數(shù)理統(tǒng)計浙大四方差分析及回歸分析實用教案

1、11.1 11.1 單因素方差分析單因素方差分析11.2 11.2 雙因素方差分析雙因素方差分析11.3 11.3 一元線性回歸一元線性回歸(hugu)(hugu)分析分析第1頁/共53頁第一頁，共53頁。l 工業(yè)生產(chǎn)中產(chǎn)品質量的影響工業(yè)生產(chǎn)中產(chǎn)品質量的影響(yngxing)(yngxing)因素：原材料、設備、技術及員因素：原材料、設備、技術及員l工素質等；工素質等；l 工作中影響工作中影響(yngxing)(yngxing)個人收入的影響個人收入的影響(yngxing)(yngxing)因素：除學歷、專業(yè)、工作時間、因素：除學歷、專業(yè)、工作時間、l性別等方面外，還有個人能力、經(jīng)歷及機遇等偶

2、然因素性別等方面外，還有個人能力、經(jīng)歷及機遇等偶然因素. . 在這眾多因素中，每一個因素的改變都可能影響最終的結在這眾多因素中，每一個因素的改變都可能影響最終的結果，各因素的影響有大有小。故在實際問題中，就有必要找出果，各因素的影響有大有小。故在實際問題中，就有必要找出對事件最終結果對事件最終結果(ji gu)(ji gu)有顯著影響的那些因素有顯著影響的那些因素. .如何分析這些諸多因素中哪些因素對結果會產(chǎn)生顯著如何分析這些諸多因素中哪些因素對結果會產(chǎn)生顯著(xinzh)(xinzh)影響？影響？這是方差分析的主要任務！這是方差分析的主要任務！9.1 單因素方差分析單因素方差分析第2頁/共5

3、3頁第二頁，共53頁。n 基本概念：基本概念： 試驗指標：在試驗中要考察試驗指標：在試驗中要考察(koch)(koch)的指標，如產(chǎn)品的質量等。的指標，如產(chǎn)品的質量等。 因素：影響因素：影響(yngxing)(yngxing)試驗指標的條件。包括可控因素和不可控因素。試驗指標的條件。包括可控因素和不可控因素。 單因素單因素(yn s)(yn s)試驗：在一項試驗中只有一個因素試驗：在一項試驗中只有一個因素(yn s)(yn s)在改變的試驗。在改變的試驗。 多因素試驗：多因素試驗：在一項試驗中多于一個因素在改變的試驗。在一項試驗中多于一個因素在改變的試驗。 水平：水平：因素所處的狀態(tài)。因素所處

4、的狀態(tài)。 隨機誤差：隨機誤差：同一水平下，樣本各觀察值之間的差異，稱為隨同一水平下，樣本各觀察值之間的差異，稱為隨機誤差。這種差異可以看成是隨機因素的影響。機誤差。這種差異可以看成是隨機因素的影響。 系統(tǒng)誤差：系統(tǒng)誤差：不同水平下，各觀察值之間的差異。這種差異可能是由于行業(yè)本身所不同水平下，各觀察值之間的差異。這種差異可能是由于行業(yè)本身所造成的，稱為系統(tǒng)誤差。造成的，稱為系統(tǒng)誤差。9.1 單因素方差分析單因素方差分析一、單因素方差分析問題的提法一、單因素方差分析問題的提法第3頁/共53頁第三頁，共53頁。9.1 單因素單因素(yn s)方差方差分析分析試驗指標試驗指標(zhbio)(zhbio

5、)：薄板的厚度：薄板的厚度因素因素(yn s)(yn s)：機器：機器水平：水平：三臺不同的機器即為三個不同的水平三臺不同的機器即為三個不同的水平單因素試驗單因素試驗試驗目的：試驗目的：考察機器這一因素對薄板的厚度有無顯著的差異考察機器這一因素對薄板的厚度有無顯著的差異第4頁/共53頁第四頁，共53頁。9.1 單因素單因素(yn s)方差方差分析分析試驗試驗(shyn)(shyn)指標：電路響應時間指標：電路響應時間因素：電路因素：電路(dinl)(dinl)類型類型水平：水平：四種不同的電路即為四個不同的水平四種不同的電路即為四個不同的水平單因素試驗單因素試驗試驗目的：試驗目的：考察電路類型

6、這一因素對響應時間有無顯著影響考察電路類型這一因素對響應時間有無顯著影響第5頁/共53頁第五頁，共53頁。9.1 單因素單因素(yn s)方方差分析差分析試驗試驗(shyn)(shyn)指標：射程指標：射程因素因素(yn s)(yn s)：燃料（：燃料（A)A)、推進器（、推進器（B B）水平：水平：因素因素A有有4 4個水平，因素個水平，因素B有有3 3個水平個水平雙因素試驗雙因素試驗試驗目的：試驗目的：考察推進器和燃料這兩個因素對射程是否有顯著影響考察推進器和燃料這兩個因素對射程是否有顯著影響第6頁/共53頁第六頁，共53頁。9.1 單因素單因素(yn s)方方差分析差分析以例以例1 1討

7、論單因素討論單因素(yn s)(yn s)方差分析的方法：方差分析的方法：在因素在因素(yn s)(yn s)的每個水平下進行獨立試驗，其結果就是一個樣本的每個水平下進行獨立試驗，其結果就是一個樣本, ,31X21X11X51X41X32X22X12X52X42X33X23X13X53X43X表中數(shù)據(jù)可看成來自三個不同總體的樣本值，表中數(shù)據(jù)可看成來自三個不同總體的樣本值，1均值3均值2均值本題需要檢驗假設：本題需要檢驗假設：0123:,H1123:,.H 不全相等第7頁/共53頁第七頁，共53頁。9.1 單因素單因素(yn s)方方差分析差分析第8頁/共53頁第八頁，共53頁。9.1 單因素單

8、因素(yn s)方方差分析差分析假設假設(jish(jish)：2(,)ijjXN ，2,j 未知，未知， 不同水平不同水平 下的樣本之間相互獨立下的樣本之間相互獨立. .jA由假設，有由假設，有2(0,),ijjXN隨機誤差隨機誤差記記,ijijjX則有則有單因素單因素(yn s)試驗方差分試驗方差分析的數(shù)學模型析的數(shù)學模型第9頁/共53頁第九頁，共53頁。9.1 單因素單因素(yn s)方方差分析差分析方差分析的任務方差分析的任務(rn (rn wu)wu)：為便于為便于(biny)(biny)討論，討論，記記（ ）引入記號引入記號（ ） 的效應的效應jA總平均總平均（1.1）第10頁/共

9、53頁第十頁，共53頁。因為因為11111,ssjjjjjjjjnnnnnn第11頁/共53頁第十一頁，共53頁。記記11jnjijijXXn水平水平(shupng)Ai下的樣本均值；下的樣本均值；總偏差總偏差(pinch)平方和：平方和：AeTSSS111insijijXXn總的樣本均值總的樣本均值.211()jnsTijjiSXX211()jnsjeijjiSXX21()sAjjjSnXX組內(nèi)偏差組內(nèi)偏差(pinch)平方和：平方和：組間偏差平方和：組間偏差平方和：（誤差平方和）（誤差平方和）反映了全部試驗反映了全部試驗數(shù)據(jù)之間的差異數(shù)據(jù)之間的差異反映了水平反映了水平Aj 內(nèi)由隨內(nèi)由隨機誤

10、差而引起的波動機誤差而引起的波動由水平由水平Aj的效應的差的效應的差異以及隨機誤差引起異以及隨機誤差引起總離差平方和分解式：總離差平方和分解式：（1.5）9.1 單因素方差分析單因素方差分析二、平方和的分解二、平方和的分解（總變差）（總變差）（效應平方和）（效應平方和）第12頁/共53頁第十二頁，共53頁。9.1 單因素單因素(yn s)方差方差分析分析三、三、SE, SA的統(tǒng)計的統(tǒng)計(tngj)特性特性各項間相互獨立各項間相互獨立1、SE的統(tǒng)計的統(tǒng)計(tngj)特性特性211()jnsjEijjiSXX第13頁/共53頁第十三頁，共53頁。9.1 單因素單因素(yn s)方方差分析差分析四、

11、假設檢驗問題四、假設檢驗問題(wnt)的拒絕域的拒絕域2、SA的統(tǒng)計的統(tǒng)計(tngj)特性特性第14頁/共53頁第十四頁，共53頁。9.1 單因素單因素(yn s)方方差分析差分析第15頁/共53頁第十五頁，共53頁。9.1 單因素單因素(yn s)方差方差分析分析第16頁/共53頁第十六頁，共53頁。9.1 單因素單因素(yn s)方差方差分析分析第17頁/共53頁第十七頁，共53頁。9.1 單因素單因素(yn s)方方差分析差分析第18頁/共53頁第十八頁，共53頁。9.1 單因素單因素(yn s)方差方差分析分析第19頁/共53頁第十九頁，共53頁?！纠纠? 5】工程師測量】工程師測量

12、(cling)(cling)了四種不同類型外殼的彩色顯像管的傳導了四種不同類型外殼的彩色顯像管的傳導 率，得傳導率的觀察值如下表：率，得傳導率的觀察值如下表：顯像管型號顯像管型號傳導率值傳導率值A A1 1（類型（類型1 1）143143141141 150 150 146 146A A2 2（類型（類型2 2）152152144144 137 137 143 143A A3 3（類型（類型3 3）134134136136 133 133 129 129A A4 4（類型（類型4 4）129129128128 134 134 129 129問：外殼類型對傳導率是否問：外殼類型對傳導率是否(sh

13、 fu)(sh fu)有顯著影響？有顯著影響？)05. 0(9.1 單因素單因素(yn s)方方差分析差分析第20頁/共53頁第二十頁，共53頁。,1454/ 1x解：設水平解：設水平Ai下的總體為下的總體為),(2iiaNX,30560812914114322241412irijx43210:aaaaH43211,:aaaaH 檢驗假設檢驗假設： VS不全相等不全相等;16, 4),4 , 3 , 2 , 1( , 4nrini已知：已知：;138161;130,133,1444141432ijijxxxxx,90413816305608162241412xxSir

14、ijT,6961642412xxSriA,208694904ATeSSS3846.13)/() 1/(rnSrSFeA9.1 單因素單因素(yn s)方差方差分析分析第21頁/共53頁第二十一頁，共53頁。方差方差(fn ch)來源來源平方和平方和自由度自由度F值值臨界值臨界值因素因素(yn s)A總和總和(zngh)試驗誤差試驗誤差)/() 1/(rnSrSFeA208)12, 3(05. 0FF 696904123153846.1349. 33846.13F因為因為故拒絕原假設故拒絕原假設H0，即認為因子是顯著的。即認為因子是顯著的。498. 39.1 單因素方差分析單因素方差分析第22頁

15、/共53頁第二十二頁，共53頁。11.1 11.1 單因素方差分析單因素方差分析11.2 11.2 雙因素方差分析雙因素方差分析11.3 11.3 一元線性回歸一元線性回歸(hugu)(hugu)分析分析第23頁/共53頁第二十三頁，共53頁。一、問題一、問題(wnt)的提出的提出實際應用中，影響試驗結果的因素往往不止實際應用中，影響試驗結果的因素往往不止(bzh)一個，為此需要討一個，為此需要討論多因素方差分析問題。（在此只討論雙因素方差分析）：論多因素方差分析問題。（在此只討論雙因素方差分析）：因素因素(yn s)A(yn s)A因素因素B BB1 B2A1A220 6050 90因素因素

16、A A因素因素B BB1 B2A1A220 10050 80表表1 1表表2 2 從表從表1 1看出看出: :因素因素A A與因素與因素B B各自單獨地對試驗結果產(chǎn)生影響，相互之間無影響；各自單獨地對試驗結果產(chǎn)生影響，相互之間無影響； 從表從表2 2看出看出: :因素因素A A與因素與因素B B之間的搭配對試驗結果產(chǎn)生影響（稱為之間的搭配對試驗結果產(chǎn)生影響（稱為交互作用交互作用）。）。為簡單起見，只討論為簡單起見，只討論A A、B B無交互作用下的雙因素方差分無交互作用下的雙因素方差分析問題，此時對析問題，此時對A A、B B的每一種搭配只進行一次試驗。的每一種搭配只進行一次試驗。9.2 雙因

17、素方差分析雙因素方差分析第24頁/共53頁第二十四頁，共53頁。假定假定(jidng)(jidng)要考察兩個因素要考察兩個因素A A、B B對某項指標值的影響，對某項指標值的影響，因素因素(yn s)A(yn s)A取取s s個水平個水平A1,A2,AsA1,A2,As，因素因素(yn s)B(yn s)B取取r r個水平個水平B1,B2,Br B1,B2,Br ，在在A、B的每對組合水平（的每對組合水平（Ai, Bj）上作一次試驗，）上作一次試驗，試驗結果為試驗結果為Xij, ,i=1,1, ,s；j j=1,1, ,r。所有所有Xij獨立，數(shù)據(jù)列于下表：獨立，數(shù)據(jù)列于下表：要考察因素要考

18、察因素A A、B B是否指標值產(chǎn)生顯著性影響？是否指標值產(chǎn)生顯著性影響？9.2 雙因素方差分析雙因素方差分析第25頁/共53頁第二十五頁，共53頁。設搭配設搭配(dpi)(dpi)（Ai, Bj)Ai, Bj)下的試驗結果為下的試驗結果為XijXij，假定，假定;, 2 , 1,:210sjaaaHrjjjA;, 2 , 1,:210riaaaHiriiB),(2ijijaNX則問題歸結為檢驗則問題歸結為檢驗(jinyn)(jinyn)假設：假設：9.2 雙因素雙因素(yn s)方方差分析差分析第26頁/共53頁第二十六頁，共53頁。類似于單因素方差分析的方法，在檢驗之前，必須類似于單因素方差

19、分析的方法，在檢驗之前，必須(bx)(bx)把因素把因素A A，因素因素B B及隨機誤差引起的數(shù)據(jù)波動從總波動中分離出來：及隨機誤差引起的數(shù)據(jù)波動從總波動中分離出來：記：記：riijjsjijiriijjsjijiXTXTXrXXsXrsn1111,1,1,risjijrisjijXTXrsXsjri1111,1., 2 , 1;, 2 , 1于是于是(ysh(ysh),2112rsTXSrisjijT,1212rsTTsSriiA,1212rsTTrSsjjB.BATeSSSS9.2 雙因素雙因素(yn s)方方差分析差分析第27頁/共53頁第二十七頁，共53頁。SA是由因素是由因素A的不同

20、的不同(b tn)效應和隨機誤差引起的偏差效應和隨機誤差引起的偏差;SB是由因素是由因素B的不同的不同(b tn)效應和隨機誤差引起的偏差效應和隨機誤差引起的偏差;S e表示表示(biosh)由隨機誤差引起的偏差由隨機誤差引起的偏差.);1)(1(122rsSe 定理定理: :（1 1）ST, SA, SB相互獨立，且相互獨立，且),1(122rSA（2 2）當）當H0A成立時，成立時，).1(122sSB當當H0B成立時，成立時，因此，可用比較因此，可用比較SA與與SE的值來檢驗假設的值來檢驗假設H0A,用比較用比較SB與與SE的值來檢驗假設的值來檢驗假設H0B.9.2 雙因素方差分析雙因素

21、方差分析第28頁/共53頁第二十八頁，共53頁。);1)(1(122rsSe可以證明：可以證明：（1 1）ST, SA, SB相互獨立，且相互獨立，且);1(122rSA（2 2）當）當H0A成立時，成立時，).1(122sSB當當H0B成立時，成立時，);1)(1( , 1(srrFeAeAASSssrSrSF) 1() 1)(1(/1/22當當H0A成立時，有成立時，有eAeBBSSrsrSsSF) 1() 1)(1(/1/22).1)(1( , 1(srsF當當H0B成立時，有成立時，有),1)(1( , 1(rssFFAH0A的拒絕域為的拒絕域為).1)(1( , 1(rsrFFBH0

22、B的拒絕域為的拒絕域為給定顯著性水平給定顯著性水平 ，則有，則有9.2 雙因素雙因素(yn s)方方差分析差分析第29頁/共53頁第二十九頁，共53頁。B1B2BSA1x11x12x1sA2x21x22x2sArxr1xr2xrs因素因素(yn s)A(yn s)A因素因素(yn s)B(yn s)BT2222 iT iT iT iTrisjijx1122 iT2 iT2 iT2 iTriiT12jT1 T2 TsT2jT21 T22 T2sTsjjT12,2112rsTXSrisjijT,1212rsTTsSriiA,1212rsTTrSsjjB.BATeSSSSrsn1r1s) 1)(1(

23、srriiTs121rsT2sjjTr121數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)(shj)計算表計算表9.2 雙因素方差分析雙因素方差分析第30頁/共53頁第三十頁，共53頁。方差方差(fn ch)來源來源平方和平方和自由度自由度F值值臨界值臨界值因素因素(yn s)A總和總和(zngh)試驗誤差試驗誤差eAASSsF) 1( eSAFASTS1s1r) 1)(1(sr),AF拒絕域為：拒絕域為：因素因素BBS1neBBSSrF) 1( BF),BF9.2 雙因素方差分析雙因素方差分析第31頁/共53頁第三十一頁，共53頁。【例【例1 1】為了研究不同地點，不同季節(jié)大氣飄塵含量的差異】為了研究不同地點，不同季節(jié)大氣飄塵含

24、量的差異 性，對地點（性，對地點（A A）取三個不同水平，對季節(jié)（）取三個不同水平，對季節(jié)（B B）取四個不）取四個不 同水平，在不同組合（同水平，在不同組合（Ai, BjAi, Bj）下各測得一次大氣飄塵含量）下各測得一次大氣飄塵含量（mg/m2)mg/m2)，結果，結果(ji gu)(ji gu)列于表列于表11.811.8，試求研究地點間的差異及季節(jié)，試求研究地點間的差異及季節(jié) 間的差異對大氣飄塵含量有無影響間的差異對大氣飄塵含量有無影響? ?顯像管型號顯像管型號因素因素B 冬季冬季 春季春季 夏季夏季 秋季秋季A1 1.150 0.614 0.475 0.667A2 1.200 0.6

25、20 0.420 0.880A3 0.940 0.379 0.200 0.540)05. 0(9.2 雙因素雙因素(yn s)方方差分析差分析第32頁/共53頁第三十二頁，共53頁。解：解：方差方差(fn ch)來源來源平方和平方和自由度自由度F值值臨界值臨界值因素因素(yn s)A總和總和(zngh)試驗誤差試驗誤差848.23AF0199. 092.10AF1574. 00568. 1326,92.10848.23AAFF因素因素B8795. 01n848.88BF78. 9BF78. 9848.88BBFF9.2 雙因素方差分析雙因素方差分析第33頁/共53頁第三十三頁，共53頁。11.

26、1 11.1 單因素單因素(yn s)(yn s)方差分析方差分析11.2 11.2 雙因素雙因素(yn s)(yn s)方差分析方差分析11.3 11.3 一元線性回歸分析一元線性回歸分析第34頁/共53頁第三十四頁，共53頁。一、問題一、問題(wnt)的提法的提法確定性關系，確定性關系， 不確定性關系，不確定性關系， 如如V=IR，S=vt變量間的關系變量間的關系 如如身高身高與與體重體重的關系的關系l 由度量上的誤差與其他不可控的隨機因素導致的這種關由度量上的誤差與其他不可控的隨機因素導致的這種關系系(gun x)(gun x)稱為相關關系稱為相關關系(gun x)(gun x)。l （

27、一元）線性回歸就是這種關系（一元）線性回歸就是這種關系(gun x)(gun x)中的最中的最簡單的一種。簡單的一種。l 回歸分析就是尋找這類不確定的變量之間的數(shù)學關系回歸分析就是尋找這類不確定的變量之間的數(shù)學關系式并進行統(tǒng)計推斷的一種方法。式并進行統(tǒng)計推斷的一種方法。n 相關關系相關關系9.3 一元線性回歸一元線性回歸第35頁/共53頁第三十五頁，共53頁?！靖概c子的身高【父與子的身高(shn (shn o)o)關系】關系】xy516. 073.33xy516. 0674.85（單位（單位(dnwi)(dnwi)：英寸）英寸）（單位（單位(dnwi)(dnwi)：厘：厘米）米）1919世紀，

28、英國生物學家、統(tǒng)計學家世紀，英國生物學家、統(tǒng)計學家高爾頓高爾頓( (F.Galton) )在研究父與子的身高關系時，提出了在研究父與子的身高關系時，提出了“回歸回歸”一詞一詞, ,并得到如下回歸方程：并得到如下回歸方程：高爾頓通過研究發(fā)現(xiàn)：高爾頓通過研究發(fā)現(xiàn)：當父輩身高高于或低于父代身高的平均值時，兒子的身高有向子代當父輩身高高于或低于父代身高的平均值時，兒子的身高有向子代平均身高靠近的趨勢。平均身高靠近的趨勢。父子兩代的平均身高有向中心回歸的的趨勢父子兩代的平均身高有向中心回歸的的趨勢回歸分析回歸分析因此而提出。因此而提出。9.3 一元線性回歸一元線性回歸第36頁/共53頁第三十六頁，共53

29、頁。n 散點圖與一元線性回歸散點圖與一元線性回歸(hugu)(hugu)模型模型設設x是一可控制的變量（普通變量），是一可控制的變量（普通變量）， 是與是與x 有關的隨機變量，如何確定這兩者有關的隨機變量，如何確定這兩者的關系呢？的關系呢？Y甲醛濃度甲醛濃度x18202224262830縮醛化度縮醛化度26.8628.3528.7528.8729.7530.0030.36Y【例例1 1】在維尼綸的生產(chǎn)過程中經(jīng)常使用甲醛濃度在維尼綸的生產(chǎn)過程中經(jīng)常使用甲醛濃度x來控制縮醛化度來控制縮醛化度 ，試驗結果如，試驗結果如下：下： Y9.3 一元一元(y yun)線性回線性回歸歸第37頁/共53頁第三十

30、七頁，共53頁。隨機誤差隨機誤差 ), 0(2N一般假定一般假定2與與x無關無關n,21), 0(2N獨立同分布于獨立同分布于Y與與x具有如下關系：具有如下關系：bxaY.(1) .(1) 對于每一個對于每一個(y (y )觀察點觀察點(xi, yi)(xi, yi)，滿足，滿足nibxaYiii, 2 , 1,.(2) .(2) (1)、(2)稱為一元（正態(tài)）線性回歸模型，稱為一元（正態(tài)）線性回歸模型，a、b稱為回歸系數(shù)，建立在一元線性回稱為回歸系數(shù)，建立在一元線性回歸模型基礎歸模型基礎(jch)上的統(tǒng)計分析稱為一元線性回歸分析。上的統(tǒng)計分析稱為一元線性回歸分析。bxay9.3 一元一元(y

31、 yun)線性線性回歸回歸第38頁/共53頁第三十八頁，共53頁。n 一元線性回歸分析的研究一元線性回歸分析的研究(ynji)(ynji)內(nèi)容內(nèi)容,)(bxaYE因為因為),(YEy 記記則則bxaY(1) (1) bxay(3) (3) （3）式稱為）式稱為(chn wi)一元線性回歸方程，其圖形稱為一元線性回歸方程，其圖形稱為(chn wi)回歸直線。回歸直線。Y（反映了（反映了 的的“平均平均”或或“主要部分主要部分”）u 一元線性回歸一元線性回歸(hugu)(hugu)分析的主要內(nèi)容有：分析的主要內(nèi)容有：ba, （1 1）對參數(shù)對參數(shù)a,b進行點估計，估計量進行點估計，估計量 稱為稱為

32、樣本回歸系數(shù)樣本回歸系數(shù)或或經(jīng)驗回歸系數(shù)經(jīng)驗回歸系數(shù)，于是有，于是有xbay(4) (4) （4）式稱為式稱為經(jīng)驗直線回歸方程經(jīng)驗直線回歸方程，其圖形稱為，其圖形稱為經(jīng)驗回歸直線。經(jīng)驗回歸直線。9.3 一元線性回歸一元線性回歸第39頁/共53頁第三十九頁，共53頁。（2 2）檢驗檢驗 與與x之間是否線性相關。如果不線性相關，所建立的之間是否線性相關。如果不線性相關，所建立的回歸直線方程也就失去了應用價值?；貧w直線方程也就失去了應用價值。Y),(21nxxxfY（3 3）如何利用所取得的線性關系，通過如何利用所取得的線性關系，通過x來對來對 進行預測或由進行預測或由 來來控制控制x的范圍。的范圍

33、。YYn 注：注：（1 1）實際）實際(shj)(shj)問題中，問題中，x x可能是一個隨機變量，但由于假定其可控可能是一個隨機變量，但由于假定其可控制，故認為制，故認為x x是非隨機變量。是非隨機變量。（2 2）較一元線性回歸）較一元線性回歸(hugu)(hugu)模型更為一般的回歸模型更為一般的回歸(hugu)(hugu)模型為：模型為：常見的是多元常見的是多元(du yun)(du yun)線性回歸模型：線性回歸模型：xbxbxbbxxxfnn21021),(9.3 一元線性回歸一元線性回歸第40頁/共53頁第四十頁，共53頁。xbay(,)iix Y二、回歸系數(shù)二、回歸系數(shù)a, b

34、的最小二乘估計的最小二乘估計(gj)Yba, xbay),(iiyx|iiYy niiniiixbaYyYbaQ1212)()(), (ba, ), (baQniiiiniiixxbaYbQxbaYaQ110)(20)(2niniiiniininiiixYxbxaYxbani00219.3 一元一元(y yun)線性線性回歸回歸第41頁/共53頁第四十一頁，共53頁。xxxyllb xbya注注1：一元線性回歸分析中的最小二乘法估計量即是極大一元線性回歸分析中的最小二乘法估計量即是極大似然法估計量，但前者比后者更方便似然法估計量，但前者比后者更方便不必知道隨機不必知道隨機變量的概率分布。變量的

35、概率分布。注注2： 為為 的無偏估計量。的無偏估計量。)2/(), (2nbaQ221212)(xnxxxlniiniixxniiiniiixyyxnyxyyxxl11)(,1, ,111niiniiynyxnx其中其中(qzhng)9.3 一元一元(y yun)線性回線性回歸歸第42頁/共53頁第四十二頁，共53頁。22211()()nniiiiUyYbxx21( , )()niiiQQ a bYy21()niiLYYY0:0:10bHvsbH原原 假假 設：設：檢驗方法：檢驗方法：(1) F檢驗法檢驗法; (2); (2)相關系數(shù)檢驗法相關系數(shù)檢驗法; (3); (3)T 檢驗法檢驗法.

36、.數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)(shj)間的總波動間的總波動偏差偏差(pinch)平方和的分解式：平方和的分解式：由由x 的線性作用的線性作用(zuyng)引起引起的波動的波動x的線性作用外其他因素引起的波動的線性作用外其他因素引起的波動總偏差平方和總偏差平方和回歸平方和回歸平方和殘差平方和殘差平方和QULY(,)iix Y.9.3 一元線性回歸一元線性回歸第43頁/共53頁第四十三頁，共53頁。1、F 檢驗法檢驗法)2, 1 ()2()2/(nFQUnnQUF 檢驗函數(shù)：檢驗函數(shù)： 拒絕域：拒絕域：若方程的線性相關程度較高，則總波動應主要由線性作用所引起若方程的線性相關程度較高，則總波動應主要由線性作用所引起(

37、ynq)，因此，因此U 較較大，大，Q 相對較??；反之，如果方程不具有線性關系或程度較低，則總波動應由其他相對較??；反之，如果方程不具有線性關系或程度較低，則總波動應由其他因素所引起因素所引起(ynq)，即，即U 較小，較小，Q較大。較大。雙邊雙邊(shungbin)？左單邊？右單邊？左單邊？右單邊？),FD右單邊右單邊其中其中 由由 確定確定)(FFPFniiniixxbyyU12212)()(niiiyybaQQ12)(), (由由x 的線性作用引起的波動的線性作用引起的波動x的線性作用外其他因素引起的波動的線性作用外其他因素引起的波動回歸平方和回歸平方和殘差平方和殘差平方和9.3 一元一

38、元(y yun)線線性回歸性回歸第44頁/共53頁第四十四頁，共53頁。說明：說明：（1）; 1|0 r（2） 越接近越接近1，線性相關性越強（即方程越顯著），線性相關性越強（即方程越顯著）.| r對給定的檢驗水平對給定的檢驗水平 ，利用附表，利用附表11，按自由度，按自由度n-2，查表確定，查表確定r若若 ，則拒絕，則拒絕H0，即認為回歸方程是顯著的。，即認為回歸方程是顯著的。rr |2、相關系數(shù)檢驗法、相關系數(shù)檢驗法2121212)()()(niniiiniiiyyxxyyxxLUr記記該值越大，方程該值越大，方程(fngchng)的的線性相關性越顯著線性相關性越顯著yyxxxyninii

39、iniiilllyyxxyyxxr12121)()()( 檢驗函數(shù)：檢驗函數(shù)：21212)(xnxxxlniiniixxniiiniiixyyxnyxyyxxl11)(,1, ,111niiniiynyxnx 拒絕域：拒絕域：),r9.3 一元一元(y yun)線性線性回歸回歸第45頁/共53頁第四十五頁，共53頁。不應該不應該(ynggi)太大太大),2()2(,(2/2/ntntD即即)2(2/nt3、T 檢驗法檢驗法)2()(ntlbbxx可以證明可以證明xylbt 檢驗函數(shù)：檢驗函數(shù)： 拒絕域：拒絕域：|xxlbt )2(ntlbtxxH0為真為真0)( bbE檢驗檢驗(jinyn)方法：方法：(1) F檢驗法檢驗法; (2); (2)相關系數(shù)檢驗法相關系數(shù)檢驗法; (3); (3)T 檢驗法檢驗法. .以上以上(yshng)三種檢驗方法效果一致，但（三種檢驗方法效果一致，但（2）更簡便。）更簡便。9.3 一元線性回歸一元線性回歸第46頁/共53頁第四十六頁，共53頁。當當 x = x0 時，如何對因變量時，如何對因變量 的觀察值的觀察值 進行預測？進行預測？Y0Y00Yabx20000,(0,)YabxN回歸值：回歸值：經(jīng)驗經(jīng)驗(jngyn)回歸值：回歸值：（