作(C)36替換變換矩陣中的和得：11)1 (1201112012222222bmmbmbmmmmmmmm1m-1T222上述變換用代數(shù)方程表示為：2221)(211mmbyxmmxbmmbyxmmy22211)(122022-6-23計算機圖形學演示稿 紀玉波制作(C)37二維圖形對稱變換示例二維圖形對稱變換示例2022-6-23計算機圖形學演示稿 紀玉波制作(C)385.1.6 5.1.6

22、錯切變換錯切變換(Shear)(Shear) 錯切變換是軸上點不動，其它點沿平行于此軸方向移動變形的變換。錯切變換也稱為剪切、錯位或錯移變錯切變換也稱為剪切、錯位或錯移變換換。常用的錯切變換有兩種：改變x坐標值和改變y坐標值。1.1. 沿沿X X軸方向關(guān)于軸方向關(guān)于Y Y的錯切的錯切 (About y shear along the x axis direction) 變換前和變換后y坐標不變，而x坐標根據(jù)y坐標值呈線性變化。變換前后點的坐標之間的關(guān)系為：yycyxx式中c為錯切系數(shù)。若c0，則沿+X方向錯切，若c0，則沿-X方向錯切。2022-6-23計算機圖形學演示稿 紀玉波制作(C)39

23、下圖說明了矩形ABCD經(jīng)錯切變換后變?yōu)锳BCD的結(jié)果。2022-6-23計算機圖形學演示稿 紀玉波制作(C)40變換方程寫成齊次坐標矩陣形式為： 1000100111cyxyx其中變換矩陣:10001001cT2022-6-23計算機圖形學演示稿 紀玉波制作(C)412. 2. 沿沿Y Y軸方向關(guān)于軸方向關(guān)于X X的錯切的錯切(About y shear along the x axis direction) 變換前和變換后x坐標不變，而y坐標根據(jù)x坐標值呈線性變化。變換前后點的坐標之間的關(guān)系為： ydxyxx式中d為錯切系數(shù)。若d0，則沿+Y方向錯切，若d0，則沿-Y方向錯切。右圖說明了矩形ABCD經(jīng)錯切變換后結(jié)果為ABCD。2022-6-23計算機圖形學演示稿 紀玉波制作(C)42 變換方程寫成齊次坐標矩陣形式為： 1000100111dyxyx其中變換矩陣:10001001dT 除了沿X軸方向和沿Y軸方向的錯切變換外，還可以使用沿平行于X軸方向的軸線或沿平行于Y軸方向的軸線以及任一軸線的錯切變換。對于這些變換，可以通過先平移、旋轉(zhuǎn)軸線，轉(zhuǎn)化為沿X軸方向或沿Y軸方向的錯切變換。 錯切變換不僅改變圖形的形狀，而且改變圖形的方位，